有限FI代数的矩阵表示

韦安丽; 李莹; 赵建立; 丁文旭

doi:10.6054/j.jscnun.2022091

有限FI代数的矩阵表示

聊城大学数学科学学院/矩阵半张量积理论与应用研究中心, 聊城 252000

基金项目:

山东省自然科学基金项目 ZR2020MA053

详细信息

通讯作者:
李莹，Email: liyingld@163.com

中图分类号: O159
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出版历程
- 收稿日期: 2021-08-26
- 网络出版日期: 2023-02-13
- 刊出日期: 2022-12-24

The Matrix Expression of Finite FI Algebra

School of Mathematical Sciences/Research Center of Semi-tensor Product of Matrices: Theory and Applications, Liaocheng University, Liaocheng 252000, China

摘要

摘要: 将矩阵半张量积理论应用于FI代数系统的描述, 给出了FI代数的矩阵表示，并借助于此矩阵表示研究了FI代数的同态、同构及其上导子的相关结构的性质。同时, 利用逻辑矩阵运算获得了检测上述性质的直接可验证条件。
- 矩阵半张量积 /
- FI代数 /
- 同态和同构 /
- 导子
Abstract: The theory of the semi-tensor product of matrices is applied to systematic matrix description of FI algebra, and the matrix expressions of FI algebra are presented. Via these matrix expressions, the properties of the homomorphisms, isomorphisms and related structures of the derivatives of the FI algebra are studied. At the same time, straightforward verifiable conditions for detecting the properties above are obtained by using logical matrices operations.
- semi-tensor product of matrices /
- FI algebra /
- homomorphism and isomorphism /
- derivation

HTML全文

模糊蕴涵代数^[1], 简称FI代数, 揭示了蕴涵算子的本质。众多著名的模糊逻辑代数系统, 如MV代数^[2]、BL代数^[3]、R₀代数^[4]、剩余格^[5]和格蕴涵代数^[6]等，都是FI代数的特殊子类代数。

迄今为止, 许多科学工作者从事这方面的研究并取得了丰硕成果^[7-14]。例如，王国俊^[7]证明了3种不同形式的MV-代数刻画的等价性, 同时分析了MV-代数、BL-代数和R₀代数的逻辑背景；ZHU和XU^[9]发展了一般剩余格的滤波理论；裴道武等^[10]揭示了FI格与模糊逻辑中几个重要代数系统之间的紧密联系, 且一些重要的模糊逻辑代数系统都是FI格类的子类；吴达^[13]在FI代数中引进“交换”运算，从而得到了进一步刻画FI代数及HFI代数的若干结果。

矩阵半张量积是一种新的矩阵乘积, 是描述有限集上映射的强大工具, 已成功应用于布尔网络^[15]、密码学^[16]、图着色^[17]、信息安全^[18]和车辆控制^[19]等领域。基于此, 本文将矩阵半张量积应用于逻辑代数研究领域, 给出了FI代数的若干等价刻画：通过矩阵半张量积方法在统一的理论框架内刻画了有限FI代数; 利用矩阵表达式, 将有限FI代数上抽象的逻辑运算规律转化为具体逻辑矩阵的简单运算; 彻底解决了有限FI代数同构的分类问题。

1. 预备知识

在本文中, 采用以下符号：ℝ表示实数域; ℝⁿ表示所有n维实列向量集合; ℝ^m×n表示所有m×n阶实矩阵集合; $\mathcal{L}_{m \times n}$ 表示m×n阶逻辑矩阵集合; A^T表示矩阵A的转置, Col_i(A)表示矩阵A的第i列; I_n表示n阶单位矩阵, δ_nⁱ表示I_n的第i列, 1_t表示t个元素全为1的列向量; Δ_n: ={δ_nⁱ|i=1, …, n}, Δ: =Δ₂; D_n: ={1, 2, …, n}, D: ={0, 1};|X|表示集合X的基数; ⊗表示矩阵的Kronecker积; ○表示矩阵半张量积。

定义1^[20] 对于矩阵A=(a_ij)∈ℝ^m×n, B=(b_ij)∈ℝ^p×q, 定义A和B的Kronecker积为：

$\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B}:=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} \boldsymbol{B} & a_{12} \boldsymbol{B} & \cdots & a_{1 n} \boldsymbol{B} \\ a_{21} \boldsymbol{B} & a_{22} \boldsymbol{B} & \cdots & a_{2 n} \boldsymbol{B} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} \boldsymbol{B} & a_{m 2} \boldsymbol{B} & \cdots & a_{m n} \boldsymbol{B} \end{array}\right) 。$

定义2^[20] 设矩阵A∈ℝ^m×n, B∈ℝ^p×q, 定义A与B的半张量积为

$\boldsymbol{A} \circ \boldsymbol{B}:=\left(\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{I}_{\frac{t}{n}}\right)\left(\boldsymbol{B} \otimes \boldsymbol{I}_{\frac{t}{P}}\right),$

其中t为n和p的最小公倍数。当n=p时, A○B=AB，即矩阵半张量积是普通矩阵乘法的推广, 并且保留矩阵乘法的重要性质。

矩阵半张量积具有下列性质：

引理1^[20] 设A, B, C是实矩阵, a, b∈ℝ, 则

(1)(分配律) A。(aB±bC)=aA。B±bA。C, (aA±bB)○C=aA。C±bB。C；

(2)(结合律) (A。B)。C=A。(B。C)；

(3) 设x∈ℝ^m, y∈ℝⁿ, 则x○y=x⊗y。

引理2^[20] 设x∈ℝ^t, A∈ℝ^m×n, 则x。A=(I_t⊗A)○x。

定义3^[21] 换位矩阵W_{[m, n]}∈ℝ^mn×mn定义为

$\boldsymbol{W}_{[m, n]}=\left[\boldsymbol{I}_n \otimes \boldsymbol{\delta}_m^1, \boldsymbol{I}_{\mathrm{n}} \otimes \boldsymbol{\delta}_m^2, \cdots, \boldsymbol{I}_{\mathrm{n}} \otimes \boldsymbol{\delta}_m^m\right] 。$

换位矩阵的作用是交换2个不同维的列向量因子在矩阵半张量积运算下的顺序。

引理3^[21] 设x∈ℝ^m, y∈ℝⁿ, 则W_{[m, n]} ○x○y=y。x。

设H={h₁, h₂, …, h_r}是一个有限集, 如果可以用一个向量δ_rⁱ∈Δ_r表示集合H中的每个元素, 即

$h_i \sim \boldsymbol{\delta}_r^i \quad(i=1, 2, \cdots, r),$

则称这种表达为有限集的向量表达式, 其对应顺序可以任意指定。

例如，在经典逻辑中, D={0, 1}, 一个逻辑变量x∈D可以用向量形式表示:

$x \sim\left[\begin{array}{c} x \\ 1-x \end{array}\right]。$

类似地, 经典逻辑变量的向量表达式也可以用于多值逻辑。

例1 考虑k值逻辑, 定义

$\frac{i}{k-1} \sim \boldsymbol{\delta}_k^{k-i} \quad(i=0, 1, \cdots, k-1)。$

基于此, 有

$\boldsymbol{\delta}_k^i \wedge \boldsymbol{\delta}_k^j=\boldsymbol{\delta}_k^{\max (i, j)} ; \boldsymbol{\delta}_k^i \vee \boldsymbol{\delta}_k^j=\boldsymbol{\delta}_k^{\min (i, j)} ; \neg \boldsymbol{\delta}_k^i=\boldsymbol{\delta}_k^{k+1-i}。$

利用向量表达式, 一个n维变量逻辑函数f: Dⁿ→D可以表示为从Δ_n到Δ的一个映射。

引理4^[22] 设映射f: Dⁿ→D, 利用向量表达式, 有

$f\left(x_1, \cdots, x_n\right)=\boldsymbol{M}_f \circ x_1 \circ x_2 \circ \cdots \circ x_n，$

其中 $\boldsymbol{M}_f \in \mathcal{L}_{2 \times 2^n}$ 是唯一的, 叫做f的结构矩阵。

例2 在例1, 当k=2时, 有1~δ₂¹, 0~δ₂²。记∧、∨、¬的结构矩阵分别为M_c、M_d、M_n, 由引理4可得

$\begin{aligned} & \boldsymbol{\delta}_2^1 \wedge \boldsymbol{\delta}_2^1=\boldsymbol{\delta}_2^1=\boldsymbol{M}_c \circ \boldsymbol{\delta}_2^1 \circ \boldsymbol{\delta}_2^1=\operatorname{Col}_1\left(\boldsymbol{M}_c\right) ; \\ & \boldsymbol{\delta}_2^1 \wedge \boldsymbol{\delta}_2^2=\boldsymbol{\delta}_2^2=\boldsymbol{M}_c \circ \boldsymbol{\delta}_2^1 \circ \boldsymbol{\delta}_2^2=\operatorname{Col}_2\left(\boldsymbol{M}_c\right) ; \\ & \boldsymbol{\delta}_2^2 \wedge \boldsymbol{\delta}_2^1=\boldsymbol{\delta}_2^2=\boldsymbol{M}_c \circ \boldsymbol{\delta}_2^2 \circ \boldsymbol{\delta}_2^1=\operatorname{Col}_3\left(\boldsymbol{M}_c\right) ; \\ & \boldsymbol{\delta}_2^2 \wedge \boldsymbol{\delta}_2^2=\boldsymbol{\delta}_2^2=\boldsymbol{M}_c \circ \boldsymbol{\delta}_2^2 \circ \boldsymbol{\delta}_2^2=\operatorname{Col}_4\left(\boldsymbol{M}_c\right) 。 \end{aligned}$

计算显示M_c=δ₂[1 2 2 2]。类似地, 可以得到M_d=δ₂[1 1 1 2]和M_n=δ₂[2 1]。

2. 有限FI代数的矩阵表示

定义4^[1] 一个(2, 0)型代数(X, →, 0)称为模糊蕴涵代数, 简称为FI代数, 如果对任意x, y, z∈X, 有

(I₁)x→(y→z)=y→(x→z);

(I₂)(x→y)→((y→z)→(x→z))=1;

(I₃)x→x=1;

(I₄) x→y=y→x=1⇒x=y;

(I₅) 0→x=1,

其中1=0→0。

有限集合X={x₁, x₂, …, x_t}(t < ∞)，将X中的元素转化为向量的形式：x₁~δ_t¹, x₂~δ_t², …, 0=x_t~δ_t^t。记→的结构矩阵为M_→(t), 下面给出与FI代数等价的代数条件。

定理1 设|X|=t < ∞, (X, →, 0)是FI代数当且仅当M_→(t)满足

(I₁)′M_→(t)(I_t⊗M_→(t))=M_→(t)(I_t⊗M_→(t))W_{[t, t]};

(I₂)′(M_→(t))²(I_t²⊗(M_→(t))²)(I_t⁴⊗M_→(t))(I_t⊗W_{[t, t³]})PR_t(I_t⊗PR_t)(I_t²⊗PR_t)=1_t³^T⊗(M_→(t)δ_t²^t²);

(I₃)′M_→(t)PR_t=1_t^T⊗(M_→(t)δ_t²^t²);

(I₄)′M_→(t)xy=M_→(t)W_{[t, t]}xy=M_→(t)δ_t²^t²⇒x=y;

(I₅)′M_→(t)δ_t^t=1_t^T⊗(M_→(t)δ_t²^t²),

其中, 0~δ_t^t, 1~M_→(t)δ_t²^t², PR_t=diag(δ_t¹, δ_t², …, δ_t^t), 且对∀x∈Δ_t, x²=PR_tx, t≥2。

证明易证定义4的条件(I₁)~(I₅)可等价于定理1的条件(I₁)′~(I₅)′, 下面只给出条件(I₂)′等价于条件(I₂)的详细证明, 其他的证明过程类似或显见。设(X, →, 0)是有限FI代数, 且|X|=t < ∞, 定义0~δ_t^t, 由1=0→0可以得到1~M_→(t)δ_t²^t²。∀x, y, z∈X, 条件(I₂)的矩阵表示如下：

$\begin{aligned} & \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) x y\right)\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) y z\right)\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) x z\right)\right)= \\ & \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2}^{t^2}， \end{aligned}$

即

$\begin{aligned} & \left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2\right) x y^2 z\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) x z\right)= \\ & \quad \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2}^{t^2}。 \end{aligned}$

进一步可得

则有

从而

$\begin{gathered} \left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2\right)\left(\boldsymbol{I}_{t^4} \otimes \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \times \\ \left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{\left[t, t^3\right]}\right) \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t x \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t y \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t z=\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2}^{\boldsymbol{t}^2}, \end{gathered}$

故

$\begin{aligned} & \left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2\right)\left(\boldsymbol{I}_{t^4} \otimes \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \times \\ & \quad\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{\left[t, t^3\right]}\right) \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\right)\left(I_{t^2} \otimes \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\right) x y z= \\ & \quad \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2 \circ}^{t^2}。 \end{aligned}$

由x、y、z的任意性，可得

$\begin{aligned} & \left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2\right)\left(\boldsymbol{I}_{t^4} \otimes \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \times \\ & \quad\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{\left[t, t^3\right]}\right) \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\right)\left(I_{t^2} \otimes \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\right)= \\ & \quad \boldsymbol{I}_{t^3}^{\mathrm{T}} \otimes\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2}^{t^2}\right), \end{aligned}$

由此可知条件(I₂)′等价于条件(I₂)。证毕。

例3 设t=2, 由于→为一个二元算子, 故可设M_→(2)=[m₁, m₂, m₃, m₄](m_i∈Δ, i=1, 2, 3, 4), 只有唯一的一组M_→(2)满足定理1的条件(I₁)′~(I₅)′, 即

$\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(2)=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right) 。$

例4 设t=3, 类比上述步骤, 运用穷举法只得到4组满足FI代数的定义的M_→(3)：

$\begin{aligned} & \text { (1) } \boldsymbol{M}_{\rightarrow}^1(3)=\left(\begin{array}{lllllllll} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) ; \\ & \text { (2) } \boldsymbol{M}_{\rightarrow}^2(3)=\left(\begin{array}{lllllllll} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) ; \\ & \text { (3) } \boldsymbol{M}_{\rightarrow}^3(3)=\left(\begin{array}{lllllllll} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \text {; } \\ & \text { (4) } \boldsymbol{M}_{\rightarrow}^4(3)=\left(\begin{array}{lllllllll} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \text {。 } \end{aligned}$

可以在FI代数(X, →, 0)上定义一个二元关系≤：

$x \leqslant y \Leftrightarrow x \rightarrow y=1 \quad(x, y \in X) \text { 。 }$

显然, 由→诱导的关系≤是一个偏序。

引理5^[10] 设(X, →, 0)是一个FI代数, 对于任意x, y, z∈X, 下列性质成立：

(i) x→1=1;

(ii) 1→x=x;

(iii) x→(y→x)=1;

(iv) x≤y⇒z→x≤z→y, y→z≤x→z;

(v) x≤y→z⇔y≤x→z;

(vi)(y→z)≤(x→y)→(x→z)。

对于有限FI代数, 利用结构矩阵M_→(t)与矩阵半张量积, 可以将引理5的(i)~(vi)由定性运算转化为定量运算, 给出它们的代数表达式。

定理2 设(X, →, 0)是一个有限FI代数, 且|X|=t < ∞。对于FI代数上的偏序关系进行矩阵表示，得到

$\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) x y=\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2}^{t^2}。$

由此二元关系可得到与引理5的(i)~(vi)等价的代数表达形式：

(i)′M_→(t)W_{[t, t]}M_→(t)δ_t²^t²=1_t^T⊗(M_→(t)δ_t²^t²);

(ii)′M_→(t)(M_→(t)δ_t²^t²)=I_t;

(iii)′M_→(t)(I_t⊗M_→(t))(I_t⊗W_{[t, t]})PR_t=1_t²^T⊗(M_→(t)δ_t²^t²);

(iv)′M_→(t)xy=M_→(t)δ_t²^t²⇒(M_→(t))²(I_t²⊗M_→(t))W_{[t, t]}(I_t⊗W_{[t, t²]})(I_t²⊗PR_t)xyz=M_→(t)δ_t²^t², (M_→(t))²(I_t²⊗M_→(t))W_{[t, t²]}(I_t²⊗PR_t)xyz=M_→(t)δ_t²^t²;

(v)′M_→(t)(I_t⊗M_→(t))=1_t³^T⊗(M_→(t)δ_t²^t²)⇔M_→(t)(I_t⊗M_→(t))W_{[t, t]}=1_t³^T⊗(M_→(t)δ_t²^t²);

(vi)′(M_→(t))²(I_t²⊗(M_→(t))²)(I_t⁴⊗M_→(t))W_{[t³, t²]}(I_t⊗W_{[t, t]})PR_t(I_t⊗PR_t)(I_t²⊗PR_t)=1_t³^T⊗(M_→(t)δ_t²^t²)。

证明 (i)′~(vi)′的证明方法类似, 这里只给出(vi)′的详细证明。首先, 可将(vi)等价表达成(y→z)→((x→y)→(x→z))=1, 其矩阵表示如下：

$\begin{aligned} & \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) y z\right)\left[\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) x y\right)\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) x z\right)\right]= \\ & \quad \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2}^{t^2}， \end{aligned}$

即

$\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2 y z\left[\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2 x y \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) x z\right]=\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2}^{t^2}，$

从而

$\begin{aligned} & \left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2\right) y z x y \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) x z= \\ & \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2}^{t^2}。 \end{aligned}$

进一步可得

则有

即

$\begin{gathered} \left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2\right)\left(\boldsymbol{I}_{t^4} \otimes \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \boldsymbol{W}_{\left[t^3, t^2\right]} \times \\ \quad\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{[t, t]}\right) x^2 y^2 z^2=\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2}^{t^2}, \end{gathered}$

从而

$\begin{gathered} \left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2\right)\left(\boldsymbol{I}_{t^4} \otimes \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \boldsymbol{W}_{\left[t^3, t^2\right]} \times \\ \left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{[t, t]}\right) \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t x \boldsymbol{P R}_t y \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t z=\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2}^{t^2}, \\ \end{gathered}$

则

$\begin{aligned} &\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2\right)\left(\boldsymbol{I}_{t^4} \otimes \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \boldsymbol{W}_{\left[t^3, t^2\right]} \times \\ &\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{[t, t]}\right) \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\right)\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\right) x y z= \\ & \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2 }^{t^2}。 \end{aligned}$

由x, y, z的任意性, 则有

$\begin{aligned} & \left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2\right)\left(\boldsymbol{I}_{t^4} \otimes \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \boldsymbol{W}_{\left[t^3, t^2\right]} \times \\ & \quad\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{[t, t]}\right) \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\right)\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\right)= \\ & \quad \boldsymbol{I}_{t^3}^{\mathrm{T}} \otimes\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2}^{t^2}\right) 。 \end{aligned}$

从而, (vi)′得证。证毕。

3. FI代数的同态与同构

定义5^[1] 设F_i=(X_i, →_i, 0_i)(i=1, 2)是2个FI代数, 若存在映射f: X₁→X₂, 使得

(i) f(x→₁y)=f(x)→₂f(y)(x, y∈X₁);

(ii) f(0₁)=0₂,

则称f为FI代数同态。

假设|X₁|=m, |X₂|=n, 即令X₁={δ_m¹, δ_m², …, δ_m^m}, X₂={δ_n¹, δ_n², …, δ_nⁿ}。则映射f: X₁→X₂可以表示成矩阵形式：

$f(x)=M_f x，$

其中 $\boldsymbol{M}_f \in \mathcal{L}_{n \times m}$ 是f的结构矩阵。

定理3 设F_i=(X_i, →_i, 0_i)(i=1, 2)是2个有限FI代数, 且|X₁|=m < ∞, |X₂|=n < ∞, 存在映射f: X₁→X₂, f为FI代数同态当且仅当

$(\mathrm{i})^{\prime} \boldsymbol{M}_f \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(m)=\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(n) \boldsymbol{M}_f\left(\boldsymbol{I}_m \otimes \boldsymbol{M}_f\right);\\ (\text{ii}) { }^{\prime} \operatorname{Col}_m\left(\boldsymbol{M}_f\right)=\boldsymbol{\delta}_n^n 。$

证明利用矩阵表示易得定理3的条件(i)′、(ii)′分别等价于定义5的条件(i)、(ii)。证明过程如下：∀x, y∈X₁, 条件(i)的矩阵表示如下：

$\begin{gathered} \boldsymbol{M}_f\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(m) x y\right)=\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(n)\left(\boldsymbol{M}_f x\right)\left(\boldsymbol{M}_f y\right) \\ \boldsymbol{M}_f \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(m)=\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(n) \boldsymbol{M}_f\left(\boldsymbol{I}_m \otimes \boldsymbol{M}_f\right)_{\circ} \end{gathered}$

从而证得条件(i)′与条件(i)等价。对条件(ii), 由0_i~δ_iⁱ，并利用矩阵表示, 可以得到

$\begin{gathered} \boldsymbol{M}_f \boldsymbol{\delta}_m^m=\boldsymbol{\delta}_n^n, \\ \operatorname{Col}_m\left(\boldsymbol{M}_f\right)=\boldsymbol{\delta}_n^n \text { 。 } \end{gathered}$

从而证得条件(ii)′与条件(ii)等价。证毕。

定义6^[1] 设F_i=(X_i, →_i, 0_i)(i=1, 2)是2个FI代数, 且映射f: X₁→X₂为FI代数同态, 如果f是一对一且映上的, 那么f称为FI代数同构。

定义7^[20]给定一个置换τ∈S_n, 定义它的结构矩阵M_τ如下：

$\operatorname{Col}_i\left(\boldsymbol{M}_\tau\right)=\boldsymbol{\delta}_n^{\tau(i)} \quad(i=1, \cdots, n),$

称M_τ为置换矩阵。

定理4 设F_i(i=1, 2)为2个有限FI代数, 且|F₁|=|F₂|=n, M_→ⁱ(i=1, 2)为相应的结构矩阵。映射T: F₁→F₂为FI代数同构, 则

(i) T是一个置换矩阵, 即存在一个置换τ∈S_n, 使得T=M_τ, 因此T^T=T^－1;

(ii) M_→¹=T^TM_→²(T⊗T)。

证明由定义6知, 映射f: X₁→X₂是一对一且映上的, 则存在一个τ∈S_n, 使得f(i)=τ(i) (i=1, 2, …, n)。当x=i∈D_n表示为向量形式δ_nⁱ时, 有f(i)=τ(i)=M_τ(x)。于是

$\boldsymbol{M}_\tau \boldsymbol{M}_{\rightarrow}^1 x y=\boldsymbol{M}_{\rightarrow}^2\left(\boldsymbol{M}_\tau x\right)\left(\boldsymbol{M}_\tau y\right)。$

从而可得

$\begin{aligned} & \boldsymbol{M}_{\rightarrow}^2\left(\boldsymbol{M}_\tau x\right)\left(\boldsymbol{M}_\tau y\right)=\boldsymbol{M}_{\rightarrow}^2 \boldsymbol{M}_\tau\left(\boldsymbol{I}_n \otimes \boldsymbol{M}_\tau\right) x y= \\ & \quad \boldsymbol{M}_{\rightarrow}^2\left(\boldsymbol{M}_\tau \otimes \boldsymbol{M}_\tau\right) x y=\boldsymbol{M}_\tau \boldsymbol{M}_{\rightarrow}^1 x y， \end{aligned}$

即M_τM_→¹=M_→²(M_τ⊗M_τ)。进而有

$\begin{aligned} & \boldsymbol{M}_{\rightarrow}^1=\boldsymbol{M}_\tau^{-1} \boldsymbol{M}_{\rightarrow}^2\left(\boldsymbol{M}_\tau \otimes \boldsymbol{M}_\tau\right)=\boldsymbol{T}^{-1} \boldsymbol{M}_{\rightarrow}^2(\boldsymbol{T} \otimes \boldsymbol{T})= \\ & \quad \boldsymbol{T}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M}_{\rightarrow}^2(\boldsymbol{T} \otimes \boldsymbol{T})。 \end{aligned}$

证毕。

例5 在例3中, 当n=2时, 没有非平凡同构。

例6 在例4中, 当n=3时, 存在2组保持0不变的非平凡同构, $\boldsymbol{T}=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$ , 由定理4易知F₁={M_→¹}同构于F₂={M_→⁴}, F₁={M_→²}同构于F₂={M_→³}。

4. FI代数的导子

本节利用矩阵半张量积与逻辑矩阵运算来考虑有限FI代数上的导子：首先，引入(l, r)－导子、(r, l)－导子和导子的概念, 并给出它们的一些性质；然后，利用矩阵表达式, 将d、⊕、→所满足的运算规律转化为具体逻辑矩阵的简单运算；最后，通过逻辑矩阵运算给出FI代数关于导子的新性质。

定义8^[23] 设(X, →, 0)是FI代数, 对于映射d: X→X：

(i) 若d满足: ∀x, y∈X, 有

$d(x \rightarrow y)=(d(x) \rightarrow y) \oplus(x \rightarrow d(y)),$

则称d是X上的(l, r)－导子;

(ii) 若d满足: ∀x, y∈X, 有

$d(x \rightarrow y)=(x \rightarrow d(y)) \oplus(d(x) \rightarrow y),$

则称d是X上的(r, l)－导子;

(iii) 若d既是X上的(l, r)－导子, 又是X上的(r, l)－导子, 则称d是X上的导子, 并称(X, d)是导子FI代数;

(iv) 若d满足∀x∈X, 有d(x)=1, 则称d是X上的平凡导子。

利用矩阵半张量积以及矩阵表达式研究有限FI代数上的导子时, 定义一种新的二元运算⊕：∀x, y∈X, x⊕y=x′→y, 其中x′是x的伪补, 满足∀x∈X, x′=x→0。M_d、M_⊕(t)分别是d、⊕的结构矩阵, 且由⊕所满足的运算规律, 可以得到M_⊕(t)=(M_→(t))²W_{[t, t]}δ_t^t。

定理5 设(X, →, 0)是有限FI代数, 且|X|=t < ∞, 对于映射d: X→X：

(i)′d是X上的(l, r)－导子当且仅当

(ii)′d是X上的(r, l)－导子当且仅当

$\begin{gathered} \boldsymbol{M}_d \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)=\boldsymbol{M}_{\oplus}(t) \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{M}_d\right)\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \times \\ \left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_d\right)\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{[t, t]}\right) \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{P}_t\right) ; \end{gathered}$

(iii)′d是X上的导子当且仅当

$\begin{gathered} \boldsymbol{M}_d \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)=\boldsymbol{M}_{\oplus}(t) \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{M}_d\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \times\\ \left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{[t, t]}\right) \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_d\right)\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{P}_t\right), \\ \boldsymbol{M}_d \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)=\boldsymbol{M}_{\oplus}(t) \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{M}_d\right)\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \times \\ \left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_d\right)\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{[t, t]}\right) \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\right) ; \end{gathered}$

(iv)′d是X上的平凡导子当且仅当

$\boldsymbol{M}_d=\boldsymbol{1}_t^{\mathrm{T}} \otimes\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2}^{t^2}\right)。$

证明这里只提供(i)′的详细证明，其他结论类似。定义8(i)中等式的矩阵表示如下：

$\boldsymbol{M}_d\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) x y\right)=\boldsymbol{M}_{\oplus}(t)\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\left(\boldsymbol{M}_d x\right) y\right)\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) x\left(\boldsymbol{M}_d y\right)\right)，$

即

$\boldsymbol{M}_d \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) x y=\boldsymbol{M}_{\oplus}(t) \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{M}_d\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) x y x \boldsymbol{M}_d y。$

进一步可得

$\begin{aligned} & \boldsymbol{M}_d \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) x y=\boldsymbol{M}_{\oplus}(t) \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{M}_d\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \times \\ & \quad\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{[t, t]}\right) x^2 y \boldsymbol{M}_d y, \end{aligned}$

从而

$\begin{aligned} & \boldsymbol{M}_d \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) x y=\boldsymbol{M}_{\oplus}(t) \boldsymbol{M}_→(t) \boldsymbol{M}_d\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \times \\ & \quad\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{[t, t]}\right) \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t x y \boldsymbol{M}_d y, \end{aligned}$

则有

$\begin{gathered} \boldsymbol{M}_d \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) x y=\boldsymbol{M}_{\oplus}(t) \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{M}_d\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \times \\ \quad\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{[t, t]}\right) \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_d\right) x y^2， \end{gathered}$

进而有

$\begin{gathered} \boldsymbol{M}_d \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) x y=\boldsymbol{M}_{\oplus}(t) \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{M}_d\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \times \\ \left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{[t, t]}\right) \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_d\right)\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\right) x y。 \end{gathered}$

由x, y的任意性, 则有

故定理5(i)′的条件与定理8(i)的条件等价。证毕。

例7 设X={0, a, b, c, 1}, 其中0 < a < b < c < 1, 在X上定义→的运算表、映射d₁: X→X如下：

$\begin{array}{c|ccccc} \rightarrow & 0 & a & b & c & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & c & 1 & 1 & 1 & 1 \\ b & a & a & 1 & 1 & 1 \\ c & a & a & b & 1 & 1 \\ 1 & 0 & a & b & c & 1 \end{array}$

$d_1(x)= \begin{cases}0 & (x=0)， \\ a & (x=a)， \\ 1 & (x=b, c, 1)。\end{cases}$

(1)

令0~δ₅⁵, a~δ₅⁴, b~δ₅³, c~δ₅², 1~δ₅¹，则由→的运算表和式(1)可以得到→和d₁的结构矩阵M_→(5)和M_d₁，并利用M_→(5)求得M_⊕(5)：

$\begin{aligned} & \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(5)= \\ & \left(\begin{array}{lllllllllllllllllllllllll} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right), \end{aligned}$

$M_{d_1}=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right),$

$\begin{aligned} & \boldsymbol{M}_{\oplus}(5)= \\ & \left(\begin{array}{lllllllllllllllllllllllll} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) 。 \\ & \end{aligned}$

则由定理1可得(X, →, 0)是FI代数，再将结构矩阵M_→(5)、M_⊕(5)和M_d₁代入定理5，满足定理5(iii)′的条件，即d₁既是X上的(l, r)－导子，又是X上的(r, l)－导子，因此，d₁是X上的导子。

例8 设X={0, a, b, c, 1}, 在X上定义→的运算表和映射d₂: X→X为：

$\begin{array}{c|ccccc} \rightarrow & 0 & a & b & c & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & a & 1 & a & a & 1 \\ b & a & 1 & 1 & a & 1 \\ c & a & 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 0 & a & b & c & 1 \end{array}, d_2(x)= \begin{cases}a & (x=b, c) \\ 1 & (x=0, a, 1)\end{cases}$

类似地, 可以得到M_→(5)、M_d₂和M_⊕(5)：

$\begin{aligned} & \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(5)= \\ & \left(\begin{array}{lllllllllllllllllllllllll} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right), \end{aligned}$

$\boldsymbol{M}_{d_2}=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right),$

$\begin{aligned} & \boldsymbol{M}_{\oplus}(5)= \\ & \left(\begin{array}{lllllllllllllllllllllllll} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) 。 \end{aligned}$

同样地, 将M_→(5)代入定理1得到(X, →, 0)是FI代数, 将M_→(5)、M_⊕(5)和M_d₂代入定理5, 可知d₂是X上的(r, l)－导子, 但不是X上的(l, r)－导子, 从而不是X上的导子。

引理6^[23] 设(X, →, 0)是FI代数。若d是X上的(l, r)－导子((r, l)－导子或导子), 则∀x, y∈X, 有

(i) x≤d(x);

(ii) d(x)→y≤x→d(y);

(iii) d(x)→d(y)≤d(x→y)。

定理6 设(X, →, 0)是有限FI代数, 且|X|=t < ∞。若d是X上的(l, r)－导子((r, l)－导子或导子), 则下列性质成立:

(i)′M_→(t)(I_t⊗M_d)PR_t=1_t^T⊗(M_→(t)δ_t²^t²);

(ii)′(M_→(t))²M_d(I_t²⊗M_→(t))(I_t³⊗M_d)(I_t⊗W_{[t, t]})PR_t(I_t⊗PR_t)=1_t²^T⊗(M_→(t)δ_t²^t²);

(iii)′(M_→(t))²M_d(I_t⊗M_d)(I_t²⊗M_dM_→(t))(I_t⊗W_{[t, t]})PR_t(I_t⊗PR_t)=1_t²^T⊗(M_→(t)δ_t²^t²)。

证明下面仅给出(iii)′的详细证明。利用偏序关系, 可将引理6的(iii)转化为

$(d(x) \rightarrow d(y)) \rightarrow d(x \rightarrow y)=1 \text { 。 }$

(2)

由定理1知1~M_→(t)δ_t²^t², 式(2)的矩阵表示如下：

$\begin{aligned} & \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\left(\boldsymbol{M}_d x\right)\left(\boldsymbol{M}_d y\right)\right)\left(\boldsymbol{M}_d\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) x y\right)\right)= \\ & \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2}^{t^2} \text {, } \\ & \end{aligned}$

即

$\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2 \boldsymbol{M}_d\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{M}_d\right) x y\left(\boldsymbol{M}_d \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) x y\right)=\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2}^{t^2},$

进一步可得

$\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2 \boldsymbol{M}_d\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{M}_d\right)\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_d \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) x y x y=\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2}^{t^2}。$

从而

$\begin{gathered} \left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2 \boldsymbol{M}_d\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{M}_d\right)\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_d \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \times \\ \quad\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{[t, t]}\right) x^2 y^2=\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2}^{t^2}， \end{gathered}$

则有

$\begin{aligned} & \left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2 \boldsymbol{M}_d\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{M}_d\right)\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_d \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \times \\ & \quad\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{[t, t]}\right) \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\right) x y=\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2}^{t^2}， \end{aligned}$

由x、y的任意性, 有

$\begin{aligned} & \left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right)^2 \boldsymbol{M}_d\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{M}_d\right)\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_d \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \times \\ & \quad\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{[t, t]}\right) \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\right)=\boldsymbol{I}_{t^2}^{\mathrm{T}} \otimes\left(\boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{\delta}_{t^2}^{t^2}\right)。 \end{aligned}$

于是(iii)′得证。证毕

定理7 设(X, →, 0)是有限FI代数, 且|X|=t < ∞。若d₁, d₂, …, d_n均是X上的导子, 则d=d₁·d₂·…·d_n是X上的导子当且仅当

$\begin{gathered} \boldsymbol{M}_d \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)=\boldsymbol{M}_{\oplus}(t) \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t) \boldsymbol{M}_d\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \times \\ \left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{[t, t]}\right) \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_d\right)\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\right)， \\ \boldsymbol{M}_d \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)=\boldsymbol{M}_{\oplus}(t) \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{M}_d\right)\left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_{\rightarrow}(t)\right) \times \\ \left(\boldsymbol{I}_{t^2} \otimes \boldsymbol{M}_d\right)\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{W}_{[t, t]}\right) \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\left(\boldsymbol{I}_t \otimes \boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_t\right)， \end{gathered}$

其中，M_d=M_d₁·M_d₂·…·M_{d_n}, M_{d_i}(i=1, 2, …, n)为d_i的结构矩阵。

证明由定理5可得d是X上的导子, 则映射d的结构矩阵M_d满足定理5(iii)′的条件。又因为d是多个映射复合而成的, 可得其结构矩阵M_d满足M_d=M_d₁·M_d₂·…·M_{d_n}, 即结论成立。证毕。

5. 小结

本文基于矩阵半张量积对有限FI代数的基本性质进行了研究, 将有限FI代数上的逻辑表达式转化为逻辑矩阵的简单运算, 并以此为基础研究了有限FI代数上的同态与同构, 彻底解决了有限FI代数同构的分类问题。同时, 有限FI代数上的导子也被用矩阵半张量积方法进行了分析, 对于给定有限FI代数上的若干导子, 得到了可直接验证各导子复合运算之后是否仍为FI代数上导子的充要条件。

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1. 预备知识
2. 有限FI代数的矩阵表示
3. FI代数的同态与同构
4. FI代数的导子
5. 小结

有限FI代数的矩阵表示

通讯作者: 李莹，Email: liyingld@163.com

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出版历程

The Matrix Expression of Finite FI Algebra

1. 预备知识

2. 有限FI代数的矩阵表示

3. FI代数的同态与同构

4. FI代数的导子

5. 小结

计量

出版历程

目录

1. 预备知识

2. 有限FI代数的矩阵表示

3. FI代数的同态与同构

4. FI代数的导子

5. 小结

通讯作者:
李莹，Email: liyingld@163.com