带有时滞项的Boussinesq-Beam方程如下：

其中, Ω是$\mathbb{R}^{N} $ (N≥3)中具有光滑边界$\partial \Omega $的有界区域, h是作用在某种带有遗传特征的解上的算子, $f(x, t) \in L_{\mathrm{loc}}^{2}\left(\mathbb{R} ; L^{2}(\Omega)\right) $为依赖于时间的外力项, ϕ是区间[τ-r, τ]上的初值, $\tau \in \mathbb{R}, \alpha \geqslant 0, r(>0) $是时滞影响的长度.对任意的t≥ τ, 用u_t表示定义在区间[-r, 0]上满足$ u_{t}(\theta)=u(t+\theta) \quad(\theta \in(-r, 0))$的函数.

当α>0时, 方程(1)是改进的Boussinesq方程.文献[1]研究了带阻尼的广义Boussinesq方程$ {u_{tt}}\Delta u - \Delta {u_{tt}} + {\Delta ^2}u - k\Delta {u_t} = \Delta f(u)$解的整体与局部存在性以及解的爆破.文献[2]利用压缩映射原理证明了带有流体力学的阻尼项的Rosenau方程在n维时间权重的Sobolev空间中解的整体存在性与渐近性.文献[3]在一定假设条件下证明了带非线性项方程$ {u_{tt}}\Delta u - \Delta {u_{tt}} + {\Delta ^2}u - k\Delta {u_t} = \Delta f(u)$的弱解的整体存在性.当α=0时, 方程(1)是Beam方程, 又称为梁方程, 是出现在不同物理背景中的四阶偏微分方程.文献[4-7]得到了Beam方程的解的爆破、弱解的整体存在性、爆破速率以及一致吸引子等相关结论.

拉回吸引子是相空间的一族紧集, 在过程的作用下具有不变性, 且相对一致吸引子而言, 可以在较弱的外力假设下得到拉回吸引子的存在性.自治偏微分方程的拉回吸引子可由半群的紧性得到^[8-12], 但由于受到与时间有关的外力作用, 自治系统所产生的半群性质被破坏, 在自治系统中起主要作用的关键理论不再适用于非自治系统, 比如算子的紧性, 因而, 需要使用双参数半群或者过程来证明拉回吸引子的存在性^[13-17].文献[13]为了得到紧性, 对方程$ \frac{\partial u}{\partial t}-v \Delta u+(u \cdot \nabla) u+\nabla p=f(t)$进行分解, 即将过程分解成两部分, 使得一部分满足紧致性, 另一部分满足压缩性质.而文献[14]和文献[17]为了得到非自治系统具有拉回吸引子, 都通过构造压缩泛函得到非自治系统的渐近紧性, 从而克服了分解方程的困难.

目前，对带有时滞项的Boussinesq-Beam方程的研究比较少, 本文在文献[14]、[17]的基础上, 研究带有时滞项的Boussinesq-Beam方程的拉回吸引子的存在性.

1.   预备知识

为方便起见，引入以下记号.

用C_X表示Banach空间C([-r, 0];X), 并赋予上确界模, 对任意的$ u \in C_{X}$, 其范数记为$ \|u\|_{C_{X}}=$ $ \mathop {\max }\limits_{t \in [ - r, 0]} \parallel u(t){\parallel _X}$.

记$\left(X, \|\cdot\|_{X}\right), \left(Y, \|\cdot\|_{Y}\right) $是满足连续嵌入$ X \subset Y$的Banach空间.用$ {C_{X, Y}}$表示Banach空间$ {C_X} \cap {C^1}([ - r, 0]$, 并定义其上范数$\parallel \cdot \parallel {C_{X, Y}} $为

设$H=L^{2}(\Omega), V=H_{0}^{1}(\Omega), A=-\Delta: D(A) \subset H \rightarrow H $且$ D(A)=H_{0}^{2}(\Omega) \cap H_{0}^{1}(\Omega)$, 并用$ (\cdot, \cdot)、(\nabla \cdot, \nabla \cdot) 、(\Delta \cdot, \Delta \cdot)$分别表示H、V、D(A)中的内积，用$\parallel \cdot \parallel 、\|\nabla \cdot\|、\|\Delta \cdot\| $分别表示H、V、D(A)中的范数.

类似于文献[11], 将算子h定义为$ h: \mathbb{R} \times C_{H} \rightarrow H$且满足

(H₁)对任意的$ \xi \in C_{H}, t \in \mathbb{R} \rightarrow h(t, \xi) \in H$是连续的;

(H₂)对任意的$ t \in \mathbb{R}, h(t, 0)=0$;

(H₃)存在L_h>0, 使得对任意的$t \in \mathbb{R} $和$ {\xi}, {\eta} \in C_{H} $, 有

(H₄)存在m₀>0, C_h>0, 使得对任意的$m \in[0, \left.m_{0}\right], \tau \leqslant t, u, v \in C([\tau-r, \tau] ; H) $, 有

由Poincare不等式可得:存在常数λ₁>0, 使得

其中, λ₁是-Δ在H中的第一个特征值.

下面阐述动力系统的拉回吸引子的基本概念及相关结果.

令X是完备的度量空间, 距离为d(·, ·).如果有一族定义于X上的双参数映射$ U(t, \tau): X \rightarrow X (t \geqslant \tau, \tau \in \mathbb{R})$满足：

(1) $ U(t, \tau)=U(t, r) U(r, \tau) \quad(\tau \leqslant r \leqslant t)$,

(2) $ U(\tau, \tau)=\mathrm{Id}$是一恒同算子，$\tau \in \mathbb{R} $, 则称$ U(t, \tau)$是一过程.

令P(X)是X上所有非空子集族, 令$\mathcal{D}$是非空集合族$\widetilde{D}_{0}(t)=\left\{D_{0}(t): t \in \mathbb{R}\right\} \subset P(X) $组成的非空集类.

定义1 ^[8]   设$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $是Banach空间X上的过程, 若对任意的$ t \in \mathbb{R}$, 任意序列$ \tau_{n} \rightarrow-\infty$和$ {x_n} \in {D_0}\left( {{\tau _n}} \right), \left\{ {U(t, \tau ){x_n}} \right\}_{n = 1}^\infty $在X中有收敛子列, 则称$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $为拉回$ \mathcal{D}-$渐近紧.

定义2 ^[8]   设$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $是Banach空间X上的过程, 若对任意的$ t \in \mathbb{R}$和任意的$\widetilde{D} \in \mathcal{D} $, 存在$ \tau = \tau (t, {\rm{ }}\tilde D) \le t$, 使得

则称$\widetilde{B}(t)=\{B(t): t \in \mathbb{R}\} \in \mathcal{D} $是过程$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $的拉回$ \mathcal{D}-$吸收集.

定义3 ^[8]   设$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $是Banach空间X上的过程, 若一族集合$\tilde{A}=\{A(t): t \in \mathbb{R}\} \subset P(X) $满足

(1) 对任意的$t \in \mathbb{R}, A(t) $是紧的;

(2) $ \tilde{A}(t)$是拉回吸引的, 即对任意的有界集$B \subset X $, 任意的$t \in \mathbb{R} $, 有

(3) $ \tilde{A}(t)$是不变的, 即$ U(t, \tau )A(\tau ) = A(t)\quad ( - \infty <\tau \le t < + \infty )$,

则称$ {\tilde A}$是过程$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $的拉回吸引子, 其中dist指Hausdorff半距离, 定义为:

定义4 ^[8]   设$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $是Banach空间X上的过程, 集合$\widetilde{D} \in \mathcal{D} $是X的任意子集, 则称

为集合$ \widetilde{D}$在t时刻的拉回$ {\cal D} - \omega - $极限集.

定义5 ^[10]   设X是Banach空间, B是X中的有界子集, 在X×X中定义函数Ψ(·, ·).若对任意的序列$ \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \subset B$, 都存在子序列$\left\{x_{n k}\right\}_{k=1}^{\infty} C\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} $, 使得

则称Ψ(·, ·)是B×B上的收缩函数, B×B上的收缩函数所组成的集合记作Contr $ \widetilde{B}$.

为了得到拉回$ \mathcal{D}-$吸引子，我们需要构造一个由非空子集族所构成的集类.

定义6   若对任意的m>0, 用$ \mathcal{D}_1$表示由非空子集族$ \widetilde{D}=\{D(t): t \in \mathbb{R}\} \subset \mathcal{P}\left(C_{D(A), V}\right)$所组成的集类, 且满足

下面给出拉回$ \mathcal{D}-$吸引子的存在性的抽象结果.

引理1 ^[10]   设$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $是Banach空间X上的过程, 若$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $满足

(1) $\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $在X中存在拉回$ \mathcal{D}-$吸收集$ \widetilde{B}=\{B(t): t \in \mathbb{R}\} \subset \mathcal{D}$,

(2) $\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $在$\widetilde{B} $中拉回$ \mathcal{D}-$渐近紧，则称过程$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $存在唯一的拉回$ \mathcal{D}-$吸引子$ \mathcal{A}=\{A(t): t \in \mathbb{R}\}$, 其中

为了考查过程$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $的渐近紧性, 需要以下引理.

引理2 ^[10]   设$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $是Banach空间X上的过程, 且$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $存在$ \mathcal{D}-$吸收集$\widetilde{B}=\{B(t):t \in \mathbb{R}\} $.若对任意的ε>0, 存在$T=T(t, \widetilde{B}, \varepsilon)=t-\tau $和Ψ_{t, T}(·, ·), 使得

则称$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $是X上的拉回渐近紧过程, 其中Ψ_{t, T}(·, ·)依赖于t和T.

2.   主要结论

利用Fadeo-Galerkin方法和不动点理论, 给出初边值问题(1)的解的存在性和唯一性：

定理1   若函数h满足假设条件(H₁)~(H₄), $ f \in L_{\mathrm{loc}}^{2}(\mathbb{R} ; H) \mathbb{H}\left(\phi, \frac{\partial \phi}{\partial t}\right) \in C_{D(A), V}$, 则对任意的$\tau \in \mathbb{R} $和T> τ, 初边值问题(1)存在唯一弱解u(·)=u(·; τ, ϕ), 使得

并且映射$\left(\phi, \frac{\partial \phi}{\partial t}\right) \rightarrow\left(u, \frac{\partial u}{\partial t}\right) $在C_{D(A), V}中连续.

由定理1, 可以定义初边值问题(1)的解过程$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $:

并且过程$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $在C_{D(A), V}中连续.

为了得到初边值问题(1)的解所生成的过程$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $在C_{D(A), V}拉回吸引子的存在性, 首先需要证明下面的定理.

定理2   若函数h满足假设条件(H₁)~(H₄), $f \in L_{\mathrm{loc}}^{2}(\mathbb{R} ; H) $且$ \left(\phi, \frac{\partial \phi}{\partial t}\right) \in C_{D(A), V}$, 则初边值问题(1)的解$ \left(u, \frac{\partial u}{\partial t}\right)$满足

其中, $ C_{1}=\min \left\{\alpha \lambda_{1}, 1 / 2\right\}, \rho_{0}>0$是依赖于初值ε、$ \|\boldsymbol{\phi}\|_{C_{D(A)}}^{2} 、\left\|\frac{\partial \phi}{\partial t}\right\|_{V}^{2}$的常数.

证明   设$0 <\varepsilon <\min \left\{\frac{\beta \lambda_{1}}{2 \alpha}, \frac{1}{4}, \frac{\lambda_{1}}{2+\beta \lambda_{1}}, \frac{1}{2 \beta}\right\} $, 令$ v = \frac{{\partial u}}{{\partial t}} + \varepsilon u$, 则用v与方程(1)在H中作内积, 得

由Hölder不等式和Young不等式, 式(3)可变形为

由ε的限制条件可知

于是, 取$ \delta=\min \left\{\beta \lambda_{1}-\alpha \varepsilon, \frac{\beta \lambda_{1}^{2}}{1-\beta \varepsilon}, \varepsilon\right\}$, 则

其中, $y(t)=\|v\|^{2}+\alpha\|\nabla v\|^{2}+(1-\beta \varepsilon)\|\Delta u\|^{2}+\alpha \varepsilon^{2}\|\nabla u\|^{2} $.

在式(5)两端同时乘以e^δt, 有

对式(6)关于时间t在[τ, t]上积分, 并利用假设条件(H₂)、(H₄)可得

由于$ y(t) \geqslant C_{1}\left[\|u\|_{D(A)}^{2}+\left\|\frac{\partial u}{\partial t}\right\|_{V}^{2}\right]$, 其中C₁=min{αλ₁, 1/2 }, 则

令$C_{2}=C_{h}^{2} \varepsilon r\|\phi\|^{2}, C_{3}=C_{h}^{2} \varepsilon / C_{1} $, 则对式(7)在[τ, t]上利用Gronwall不等式, 有

这表明：对任意的t≥ τ, 有

由$C_{1}\left[\|u\|_{D(A)}^{2}+\left\|\frac{\partial u}{\partial t}\right\|_{V}^{2}\right] \leqslant y(t) $, 则对任意的t≥ τ, 式(8)可变形为

记m=δ-C₃, 用t+θ代替式(9)中的t, 则对任意的t-h≥ τ, 有

其中, ρ₀>0是依赖于初值ε、$\|\phi\|_{C_{D(A)}}^{2} 、\left\|\frac{\partial \phi}{\partial t}\right\|_{V_{V}}^{2} $的常数.证毕.

为了得到拉回$ {{\cal D}_1} - $吸收集, 进一步假设0 < δ-C₃=m，且对任意的$t \in \mathbb{R} $, 有

接下来证明$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $具有拉回$ {{\cal D}_1} - $吸收集.

定理3   若函数h满足假设条件(H₁)~(H₄), $f \in L_{\mathrm{loc}}^{2}(\mathbb{R} ; H) $且满足式(10), $ \left(\phi, \frac{\partial \phi}{\partial t}\right) \in C_{D(A), V}$, 则C_{D(A), V}中以原点为中心、ρ(t)为半径的闭球族$ {{\tilde D}_1} =\left\{D(t)=\bar{B}_{C_{D(1), V}}(0, \rho(t)): t \in \mathbb{R}\right\} \in \mathcal{D}_{1}$拉回$ {{\cal D}_1} - $吸收过程$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $, 其中

证明     由式(9)可知${{\tilde D}_1} $拉回$ {{\cal D}_1} - $吸收过程$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $.由式(10)和式(11)可知:对任意的t < 0, 当$t \to - \infty $时, 有$ \bf{e}^{m t} \rho^{2}(t) \rightarrow 0$.从而由定义6可得${{\tilde D}_1} = {{\cal D}_1} $.

下面证明$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $在C_{D(A), V}中是拉回$ {{\cal D}_1} - $渐近紧的.

定理4   若函数h满足假设条件(H₁)~(H₄), $f \in L_{\mathrm{loc}}^{2}(\mathbb{R} ; H) $且满足式(7), $ \left(\phi, \frac{\partial \phi}{\partial t}\right) \in C_{D(A), V}$, 则过程$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $在C_{D(A), V}中是拉回$ {{\cal D}_1} - $渐近紧的.

证明  令$ \left(u_{i}(t), \frac{\partial u_{i}(t)}{\partial t}\right)$是方程(1)对应于初值$\left(\phi_{i}(x, \theta), \frac{\partial \phi_{i}}{\partial t}(x, \theta)\right) \in D(\tau) \times D(\tau) \quad(i=1, 2 ; \theta \in $ $ [-r, 0])$的解, 令$w=u_{1}(t)-u_{2}(t) $, 则$ \left( {w(t), \frac{{\partial w(t)}}{{\partial t}}} \right)$满足

定义能量泛函

用$ \frac{\partial w}{\partial t}$与式(12)作内积, 并利用Hölder不等式、Young不等式及式(2), 可得

在式(13)两端同时乘以e^mt并关于时间t在[s, t]上积分, 有

对式(14)关于s在[τ, t]上积分, 有

用-w与式(12)作内积, 并利用Hölder不等式、Young不等式及式(2)有

在式(16)两端同时乘以e^mt并关于时间t在[s, t]上积分, 有

在式(17)两端关于s在[τ, t]上积分, 有

在式(18)两端同时乘以m/2, 并整理有

把式(19)代入式(15)右端, 有

在式(16)两端同时乘以e^mt并关于时间t在[τ, t]上积分, 有

把式(21)与式(20)相加并整理有

由假设条件(H₃)可知

由Hölder不等式、式(2)及式(8), 可得

结合式(23)~(25), 设T=t- τ且

则式(22)可以变形为

因而, 可以选取$ \tau_{0}=\tau_{0}\left(t, \widetilde{D}_{1}, \varepsilon\right) <t$, 使得对任意的$ \left(\phi_{i}, \frac{\partial \phi_{i}}{\partial t}\right) \in D(\tau) \times D(\tau)(i=1, 2)$, 有

下面只需验证由式(26)所定义的函数$\Psi_{t, T}\left(\left(u_{1}, \frac{\partial u_{1}}{\partial t}\right), \left(u_{2}, \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\right)\right) $为D(τ)×D(τ)上的收缩函数.

设$ \left(u_{m}, \frac{\partial \phi_{m}}{\partial t}\right)$是方程(1)对应于初值$ \left( {{\phi _m}, \frac{{\partial {\phi _m}}}{{\partial t}}} \right) \in D(\tau ) \times D(\tau )\quad (m = 1, 2, \cdots )$的解.对任意给定的$ t \in \mathbb{R}$, 由于D(t)×D(t)在C_{D(A), V}中有界, 从而对任意的$s \in \left[ {\tau , t} \right] $和任意的$ m \in \mathbb{N}$, 有

其中，C_{t, τ} 依赖于t和τ.

由定理2的证明可知:u_m在$L^{2}(\tau, t ; D(A)) $中强收敛到$u ; \frac{\partial u_{m}}{\partial t} $在$L^{2}(\tau, t ; V) $中强收敛到$\frac{\partial u}{\partial t} ; u_{m} $在$L^{\infty}(\tau, t ; D(A)) $中弱*-收敛到$ u: \frac{\partial u_{m}}{\partial t}$在$L^{2}(\tau, t ; V) $中弱*-收敛到$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} $.于是

因而, $ \Psi_{t, T}\left(\left(u_{1}, \frac{\partial u_{1}}{\partial t}\right), \left(u_{2}, \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\right)\right)$上的收缩函数.由引理1可知过程$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $在C_{D(A), V}中是拉回$ {{\cal D}_1} - $渐近紧的.

因而, 由定理1~定理4和引理2可得:

定理5   若函数h满足假设条件(H₁)~(H₄), $f \in L_{\mathrm{loc}}^{2}(\mathbb{R} ; H) $且满足式(8), $ \left(\phi, \frac{\partial \phi}{\partial t}\right) \in C_{D(A), V}$, 则过程$\{U(t, \tau)\}_{t \geqslant \tau} $在C_{D(A), V}中存在唯一的拉回$ {{\cal D}_1} - $吸引子$\mathcal{A}_1 $, 并以C_{D(A), V}-范数拉回$ {{\cal D}_1} - $吸引C_{D(A), V}中每个集合$ \widetilde{D}_{1} \in \mathcal{D}_{1}$.