G-等度连续条件下若干点集的研究

冀占江

冀占江. G-等度连续条件下若干点集的研究[J]. 华南师范大学学报(自然科学版), 2023, 55(6): 123-127. DOI: 10.6054/j.jscnun.2023086
引用本文: 冀占江. G-等度连续条件下若干点集的研究[J]. 华南师范大学学报(自然科学版), 2023, 55(6): 123-127. DOI: 10.6054/j.jscnun.2023086
JI Zhanjiang. The Research of Some Point Set Under the Condition of G-equicontinuity[J]. Journal of South China Normal University (Natural Science Edition), 2023, 55(6): 123-127. DOI: 10.6054/j.jscnun.2023086
Citation: JI Zhanjiang. The Research of Some Point Set Under the Condition of G-equicontinuity[J]. Journal of South China Normal University (Natural Science Edition), 2023, 55(6): 123-127. DOI: 10.6054/j.jscnun.2023086

G-等度连续条件下若干点集的研究

基金项目: 

广西自然科学基金资助项目 2020JJA110021

广西自然科学基金资助项目 2018JJB170034

广西高校中青年教师科研基础能力提升项目 2019KY0681

梧州学院校级重点项目 2020B007

详细信息
    通讯作者:

    冀占江,Email:1395954261@qq.com

  • 中图分类号: O189.11

The Research of Some Point Set Under the Condition of G-equicontinuity

  • 摘要:

    在映射fG-等度连续的条件下,研究了G-链回归点、G-非游荡点、G-极限点和G-回归点之间的关系,得到如下结论:(1)RG(f)=WG(f)=ΩG(f); (2)WG(f)=CRG(f)=n=1fn(X); (3)fG-等度连续的当且仅当WG(f)中的所有点都是G-等度连续点。以上结论充实了度量G-空间中G-链回归点、G-非游荡点、G-极限点和G-回归点的理论。

    Abstract:

    The relationship among G-chain recurrent point, G-nonwandering point, G-limit point and G-recurrent point were studied under the condition that the map f is G-equicontinuous. The following conclusions are obtained: (1)RG(f)=WG(f)=ΩG(f); (2)WG(f)=CRG(f)=n=1fn(X); (3)f is G-equicontinuous if and only if all point in WG(f) are G-equicontinuous points. The above conclusions enrich the theory of G-chain recurrent point, G-nonwandering point, G-limit point, and G-recurrent point in metric G-space.

  • 1p+1q=1(p>1)α, βRK(x, y)非负可测,若Lαp(0,+)={f(x)0:fp,α=(+0xαfp(x)dx)1/p<+}, 则称不等式

    +0+0K(x,y)f(x)g(y)dxdyMfp,αgq,β

    为Hilbert型积分不等式. 由于此类不等式与积分算子T

    T(f)(y)=+0K(x,y)f(x)dx

    有密切的联系,故而Hilbert型积分不等式对于研究算子T的有界性与算子范数有重要意义.

    1991年,XU和GAO[1]首次提出了研究Hilbert型不等式的权系数方法. 该方法的核心是:引入2个搭配参数ab,利用Hölder不等式,可得到如下形式的不等式:

    +0+0K(x,y)f(x)g(y)dxdyW1/p1(b,p)W1/q2(a,q)(+0xα(a,b)fp(x)dx)1/p×(+0yβ(a,b)gq(y)dx)1/q.
    (1)

    一般地,随意选取的搭配参数ab并不能使式(1)的常数因子W11/p(b, p)W21/q(a, q)最佳. 已有的相关研究[2-13]基本上都是凭借丰富的经验和娴熟的分析技巧选取适当的搭配参数ab,从而获得最佳的Hilbert型不等式.

    若选取的搭配参数ab能够使式(1)的常数因子最佳,则称其为适配参数或适配数. 文献[14]曾讨论了齐次核的Hilbert型级数不等式的适配参数问题,本文将对拟齐次核的Hilbert型积分不等式讨论搭配参数ab成为适配数的充分必要条件,并讨论其应用.

    G(u, v)是λ阶齐次函数,λ1λ2>0,则称K(x, y)=G(xλ1, yλ2)为拟齐次函数. 显然K(x, y)为拟齐次函数等价于:对t>0,有

    K(tx,y)=tλ1λK(x,tλ1/λ2y),K(x,ty)=tλ2λK(tλ2/λ1x,y).

    下面给出本文证明过程中所需的引理.

    引理1  设1/p+1/q=1 (p>1),a, b, λRλ1λ2>0,G(u, v)是λ阶齐次非负函数,K(x, y)=G(xλ1, yλ2),aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+ λ,记

    W1(b,p)=+0K(1,t)tbp dt,W2(a,q)=+0K(t,1)taq dt,

    W1(b, p)/λ1=W2(a, q)/λ2,且

    ω1(b,p,x)=+0K(x,y)ybp dy=xλ1(λbp/λ2+1/λ2)W1(b,p),ω2(a,q,y)=+0K(x,y)xaq dx=yλ2(λaq/λ1+1/λ1)W2(a,q).

    证明   由aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+ λ,可得- λ1λ + λ1bp/λ2-λ1/λ2-1=-aq. 则有

    W1(b,p)=+0tλ2λK(tλ2/λ1,1)tbp dt=      λ1λ2+0K(u,1)uλ1λ+λ1bp/λ2λ1/λ21 du=      λ1λ2+0K(u,1)uaq du=λ1λ2W2(a,q),

    W1(b, p)/λ1=W2(a, q)/λ2.

    作变换y=xλ1/λ2t,有

    ω1(b,p,x)=+0xλ1λK(1,xλ1/λ2y)ybp dy=      xλ1(λbp/λ2+1/λ2)+0K(1,t)tbp dt=      xλ1(λbp/λ2+1/λ2)W1(b,p).

    同理可证ω2(a, q, y)=yλ2(λaq/λ1+1/λ1)W2(a, q). 证毕.

    定理1   设1/p+1/q=1 (p>1),a, b, λRλ1λ2>0,G(u, v)是λ阶齐次非负可测函数,K(x, y)=G(xλ1, yλ2),W1(b, p)与W2(a, q)如引理1所定义. 那么

    (1) 若α=λ1[λ+1λ2+p(aλ1bλ2)],β=λ2[λ+1λ1+p(bλ2aλ1)], 则有

    +0+0K(x,y)f(x)g(y)dxdyW1/p1(b,p)W1/q2(a,q)fp,αgq,β,
    (2)

    其中, f(x)Lαp(0,+),g(y)Lβq(0,+).

    (2) 式(2)中的常数因子W11/p(b, p)W21/q(a, q)是最佳的,当且仅当aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+ λW1(b, p)和W2(a, q)都收敛. 当aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+ λ时,式(2)化为

    +0+0K(x,y)f(x)g(y)dxdy        W0|λ1|1/q|λ2|1/pfp,apq1gq,bpq1,
    (3)

    其中, W0=|λ1|W2(a, q)= |λ2|W1(b, p).

    证明  (i)选择ab为搭配参数. 根据Hölder不等式和引理1,利用权系数方法,有

    +0+0K(x,y)f(x)g(y)dxdy=+0+0(xaybf(x))(ybxag(y))K(x,y)dxdy(+0+0xapybpfp(x)K(x,y)dxdy)1/p×(+0+0ybqxaqgq(y)K(x,y)dxdy)1/q=(+0xapfp(x)ω1(b,p,x)dx)1/p×(+0ybqgq(y)ω2(a,q,y)dy)1/q=W1/p1(b,p)W1/q2(a,q)×(+0xap+λ1(λbp/λ2+1/λ2)fp(x)dx)1/p×(+0ybq+λ2(λaq/λ1+1/λ1)gq(y)dx)1/q=W1/p1(b,p)W1/q2(a,q)fp,αgq,β,

    故式(2)成立.

    (ii) 充分性:设aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+ λW1(b, p)和W2(a, q)收敛. 由引理1,有W1(b, p)/λ1=W2(a, q)/λ2,故

    W1/p1(b,p)W1/q2(a,q)=(λ2λ1)1/qW1(b,p)=W0|λ1|1/q|λ2|1/p,

    α=apq-1,β=bpq-1,于是式(2)可化为式(3).

    设式(3)的最佳常数因子为M0,则M0W0/(|λ11/q|λ2|1/p),且用M0取代式(3)中的常数因子后,式(3)仍然成立.

    取充分小的ε>0及δ>0,令

    f(x)={x(apq|λ1|ε)/p(x1),0(0<x<1);g(y)={y(bpq|λ2|ε)/q(yδ),0(0<y<δ).

    fp,apq1gq,bpq1=(+1x1|λ1|εdx)1/p(+δy1|λ2|εdy)1/q=(1|λ1ε|)1/p(1|λ2|εδ|λ2|ε)1/q=1ε|λ1|1/p|λ2|1/qδ|λ2|ε/q,+0+0K(x,y)f(x)g(y)dxdy=+1xaq|λ1|ε/p(+δybp|λ2|ε/qK(x,y)dy)dx=+1xaq|λ1|ε/p+λλ1(+δybp|λ2|ε/qK(1,xλ1/λ2y)dy)dx=+1x1|λ1|ε(+xλ1/λ2δtbp|λ2|ε/qK(1,t)dt)dx+1x1|λ1|ε(+δtbp|λ2|ε/qK(1,t)dt)dx=1|λ1|ε+δtbp|λ2|ε/qK(1,t)dt.

    于是

    1|λ1|+δtbp|λ2|ε/qK(1,t)dtM0|λ1|1/p|λ2|1/qδ|λ2|ε/q.

    先令ε→0+,再令δ→0+,得

    W1(b,p)=+0tbpK(1,t)dtM0|λ1|1/p|λ2|1/q.

    再根据引理1,可得到W0/(|λ1|1/q|λ2|1/p)≤M0. 所以式(3)的最佳常数因子M0=W0/(|λ1|1/q|λ2|1/p).

    必要性:设式(2)的常数因子W11/p(b, p)W21/q(a, q)是最佳的,则W1(b, p)和W2(a, q)是收敛的. 下证aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+ λ.

    1λ1aq+1λ2bp(1λ1+1λ2+λ)=c,a1=aλ1cpq,b1=bλ2cpq,则

    α=λ1[λ+1λ2+p(a1λ1b1λ2)]=α1,β=λ2[λ+1λ1+p(b1λ2a1λ1)]=β1,W2(a,q)=+0K(t,1)taq dt=λ2λ1+0K(1,t)tbp+λ2c dt.

    于是可知式(2)等价于

    +0+0K(x,y)f(x)g(y)dxdyW1/p1(b,p)(λ2λ1+0K(1,t)tbp+λ2c dt)1/qfp,α1gq,β1.

    又经计算有a1q/λ1+b1p/λ2=1/λ1+1/λ2+ λα1=a1pq-1,β1=b1pq-1,故式(2)进一步等价于

    +0+0K(x,y)f(x)g(y)dxdyW1/p1(b,p)(λ2λ1+0K(1,t)tbp+λ2c dt)1/q×fp,a1pq1gq,b1pq1.
    (4)

    根据假设,式(4)的最佳常数因子是W11/p(b, p(λ2λ1+0K(1,t)tbp+λ2cdt)1/q. 又由1λ1a1q+1λ2b1p=1λ1+1λ2+λ及充分性的证明,可知式(4)的最佳常数因子为

    1|λ1|1/q|λ2|1/p(|λ2|+0K(1,t)tb1p dt)=(λ2λ1)1/q+0K(1,t)tbp+λ2c/q dt

    于是得到

    +0K(1,t)tbp+λ2c/q dt=W1/p1(b,p)(+0K(1,t)tbp+λ2c dt)1/q.
    (5)

    对于1和tλ2c/q,应用Hölder不等式,有

    +0K(1,t)tbp+λ2c/q dt=+0tλ2c/qK(1,t)tbp dt(+01pK(1,t)tbp dt)1/p(+0tλ2cK(1,t)tbp dt)1/q=W1/p1(b,p)(+0K(1,t)tbp+λ2c dt)1/q.
    (6)

    根据式(5),可知式(6)取等号. 又根据Hölder不等式取等号的条件,可得tλ2c/q=常数,故c=0,即aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+ λ1. 证毕.

    注1   定理1表明: 当且仅当aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+ λ时,搭配参数ab是适配参数. 因此,只要选取ab满足aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+ λ,就可以得到各种各样的具有最佳常数因子的Hilbert型积分不等式.

    推论1  设1/p+1/q=1 (p>1),λ1λ2>0,λ >0,1/r+1/s=1 (r>1),α=p(1- λλ1/r)-1,β=q(1- λλ2/s)-1,则

    +0+0f(x)g(y)(xλ1+yλ2)λdxdy1|λ1|1/q|λ2|1/p B(λr,λs)fp,αgq,β,
    (7)

    其中的常数因子是最佳的,f(x)∈Lpα(0, +∞),g(y)∈Lqβ(0, +∞).

    证明  记K(x, y)=G(xλ1, yλ2)=1/(xλ1+yλ2)λ,则G(u, v)是-λ阶齐次非负函数. 选取搭配参数a=1q(1λλ1r),b=1p(1λλ2s), 可得

    1λ1aq+1λ2bp=1λ1(1λλ1r)+1λ2(1λλ2s)=1λ1+1λ2λ,

    ab是适配参数. 又因为apq-1=p(1- λλ1/r)-1=αbpq-1=q(1- λλ2/s)-1=β,且

    W0=|λ2|W1(b,p)=|λ2|+01(1+tλ2)λtλλ2/s1 dt=+01(1+u)λuλ/s1 du=B(λs,λλs)=B(λr,λs).

    根据定理1,式(7)成立,且其常数因子是最佳的. 证毕.

    根据Hilbert型不等式与相应积分算子的关系理论,由定理1可得如下定理.

    定理2   设1/p+1/q=1 (p>1),a, b, λRλ1λ2>0,α=apq-1,β=bpq-1,G(u, v)是λ阶齐次非负可测函数,K(x, y)=G(xλ1, yλ2),且

    W1(b,p)=+0K(1,t)tbp dt<+,W2(a,q)=+0K(t,1)taq dt<+,

    则当aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+ λ时,积分算子T

    T(f)(y)=+0K(x,y)f(x)dx,f(x)Lαp(0,+)

    是从Lpα(0, +∞)到Lpβ(1-p)(0, +∞)的有界算子,且T的算子范数为

    T=|λ2|W1(b,p)|λ1|1/q|λ2|1/p=(λ2λ1)1/q+0K(1,t)tbp dt.

    推论2  设1/p+1/q=1 (p>1),λ1λ2>0,-1 < λ < min{1±4/λ1, 1±4/λ2},α=p[1+ λ1(λ -1)/2]-1,β=p[1+ λ2(λ -1)/2]-1,则积分算子T

    T(f)(y)=+0|xλ1yλ2|λmax{xλ1,yλ2}f(x)dx,f(x)Lαp(0,+)

    是从Lpα(0, +∞)到Lpβ(1-p)(0, +∞)的有界算子,且T的算子范数为

    T=1|λ1|1/q|λ2|1/p[ B(λ+1,1λ22λ2)+      B(λ+1,1λ2+2λ2)].

    证明  记K(x, y)=G(xλ1, yλ2)= |xλ1yλ2|λ/max{xλ1, yλ2},则G(u, v)是λ -1阶齐次函数. 取a= 1q[1+λ12(λ1)],b=1p[1+λ22(λ1)],则

    1λ1aq+1λ2bp=1λ1[1+λ12(λ1)]+1λ2[1+λ22(λ1)]=      1λ1+1λ2+λ1,

    ab是适配参数. 又apq1=p[1+λ12(λ1)]1=αbpq1=q[1+λ22(λ1)]1=β. 则

    (λ2λ1)1/q+0K(1,t)tbp dt=(λ2λ1)1/q+0|1tλ2|λmax{1,tλ2}t[1+λ2(λ1)/2]dt=1|λ1|1/q|λ2|1/p[ B(λ+1,1λ22λ2)+B(λ+1,1λ2+2λ2)]<+.

    根据定理2,知推论2成立. 证毕.

    推论3   设1/p+1/q=1 (p>1),1/r+1/s=1 (r>1),λ1λ2>0,α=p(1- λ1/r)-1,β=q(1- λ2/s)-1. 则积分算子T

    T(f)(y)=+0ln(xλ1/yλ2)xλ1yλ2f(x)dx,f(x)Lαp(0,+)

    是从Lpα(0, +∞)到Lpβ(1-p)(0, +∞)的有界算子,且T的算子范数为

    T=1|λ1|1/q|λ2|1/p[ζ(2,1r)+ζ(2,1s)],

    其中ζ(t, a)是Riemann函数.

    证明  记

    K(x,y)=G(xλ1,yλ2)=ln(xλ1/yλ2)xλ1yλ2,

    G(u, v)是-1阶齐次非负函数.

    取搭配参数a=1q(1λ1r),b=1p(1λ2s),则

    1λ1aq+1λ2bp=1λ1(1λ1r)+1λ2(1λ2s)=1λ1+1λ21,

    ab是适配参数. 又apq-1=p(1- λ1/r)-1=αbpq-1=q(1- λ2/s)-1=β,且

    (λ2λ1)1/q+0K(1,t)tbp dt=(λ2λ1)1/q+0ln(tλ2)1tλ2tλ2/s1 dt=1|λ1|1/q|λ2|1/p[ζ(2,1r)+ζ(2,1s)]<+

    根据定理2,知推论3成立. 证毕.

  • [1] 冀占江, 覃桂茳, 时伟. 群作用下逆极限空间中移位映射的动力学性质[J]. 安徽大学学报(自然科学版), 2020, 44(5): 41-45.

    JI Z J, QING G J, SHI W. Dynamical properties of the shift map in inverse limit space of group action[J]. Journal of Anhui University(Natural Science Edition), 2020, 44(5): 41-45.

    [2] 曹毅, 吴晓荣. 正上密度回归点集的若干性质[J]. 福州大学学报(自然科学版), 2016, 44(3): 401-404.

    CAO Y, WU X R. Some properties of positive upper density recurrence points[J]. Journal of Fuzhou University(Natural Science Edition), 2016, 44(3): 401-404.

    [3] 冀占江. 群作用下逆极限空间上移位映射的G非游荡点与G链回归点[J]. 湖南师范大学自然科学学报, 2018, 41(6): 77-81.

    JI Z J. G-nonwandering points and G-chain recurrent points of the shift map in the inverse limit spaces of a topological group action[J]. Journal of Natural Science of Hunan Normal University, 2018, 41(6): 77-81.

    [4] 贺毅, 张君, 白丹莹. 逆极限空间转移映射非游荡集的中心测度[J]. 重庆工商大学学报(自然科学版), 2015, 32(5): 49-51.

    HE Y, ZHANG J, BAI D Y. Measurement of the center of the inverse limit space transition mapping none-wande-ring set[J]. Journal of Chongqing Technology and Business University(Natural Science Edition), 2015, 32(5): 49-51.

    [5] 霍展福. 类帐篷映射上的链回归点集研究[D]. 南宁: 广西大学, 2019.

    HUO Z F. Study on the sat of chain recurrent points on the tent-like mapping[D]. Nanning: Guangxi University, 2019.

    [6] 孙太祥, 席鸿建. 图映射的负极限集[J]. 中国科学: 数学, 2017, 47(5): 591-598.

    SUN T X, XI H J. Negative limit sets of graph maps[J]. Scientia Sinica: Mathematica, 2017, 47(5): 591-598.

    [7] 罗飞, 金渝光. 强一致收敛条件下序列系统与极限系统的关联性[J]. 重庆师范大学学报(自然科学版), 2015, 32(4): 78-80.

    LUO F, JIN Y G. The condition of strong uniform convergence of relationship between sequence system and limit the system[J]. Journal of Chongqing Normal University(Natural Science), 2015, 32(4): 78-80.

    [8] 孙太祥, 曾凡平, 秦斌, 等. 广义树映射的吸引中心和w-极限集空间[J]. 中国科学: 数学, 2018, 48(9): 1131-1142.

    SUN T X, ZENG F P, QING B, et al. The attracting centre and space of w-limit sets of a general tree map[J]. Scientia Sinica: Mathematica, 2018, 48(9): 1131-1142.

    [9] 耿雪萍. 动力系统中几类点集的不变性研究[D]. 重庆: 重庆师范大学, 2015.

    GENG X P. Study invariance of several points set in dynamical system[D]. Chongqing: Chongqing Normal University, 2015.

    [10] 陈彬. 动力系统中的回复性与混沌行为[D]. 南京: 南京大学, 2016.

    CHEN B. Recurrence and chaotic behavior of dynamical systems[D]. Nanjing: Nanjing University, 2016.

    [11] 曾眺英. 有向部分半群作用下的敏感性[J]. 华南师范大学学报(自然科学版), 2021, 53(6): 105-110. doi: 10.6054/j.jscnun.2021099

    ZENG T Y. The sensitivity under directed partial semi-group actions[J]. Journal of South China Normal University(Natural Science Edition), 2021, 53(6): 105-110. doi: 10.6054/j.jscnun.2021099

    [12]

    AHMADI S A. Invariants of topological G-conjugacy on G-spaces[J]. Mathematica Moravica, 2014, 18: 67-75. doi: 10.5937/MatMor1401067A

    [13]

    JI Z J. The G-sequence shadowing property and G-equicontinuity of the inverse limit spaces under group action[J]. Open Mathematics, 2021, 19: 1290-1298. doi: 10.1515/math-2021-0102

    [14]

    BALOGH Z, LAVER V. Unitary subgroups of commutative group algebras of the characteristic two[J]. Ukrainian Mathematical Journal, 2020, 72: 871-879. doi: 10.1007/s11253-020-01829-3

    [15]

    CHOI T, KIM J. Decomposition theorem on G-spaces[J]. Osaka Journal of Mathematics, 2009, 46: 87-104.

  • 期刊类型引用(1)

    1. 肖世伟,李承凯,杨美娜,冯祥虎,孙国萃,杜军. MIPS指令集的流水线CPU模型机设计. 单片机与嵌入式系统应用. 2023(02): 15-18 . 百度学术

    其他类型引用(1)

计量
  • 文章访问数:  53
  • HTML全文浏览量:  9
  • PDF下载量:  34
  • 被引次数: 2
出版历程
  • 收稿日期:  2022-06-07
  • 网络出版日期:  2024-02-26
  • 刊出日期:  2023-12-24

目录

/

返回文章
返回