多阶段均值—标准差投资组合时间一致性策略研究

张鹏, 崔淑琳

张鹏, 崔淑琳. 多阶段均值—标准差投资组合时间一致性策略研究[J]. 华南师范大学学报（自然科学版）, 2024, 56(2): 91-99. DOI: 10.6054/j.jscnun.2024026
引用本文: 张鹏, 崔淑琳. 多阶段均值—标准差投资组合时间一致性策略研究[J]. 华南师范大学学报（自然科学版）, 2024, 56(2): 91-99. DOI: 10.6054/j.jscnun.2024026
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ZHANG Peng, CUI Shulin. Time-consistent Strategy Multiperiod Mean Standard Deviation Portfolio Selection[J]. Journal of South China Normal University (Natural Science Edition), 2024, 56(2): 91-99. DOI: 10.6054/j.jscnun.2024026
Citation: ZHANG Peng, CUI Shulin. Time-consistent Strategy Multiperiod Mean Standard Deviation Portfolio Selection[J]. Journal of South China Normal University (Natural Science Edition), 2024, 56(2): 91-99. DOI: 10.6054/j.jscnun.2024026
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多阶段均值—标准差投资组合时间一致性策略研究

  • 华南师范大学经济与管理学院，广州 510006

基金项目: 

国家自然科学基金项目 71271161

广东省自然科学基金项目 2024A1515011808

详细信息
    通讯作者:

    张鹏，Email: 20181021@m.scnu.edu.cn

  • 中图分类号: F832.51;F224

Time-consistent Strategy Multiperiod Mean Standard Deviation Portfolio Selection

  • School of Economics and Management, South China Normal University, Guangzhou 510006, China

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    摘要
  • 摘要:

    文章运用标准差度量投资组合的风险，考虑交易成本、借贷约束和阈值约束等情况，提出了具有Vasicek随机利率和风险偏好的多阶段均值-标准差投资组合模型(V-M-SD)。基于博弈论的方法，将该模型转化为时间一致的动态优化问题，并使用离散近似迭代法求解满足时间一致性的最优投资组合。最后，实证分析借贷约束、阈值约束和风险规避系数对V-M-SD模型的最优时间一致性策略的影响。研究发现，当其他约束条件保持不变时，在一定的阈值范围内，投资组合的终期财富分别与借贷约束、阈值约束、风险规避系数正相关、正相关、负相关；投资组合的单位风险水平分别与借贷约束、阈值约束、风险规避系数负相关、负相关、正相关。

    Abstract:

    The standard deviation is used to measure portfolio risk. Considering the transaction costs, borrowing constraints, and threshold constraints, a multiperiod mean standard deviation portfolio selection with the Vasicek stochastic interest rate model and risk preference is proposed. Based on the game theory, the model is transformed into a time-consistent dynamic programming problem. A novel discrete approximate iteration method is designed to obtain the optimal time-consistent portfolio strategy. Finally, the impact of borrowing constraints, threshold constraints, and different risk preference coefficients on multi-period mean standard deviation optimal time-consistent strategy are analyzed in empirical analysis. It can be concluded that the terminal wealth of the portfolio is positive, positive, and negative with borrowing constraints, threshold constraints, and risk preference coefficients, respectively. The unit risk of the portfolio is negative, negative, and positive with borrowing constraints, threshold constraints, and risk preference coefficients, respectively.

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  • MARKOWITS[1]提出的均值-方差投资组合模型奠定了现代投资组合理论的基础，该模型假设投资者遵守最初制定的投资策略不发生变动，在静态环境下权衡投资组合的收益与风险，从而实现财富的保值增值。该模型广泛应用于金融科技、量化投资等领域，如股票、期货和债券等投资组合选择，还适用于再保险策略制定、养老金管理决策、供应链及选址设计等场景。

    然而，金融市场是复杂多变的，投资者会根据金融信息的变化不断地调整头寸，以实现投资效用最大化的目标。静态投资组合难以满足这一现实需求，因此，学者们逐渐关注动态调整的投资组合优化研究。如：周忠宝等[2]构建基于财富过程的多阶段均值-方差投资组合评价模型，利用动态规划方法求解投资组合效率的解析式；CUI等[3]提出了具有管理费用的多阶段均值-方差投资组合模型，并运用随机动态规划求解模型的半解析解。前述多阶段均值-方差投资组合的最优策略均为预先给定的策略，即投资者在初始时刻制定策略，在后面的投资期限内都要执行此策略。现实中，投资者的决策会随着时间的推移而变化，预先给定的策略在未来投资阶段并非是最优选择。为进一步提高投资决策的科学有效性，部分学者研究满足时间一致性的投资策略。如：BJÖRK等[4]研究了离散时间和连续时间动态投资组合的时间一致性策略；郭文旌和卢晖[5]研究了不允许卖空条件下多阶段均值-方差投资组合的时间一致性策略；张鹏等[6]考虑上下界约束、交易成本和借贷限制等，研究了多阶段模糊投资组合的时间一致性策略；VALLADÃO等[7]研究具有交易成本、风险约束和时间依赖性的动态投资组合的时间一致性策略；周忠宝等[8]考虑投资者之间的相互影响，研究了多阶段投资组合博弈模型的时间一致性策略；STRUB等[9]讨论了多阶段均值—CVaR投资组合的时间一致性策略。

    在实际投资过程中，当引入无风险资产时，利率变动会影响投资组合表现。然而，利率变动是不可预期的，学者们常用Vasicek模型和Hull-White模型等来度量随机利率。如：YAO等[10]构建了具有Vasicek随机利率和负债不可控的多阶段均值-方差投资组合模型；李爱忠等[11]假设利率服从Vasicek模型，研究通货膨胀和交易成本等影响下的多阶段投资组合优化问题；WANG和LI[12]运用仿射模型描述随机利率过程，构建了具有模糊厌恶心理的养老金计划鲁棒投资组合模型；ZHANG等[13]研究了具有仿射随机利率和价格波动的均值-方差投资组合优化问题；ZHU等[14]研究了Hull-White随机利率和通胀风险的连续时间均值-方差资产负债管理选择问题。

    已有研究主要是针对具有现实约束的多阶段投资组合时间一致性策略和具有随机利率的多阶段投资组合的预先给定的策略，关于具有随机利率和风险偏好的多阶段投资组合的时间一致性策略研究尚少。本文使用均值、标准差分别度量投资组合的收益、风险，运用Vasicek随机利率描述金融市场的随机利率，考虑风险偏好、交易成本、阈值约束和借贷限制等现实约束，构建多阶段均值-标准差投资组合模型(V-M-SD)。运用博弈论的方法将该多阶段投资组合模型转化为时间一致的动态优化问题，使用离散近似迭代算法求解V-M-SD模型的最优时间一致性策略。本文将现实约束纳入投资组合模型之中，提高了模型的实用性，以期有助于投资者制定科学合理的投资决策。

    1.   多阶段投资组合模型

    1.1   多阶段投资组合的目标函数及现实约束

    假设投资者基于市场的n种风险资产和1种随机变动的无风险资产进行T个时期的投资，投资者在每阶段期初可调整n+1种资产的配置比例，整个投资阶段不允许追加额外的资金。若无风险资产借贷利率相同，则第t期投资组合的净收益为：

    $$ \begin{align*} r_{\mathrm{N} t}= & \sum\limits_{i=1}^{n} R_{i t} u_{i t}+R_{\mathrm{f}t}\left(X_{t-1}-\sum\limits_{i=1}^{n} u_{i t}\right)-X_{t-1}-\sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left|u_{i t}-u_{i t(-1)}\right|= \\ & \left(R_{\mathrm{f}t}-1\right) X_{t-1}+\sum\limits_{i=1}^{n}\left(R_{i t}-R_{{\rm{f}} t}\right) u_{i t}-\sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left|u_{i t}-u_{i(t-1)}\right|, \end{align*} $$ (1)

    其中，Rit为风险资产i第t期的随机收益率；uit为风险资产i第t期的投资额；cit为风险资产i第t期投资组合的单位交易成本；Xt为第t期期末投资者的总财富；Rft为无风险资产第t期的随机收益率，可用多阶段Vasicek模型描述，计算公式如下：

    $$ R_{\mathrm{f}(t+1)}=\mathrm{e}^{\left(1-\varphi_{t}\right) {\overline R}_{\mathrm{f}}+\tau_{t} \varepsilon_{t}} R_{{\rm{f}} t}^{\varphi_{t}}=b_{t} R_{{\rm{f}}t}^{\varphi_{t}}, $$ (2)

    其中，φt(0 < φt≤1)为常数，1-φt表示均值回归程度，Rf为无风险资产的长期平均收益率，τt为第t期收益率波动率，εt为服从标准正态分布的扰动项。

    由式(1)可得第t期投资组合的财富：

    $$ \begin{align*} & X_{t}=r_{\mathrm{N} t}+X_{t-1}= \\ & \quad R_{{\rm{f}} t} X_{t-1}+\sum\limits_{i=1}^{n}\left(R_{i t}-R_{{\rm{f}} t}\right) u_{i t}-\sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left|u_{i t}-u_{i(t-1)}\right|。 \end{align*} $$ (3)

    对应的期望财富为：

    $$ \begin{align*} & E\left(X_{t}\right)=r_{\mathrm{N} t}+E\left(X_{t-1}\right)=E\left(R_{{\rm{f}} t} X_{t-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i t}-R_{{\rm{f}} t}\right) u_{i t}- \\ & \sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left|u_{i t}-u_{i(t-1)}\right|。 \end{align*} $$ (4)

    由于收益和风险单位不一致时，投资者难以给出具体的风险偏好系数，本文运用标准差度量投资组合的风险。第t期投资组合的标准差可以表示为：

    $$ \sigma_{t}=\sqrt{\boldsymbol{u}_{t}^{\prime} \boldsymbol{H}_{t} \boldsymbol{u}_{t}}, $$ (5)

    其中，ut=(u1t, u2t, …, unt)′；风险资产的协方差Ht为半正定矩阵：

    $$ \boldsymbol{H}_{t}=\left(\begin{array}{cccc}\operatorname{Cov}\left(R_{1 t}, R_{1 t}\right) & \operatorname{Cov}\left(R_{1 t}, R_{2 t}\right) & \cdots & \operatorname{Cov}\left(R_{1 t}, R_{n t}\right) \\ \operatorname{Cov}\left(R_{2 t}, R_{1 t}\right) & \operatorname{Cov}\left(R_{2 t}, R_{2 t}\right) & \cdots & \operatorname{Cov}\left(R_{2 t}, R_{n t}\right) \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \operatorname{Cov}\left(R_{n t}, R_{1 t}\right) & \operatorname{Cov}\left(R_{n t}, R_{2 t}\right) & \cdots & \operatorname{Cov}\left(R_{n t}, R_{n t}\right)\end{array}\right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;(t=1, \cdots, T)。 $$

    在现实环境中，投资者往往通过多元化投资分散风险，但金融市场资产数目众多，搜寻和处理金融信息需要花费时间和经济成本，因此投资者往往选择投资部分资产。换言之，风险资产的投资金额存在上下界限制。多阶段投资组合模型的上下界限制可以表示为：

    $$ l_{i t} \leqslant u_{i t} \leqslant p_{i t}, $$ (6)

    其中，lit、pit分别为风险资产i第t期投资金额的下界、上界。令Δuit=uit-ui(t-1)，则有：

    $$ l_{i t}-p_{i(t-1)} \leqslant \Delta u_{i t} \leqslant p_{i t}-l_{i(t-1)}。 $$ (7)

    由于投资者可投资一种无风险资产，设第t期无风险资产的投资下界为uftb(uftb≤0)，则第t期无风险资产借贷约束可以表示为：

    $$ X_{t-1}-\sum\limits_{i=1}^{n} u_{i t} \geqslant u_{\mathrm{f}t}^{\mathrm{b}}。 $$ (8)

    1.2   多阶段投资组合模型的构建

    考虑交易成本、上下界限制和借贷约束，具有随机利率和风险偏好的多阶段均值-标准差投资组合模型为：

    $$ \begin{align*} & \max \sum\limits_{t=1}^{T} w_{t}\left[E\left(X_{t}\right)-\eta_{t} \sqrt{\sigma_{t}^{2}\left(X_{t}\right)}\right] \\ & \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} E\left(X_{t}\right)=E\left(R_{{\rm{f}} t} X_{t-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i t}-R_{{\rm{f}} t}\right) u_{i t}- \\ \;\;\;\;\;\; \sum\limits_{i=1}^{n}\left|u_{i t}-u_{i(t-1)}\right|, \\ R_{\mathrm{f}(t+1)}=b_{t} R_{\mathrm{f}t}^{\varphi_{t}}, \\ E\left(X_{t-1}\right)-\sum\limits_{i=1}^{n} u_{i t} \geqslant u_{{\rm{f}} t}^{\mathrm{b}}, \\ l_{i t} \leqslant u_{i t} \leqslant p_{i t} \quad(i=1, \cdots, n), \\ l_{i t}-p_{i(t-1)} \leqslant \Delta u_{i t} \leqslant p_{i t}-l_{i(t-1)} \quad(i=1, \cdots, n), \end{array}\right. \end{align*} $$ (9)

    其中，贴现因子wt>0, 风险规避系数ηt>0, t=1, …, T; 第1个约束条件为财富累积约束；第2个约束条件为随机利率模型；第3个约束条件为第t期无风险资产的借贷约束；第4个约束条件为第t期风险资产i的投资金额上下界限制；第5个约束条件为第t期风险资产净交易的上下界限制。模型(9)不具有可分离性，求解比较困难。

    2.   多阶段投资组合模型的时间一致性策

    本文基于博弈论求解最优投资组合策略。设uk－1(Xk－1, u)=$\sum\limits_{t=k}^T w_{t-1}\left[E\left(X_{t-1}\right)-\eta_t \sqrt{\sigma_{t-1}^2\left(X_{t-1}\right)}\right]$，则模型(9)的时间一致性策略定义如下：

    定义1[4]  考虑一个固定控制律uTC(k-1)。设u(k-1)=(uk-1, ukTC, …, uT-1TC)，其中uk-1为任意控制变量。若对任意k=1, 2, …, T，有：

    $$ \max u_{k-1}\left(X_{k-1}, u(k-1)\right)=u_{k-1}\left(X_{k-1}, u^{\mathrm{TC}}(k-1)\right), $$

    则uTC(k-1)=(uk-1TC, ukTC, …, uT-1TC)是一个时间一致性的策略。即在非合作博弈框架下，假设博弈参与者处于第k-1期，对应的支付为Xk-1，其追随者选择均衡策略(ukTC, …, uT-1TC)，博弈参与者在k-1期只能选择uk-1策略最大化u(k-1)=(Xk-1, uk-1)。

    根据定义1，模型(9)可以表述为如下博弈模型(V-M-SD uitTC)：

    $$ \max \sum\limits_{t=k}^{T} w_{t}\left[E\left(X_{t}\right)-\eta_{t} \sqrt{\sigma_{t}^{2}\left(X_{t}\right)}\right]\\ {\rm{s.t.}} \left\{\begin{array}{l}E\left(X_{k}\right)=E\left(R_{{\rm{f}} k} X_{k-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i k}-R_{\mathrm{f}k}\right) u_{i k}- \\ \;\;\;\;\;\;\; \sum\limits_{i=1}^{n} c_{i k}\left|u_{i k}-u_{i(k-1)}\right|, \\ R_{\mathrm{f}(k+1)}=b_{k} R_{\mathrm{f}k}^{\varphi_{k}}, \\ E\left(X_{k-1}\right)-\sum\limits_{i=1}^{n} u_{i k} \geqslant u_{{\rm{f}} k}^{\mathrm{b}}, \\ l_{i k} \leqslant u_{i k} \leqslant p_{i k} \quad(i=1, \cdots, n), \\ l_{i k}-p_{i(k-1)} \leqslant u_{i k}-u_{i(k-1)} \leqslant p_{i k}-l_{i(k-1)} \quad(i=1, \cdots, n), \\ E\left(X_t\right)=E\left(R_{{\rm{f}}t} X_{t-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^n E\left(R_{i t}-R_{{\rm{f}}t}\right) u_{i t}^{\mathrm{TC}}-\\ \quad \sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left|u_{i t}^{\mathrm{TC}}-u_{i(t-1)}^{\mathrm{TC}}\right| \quad(t=k+1, \cdots, T), \\ R_{\mathrm{f}(t+1)}=b_{t} R_{{\rm{f}} t}^{\varphi_{t}}, \\ E\left(X_{t-1}\right)-\sum\limits_{i=1}^{n} u_{i t}^{\mathrm{TC}} \geqslant u_{{\rm{f}} t}^{\mathrm{b}}, \\ l_{i t} \leqslant u_{i t}^{\mathrm{TC}} \leqslant p_{i t}(i=1, \cdots, n), \\ l_{i t}-p_{i(t-1)} \leqslant u_{i t}^{\mathrm{TC}}-u_{i(t-1)}^{\mathrm{TC}} \leqslant p_{i t}-l_{i(t-1)} \quad(i=1, \cdots, n),\\ u_{it}^{\mathrm{TC}} \operatorname{solves}\left(\mathrm{V}-\mathrm{M}-\mathrm{SD}\;u_{it}^{\mathrm{TC}}\right) \quad(t=k+1, \cdots, T), \end{array}\right. $$ (10)

    其中，uitTC solves(V-M-SDuitTC)为求第t (t=k+1, …, T)期多阶段均值-标准差模型的时间一致性策略。

    模型(10)在终期(即第T阶段)的子问题可以表示为：

    $$ \max w_{T}\left[E\left(X_{T}\right)-\eta_{T} \sqrt{\sigma_{T}^{2}\left(X_{T}\right)}\right]\\ \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} E\left(X_{T}\right)=E\left(R_{{\rm{f}} T} X_{T-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i T}-R_{{\rm{f}} T}\right) u_{i T}- \\ \;\;\;\;\;\;\;\; \sum\limits_{i=1}^{n} c_{i T}\left|u_{i T}-u_{i(T-1)}\right|, \\ R_{\mathrm{f}(T+1)}=b_{T} R_{{\rm{f}} T}^{\varphi_{T}}, \\ E\left(X_{T-1}\right)-\sum\limits_{i=1}^{n} u_{i T} \geqslant u_{{\rm{f}} T}^{\mathrm{b}}, \\ l_{i T} \leqslant u_{i T} \leqslant p_{i T} \quad(i=1, \cdots, n), \\ l_{i T}-p_{i(T-1)} \leqslant u_{i T}-u_{i(T-1)} \leqslant p_{i T}-l_{i(T-1)} \quad(i=1, \cdots, n), \end{array}\right. $$ (11)

    其中，E(XT)、σT2(XT)分别为第k (k=1, …, T)期的条件期望、条件方差。

    由式(4)和式(5)可得：

    $$ \begin{align*} & w_{T}\left[E\left(X_{T}\right)-\eta_{T} \sqrt{\sigma_{T}^{2}\left(X_{T}\right)}\right]=w_{T}\left[E\left(R_{{\rm{f}} T} X_{T-1}\right)+\right. \\ & \sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i T}-R_{{\rm{f}} T}\right) u_{i T}-\sum\limits_{i=1}^{n} c_{i T}\left|u_{i T}-u_{i(T-1)}\right|-\\ & \left.\eta_{T} \sqrt{\sigma_{T}^{2}\left(E\left(R_{{\rm{f}} T} X_{T-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i T}-R_{{\rm{f}} T}\right) u_{i T}-\sum\limits_{i=1}^{n} c_{i T}\left|u_{i T}-u_{i(T-1)}\right|\right)}\right]= \\ & w_{T}\left[E\left(R_{{\rm{f}} T} X_{T-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i T}-R_{{\rm{f}} T}\right) u_{i T}-\sum\limits_{i=1}^{n} c_{i T}\left|u_{i T}-u_{i(T-1)}\right|-\right. \\ & \left.\eta_{T} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \sigma_{i j T} u_{i T} u_{j T}}\right]。 \end{align*} $$ (12)

    由式(12)，可将模型(11)转化为：

    $$ \max w_{T}\left[E\left(R_{\mathrm{f}T} X_{T-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i T}-R_{\mathrm{f}T}\right) u_{i T}-\right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\; \sum\limits_{i=1}^{n} c_{i T}\left|u_{i T}-u_{i(T-1)}\right|-\eta_{T} \sqrt{\left.\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \sigma_{i j T} u_{i T} u_{j T}\right]}\\ \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} E\left(X_{T}\right)=E\left(R_{\mathrm{f}T} X_{T-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{iT}-R_{\mathrm{f} T}\right) u_{i T}- \\ \;\;\;\;\;\;\;\; \sum\limits_{i=1}^{n} c_{i T} \mid u_{i T}-u_{i(T-1)}, \\ R_{\mathrm{f}(T+1)}=b_{T} R_{{\rm{f}}T}^{\varphi_{T}}, \\ E\left(X_{T-1}\right)-\sum\limits_{i=1}^{n} u_{i T} \geqslant u_{\mathrm{f}T}^{\mathrm{b}}, \\ l_{i T} \leqslant u_{i T} \leqslant p_{i T}(i=1, \cdots, n), \\ l_{i T}-p_{i(T-1)} \leqslant u_{i T}-u_{i(T-1)} \leqslant p_{i T}-l_{i(T-1)} \quad(i=1, \cdots, n)。 \end{array}\right. $$ (13)

    由定义1和模型(13)，模型(10)可以转化为：

    $$ \max \sum\limits_{t=1}^{T} w_{t}\left[E\left(R_{{\rm{f}} t} X_{t-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i t}-R_{{\rm{f}} t}\right) u_{i t}-\right. \\ \;\;\;\;\;\;\;\; \left.\sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left|u_{i t}-u_{i(t-1)}\right|-\eta_{t} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \sigma_{i j t} u_{i t} u_{j t}}\right] \\ \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} E\left(X_{t}\right)=E\left(R_{{\rm{f}} t} X_{t-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n}\left(R_{i t}-R_{{\rm{f}} t}\right) u_{i t}- \\ \;\;\;\;\;\;\;\; \sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left|u_{i t}-u_{i(t-1)}\right|, \\ R_{\mathrm{f}(t+1)}=b_t R_{\mathrm{f}t}^{\varphi_t}, \\ E\left(X_{t-1}\right)-\sum\limits_{i=1}^n u_{i t} \geqslant u_{\mathrm{f}t}^{\mathrm{b}}, \\ l_{i t} \leqslant u_{i t} \leqslant p_{i t} \quad(i=1, \cdots, n), \\ l_{i t}-p_{i(t-1)} \leqslant u_{i t}-u_{i(t-1)} \leqslant p_{i t}-l_{i(t-1)} \quad(i=1, \cdots, n)。 \end{array}\right. \\ $$ (14)

    令yit=|uit-ui(t-1)|+(uit-ui(t-1))，zit=|uit-ui(t-1)|-(uit-ui(t-1))，则模型(14)可以转化为：

    $$ \begin{align*} & \max \sum\limits_{t=1}^{T} w_{t}\left[E\left(R_{{\rm{f}}t} X_{t-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i t}-R_{{\rm{f}} t}\right) u_{i t}-\sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left(y_{i t}+z_{i t}\right)-\right. \\ & \;\;\;\;\;\;\;\; \eta_{t} \sqrt{\left.\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \sigma_{i j t} u_{i t} u_{j t}\right]} \\ & \left\{\begin{array}{l} E\left(X_{t}\right)=E\left(R_{{\rm{f}}t} X_{t-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{it}-R_{{\rm{f}} t}\right) u_{i t}- \\ \;\;\;\;\;\;\;\; \sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left(y_{i t}+z_{i t}\right), \\ R_{\mathrm{f}(t+1)}=b_{t} R_{{\rm{f}} t}^{\varphi_{t}}, \\ E\left(X_{t-1}\right)-\sum\limits_{i=1}^{n} u_{i t} \geqslant u_{{\rm{f}} t}^{\mathrm{b}}, \\ l_{i t} \leqslant u_{i t} \leqslant p_{i t} \quad(i=1, \cdots, n), \\ l_{i t}-p_{i(t-1)} \leqslant y_{i t}-z_{i t} \leqslant p_{i t}-l_{i(t-1)} \quad(i=1, \cdots, n), \\ y_{i t} \geqslant 0 \quad(i=1, \cdots, n), \\ z_{i t} \geqslant 0 \quad(i=1, \cdots, n)。 \end{array}\right. \end{align*} $$ (15)

    3.   算法求解

    3.1   各阶段状态变量的最小值和最大值

    在模型(15)中，投资者可以在Xtmin和Xtmax之间选择E(Xt)。投资者以第t阶段的期望收益最大化为目标，运用单纯形法求解以下模型：

    $$ \begin{align*} & \max E\left(R_{\mathrm{f}t} X_{t-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i t}-R_{\mathrm{f}t}\right) u_{i t}-\sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left(y_{i t}+z_{i t}\right) \\ & \left\{\begin{array}{l} E\left(X_{t}\right)=E\left(R_{{\rm{f}} t} X_{t-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i t}-R_{\mathrm{f}t}\right) u_{i t}- \\ \;\;\;\;\;\;\;\; \sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left(y_{i t}+z_{i t}\right), \\ R_{\mathrm{f}(t+1)}=b_{t} R_{\mathrm{f}t}^{\varphi_{t}}, \\ E\left(X_{t-1}\right)-\sum\limits_{i=1}^{n} u_{i t} \geqslant u_{\mathrm{f}t}^{\mathrm{b}}, \\ l_{i t} \leqslant u_{i t} \leqslant p_{i t} \quad(i=1, \cdots, n), \\ l_{i t}-p_{i(t-1)} \leqslant y_{i t}-z_{i t} \leqslant p_{i t}-l_{i(t-1)} \quad(i=1, \cdots, n), \\ y_{i t} \geqslant 0 \quad(i=1, \cdots, n), \\ z_{i t} \geqslant 0 \quad(i=1, \cdots, n), \end{array}\right. \end{align*} $$ (16)

    从而得到该模型的最优投资策略utmax * = (u1tmax *, u2tmax *, …, untmax *)′，则第t阶段的最大财富为：

    $$ \begin{gather*} X_{t}^{\max }=E\left(R_{\mathrm{f}t} X_{t-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i t}-R_{\mathrm{f}t}\right) u_{i t}^{\max *}- \\ \sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left(y_{i t}^{*}+z_{i t}^{*}\right) \quad(t=1, 2, \cdots, T)。 \end{gather*} $$ (17)

    Xtmin是以第t期投资组合的标准差最小为目标时对应的财富水平。由于允许投资无风险资产，投资者将选择将所有资金投资于无风险资产，因此，Xtmin对应的最优投资策略为utmin *=(0, 0, 0, …, 0)′，第t阶段的最小财富为：

    $$ X_{t}^{\min }=E\left(R_{{\rm{f}} t} X_{t-1}\right) \quad(t=1, 2, \cdots, T) 。 $$ (18)

    3.2   离散近似迭代法

    模型(15)是一个具有线性不等式约束的动态规划问题，本文运用离散近似迭代方法[15]求解。本文将E(Xt)离散为5个状态变量，多阶段赋权有向图如图 1所示。投资组合所处的投资期数用多阶段有向赋权图的阶段数表示；第t期投资组合的离散状态变量、目标函数值分别用多阶段有向赋权图的状态、边的权重表示。

    图  1  多阶段有向赋权图
    Figure  1.  Multi-period directed weighted graph
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    离散近似迭代法[15]的具体步骤如下：

    步骤1：计算第t (t=1, 2, …, T)期多阶段赋权有向图的边界状态和边界边的权重。

    步骤1.1：计算第t (t=1, 2, …, T)期多阶段赋权有向图的边界状态。

    由式(17)得到第t期多阶有向图的最大边界状态Xtmax, 由式(18)得到最小边界状态Xtmin。

    步骤1.2：计算第t (t=1, 2, …, T)期多阶段赋权有向图边界边的权重。

    第t期多阶段赋权有向图最大边的权重为：

    $$ \begin{aligned} & F_{t(\kappa, \eta)}^{\max }=E\left(R_{{\rm{f}}t} X_{t-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i t}-R_{{\rm{f}} t}\right) u_{i t}^{\max *}- \\ &\;\;\;\;\;\;\;\; \sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left(y_{i t}^{\max *}+z_{i t}^{\max *}\right)-\eta_{t} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \sigma_{i j t} u_{i t}^{\max *} u_{jt}^{\max *}}, \end{aligned} $$

    其中，κ=1, 2, …, 5;η=1, 2, …, 5;yitmax *=|uitmax *-ui(t-1)max *|+(uitmax *-ui(t-1)max *)，zitmax *=|uitmax *-ui(t-1)max *|-(uitmax *-ui(t-1)max *)。

    第t期多阶段赋权有向图最小边的权重为：

    $$ \begin{aligned} & F_{t(\kappa, \eta)}^{\min }=E\left(R_{{\rm{f}} t} X_{t-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i t}-R_{{\rm{f}} t}\right) u_{i t}^{\min *}- \\ &\;\;\;\;\;\;\;\; \sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left(y_{i t}^{\min *}+z_{i t}^{\min *}\right)-\eta_{t} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \sigma_{i j t} u_{i t}^{\min *} u_{j t}^{\min *}}, \end{aligned} $$

    其中，κ=1, 2, …, 5; η=1, 2, …, 5; yitmin * = |uitmin *-ui(t-1)min *|+(uitmin *-ui(t-1)min *)，zitmin *=|uitmin *-ui(t-1)min *|-(uitmin *-ui(t-1)min *)。

    步骤2：计算第t (t=1, 2, …, T)期多阶段赋权有向图第1次迭代的离散状态和边的权重。

    步骤2.1：计算第t (t=1, 2, …, T)期第1次迭代的离散状态。

    第t期第1次迭代的离散状态为：

    $$ X_{\gamma t}^{(1)}=X_{t}^{\min }+\frac{X_{t}^{\max }-X_{t}^{\min }}{4}(\gamma-1), $$

    其中，Xtmin和Xtmax是E(Xt)的最小值和最大值，Xγt(1)是第1次迭代第t期的多阶段赋权有向图中第γ (γ=1, 2, …, 5)个状态。

    步骤2.2：计算第t (t=1, 2, …, T)期第1次迭代边的权重。

    已知X0和Xγt(1)，运用序列二次规划和不等式组的旋转算法[16]求解以下模型：

    $$ \max E\left(R_{{\rm{f}} t} X_{\gamma(t-1)}^{(1)}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i t}-R_{{\rm{f}} t}\right) u_{i t}-\sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left(y_{i t}+z_{i t}\right)- \\ \quad \eta_{t} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \sigma_{i j t} u_{i t} u_{j t}}\\ \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} E\left(X_{\gamma t}^{(1)}\right)=E\left(R_{{\rm{f}} t} X_{\gamma(t-1)}^{(1)}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i t}-R_{\mathrm{f}t}\right) u_{i t}- \\ \quad\sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left(y_{i t}+z_{i t}\right), \\ R_{\mathrm{f}(t+1)}=b_{t} R_{\mathrm{f}t}^{\varphi_{t}}, \\ E\left(X_{\gamma(t-1)}^{(1)}\right)-\sum\limits_{i=1}^{n} u_{i t} \geqslant u_{\mathrm{f}t}^{\mathrm{b}}, \\ l_{i t} \leqslant u_{i t} \leqslant p_{i t} \quad(i=1, \cdots, n), \\ l_{i t}-p_{i(t-1)} \leqslant y_{i t}-z_{i t} \leqslant p_{i t}-l_{i(t-1)} \quad(i=1, \cdots, n), \\ y_{i t} \geqslant 0 \quad(i=1, \cdots, n), \\ z_{i t} \geqslant 0 \quad(i=1, \cdots, n), \end{array}\right. $$ (19)

    得到第1次迭代时第t (t=1, 2, …, T)期的最优投资策略ut(1) *=(u1t(1) *, u2t(1) *, …, unt(1) *)′。那么，第1次迭代第t (t=1, 2, …, T)期的多阶段赋权有向图边的权重为：

    $$ \begin{gathered} F_{t(\kappa, \eta)}^{(1)}=E\left(R_{{\rm{f}} t} X_{\gamma(t-1)}^{(1)}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i t}-R_{{\rm{f}} t}\right) u_{i t}^{(1) *}- \\ \sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left(y_{i t}^{(1) *}+z_{i t}^{(1) *}\right)-\eta_{t} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \sigma_{i j t} u_{i t}^{(1) *} u_{i t}^{(1) *}}, \end{gathered} $$

    其中，yit(1) *=|uit(1) *-ui(t-1)(1) *|+(uit(1) *-ui(t-1)(1) *)，zit(1) *=|uit(1) *-ui(t-1)(1) *|-(uit(1) *-ui(t-1)(1) *)。第1次迭代的多阶段赋权有向图的最长路径F(1)的计算公式如下：

    $$ F^{(1)}=F_{1}^{(1)} \otimes F_{2}^{(1)} \otimes \cdots \otimes F_{T}^{(1)}, $$

    其中，F1(1)=(F1(κ, η)(1))1×5，F2(1)=(F2(κ, η)(1))5×5，…，FT(1)=(FT(κ, η)(1))5×5。

    步骤3：计算第t (t=1, 2, …, T)期多阶段赋权有向图第m+1 (m=1, 2, …)次迭代的离散状态和边的权重。

    步骤3.1：计算第t (t=1, 2, …, T)期第m+1次迭代的离散状态。

    已知第m次迭代的最长路径为X0→Xγ*1(m)→Xγ*2(m)→…→Xγ*T(m)，其中γ*表示第m次迭代第t期最优状态的位置。第t (t=1, 2, …, T)期多阶段赋权有向图第m+1 (m=1, 2, …)次迭代中各期的离散状态为(X1t(m+1), X2t(m+1), X3t(m+1), X4t(m+1), X5t(m+1))。其中，X1t(m+1)=Xtmax，X2t(m+1)=0.5(Xtmax+Xγ*t(m))，X3t(m+1)=Xγ*t(m)，X4t(m+1)=0.5(Xγ*t(m)+Xtmin)，X5t(m+1)=Xtmin。

    步骤3.2：计算第t (t=1, 2, …, T)期第m+1 (m=1, 2, …)次迭代边的权重。

    已知X0和Xγt(m+1)，运用序列二次规划和不等式组的旋转算法[16]求解以下模型：

    $$ \max E\left(R_{{\rm{f}} t} X_{\gamma(t-1)}^{(m+1)}\right)+\sum\limits_{i=1}^n E\left(R_{i t}-R_{{\rm{f}} t}\right) u_{i t}-\sum\limits_{i=1}^n c_{i t}\left(y_{i t}+z_{i t}\right)-\\ \;\;\;\;\;\;\;\; \eta_{t} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \sigma_{i j t} u_{i t} u_{j t}}\\ \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} E\left(X_{\gamma t}^{(m+1)}\right)=E\left(R_{{\rm{f}} t} X_{\gamma(t-1)}^{(m+1)}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{i t}-R_{{\rm{f}} t}\right) u_{i t}-\\ \;\;\;\;\;\;\;\; \sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left(y_{i t}+z_{i t}\right), \\ R_{\mathrm{f}(t+1)}=b_{t} R_{\mathrm{f}t}^{\varphi_{t}}, \\ E\left(X_{\gamma(t-1)}^{(m+1)}\right)-\sum\limits_{i=1}^{n} u_{i t} \geqslant u_{\mathrm{f}t}^{\mathrm{b}}, \\ l_{i t} \leqslant u_{i t} \leqslant p_{i t} \quad(i=1, \cdots, n), \\ l_{i t}-p_{i(t-1)} \leqslant y_{i t}-z_{i t} \leqslant p_{i t}-l_{i(t-1)} \quad(i=1, \cdots, n),\\ y_{i t} \geqslant 0 \quad(i=1, \cdots, n), \\ z_{i t} \geqslant 0 \quad(i=1, \cdots, n), \end{array}\right. $$ (20)

    得到第t (t=1, 2, …, T)期第m+1 (m=1, 2, …)次迭代的最优投资策略ut(m+1)* = (u1t(m+1)*, u2t(m+1)*, …, unt(m+1)*)′。那么，第t (t=1, 2, …, T)期第m+1 (m=1, 2, …)次迭代的多阶段赋权有向图边的权重为：

    $$ \begin{aligned} & F_{t(k, \eta)}^{(m+1)}=E\left(R_{{\rm{f}} t} X_{\gamma(t-1)}^{(m+1)}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} E\left(R_{it}-R_{{\rm{f}} t}\right) u_{i t}^{(m+1) *}- \\ & \sum\limits_{i=1}^{n} c_{i t}\left(y_{i t}^{(m+1) *}+z_{i t}^{(m+1) *}\right)-\eta_{t} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \sigma_{i j t} u_{i t}^{(m+1) *} u_{i t}^{(m+1) *}}, \end{aligned} $$

    其中，

    $$ \begin{aligned} & y_{i t}^{(m+1) *}=\left|u_{i t}^{(m+1) *}-u_{i(t-1)}^{(m+1) *}\right|+\left(u_{i t}^{(m+1) *}-u_{i(t-1)}^{(m+1) *}\right), \\ & z_{i t}^{(m+1) *}=\left|u_{i t}^{(m+1) *}-u_{i(t-1)}^{(m+1) *}\right|-\left(u_{i t}^{(m+1) *}-u_{i(t-1)}^{(m+1) *}\right)。 \end{aligned} $$

    第m+1 (m=1, 2, …)次迭代的多阶段赋权有向图的最长路径F(m+1)的计算公式如下：

    $$ F^{(m+1)}=F_{1}^{(m+1)} \otimes F_{2}^{(m+1)} \otimes \cdots \otimes F_{T}^{(m+1)}, $$

    其中，F1(m+1)=(F1(κ, η)(m+1))1×5，F2(m+1)=(F2(κ, η)(m+1))5×5，…，FT(m+1)=(FT(κ, η)(m+1))5×5。

    步骤4：输出最优解。若|F(m+1)-F(m)|≤10-6，则最长路径F(m+1)对应的最优解为模型(15)的最优解。否则，令m=m+1, 转步骤3重新迭代。

    4.   实证研究

    本文以2009年1月至2022年12月美国国债的月利率为样本，运用多阶段Vasicek随机利率模型估计无风险资产收益率。假设一位投资者从NASDAQ选择了30只股票进行投资。股票代码为S1(AABA.O)，S2(AAME.O)，S3(AAPPL.O)，S4(AAON.O)，S5(AAWW.O)，S6(AAXN.O)，S7(CAMT.O)，S8(NTES.O)，S9(ABMD.O)，S10(ACAD.O)，S11(CGNX.O)，S12(ACHN.O)，S13(CHNA.O)，S14(ACIW.O)，S15(CNBKA.O)，S16(INTC.O)，S17(ADBE.O)，S18(ADP.O)，S19(ADSK.O)，S 20 (COKE.O)，S21(CTRP.O)，S 22 (GOOGL.O)，S 23 (VRTX.O)，S 24 (MSFT.O)，S 25 (AGNC.O)，S 26 (AIMC.O)，S 27 (AMKR.O)，S 28 (SBUK.O)，S 29 (NDAQ.O)，S 30 (AMGN.O)。样本数据为2009年1月至2022年12月的月收益率序列，以每个月作为一个周期进行处理。投资者的初始财富X0=1 000 000元，折现因子ωt=1 (t=1, 2, …, 5)，任意给定的2个连续时期之间的风险资产交易成本为cit=0.003 (i=1, 2, …, 30；t=1, 2, …, 5)，交易量下界lit=0(i=1, 2, …, 30；t=1, 2, …, 5)，进行连续5期投资，投资者在每期期初可调整资产配置策略。本文运用移动平均法估计风险资产i (i=1, 2, …, 30)第t (t=1, 2, …, 5)期的期望收益率，无风险资产的随机利率使用多阶段Vasicek随机利率模型计算。根据2009年1月至2022年12月的美国国债月度利率，无风险资产的收益率为：E(Rf1)=1.000 984 0, E(Rf2)=1.000 984 1, E(Rf3)=1.000 984 6, E(Rf4)=1.000 984 9, E(Rf5)=1.000 985 1。

    下面运用离散近似迭代法求解多阶段均值-标准差投资组合模型(V-M-SD)的最优时间一致性策略，并探讨模型中参数变动对最优时间一致性投资策略的终期财富和终期风险的影响:

    (1) 计算uftb=-500 000元，pit=200 000元，风险偏好系数ηt=0.1时投资组合的最优投资策略。由结果(表 1)可知：整个投资过程中的最优投资策略包含的非零资产为：资产3、资产6、资产7、资产8、资产9、资产10、资产11、资产12、资产17、资产23、资产28，最优投资策略对应的终期财富是1 242 935元。

    表  1  uftb=-500 000元，pit=200 000元，ηt=0.1时投资组合的最优投资策略
    Table  1.  The optimal portfolio when uftb=-500 000 yuan, pit=200 000 yuan, ηt=0.1
    投资阶段 最优投资策略 Xt/元
    第1期 u3=190 031.9元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u12=109 968.1元 1 057 236
    第2期 u3=184 138.6元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u11=132 103.0元, u12=30 056.4元, u28=200 000.0元 1 093 473
    第3期 u3=193 473.0元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u11=200 000.0元, u28=200 000.0元 1 143 694
    第4期 u3=200 000.0元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u11=200 000.0元, u17=43 694.0元, u28=200 000.0元 1 193 982
    第5期 u3=200 000.0元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u11=200 000.0元, u12=4 684.2元, u23=89 297.8元 1 242 935
    注：其他未显示的资产投资额为零元。
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    (2) 计算uftb=-1 000 000元，风险偏好系数ηt=0.1时投资组合的最优投资策略。由结果(表 2)可知：整个投资过程中的最优投资策略包含的非零资产为：资产3、资产4、资产6、资产7、资产8、资产9、资产10、资产11、资产12、资产17、资产21、资产23、资产24、资产26、资产28，最优投资策略对应的终期财富是1 282 354元。

    表  2  uftb=-1 000 000元，pit=200 000元，ηt=0.1时投资组合的最优投资策略
    Table  2.  The optimal portfolio when uftb=-1 000 000 yuan, pit=200 000 yuan, ηt=0.1
    投资阶段 最优投资策略 Xt/元
    第1期 u3=200 000.0元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u12=200 000.0元, u17=200 000.0元, u28=200 000.0元 1 046 298
    第2期 u3=200 000.0元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u12=145 001.9元, u17=200 000.0元, u21=101 296.1元, u28=200 000.0元 1 104 190
    第3期 u3=193 473.0元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u11=200 000.0元, u28=200 000.0元 1 164 925
    第4期 u3=193 473.0元, u4=1 224 601.0元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u11=200 000.0元, u12=14 591.0元, u17=200 000.0元, u23=200 000.0元, u26=69 258.8元, u28=200 000.0元 1 224 601
    第5期 u3=200 000.0元, u4=200 000.0元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u11=200 000.0元, u12=24 287.3元, u17=200 000.0元, u23=200 000.0元, u24=313.7元, u28=200 000.0元 1 282 354
    注：其他未显示的资产投资额为零元。
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    对比表 1和表 2可知，当其他条件保持不变，借贷限制越高，实现的最终财富水平越高。这是因为借贷限制高意味着投资者可借入更多的无风险资产投资于表现较好的风险资产，从而实现更高的收益水平，因此实现的最终财富水平较高。

    (3) 计算pit=200 000元，ηt∈[0, 0.9], uftb分别为-500 000、-1 000 000元时的终期财富和标准差。由结果(图 2)可知：①当风险偏好系数ηt∈[0，0.6]时，风险偏好系数ηt越大，其终期财富越小，终期标准差越小。这是因为风险规避系数ηt越大意味着投资者越厌恶风险，此时的投资者偏向于保守策略，实现的终期财富水平较低。②当ηt∈[0.6，0.9]时，终期财富不随ηt的变动而变化。这是因为当风险规避系数ηt达到一定水平时，此时投资者是风险规避型投资者，财富将集中投资于无风险资产，因此风险规避系数ηt增加不会引发终期财富水平的变动。③当风险偏好系数ηt∈[0，0.6]时，与uftb=-1 000 000元时投资组合的单位终期标准差相比，uftb=-500 000元时投资组合的单位终期标准差更大。这是因为uftb=-500 000元时，投资者可能因为预算约束无法投资表现更好的资产，当要实现的终期财富相同时，uftb=-500 000元时投资组合的单位终期标准差更大。

    图  2  uftb=-500 000元和uftb=-1 000 000元时的终期财富与标准差(pit=200 000元)
    Figure  2.  The terminal wealth and standard deviation when uftb=-500 000 yuan and uftb=-1 000 000 yuan(pit=200 000 yuan)
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    (4) 计算uftb=-500 000元，ηt∈[0, 0.9]，pit分别为200 000、400 000元时的终期财富和标准差。由结果(图 3)可知：①当风险偏好系数ηt∈[0, 0.6] 时，风险偏好系数ηt越大，其终期财富越小，终期标准差与风险偏好系数ηt呈负相关关系。这是因为ηt越大，投资者采取的投资策略更为保守，因而实现的终期财富水平较低，面临的终期标准差也较低。②当ηt∈[0, 0.6]时，终期财富不随ηt的变动而变化。③当风险偏好系数ηt∈[0, 0.6]时，与pit =200 000元时投资组合的单位终期标准差相比，pit =400 000元时投资组合的单位终期标准差更小。这是因为pit越大，意味着投资者可将财富更多地配置于表现较好的资产，因而当要实现的终期财富水平相同时，投资组合面临的风险水平较低，从而投资组合的单位终期标准差更小。

    图  3  pit=200 000元和pit=400 000元时的终期财富和标准差(uftb=-500 000元)
    Figure  3.  The terminal wealth and standard deviation when pit=200 000 yuan and pit=400 000 yuan(uftb=-500 000 yuan)
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    5.   结论

    本文考虑交易成本、借贷约束、阈值约束和随机利率，构建了多阶段均值-标准差投资组合模型(V-M-SD)。由于标准差的不可分性，预先给定的策略不满足时间一致性特征，本文运用博弈论将V-M-SD模型转化为时间一致的动态优化问题，并运用离散近似迭代法求解。实证研究表明：(1)在其他条件相同时，最优投资组合的终期财富和终期标准差均与风险偏好系数反向变动。(2)当风险偏好系数小于0.6时，投资者可借入的无风险资产越高，最优投资组合的终期财富越高，终期标准差越大；当风险偏好系数大于0.6时，最优投资组合的终期财富不随风险偏好系数的变动而变化。(3)当风险偏好系数小于0.6时，风险资产的投资上界越高，最优投资组合的终期财富越高，终期标准差较大；当风险偏好系数大于0.6时，最优投资组合的终期财富不随风险偏好系数的变动而变化。

    由于真实的投资环境中存在管理成本，投资者往往投资较少数目的资产，因此，后续可进一步考虑当存在基数约束时，具有Vasicek随机利率的多阶段均值-标准差投资组合的时间一致性策略的变化情况。

  • 图  1   多阶段有向赋权图

    Figure  1.   Multi-period directed weighted graph

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    图  2   uftb=-500 000元和uftb=-1 000 000元时的终期财富与标准差(pit=200 000元)

    Figure  2.   The terminal wealth and standard deviation when uftb=-500 000 yuan and uftb=-1 000 000 yuan(pit=200 000 yuan)

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    图  3   pit=200 000元和pit=400 000元时的终期财富和标准差(uftb=-500 000元)

    Figure  3.   The terminal wealth and standard deviation when pit=200 000 yuan and pit=400 000 yuan(uftb=-500 000 yuan)

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    表  1   uftb=-500 000元，pit=200 000元，ηt=0.1时投资组合的最优投资策略

    Table  1   The optimal portfolio when uftb=-500 000 yuan, pit=200 000 yuan, ηt=0.1

    投资阶段 最优投资策略 Xt/元
    第1期 u3=190 031.9元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u12=109 968.1元 1 057 236
    第2期 u3=184 138.6元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u11=132 103.0元, u12=30 056.4元, u28=200 000.0元 1 093 473
    第3期 u3=193 473.0元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u11=200 000.0元, u28=200 000.0元 1 143 694
    第4期 u3=200 000.0元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u11=200 000.0元, u17=43 694.0元, u28=200 000.0元 1 193 982
    第5期 u3=200 000.0元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u11=200 000.0元, u12=4 684.2元, u23=89 297.8元 1 242 935
    注：其他未显示的资产投资额为零元。
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    表  2   uftb=-1 000 000元，pit=200 000元，ηt=0.1时投资组合的最优投资策略

    Table  2   The optimal portfolio when uftb=-1 000 000 yuan, pit=200 000 yuan, ηt=0.1

    投资阶段 最优投资策略 Xt/元
    第1期 u3=200 000.0元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u12=200 000.0元, u17=200 000.0元, u28=200 000.0元 1 046 298
    第2期 u3=200 000.0元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u12=145 001.9元, u17=200 000.0元, u21=101 296.1元, u28=200 000.0元 1 104 190
    第3期 u3=193 473.0元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u11=200 000.0元, u28=200 000.0元 1 164 925
    第4期 u3=193 473.0元, u4=1 224 601.0元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u11=200 000.0元, u12=14 591.0元, u17=200 000.0元, u23=200 000.0元, u26=69 258.8元, u28=200 000.0元 1 224 601
    第5期 u3=200 000.0元, u4=200 000.0元, u6=200 000.0元, u7=200 000.0元, u8=200 000.0元, u9=200 000.0元, u10=200 000.0元, u11=200 000.0元, u12=24 287.3元, u17=200 000.0元, u23=200 000.0元, u24=313.7元, u28=200 000.0元 1 282 354
    注：其他未显示的资产投资额为零元。
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出版历程
  • 收稿日期:  2023-03-14
  • 网络出版日期:  2024-06-21
  • 刊出日期:  2024-04-24

目录

摘要
HTML全文

  • 1.   多阶段投资组合模型

  • 1.1   多阶段投资组合的目标函数及现实约束

  • 1.2   多阶段投资组合模型的构建

  • 2.   多阶段投资组合模型的时间一致性策

  • 3.   算法求解

  • 3.1   各阶段状态变量的最小值和最大值

  • 3.2   离散近似迭代法

  • 4.   实证研究

  • 5.   结论

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