Sobolev空间^[1]是刻画偏微分方程解存在唯一性、光滑性和正则性等特征的重要函数空间，Dirichlet空间是实数域上Sobolev空间在复数域上的推广，在调和分析、偏微分方程和控制论等诸多领域中有着重要应用。

对于Dirichlet空间的乘子代数问题, 学者们主要是通过研究各种加权Dirichlet空间的乘子来找到它们之间的一些共性特征。1980年，STEGENGA^[2]利用Carleson测度和势与容量的工具，研究了权为(1－|z|²)^α的Hilbert类Dirichlet型空间的乘子；1999年，WU^[3]将Dirichlet型空间的乘子研究推广到Banach类Dirichlet型空间。2015年，BAO等^[4]初步研究了一般K权的Hilbert类Dirichlet型空间乘子的问题，但关于不带权的经典Dirichlet空间的乘子刻画只是等价转化成别的问题，仍未获得令人满意的结果。

研究具有Banach代数特征类型的函数空间常用的办法是利用通常的乘法运算对函数空间中的函数进行分解。受复数的指数形式z=re^iθ的启发，将一个解析函数表示成内函数与外函数的乘积，其中，外函数类似于复数的模r，内函数类似于e^iθ。学者们将Hardy空间中内外函数分解的定理推广到其他的函数空间中。如：研究了亚纯Q_p空间的外函数特征和亚纯Q_p空间中的函数与Q_p∩H^∞之间的商分解关系^[5-6]；对解析Q_K空间乘子代数的内函数乘子做了相应的刻画且研究了该乘子代数上的Corona定理，对K权Dirichlet空间系数乘子问题做了一些充分条件的刻画^[7-8]；利用Carleson测度和容量的工具，对Dirichlet空间乘子问题的必要条件做了相应的刻画^[9-10]。

基于文献[5-8]的研究，本文首先探讨Dirichlet空间的乘子代数与交集代数、D_α代数之间的包含关系，发现乘子代数介于D_α代数与交集代数之间；然后，从内函数和外函数的分解方面去研究D_α代数、乘子代数和交集代数三者的区别；最后，发现乘子代数的外函数可以分解为2个无界Dirichlet函数的商，并且深入探讨了乘子代数的外函数分解中分子和分母所具有的特征。

1.   预备知识

本文设D为复平面的单位开圆盘，Hol(D)为单位圆盘D上的所有解析函数的全体。

定义1^[9]   Dirichlet空间是由满足$D(f)=\int_D\left|f^{\prime}(z)\right|^2 \mathrm{~d} A(z)<+\infty$的单位圆盘D上的解析函数f(z)构成，其中$\mathrm{d} A(z)=\frac{\mathrm{d} x \mathrm{d} y}{{\rm{ \mathsf{ π} }}}=\frac{r \mathrm{d} r \mathrm{~d} \theta}{{\rm{ \mathsf{ π} }}}$为D上的单位面积测度。

易知，Dirichlet空间在范数$\|f\|=\sqrt{|f(0)|^2+D(f)}$下可形成Hilbert空间。如果将解析函数f视作从单位圆盘D到区域f(D)的映射，则其Jacobian行列式为|f′(z)|²。利用二重积分换元公式可得，D(f)的几何意义为在重数意义下函数f在单位圆盘D下的象f(D)的面积。

定义2^[11]   设X为Banach空间，若在空间X中定义一种新的乘法运算，使得其在原有的范数下满足‖f·g‖≤‖f‖·‖g‖，则称带有这种乘法代数结构的Banach空间为Banach代数。

记单位圆盘D上的所有有界解析函数的全体为H^∞，H^∞在通常的函数乘法运算下可以做成Banach代数^[12]。由于Dirichlet空间中一部分函数无界，从而本身不成为Banach代数，但其与H^∞的交集会形成Banach代数。给定参数α∈[0, 1)，考虑一类加权Dirichlet空间

易知，当α=0时，D_α就是Dirichlet空间。因此, 本文把Dirichlet空间记为D₀。

WU^[3]证明，当α∈(0, 1)时，D_α为Banach代数，此时D_α⊂H^∞。由D₀的定义，当α∈(0, 1)时，D_α⊂D₀。进一步地，有D_α⊂D₀∩H^∞。于是，在D_α与D₀∩H^∞之间应该有很多Banach代数。下面给出D₀的乘子代数的定义：

对于给定的任意一个复数z，都可以将其分解为对应向量模的长度r和e^iθ的乘积。据此，定义在单位圆盘D上的内函数|I(z)|为：当z∈D时，|I(z)|≤1，而|I(e^iθ)|几乎处处为1。称$O_\psi(z)=\exp \left\{\int_0^{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+z}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-z} \times\log \psi\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}\right\}$为外函数，其中ψ(e^iθ)在单位圆∂D上几乎处处大于或等于0且log ψ∈L¹(∂D)。

若令

易知$|\varPsi(z)|=\left|O_\psi(z)\right|, \left|O_\psi\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)\right|=\psi\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)$。

下面介绍定理证明中需用的重要估计。

引理1^[13]   设α>－1，当|a|→1时，有

2.   主要结果与证明

定理1   当α∈(0, 1)时, D_α⊆M(D₀)⊆D₀∩H^∞。

证明   M(D₀)⊂H^∞显然成立。下面首先证明M(D₀)⊂D₀。设g∈M(D₀)，由闭图像定理^[14], 对任意的f∈D₀，有fg∈D₀，即D(fg) < +∞。于是有

由f的任意性，有$D(g)=\int_D\left|g^{\prime}\right|^2 \mathrm{~d} A<+\infty$, 即g∈D₀。

然后证明D_α⊂M(D₀)。设g∈D_α, α∈(0, 1), 则由乘子代数的定义可知只需证明：对任意的f∈D₀，有fg∈D₀。

对于任意的f∈D₀，由Dirichlet空间上的再生核估计^[9]，有

于是，对于α∈(0, 1)，有

利用L'Hospital法则，有

则当f∈D₀，α∈(0, 1)时，$\sup\limits_{z \in D}\left(|f|^2\left(1-|z|^2\right)^\alpha\right)<+\infty$。

因此，

即fg∈D₀。证毕。

接下来探讨3类代数的内-外函数分解关系。

Dirichlet空间作为Hardy空间^[15]的子空间，由Dirichlet空间中函数的几何意义可知Dirichlet空间中内函数只能为有限Blaschke乘积B(z), 其中B(z)为零点{a_n}⊆D生成的Blaschke乘积函数^[16]。于是，任意的函数f(z)∈D₀可分解为f(z)=B(z)O(z)，其中O(z)为外函数。据此，D₀∩H^∞中的函数结构分解中内函数只能为有限Blaschke乘积，外函数只能由单位圆上的有界函数生成。而在Dirichlet空间中，函数的有界与否由其分解中的外函数决定。下面给出D_α与M(D₀)2类代数的内函数结构。

定理2   (1)当α∈(0, 1)时，D_α中的内函数只能为单项式族{z^k}(k=0, 1, …)；

(2) M(D₀)中的内函数为有限Blaschke乘积。

证明   (1)容易验证函数f₁(z)=1与f₂(z)=z都在D_α中，由于D_α为Banach代数，则所有多项式都在D_α空间中。

对于单位圆盘D上的解析自同构Möbius变换函数$\varphi_a(z)=(a-z) /(1-\bar{a} z) \quad(a \in D \backslash\{0\})$，有

由引理1的估计，当α∈(0, 1)时，积分$\int_D \frac{\left(1-|z|^2\right)^{-\alpha}}{|1-\bar{a} z|^4} \mathrm{~d} A(z)$发散。因此，易得在Banach代数D_α中，内函数只能为$\left\{z^k\right\}(k \in \mathbb{N})$。

(2) 容易验证函数f₁(z)=1与f₂(z)=z都在M(D₀)中。由于M(D₀)也为Banach代数，所以所有多项式都在M(D₀)空间中。注意到，令$w=\varphi_a(z)=(a-z) /(1-\bar{a} z)$，则z=φ_a(w)。于是，对任意的f∈D₀，有

当f∈D₀∩H^∞时，显然有

当$f(z) \in D_0 \backslash H^{\infty}$时，由于Dirichlet空间包含在Bergman空间内，则有

由于φ_a在Banach代数M(D₀)中，从而由乘子代数的Banach代数性质知M(D₀)中内函数为有限Blaschke乘积集合。证毕。

由此看来，M(D₀)与D₀∩H^∞的内函数结构相对简单，主要区别还是在外函数。外函数一般由其边界函数决定，D_α和D₀都为Hilbert空间，因此，D_α和D₀的边界函数完全可由其幂级数系数特征所确定。下面讨论M(D₀)与D₀∩H^∞的边界函数特征。

由D_α(α∈[0, 1))的定义有：$f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k \in D_\alpha$当且仅当$\sum_{k=1}^{\infty} k^{1+\alpha}\left|a_k\right|^2<+\infty$。那么, 由幂级数延拓到边界的性质^[9]可知，D_α的边界函数$f\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k \mathrm{e}^{\mathrm{i} k \theta}$的Fourier系数特征也为$\sum_{k=1}^{\infty} k^{1+\alpha}\left|a_k\right|^2<+\infty$。从而可以验证D_α的边界函数的积分特征^[9]为

D_α(α∈(0, 1))的边界函数一定是有界的，而D₀的边界函数可能无界。因此，D₀∩H^∞的边界函数$f\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k \mathrm{e}^{\mathrm{i} k \theta}$既满足$\sup\limits_{\theta \in[0, 2 {\rm{ \mathsf{ π} }})}\left|f\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)\right|<+\infty$, 又满足$\int_0^{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}} \int_0^{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}\left|\frac{f\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)-f\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi}\right)}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-\mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi}}\right|^2 \frac{\mathrm{d} \theta}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}} \frac{\mathrm{d} \varphi}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}<+\infty \left( 或\sum_{k=1}^{\infty} k\left|a_k\right|^2<+\infty\right)$。更进一步，在研究M(D₀)中外函数时，由于M(D₀)中函数的边界函数特征很难获得，故借助M(D₀)⊆D₀∩H^∞来研究M(D₀)中的外函数与D₀∩H^∞中的外函数的区别。

定理3   设外函数O(z)∈D₀∩H^∞，如果O(z)∈M(D₀)，则对于外函数f(z)∈D₀\H^∞，有O(z)f(z)∈D₀\H^∞。

证明   设g∈D₀∩H^∞但g∉M(D₀)。由于D₀∩H^∞为Banach代数，因此，对任意的f∈D₀∩H^∞，有gf∈D₀∩H^∞。又因为g∉M(D₀)，则至少存在一个f₀∈D₀\H^∞，使得gf₀∉D₀。因为D₀空间的内函数全为有限Blaschke乘积，从而对任意的g(z)∈D₀∩H^∞, 有g(z)=B(z)O(z)，其中B(z)为有限Blaschke乘积，O(z)为D₀中有界外函数。于是，B(z)是D₀空间的乘子且O(z)是M(D₀)的外乘子当且仅当对任意的f(z)∈D₀\H^∞, 有

因此，O(z)∈D₀∩H^∞为M(D₀)中的外函数当且仅当对任意的D₀\H^∞中的外函数f(z)，O(z)f(z)为D₀\H^∞中的外函数。证毕。

由定理3可知M(D₀)中的外函数与集合D₀\H^∞相关。基于此，下面需要讨论无界的Dirichlet函数。首先给出一类无界Dirichlet函数的范例。

例1   因为级数$\sum_{n=1}^{\infty} n^{-\lambda}$在λ>1时收敛，由D_α空间幂级数系数特征得，当λ>1+α/2时，$f(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^\lambda} \in D_\alpha$。易知级数$\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\log n)^\alpha}(0 \leqslant \alpha \leqslant 1)$是发散的，则当0≤α≤1时，$f(z)=\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{z^n}{n(\log n)^\alpha}$为单位圆盘D上的无界解析函数。由Dirichlet空间的系数特征可知，若$\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{z^n}{n(\log n)^\alpha} \in D_0$，则

解得2α>1。设$f(z)=\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{z^n}{n(\log n)^\alpha}$，则当1/2 < α≤1时，$f(z) \in D_0 \backslash H^{\infty}$；当α>1时，$f(z) \in D_0 \cap H^{\infty}$。

设$f(z)=\sum\limits_{n=3}^{\infty} \frac{z^n}{n \log n(\log \log n)^\alpha}$，同理可得：当0≤α≤1时，$f(z) \in D_0 \backslash H^{\infty}$；当α>1时，$f(z) \in D_0 \cap H^{\infty}$。

类似地，当1/2 < α < ∞时，有

当1/2 < λ < 1时，对任意α≥0，有

易知，当λ>1时，$\sum\limits_{n=3}^{\infty} \frac{z^n}{n \log n(\log \log n)^\lambda}$与$\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{z^n}{n(\log n)^\lambda}$都属于D₀∩H^∞，但都不属于D_α(0 < α < 1)。

命题1^[17]   对于任意的外函数O(z)，有O(z)=O₊(z)O_－(z)，其中

而且1/O₊(z)与O_－(z)都属于H^∞。

下面研究M(D₀)中外函数所具有的分解特征。

定理4   M(D₀)中的外函数O(z)可分解为O(z)=O₁(z)/O₂(z)，其中, O₁(z), O₂(z)∈D₀\H^∞且满足如下性质：

(1)|O₁(z)O₂(z)|+1≥|O₁(z)|；

(2) 在单位圆∂D上至少存在一点ζ，使得z→ζ, O(z)→0；

(3) O₁(z)的爆破点个数少于O₂(z)的爆破点个数，而且它们至少有1个公共爆破点。

证明   由命题1可知，D₀∩H^∞中的外函数分解中O₊(z) 仍为有界函数，而D₀\H^∞中的外函数分解中O₊(z)为无界函数。结合定理3可知M(D₀)中的外函数O(z)可以写成D₀\H^∞中2个外函数的商：

其中，O₁(z), O₂(z)∈D₀\H^∞。将式(1)代入$\frac{O_{1+}(z)}{O_{2+}(z)}$与$\frac{O_{1-}(z)}{O_{2-}(z)}$，可得

其中，ψ₁和ψ₂均为无界函数。

另一方面，O(z)的边界函数为

若去掉绝对值，则ψ可以写成分段函数

由于ψ有界，ψ₁和ψ₂均为无界函数，则有如下条件：

a) 当ψ₁按某个路径趋于无界时，ψ₂按同一路径必须无界，并且ψ₁/ψ₂沿着该路径有极限；

b) 当ψ₂按某个路径趋于无界时，ψ₁按同一路径不能无界。

换句话讲，ψ₁的爆破点个数必须不多于ψ₂，而且若两者在同一点爆破，则ψ₁的爆破速度不得高于ψ₂。从形式上看，条件a)可单独成立，此时两者趋于无界的点相同，ψ=1+ψ₁/ψ₂不分段，即函数(ψ₁－1)(ψ₂－1)≥0。但又因为

所以条件a)不能单独出现。条件b)显然不可以单独成立。因此, 在外函数分解中，条件a)、b)必须同时成立。故ψ₁趋于无界的点的个数一定少于ψ₂趋于无界的点的个数，而且，若ψ₂单独在某点趋于无穷，则对应的函数ψ₁/ψ₂在该点趋于0。设存在单位圆盘的子集I⊂∂D，使得(ψ₁－1)(ψ₂－1)≥0，从而有

利用定积分的性质，有

证毕。