喊价式期权的持有人有权利在期权有效期内执行一次喊价，锁定到期日收益的下限，因此价格远高于标准欧式期权。为了缓解一次性支付高额期权金的压力，投资者可以选择购买喊价式分期付款期权，即在期初只支付一部分期权金，然后每隔单位时间以一定的分期付款率支付余下的期权金。与标准欧式期权相比，喊价式分期付款期权可以给投资者更灵活的投资选择、更高的投资回报，同时期权持有人不必承担期初支付全部期权金的压力，因此对投资者非常有吸引力。然而，作为一种新型期权，目前关于它的定价研究并不多。

在假设期权持有人一次性支付全部期权金的条件下，已有学者研究了喊价式期权的定价问题。如：DAI等^[1]将相关期权的定价问题描述为自由边界问题并提供了数值算法；DAI等^[2]揭示了无风险利率r和股息率q的相对值对最佳喊价边界的影响；GOARD^[3]利用无穷级数展开式推导出重置敲定价格看跌期权和喊价式看涨期权的定价公式。在假设期权持有人可以分期支付期权金的条件下，学者们分别研究了欧式分期付款期权^[4-7]、美式分期付款期权^[8-11]和障碍分期付款期权^[12]的定价问题，然而还没有学者研究在此前提下的喊价式期权的定价问题。

本文在经典的Black-Sholes框架下研究喊价式分期付款期权的定价问题。首先推导期权价格满足的抛物型变分不等式，并证明其障碍函数在部分定解区域上具有显式表达式；接着分析期权的最佳喊价边界和最佳弃权边界的位置和性质；最后采用惩罚方法求出期权价格的数值解，并给出了不同参数下的数值例子。

1.   定价模型

假设原生资产的价格S_t遵循几何布朗运动

其中，r、q和σ分别是无风险利率、股息率和波动率，W_t是风险中性测度下的标准布朗运动。假设喊价式分期付款期权的到期日为T，敲定价格为K。期权持有人如果在到期日前没有执行喊价，则最终收益为max(S_T-K, 0)；如果在时间t∈[0, T)喊价，则最终收益为max(S_T-K, S_t-K, 0), 定义此时的期权价格为V_sh(S_t，t)。显然，只有当S_t > K时，期权持有人才有可能选择喊价。假设连续支付分期付款率为L^*，期权持有人只有在期权有效期内的任意dt时间内支付L^*dt的分期付款，才能获得在到期日实施期权的权利。

按照期权合约规定，期权持有人可以选择在有效期内的任意时间执行一次喊价，也可以选择在任意时间终止付款放弃期权。假设期权持有人在t∈[0, T)执行喊价，则期权的价格变成V_sh(S_t, t)；假设在t∈[0, T)终止付款，则期权的价格变成0。与美式期权^[13]类似，喊价式分期付款期权的价格满足一个抛物型变分不等式，其障碍函数在S > K时是喊价时的价格函数V_sh(S, t)。由于喊价后，期权持有人仍然可以选择在任意时间终止付款放弃期权，因此喊价后的期权价格满足一个抛物型变分不等式，其结果是无法直接给出V_sh(S, t)的显式表达式。障碍函数不具有显式表达式将显著地增加原变分不等式的分析和求解难度。下文首先证明在部分定解区域上，喊价时的价格函数V_sh(S, t)具有显式表达式；接着推导喊价式分期付款期权的价格满足的抛物型变分不等式。

1.1   喊价时的价格函数

假设期权持有人在时间t喊价，此时原生资产价格S > K，则期权在到期日的收益变为max(S_T-K, S-K, 0)，等价地，可以表示为max(S_T-S, 0)+S-K。

如果连续分期付款率L^*=0，则喊价时的期权价格是S-K的现值加上执行价格为S的标准欧式看涨期权的价格。如果L^* > 0，则喊价时的期权价格是一个连续支付欧式分期付款期权的价格, 一般不具有显式表达式。令V_sh(S, t)表示在时间t喊价时所对应的期权价值，则

其中，U(S, t; S^*)在区域(0, ∞)×[0, T)上满足以下抛物型变分不等式：

下面证明V_sh(S, t)在部分定解区域上具有显式表达式。

定理1  如果$S>K+\frac{L^*}{r}\left(\mathrm{e}^{r(T-t)}-1\right)$，那么

其中

证明  令$S^*>K, \tilde{d}_1=\frac{\ln \left(S / S^*\right)+\left(r-q+\sigma^2 / 2\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}$, $\tilde{d}_2=\tilde{d}_1-\sigma \sqrt{T-t}$, 则

注意到$S \mathrm{e}^{-q(T-t)} N\left(\tilde{d}_1\right)-S^* \mathrm{e}^{-r(T-t)} N\left(\tilde{d}_2\right)$是敲定价格为S^*、到期日为T的标准欧式看涨期权在时间t的价格，因此，

由

可知：当t > t^*时,

又因为

可知：U(S, t; S^*)是变分不等式(3)在定解区域(0, ∞)×[t^*, T)上的解。因此，对任意时间t < T，当$S>K+\frac{L^*}{r}\left(\mathrm{e}^{r(T-t)}-1\right)$，即$t \left.>T-\frac{1}{r} \ln \left[\frac{r}{L^*}(S-K)+1\right)\right]$时，由式(2)可得式(4)。证毕。

1.2   期权价格满足的抛物变分不等式

连续支付喊价式分期付款期权的价格依赖于原生资产价格和时间t。假设V(S, t)是期权在时间t的价格，S为时间t的资产价格。金融直观上，如果资产价格S足够大，期权持有人应该立刻选择喊价锁定到期日的回报下限S-K，此时期权的价格等于喊价时的价格函数，即V(S, t)=V_sh(S, t)；另一方面，如果资产价格S足够小，以至于预期回报的现值小于剩余分期付款的现值，期权持有人应该停止分期付款终止期权合约，此时V(S, t)=0。当S≤K时，令V_sh(S, t)=0。与连续支付美式分期付款期权的定价模型^{[9, 11, 13]}类似，由最优停时问题的标准推导方法可知: V(S, t)满足以下抛物型变分不等式

的定解区域为(0, ∞)×[0, T)。

根据金融意义，对任意时间t ∈[0, T)，存在一个资产价格的上界S_sh^*(t)和资产价格的下界S_st^*(t)，当S≥S_sh^*(t)时，期权持有人应该马上喊价；当S≤S_st^*(t)时，期权持有人应该马上停止付款终止期权合约。S_sh^*(t)、S_st^*(t)分别称为期权的最佳喊价边界、最佳弃权边界，这2条最佳自由边界把整个定解区域划分为喊价区域、继续持有区域和弃权区域，将其分别定义为:

其中，SHR为喊价区域，CR为继续持有区域，STR为弃权区域。通过求解变分不等式(9)可以确定期权价格V(S, t)、最佳喊价边界和最佳弃权边界。

2.   最佳喊价边界和最佳弃权边界的理论分析

在喊价区域内，V(S, t)=V_sh(S, t)。由定理1，若$S>K+\frac{L^*}{r}\left(\mathrm{e}^{r(T-t)}-1\right)$，则V_sh(S, t)可以用式(4)显式表达。将式(4)代入变分不等式(9)中的Black-scholes算子，可得

接下来，利用式(11)分析最佳喊价边界的性质。

定理2  随着时间t逼近到期日T，连续支付喊价式分期付款期权的最佳喊价边界收敛于执行价格K，即

此外，如果r > q，则存在常数τ ^* > 0，使得当T-t > τ ^*时，有

证明  由$N^{\prime}\left(d_1\right)=\mathrm{e}^{-(r-q)(T-t)} N^{\prime}\left(d_2\right)$可得

将式(14)代入式(11)，可知：当$S>K+\frac{L^*}{r}\left(\mathrm{e}^{r(T-t)}-1\right)$时，有

其中

满足

下面用反证法证明式(12)。假设$\lim _\limits {t \rightarrow T^{-}} S_{\mathrm{sh}}^*(t)>K$，定义$D(S, t)=V(S, t)-V_{\mathrm{sh}}(S, t)$。若$S \in\left(K, S_{\mathrm{sh}}^*\left(T^{-}\right)\right)$，$S_{\mathrm{sh}}^*\left(T^{-}\right)$为 $S_{\mathrm{sh}}^*(t)$在T的左极限，则由式(15)和式(17)，有

另一方面，若$S \in\left(K, S_{\mathrm{sh}}^*\left(T^{-}\right)\right)$，则$V\left(S, T^{-}\right)=V_{\mathrm{sh}}\left(S, T^{-}\right)=S-K$，这意味着$D\left(S, T^{-}\right)=0$。结合式(18)，可得$\lim _\limits {t \rightarrow T^{-}} \frac{\partial D}{\partial t}=+\infty$, 这与D(S, t)在t < T时非负且在t逼近T时变成0相矛盾。因此$S_{\mathrm{sh}}^*\left(T^{-}\right) \leqslant K$。注意到$S_{\mathrm{sh}}^*(t) \geqslant K$，式(12)显然成立。

最后证明式(13)。对f(τ)求导可得

因此，f(τ)要么是一个单调递减函数，要么在一段时间内单调递减后持续递增。同时注意到$f\left(0^{+}\right)=+\infty$，并且当r > q及τ足够大时有f(τ) < 0，可知：如果r > q，则存在常数τ^*> 0，使得当τ > τ^*时，f(τ) < 0。结合式(15)可知，当T-t > τ^*且$S>K+\frac{L^*}{r}\left(\mathrm{e}^{r(T-t)}-1\right)$时，有

由于V(S, t)满足变分不等式(9)，当T-t > τ^*且$S>K+\frac{L^*}{r}\left(\mathrm{e}^{r(T-t)}-1\right)$时，V(S, t) > V_sh(S, t)，这意味着式(13)成立。证毕。

下面分析最佳弃权边界的性质。

定理3  随着时间t接近到期日T，连续支付喊价式分期付款期权的最佳停止边界收敛于执行价格K, 即

证明  (反证法)假设式(19)不成立，由$S_{\mathrm{st}}^*(t) \leqslant K$可知$\lim _\limits {t \rightarrow T^{-}} S_{\mathrm{st}}^*(t)<K$，则对任意$S \in\left(S_{\mathrm{st}}^*\left(T^{-}\right), K\right), V(S, T^{-}) = 0$，有

这与$V\left(S, T^{-}\right)=0、V(S, t) \geqslant 0(t<T)$相矛盾。因此式(19)成立。证毕。

3.   数值结果

使用文献[14]中的惩罚方法来求解变分不等式(9)，并探讨喊价式分期付款期权的性质和最佳喊价边界、最佳弃权边界的位置及性质。

3.1   数值求解：惩罚方法

为方便起见，首先将变分不等式(9)改写为以下等价形式：

其中, $(S, t) \in(0, \infty) \times[0, T)$。通过变换v(x, τ)=V(S, t)/K, $v_{\mathrm{sh}}(x, \tau)=V_{\mathrm{sh}}(S, t) / K$, $x=\ln S-\ln K$, τ =T-t, L=L^*/K，可得

其中，$(x, \tau) \in(-\infty, +\infty) \times(0, T]$。

在数值求解变分不等式(20)之前，需要先确定障碍函数v_sh(x, τ)。由定理1可得

其中，$c_1=\left(r-q+\sigma^2 / 2\right) \sqrt{\tau} / \sigma, c_2=c_1-\sigma \sqrt{\tau}$。然而，当$x \in\left(0, \ln \left(L\left(\mathrm{e}^{r T}-1\right) / r+1\right)\right)$时, 如果距离到期日的时间间隔τ比较大，则$v_{\mathrm{sh}}(x, \tau)=V_{\mathrm{sh}}(S, t) / K$没有显式表达式，此时，$V_{\mathrm{sh}}(S, t)=U(S, t ; S), U\left(S, t ; S^*\right)$, U(S, t; S^*)满足变分不等式(3)。令$x^*=\ln S^*-\ln K, u\left(x, \tau ; x^*\right)=U\left(S, t ; S^*\right) / K$。由变分不等式(3)，不难证明u(x, τ; x^*)满足

因此，当$x^* \in\left(0, \ln \left(\frac{L}{r}\left(\mathrm{e}^{r T}-1\right)+1\right)\right)$时，需要求解变分不等式(21)，从而得到u(x, τ; x^*)的数值解；再由$v_{\mathrm{sh}}\left(x^*, \tau\right)=U\left(S^*, t ; S^*\right) / K=u\left(x^*, \tau ; x^*\right)$来最终完全确定v_sh(x, τ)。

最后求解变分不等式(20)。考虑以下逼近方程：

根据文献[14]，当A→+∞时，方程(22)收敛到变分不等式(20)。因此取A足够大，利用隐式有限差分格式求解方程(22)，从而得到变分不等式(20)的近似解。由于惩罚项是非线性的，本文采用(非平滑)牛顿迭代方法^[15]将其线性化。

3.2   数值例子

下面给出一些数值例子，以展示最佳喊价边界和最佳弃权边界的位置和性质。本节所有的结果都由Matlab计算得到。

例1  取r=0.06, q=0.02, σ=0.2, K=1, T=1, L^*=0.05，最佳喊价边界S_sh^*(t)和最佳弃权边界S_st^*(t)如图 1所示。在到期日T，2条最佳边界相交于(K, T)。对任意时间t∈[0, T)，当原生资产价格S≥S_sh^*(t)时，期权持有人应该执行喊价；当S≤S_st^*(t)时，期权持有人应该停止分期付款放弃期权；当$S_{\mathrm{st}}^*(t)<S<S_{\mathrm{sh}}^*(t)$时，期权持有人既不应该喊价，也不应该停止付款放弃期权。

图  1  最佳喊价边界和最佳弃权边界

Figure  1.  The optimal shouting boundary and the optimal stopping boundary

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例2  保持例1的参数不变，计算喊价式分期付款期权和标准欧式看涨分期付款期权的初始期权金(图 2A)，并获得这2种期权的最佳弃权边界(图 2B)。当期权持有人具有喊价的权利，标准欧式看涨期权变成喊价式期权，此时期权变得更加值钱，因此初始期权金增加了，弃权区域明显变小了，期权持有人放弃期权的可能性降低了。

图  2  “喊价”权利的影响

Figure  2.  The influence of shout feature

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例3  仅改变例1中分期付款率L^*的取值，其他参数不变，得到初始期权金和2条最佳边界(图 3)。从图中可以看出，随着L^*的增加，初始期权金逐渐减少，最佳弃权边界S_st^*(t)明显升高，最佳喊价边界S_sh^*(t)的变化相对较小，但也逐渐升高。这意味着，随着分期付款率的增加，初始期权金减少了，期权持有人终止付款放弃期权的可能性增加了，而且要求资产价格达到更高的水平才会执行喊价。

图  3  连续分期付款率L^*的影响

Figure  3.  The influence of continuous-installment rate L^*

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例4  取σ=0.2, K=1, T=7, L^*=0.05，改变r和q的取值，相应的最佳喊价边界S_sh^*(t)如图 4所示。从图中可以看出，如果r≤q，则对任意时间t，存在$0<S_{\mathrm{sh}}^*(t)<+\infty$，使得当S > S_sh^*(t)时，期权持有人应该执行喊价；如果r=0.06, q=0.02，则当T-t略大于6时，S_sh^*(t)趋向无穷大。此时，无论资产价格S变得多大，期权持有人都不应该执行喊价。

图  4  不同r和q下的最佳喊价边界

Figure  4.  The optimal shouting boundary with different r and q

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