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G-等度连续条件下若干点集的研究

冀占江

冀占江. G-等度连续条件下若干点集的研究[J]. 华南师范大学学报(自然科学版), 2023, 55(6): 123-127. DOI: 10.6054/j.jscnun.2023086
引用本文: 冀占江. G-等度连续条件下若干点集的研究[J]. 华南师范大学学报(自然科学版), 2023, 55(6): 123-127. DOI: 10.6054/j.jscnun.2023086
JI Zhanjiang. The Research of Some Point Set Under the Condition of G-equicontinuity[J]. Journal of South China Normal University (Natural Science Edition), 2023, 55(6): 123-127. DOI: 10.6054/j.jscnun.2023086
Citation: JI Zhanjiang. The Research of Some Point Set Under the Condition of G-equicontinuity[J]. Journal of South China Normal University (Natural Science Edition), 2023, 55(6): 123-127. DOI: 10.6054/j.jscnun.2023086

G-等度连续条件下若干点集的研究

基金项目: 

广西自然科学基金资助项目 2020JJA110021

广西自然科学基金资助项目 2018JJB170034

广西高校中青年教师科研基础能力提升项目 2019KY0681

梧州学院校级重点项目 2020B007

详细信息
    通讯作者:

    冀占江,Email:1395954261@qq.com

  • 中图分类号: O189.11

The Research of Some Point Set Under the Condition of G-equicontinuity

  • 摘要:

    在映射fG-等度连续的条件下,研究了G-链回归点、G-非游荡点、G-极限点和G-回归点之间的关系,得到如下结论:(1)RG(f)=WG(f)=ΩG(f); (2)WG(f)=CRG(f)=n=1fn(X); (3)fG-等度连续的当且仅当WG(f)中的所有点都是G-等度连续点。以上结论充实了度量G-空间中G-链回归点、G-非游荡点、G-极限点和G-回归点的理论。

    Abstract:

    The relationship among G-chain recurrent point, G-nonwandering point, G-limit point and G-recurrent point were studied under the condition that the map f is G-equicontinuous. The following conclusions are obtained: (1)RG(f)=WG(f)=ΩG(f); (2)WG(f)=CRG(f)=n=1fn(X); (3)f is G-equicontinuous if and only if all point in WG(f) are G-equicontinuous points. The above conclusions enrich the theory of G-chain recurrent point, G-nonwandering point, G-limit point, and G-recurrent point in metric G-space.

  • 链回归点、非游荡点集、极限点集和回归点集是动力系统中重要的定义,在动力系统的发展中有着重要的作用,与系统的混沌、链传递密不可分。

    学者们对链回归点、非游荡点集、极限点集和回归点集的拓扑结构和动力学性质进行了研究[1-11]。如:证明了在群作用下的逆极限空间中移位映射的G-回归点集等于自映射在其G-回归点集形成的逆极限空间[1];在正上密度回归点集稠密的条件下,证明了可迁系统等价于E系统[2];证明了在群作用下的逆极限空间中移位映射的G-链回归点集等于自映射在其G-链回归点集形成的逆极限空间[3];证明了转移映射的强非游荡点集等于自映射f在其强非游荡点集形成的逆极限空间[4];研究了右高类帐篷映射链回归点集和强链回归点集的关系[5];指出映射f的每个负轨道的a-极限集是G上某个点的w-极限集[6];讨论了强一致收敛下序列映射非游荡点的保持性[7];在广义树上研究了连续自映射f回归点集的拓扑结构[8];证明了回归点集对映射f强不变[9];证明了x是一致回复点当且仅当x是Birkhoff回复点[10];在具备一定条件下的可交换的C-系统中,证明了任意传递点是等度连续点[11]

    链回归点一定是G-链回归点,非游荡点一定是G-非游荡点,极限点一定是G-极限点,回归点一定是G-回归点集,但反之不成立。本文尝试将链回归点、非游荡点集、极限点集和回归点集的动力学性质进行推广,在映射fG-等度连续的条件下,在度量G-空间中研究了G-链回归点、G-非游荡点、G-极限点和G-回归点之间的动力学关系,拟充实度量G-空间中G-链回归点、G-非游荡点、G-极限点和G-回归点的理论。

    定义1[1]  设X是度量空间,G是拓扑群。若映射φ: G×XX满足

    (1) ∀xX,有φ(e, x)=x,其中eG的单位元;

    (2) ∀xXg1, g2G, 有

    φ(g1,φ(g2,x))=φ(g1g2,x),

    则称(X, G, φ)是度量G-空间,简称X是度量G-空间。为了书写方便,通常将φ(g, x)简写为gx

    X是紧致度量空间,则称X是紧致度量G-空间。

    定义2[1]  设(X, d)是度量空间,如果f: XX是一一映射且ff-1都是连续的,则称f是同胚映射。

    定义3[1]  设(X, d)是度量G-空间,f: XX连续。如果∀x, yX,∃{ni}⊂N+,∃{gi}⊂G,使得limgifni(x)=y,则称yxG-极限点,用wG(x, f)表示。记W_{G}(f) \equiv \bigcup\limits_{x \in X} w_{G}(x, f),称WG(f)为fG-极限点集。

    定义4[1]  设(X, d)是度量G-空间,f: XX连续,xX。如果对任意包含x的开集U,∃n\mathbb{N}_+,∃gG,使得gfn(x)∈U,则称xfG-回归点。fG-回归点集用RG(f)表示。

    定义5[3]  设(X, d)是度量G-空间,f: XX连续,xX。如果对任意包含x的开集U,∃n\mathbb{N}_+,∃gG,使得gfn(U)∩U≠Ø,则称xfG-非游荡点。fG-非游荡点集用ΩG(f)表示。

    定义6[12]  设(X, d)是度量G-空间,f: XX连续。如果∀gG,∀xX,有f(gx)=gf(x),则称f是等价映射。

    定义7[12]  设(X, d)是度量G-空间,f: XX连续。如果∀gG,∀xX,∃hG,有f(gx)=hf(x),则称f是伪等价映射。

    定义8[13]  设(X, d)是度量G-空间,f: XX连续。如果∀ε>0,∃δ>0,当d(x, y) < δ时,∀n\mathbb{N}_+,∃gn, pnG,有d(fn(gnx), fn(pny)) < ε,则称fG-等度连续。

    备注1  G-等度连续点的概念见文献[13], 交换群的概念见文献[14]。

    定义9[15]  设(X, d)是度量G-空间,f: XX连续,ε>0。如果∀i(0≤i < n),∃giG,使得d(gif(xi), xi+1) < ε,则称{xi}i=0nf作用下的(G, ε)链。

    定义10[3]  设(X, d)是度量G-空间,f: XX连续。如果∀ε>0,存在f作用下的(G, ε)链{xi}i=0n,其中x0=xn=x,则称xfG-链回归点。fG-链回归点集用CRG(f)表示。

    引理1[1]  设(X, d)是紧致度量G-空间,G是紧致,则∀ε>0,∃0 < δ < ε,当d(u, v) < δ时,∀gG,有d(gu, gv) < ε

    引理2[3]  设(X, d)是度量G-空间,G是紧致的,f: XX同胚等价,则f(WG(f))=WG(f)。

    引理3[3]  设(X, d)是紧致度量G-空间,G是紧致的,f: XX同胚等价,则f(CRG(f))=CRG(f)。

    定理1  设(X, d)是紧致度量G-空间,G是可交换的紧致群,f: XX伪等价。若fG-等度连续的,则RG(f)=WG(f)=ΩG(f)。

    证明  由G-回归点、G-极限点和G-非游荡点的定义易知,RG(f)⊂WG(f)⊂ΩG(f)。下证:ΩG(f)⊂RG(f)。由引理1知,∀ε>0,∃0 < ε0 < ε,当d(z1, z2) < ε0时,∀sG,有

    d\left(s z_{1}, s z_{2}\right)<\varepsilon。 (1)

    ∃0 < ε1 < ε0,当d(z1, z2) < ε1时,∀sG,有

    d\left(s z_{1}, s z_{2}\right)<\frac{\varepsilon_{0}}{2}。 (2)

    fG-等度连续的,则对ε1>0,∃0 < ε2 < ε1,当d(z1, z2) < ε2时,∀n≥0,∃gn, knG,使得

    d\left(f^{n}\left(g_{n} z_{1}\right), f^{n}\left(k_{n} z_{2}\right)\right)<\frac{\varepsilon_{1}}{2}。 (3)

    xΩG(f), 则∃m>1,∃gG,∃yX,使得

    d(x, y)<\varepsilon_{2}, (4)
    d\left(g f^{m}(y), x\right)<\varepsilon_{2}。 (5)

    由式(3)和式(4)知

    d\left(f^{m}\left(g_{m} x\right), f^{m}\left(k_{m} y\right)\right)<\frac{\varepsilon_{1}}{2}。

    由于f是伪等价映射,故∃pm, tmG,使得

    d\left(p_{m} f^{m}(x), t_{m} f^{m}(y)\right)<\frac{\varepsilon_{1}}{2}。 (6)

    由式(2)和式(5)知

    d\left(t_{m} g f^{m}(y), t_{m} x\right)<\frac{\varepsilon_{0}}{2}。 (7)

    由式(2)和式(6)知

    d\left(g p_{m} f^{m}(x), g t_{m} f^{m}(y)\right)<\frac{\varepsilon_{0}}{2}。

    由于G是可交换的,故

    d\left(g p_{m} f^{m}(x), t_{m} g f^{m}(y)\right)<\frac{\varepsilon_{0}}{2}。 (8)

    由式(7)和式(8)知

    d\left(g p_{m} f^{m}(x), t_{m} x\right)<d\left(g p_{m} f^{m}(x), t_{m} g f^{m}(y)\right)+\\ \;\;\;\;\;d\left(t_{m} g f^{m}(y), t_{m} x\right)<\varepsilon_{0}。

    由式(1)知

    d\left(\left(t_{m}\right)^{-1} g p_{m} f^{m}(x), x\right)<\varepsilon,

    xRG(f),从而有ΩG(f)⊂RG(f),故RG(f)=WG(f)=ΩG(f)。证毕。

    定理2  设(X, d)是紧致度量G-空间,G是紧致的,f: XX同胚等价。若fG-等度连续的,则WG(f)=CRG(f)=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} f^n(X)。

    证明  由引理2知,∀n≥1,有

    f^{n}\left(W_{G}(f)\right)=W_{G}(f)。

    fn(WG(f))⊂fn(X),则∀n≥1,有WG(f)⊂fn(X)。因此

    W_{G}(f) \subset \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} f^{n}(X) 。

    由引理1知,∀ε>0,∃0 < ε0 < ε,当d(z1, z2) < ε0时,∀sG,有

    d\left(s z_{1}, s z_{2}\right)<\varepsilon。 (9)

    fG-等度连续的,则对上述ε0>0,∃0 < δ < ε0,当d(z1, z2) < δ时,∀n≥0,∃gn, knG,使得

    d\left(f^{n}\left(g_{n} z_{1}\right), f^{n}\left(k_{n} z_{2}\right)\right)<\varepsilon_{0}。 (10)

    y \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} f^n(X),则∀n≥1,∃xnX,使得

    y=f^{n}\left(x_{n}\right) 。 (11)

    根据X的紧致性,存在子列{xni}i=0满足xnix(i→∞)。因此,对上述δ>0,∃m>0,当i>m时,有

    d\left(x_{n_{i}}, x\right)<\delta。

    由式(10)知,当i>m时,有

    d\left(f^{n_{i}}\left(g_{n_{i}} x\right), f^{n_{i}}\left(k_{n_{i}} x_{n_{i}}\right)\right)<\varepsilon_{0}。

    由式(11)和f是等价映射知

    d\left(f^{n_{i}}\left(g_{n_{i}} x\right), k_{n_{i}} y\right)<\varepsilon_{0}。

    由式(9)和f是等价映射知,当i>m时,有

    d\left(\left(k_{n_{i}}\right)^{-1} g_{n_{i}} f^{n_{i}}(x), y\right)<\varepsilon。

    从而有yWG(f),则\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} f^n(X) \subset W_G(f),故

    W_{G}(f)=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} f^{n}(X) 。

    下证CRG(f)=WG(f)。由G-极限点和G-链回归点的定义知,WG(f)⊂CRG(f)。由引理3知,∀n≥1,有

    f^{n}\left(\operatorname{CR}_{G}(f)\right)=\mathrm{CR}_{G}(f) 。

    fn(CRG(f))⊂fn(X),则∀n≥1,有

    \mathrm{CR}_{G}(f) \subset f^{n}(X) 。

    从而有

    \operatorname{CR}_{G}(f) \subset \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} f^{n}(X),

    则CRG(f)⊂WG(f),故CRG(f)=WG(f)。因此WG(f)=CRG(f)=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} f^n(X)。证毕。

    定理3  设(X, d)是紧致度量G-空间,G是可交换的紧致群,f: XX伪等价,则WG(f)中的所有点都是G-等度连续点当且仅当fG-等度连续的。

    证明  (⇒)假设WG(f)中的所有点都是G-等度连续点。∀xX, 则wG(x, f)≠Ø。取ywG(x, f),则yG-等度连续点。由引理1知,∀ε>0,∃0 < ε0 < ε,当d(z1, z2) < ε0时,∀sG,有

    d\left(s z_{1}, s z_{2}\right)<\varepsilon。 (12)

    yG-等度连续点知,对ε0>0,∃0 < δ0 < ε0,当d(z, y) < δ0时,∀n≥0,∃gn, knG,使得

    d\left(f^{n}\left(g_{n} z\right), f^{n}\left(k_{n} z\right)\right)<\frac{\varepsilon_{0}}{2}。 (13)

    由引理1和yG-等度连续点知,对上述δ0>0,∃0 < δ1 < δ0,当d(z, y) < δ1时,∀n≥0,∃tn, hnG,使得

    d\left(f^{n}\left(t_{n} z\right), f^{n}\left(h_{n} y\right)\right)<\frac{\delta_{0}}{2}。 (14)

    d(z1, z2) < δ1时,∀sG,有

    d\left(s z_{1}, s z_{2}\right)<\frac{\delta_{0}}{2}。 (15)

    ywG(x, f)知,∃g′G,∃m>0,使得

    d\left(g^{\prime} f^{m}(x), y\right)<\frac{\delta_{1}}{2}。 (16)

    由式(14)和式(16)知,∀n≥0,有

    d\left(f^{n}\left(t_{n} g^{\prime} f^{m}(x)\right), f^{n}\left(h_{n} y\right)\right)<\frac{\delta_{0}}{2}。

    由于f是伪等价映射,故∃t′n, h′mG,使得

    d\left(t_{n}^{\prime} f^{n+m}(x), h_{n}^{\prime} f^{n}(y)\right)<\frac{\delta_{0}}{2}。 (17)

    f是一致连续的,故∀0≤im,∃0 < δ2 < δ1,当d(z1, z2) < δ2时,有

    d\left(f^{m}\left(z_{1}\right), f^{m}\left(z_{2}\right)\right)<\frac{\delta_{1}}{2}。 (18)

    d(z, x) < δ2,由式(18)知,∀0≤im,有

    d\left(f^{i}(z), f^{i}(x)\right)<\frac{\delta_{1}}{2}。 (19)

    再结合式(15)知

    d\left(g^{\prime} f^{m}(z), g^{\prime} f^{m}(x)\right)<\frac{\delta_{0}}{2}。 (20)

    结合式(16)和式(20)知

    d\left(g^{\prime} f^{m}(z), y\right)<d\left(g^{\prime} f^{m}(z), g^{\prime} f^{m}(x)\right)+d\left(g^{\prime} f^{m}(x), y\right)<\delta_{0} 。

    由式(13)知

    d\left(f^{n}\left(g_{n} g^{\prime} f^{m}(z)\right), f^{n}\left(k_{n} y\right)\right)<\frac{\varepsilon_{0}}{2} 。

    由于f是伪等价映射,故∃g′n, k′nG,使得

    d\left(g_{n}^{\prime} f^{n+m}(z), k_{n}^{\prime} f^{n}(y)\right)<\frac{\varepsilon_{0}}{2}。

    由式(12)知

    d\left(h_{n}^{\prime} g_{n}^{\prime} f^{n+m}(z), h_{n}^{\prime} k_{n}^{\prime} f^{n}(y)\right)<\frac{\varepsilon}{2}。 (21)

    由式(12)和式(17)知

    d\left(k_{n}^{\prime} t_{n}^{\prime} f^{n+m}(x), k_{n}^{\prime} h_{n}^{\prime} f^{n}(y)\right)<\frac{\varepsilon}{2} 。

    由于G是可交换的,故

    d\left(k_{n}^{\prime} t_{n}^{\prime} f^{n+m}(x), h_{n}^{\prime} k_{n}^{\prime} f^{n}(y)\right)<\frac{\varepsilon}{2} 。 (22)

    由式(21)和式(22)知,当n>0时,有

    d\left(k_{n}^{\prime} t_{n}^{\prime} f^{n+m}(x), h_{n}^{\prime} g_{n}^{\prime} f^{n+m}(z)\right)<d\left(k_{n}^{\prime} t_{n}^{\prime} f^{n+m}(x), \right. \\ \;\;\;\;\; \left.\quad h_{n}^{\prime} k_{n}^{\prime} f^{n}(y)\right)+d\left(h_{n}^{\prime} k_{n}^{\prime} f^{n}(y), h_{n}^{\prime} g_{n}^{\prime} f^{n+m}(z)\right)<\varepsilon。 (23)

    当0 < im时,取li=si=e。当im+1时,取li=k′imt′im, si=h′img′im。由式(19)和式(23)知,∀i≥0,有

    d\left(l_{i} f^{i}(x), s_{i} f^{i}(z)\right)<\varepsilon,

    xG-等度连续点,因此X中的所有点都是G-等度连续点。

    假设映射f不是G-等度连续的,则∃δ3>0,∀n\mathbb{N}_{+},∃kn≥0,∃x′n, y′nX且满足d(x′n, y′n) < 1/n,对∀s, tG,有

    d\left(f^{k_{n}}\left(s x_{n}^{\prime}\right), f^{k_{n}}\left(t y_{n}^{\prime}\right)\right) \geqslant \delta_{3}。 (24)

    由于X是紧致的,因此,存在列{x′ni}和{y′ni},使得x′nix′, y′niy′。因为d(x′ni, y′ni) < 1/ni,所以x′=y′

    由于x′fG-等度连续点,则对δ3/2>0,∃0 < δ4 < δ3/2,∀n\mathbb{N}_{+},∃gn, knG,当d(x′, z) < δ4时,有

    d\left(f^{n}\left(g_{n} z\right), f^{n}\left(k_{n} x^{\prime}\right)\right)<\frac{\delta_{3}}{2}。 (25)

    m>0,满足d(x′m, x′) < δ4, d(y′m, x′) < δ4d(x′m, y′m) < 1/m。由式(25), 可得

    d\left(f^{n}\left(g_{n} x_{m}^{\prime}\right), f^{n}\left(k_{n} x^{\prime}\right)\right)<\frac{\delta_{3}}{2},
    d\left(f^{n}\left(g_{n} y_{m}^{\prime}\right), f^{n}\left(k_{n} x^{\prime}\right)\right)<\frac{\delta_{3}}{2},

    则∀n\mathbb{N}_{+}, 有

    d\left(f^{n}\left(g_{n} x_{m}^{\prime}\right), f^{n}\left(g_{n} y_{m}^{\prime}\right)\right)<d\left(f^{n}\left(g_{n} x_{m}^{\prime}\right), f^{n}\left(k_{n} x^{\prime}\right)\right)+ \\ \quad d\left(f^{n}\left(k_{n} x^{\prime}\right), f^{n}\left(g_{n} y_{m}^{\prime}\right)\right)<\delta_{3},

    与式(24)矛盾。因此fG-等度连续的。

    (⇐)由G-等度连续和G-等度连续点的定义立刻可以得到。证毕。

    本文首先引入G-链回归点、G-非游荡点集、G-极限点集和G-回归点集的定义,然后在G-等度连续的条件下研究了这些点集之间的关系。结论如下:(1)RG(f)=WG(f)=ΩG(f); (2)WG(f)=CRG(f)=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}fn(X); (3)fG-等度连续的当且仅当WG(f)中的所有点都是G-等度连续点。这些结论推广了度量空间中链回归点、非游荡点集、极限点集和回归点集的结果,并为其在实际中的应用提供了理论支撑。

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出版历程
  • 收稿日期:  2022-06-07
  • 网络出版日期:  2024-02-26
  • 刊出日期:  2023-12-24

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