光晶格中多体极化子在Mott绝缘体区域的量子相

方家瑞; 殷涛; 贺亮

doi:10.6054/j.jscnun.2022081

光晶格中多体极化子在Mott绝缘体区域的量子相

方家瑞¹,
殷涛²,
贺亮^1, ,

1.
华南师范大学物理与电信工程学院，广州 510006
2.
深圳市云韬量子科技有限公司，深圳 518000

基金项目:

国家自然科学基金项目 11874017

广东省自然科学基金项目 2018A030313853

详细信息

通讯作者:
贺亮, Email: liang.he@scnu.edu.cn

中图分类号: O469
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出版历程
- 收稿日期: 2021-05-14
- 网络出版日期: 2023-02-13
- 刊出日期: 2022-12-24

Quantum Phases of Many-Body Polaron in Mott Insulator Regime in Optical Lattice

1.
School of Physics and Telecommunication Engineering, South China Normal University, Guangzhou 510006, China
2.
Yuntao Quantum Technologies, Shenzhen 518000, China

摘要

摘要: 极化子是在玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)背景下，光晶格中的玻色子与BEC声子库耦合形成的一种准粒子。通过Lang-Firsov变换得到极化子体系的有效哈密顿量，其形式为拓展的玻色-哈伯德模型。在Mott绝缘体区域，通过直接求解体系的哈密顿量得到了单组份极化子在填充数分别为1/2和1/4时的量子相；通过Hartree-Fock近似，进一步得到了双组份极化子在填充数分别为1/2和1/4时体系的量子相。研究预测了单组份和双组份极化子体系可能存在的非平庸量子相。
- 光晶格 /
- 极化子 /
- 量子相 /
- Mott绝缘区
Abstract: The quantum phases of many-body polaron was investigated in two-dimensional optical lattices in Mott Insulator regime. The polaron is a quasi-particle formed by the coupling between bosons in optical lattices and BEC phonons. The effective Hamiltonian of polarons is derived through Lang-Firsov transformation. The system can be described by extended Bose-Hubbard Model. In Mott Insulator regime, the Hamiltonian was solved directly so that the quantum phases of the system can be obtained for single-component case with filling factors of 1/2 and 1/4. By using Hartree-Fock approximation, more quantum phases for two-component case with filling factors of 1/2 and 1/4 can be found. Non-trivial quantum phases was predicted in single-component and two-component systems of polarons.
- optical lattice /
- polaron /
- quantum phases /
- Mott Insulator regime

HTML全文

光晶格中的冷原子体系一直是凝聚态物理的研究热点。它为研究量子多体系统提供了一个具有良好操控性的实验平台，是量子模拟^[1]的最佳实验体系之一。近年来，超冷量子气体系统常被用于研究各种准粒子的物理性质^{[2, 3]}，极化子即为其中的一个研究对象。在固体物理中，极化子的最初定义是能带电子与光学格波声子相互作用形成的准粒子。在实际的研究工作中，原子与声子耦合之后形成的准粒子也被称为极化子。人们可以利用非平衡的玻色子-费米子混合体系^[4]和费米子-费米子混合体系^[5]研究原子类的极化子。在合适的参数条件下，很多实验体系^[6-8]均可观测极化现象，比如原子之间通过原子-声子耦合诱导而来的长程相互作用。此外，通过偶极分子晶体^[9]，纳米粒子^[10]和混合原子-离子耦合体系^[11]同样能实现原子-声子的耦合，观测到极化效应。研究极化子体系，有助于人们了解离子晶体和极性半导体的物理性质，同时在新一代量子器件的开发方面，这些研究工作也具有良好的应用前景。

随着实验技术的发展，极化子体系的粒子组份并不仅限于一种^[12]。然而在相关的研究工作中^[4-8]，极化子的种类一般只有1种，少有关于多组份极化子体系的讨论。本文研究光晶格中的多体极化子在Mott绝缘体区域的系统性质，包括单组份和双组份的极化子体系。首先通过严格求解得到了二维光晶格中的单组份极化子在深Mott绝缘体区域下的量子相，包括极化子的填充数为1/2和1/4的2种情况。进一步地，利用Hartree-Fock平均场近似计算得到深Mott绝缘体区域下的双组份极化子在填充数分别为1/2和1/4时体系的量子相。

1. 模型与方法

考虑有2种组份的玻色子分布在由第三种玻色子形成的玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)的背景下，对应的粒子质量分别为m₁、m₂和m_B，2种玻色子被激光束缚在二维光晶格中。

晶格中的玻色子本身具备动能，同时存在相互作用，这一部分的系统性质可以用2组份的玻色-哈伯德模型来描述，对应的哈密顿量H_I为：

$\begin{gathered} H_I=-\sum\limits_{\langle i, j\rangle \sigma=b, d} t_\sigma\left(c_{i \sigma}^{\dagger} c_{j \sigma} \text { +h.c. }\right)-\sum\limits_{\sigma=b, d} \mu_\sigma n_{i \sigma}+ \\ \frac{1}{2} \sum\limits_{i ; \sigma_1, \sigma_2=b, d} U_{\sigma_1 \sigma_2} n_{i \sigma_1}\left(n_{i \sigma_2}-\delta_{\sigma_1 \sigma_2}\right), \end{gathered}$

(1)

其中，i、j是格点的指标，〈i, j〉表示i、j是最近邻格点。σ是玻色子组分的指标，可以取b、d对应晶格中2种不同的玻色子组份。c_iσ^†、c_iσ是晶格中玻色子的产生和湮灭算符，分别对应在i格点产生和湮灭1个σ粒子。t_σ是粒子σ的跃迁强度，U_σ₁σ₂表示同一格点上粒子σ₁和σ₂的相互作用，n_iσ表示i格点上σ粒子的粒子数算符，μ_σ是σ粒子的化学势，δ是Kronecker函数。同时，BEC本身存在源激发，可以通过波戈留波夫理论描述并写成声子库的形式：H_B= $\sum\limits_q \hbar \omega_q \alpha_q^{\dagger} \alpha_q$ 。α_q^†、α_q是动量为q的声子的产生和湮灭算符，ω_q是对应的频率。此外，光晶格中的玻色子和BEC的源激发也存在相互作用，对应的哈密顿量可以通过Fröhlich杂质-声子耦合^[13]变换为:

$\begin{aligned} H_{I B}=&-\sum\limits_{i, \sigma} \sum\limits_q\left(\hbar \omega_q M_q^\sigma \mathrm{e}^{i q R_i} \alpha_q c_{i \sigma}^{\dagger} c_{i \sigma}+\hbar \omega_q M_q^\sigma \mathrm{e}^{i q R_i} \alpha_{-q}^{\dagger} c_{i \sigma}^{\dagger} c_{i \sigma}\right)+ \\ & \text { h.c., } \end{aligned}$

(2)

其中，M_q^σ∝g_IB^σ是与系统参数和玻色子种类相关的一个可调参数，g_IB^σ描述晶格中的玻色子和BEC声子库之间的相互作用，可以通过调节玻色子和BEC声子库之间的散射长度改变。综上，体系总的哈密顿量可以写成：H=H_I+H_B+H_IB。晶格中的玻色子与BEC声子库发生耦合形成准粒子，称为极化子(polaron)。为了研究极化子的性质，可以通过变分的Lang-Firsov变换，得到极化子体系的哈密顿量H_p。极化子之间存在有效的长程相互作用，它来源于晶格中的2种玻色子与BEC声子库的耦合。描述系统的有效哈密顿量形式为拓展的玻色-哈伯德模型^[14-15]：

$\begin{aligned} H_p= & -\sum\limits_{\sigma ;\langle i, j\rangle} t_\sigma^p\left(c_{i \sigma}^{\dagger} c_{j \sigma}+\text { h.c. }\right)+ \\ & \frac{1}{2} \sum\limits_{i ; \sigma_1, \sigma_2}\left(U_{\sigma_1 \sigma_2}+V_{i i}^{\sigma_1 \sigma_2}\right) n_{i \sigma_1}\left(n_{i \sigma_2}-\delta_{\sigma_1 \sigma_2}\right)- \\ & \sum\limits_{i ; \sigma=b, d} \mu_\sigma^p n_{i \sigma}+\sum\limits_{i \neq j ; \sigma_1, \sigma_2} \frac{\widetilde{V}_{i j}^{\sigma_1 \sigma_2}}{2} n_{i \sigma_1} n_{j \sigma_2}, \end{aligned}$

(3)

其中，t_σ^p、μ_σ^p是重整化之后的跃迁能和化学势， $\widetilde{V}_{i j}^{\sigma_1 \sigma_2}$ 是2种玻色子之间通过BEC声子库诱导出来的有效相互作用，在二维空间的表达式为^[16]：

$\tilde{V}_{i j}^{\sigma_1 \sigma_2}=-\left(\frac{g_{I B}^{\sigma_1} g_{I B}^{\sigma_2}}{g_B}\right) \frac{1}{2 \pi \xi^2} K_0\left(\frac{\sqrt{2}|r|}{\xi}\right),$

(4)

其中，r是格点i、j之间的距离，ξ是修复长度(healing length)， $\xi \equiv \hbar / \sqrt{2 m_B g_B n_0}$ ，K₀(x)是0阶的贝塞尔函数。g_IB、g_B分别是BEC和光晶格中的2种玻色子之间的相互作用强度以及BEC自身粒子的相互作用强度，n₀是BEC的粒子密度。需要特别指出：不同于哈密顿量式(1)的含义，式(3)中的c_iσ^†、c_iσ是极化子的产生和湮灭算符，相应地，n_iσ表示i格点上σ类型极化子的粒子数算符。

在深Mott体区域，哈密顿量式(3)中极化子的跃迁能一项可以忽略不计。对于极化子在空间分布的所有结构，系统的能量都可以通过式(3)严格求解。因此，可以通过数值求解所有分布状态对应的系统能量，其中最小的能量对应的情况就是系统基态下的粒子分布。在粒子填充数较小的情况下，利用上述方法可以简便有效地得到系统的量子相。当粒子填充数变大时，体系对应的希尔伯特空间维度随填充数指数增长，遍历所有构型求解体系基态的方法费时费力，可采用Hartree-Fock平均场近似式^[17]

$n_{i \sigma_1} n_{j \sigma_2} \approx\left\langle n_{i \sigma_1}\right\rangle n_{j \sigma_2}+n_{i \sigma_1}\left\langle n_{j \sigma_2}\right\rangle-\left\langle n_{i \sigma_1}\right\rangle\left\langle n_{j \sigma_2}\right\rangle$

(5)

处理极化子之间的长程相互作用项。在研究单组份极化子体系时，本文利用哈密顿量式(3)遍历所有构型直接求解体系基态；对于含有双组份极化子的体系，则利用Hartree-Fock平均场近似简化模型之后，再求解体系的量子相。

2. 结果与讨论

2.1 平均场近似下的有效哈密顿量

利用式(5)将不同格点极化子相互作用按距离从最近邻、次近邻、次次近邻等依次展开：

$\begin{aligned} & \sum\limits_{\substack{i \neq j \\ \sigma_1, \sigma_2}} \frac{V_{i j}^{\sigma_1 \sigma_2}}{2} n_{i \sigma_1} n_{j \sigma_2}=\sum\limits_{\substack{\langle i, j\rangle \\ \sigma_1, \sigma_2}} \frac{V_{i j}^{\sigma_1 \sigma_2}}{2} n_{i \sigma_1} n_{j \sigma_2}+\sum\limits_{\substack{\langle \langle i, j \rangle \rangle \\ \sigma_1, \sigma_2}} \frac{V_{i j}^{\sigma_1 \sigma_2}}{2} n_{i \sigma_1} n_{j \sigma_2}+\cdots \approx \\ & \sum\limits_{i ; \sigma_1} n_{i \sigma_1}\left(\sum\limits_{\substack{j \in n . n . i \\ \sigma_2}} \frac{V_{i j}^{\sigma_{1 j} \sigma_2}}{2}\left\langle n_{j \nu}\right\rangle+\sum\limits_{\substack{j \in n . n . n . i \\ \sigma_2}} \frac{V_{i j}^{\sigma_1 \sigma_2}}{2}\left\langle n_{j \sigma_2}\right\rangle+\cdots\right)+C, \\ & \end{aligned}$

(6)

其中，常数项C的定义为:

$C \equiv-\frac{1}{2} \sum\limits_{\substack{i \neq j \\ \sigma_1, \sigma_2}} V_{i j}^{\sigma_{1 } \sigma_2}\left\langle n_{i \sigma_1}\right\rangle\left\langle n_{j \sigma_2}\right\rangle。$

(7)

在式(6)与哈密顿量式(3)中，化学势一项有同一因子 $\sum\limits_{i, \sigma} n_{i \sigma}$ ，因此可以合并到同一项中，合并之后可以得到平均场近似下极化子体系的哈密顿量：

$\begin{gathered} H_{M F}=-\sum\limits_{\sigma ;\langle i, j\rangle} t_\sigma^p\left(c_{i \sigma}^{\dagger} c_{j \sigma}+\text { h.c. }\right)-\sum\limits_{i ; \sigma} \mu_{i \sigma}^{\mathrm{eff}} n_{i \sigma}+ \\ \frac{1}{2} \sum\limits_{i ; \sigma_1, \sigma_2} U_{\sigma_1 \sigma_2} n_{i \sigma_1}\left(n_{i \sigma_2}-\delta_{\sigma_1 \sigma_2}\right) 。 \end{gathered}$

(8)

μ_iσ^eff表示修正后的有效化学势，表达式为：

$\mu_{i \sigma}^{\mathrm{eff}}=\mu_\sigma^p-\left(\sum\limits_{\substack{j \in n . n . i \\ \sigma^{\prime}}} \frac{V_{i j}^{\sigma \sigma^{\prime}}}{2}\left\langle n_{j \sigma^{\prime}}\right\rangle+\sum\limits_{\substack{j \in n . n . n . i \\ \sigma^{\prime}}} \frac{V_{i j}^{\sigma \sigma^{\prime}}}{2}\left\langle n_{j \sigma^{\prime}}\right\rangle+\cdots\right) 。$

(9)

2.2 非平庸参数区域的讨论

由 $\tilde{V}_{i j}^{\sigma_1 \sigma_2}$ 的表达式(4)可以看出，同种极化子之间有效的长程相互作用一定是吸引的( $\tilde{V}_{i j}^{b b}, \tilde{V}_{i j}^{d d}<0$ )，不同极化子之间的相互作用可以是排斥或者吸引的。假设b组份粒子之间的相互作用总大于d组份粒子之间的相互作用，则有： $\left|\tilde{V}_{i j}^{b b}\right|>\left|\tilde{V}_{i j}^{b d}\right|>\left|\tilde{V}_{i j}^{d d}\right|$ ，因此粒子间的长程吸引相互作用总是占主导优势，系统很容易出现平庸的相分离现象(所有粒子聚集在实空间的某一块区域)。然而很多情况下，粒子本身还存着偶极排斥相互作用，这可以使体系在空间上形成非平庸的周期性结构。考虑b组份的极化子在不同格点之间除了存在1个由BEC声子库诱导出的吸引力，本身还存在偶极排斥相互作用^[18]：

$V_{i j}^{b b}=\tilde{V}_{i j}^{b b}+D / r_{i j}^3,$

其中，D>0表示排斥力的强度且 $|D| \gg\left|\tilde{V}_{i j}^{b b}\right|$ ，r_ij表示格点i、j之间的距离；对于d组分极化子, $V_{i j}^{d d}=\widetilde{V}_{i j}^{d d}$ 。哈密顿量式(3)中的 $\tilde{V}_{i j}^{\sigma_1 \sigma_2}$ 用V_ij^σ₁σ₂代替。极化子的填充数分别取1/2和1/4，填充数的定义为：

$\rho=\left(\sum\limits_i\left\langle n_i\right\rangle\right) / L^2,$

即总粒子数与总格点数的比值，其中符号〈n_i〉表示对应算符的期望值，L是系统线性尺寸，本文取L=12，L²=144对应二维情况。不同组份的极化子数量保持一致，即ρ_b=ρ_d。在Mott绝缘体区域，系统更容易形成稳定的周期性结构，因此本文选择研究这一区域体系的量子相，包括只含有b组分和同时含有b、d这2种组份的极化子体系。

对于仅有b组份一种极化子的情况，能量

$E_1=\sum\limits_{i \neq j}\left(D / r_{i j}^3\right) n_{i b} n_{j b}$

在系统的基态取最小值。体系基态可以通过遍历所有系统构型得到。对于含有b、d这2种极化子的系统，可以在满足E₁最小的结构基础上，进一步求解使能量

$E_2=-\sum\limits_{i, d} \mu_{i, d}^{\text {eff }} n_{i, d}$

取最小值的d组份极化子的分布结构。

2.3 极化子的系统结构

对于单、双组份的极化子体系，不同组份的极化子在晶格中的分布如图 1和图 2所示。

图 1 不同填充数时b组份粒子随空间坐标的分布

注：系统处于Mott绝缘体区域，系统线性尺寸L=12。

Figure 1. The particle distribution of b species in real space corresponding to different filling factors

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图 2 不同填充数2组份极化子体系的量子相

注：系统处于Mott绝缘体区域，系统线性尺寸L=12。

Figure 2. The quantum phases of the system with two-component polaron for different filling factors

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对于存在偶极排斥相互作用的单组份极化子体系，对应2种不同的填充数，系统都可以在整个空间上形成稳定的密度波结构。当填充数变小时，极化子之间的平均距离变大。因为偶极排斥作用使不同极化子趋于互相远离，但有限的系统尺寸使粒子之间不能无限远离，最终极化子形成图 1所示的结构。

对于双组份极化子体系，首先讨论ρ_b=ρ_d=1/2的情况：欲使d组份的极化子粒子数和b组份保持一致，同时使E₂取最小值，b、d一定交替排列并将所有格点占满，极化子分布状况如图 2A、图 2B所示。因为相同格点的极化子相互作用强度U_bd远大于b、d之间的相互作用强度，且表现为排斥相互作用，使d组份极化子恰好将所有无粒子格点一一占据。对于ρ_b=ρ_d=1/4，情况则变得不一样。此时不同格点关于d组份极化子的有效化学势随空间坐标变化，系统的结构此时依赖于V_ij^bd的正负性。如果V_ij^bd < 0，则b、d分布如图 2C、图 2D所示，因为d组份极化子占据的格点恰好是有效化学势μ_d^eff最大的一系列格点，|V_ij^bd|n_ibn_jd取最大值，相应地V_ij^bdn_ibn_jd取最小值；相反，如果V_ij^bd>0，则对应图 2C，d组份极化子更倾向于分布在处于奇数行的格点上，形成不同的结构。在实验上，可以通过调节玻色子与BEC声子库的散射长度改变V_ij^bd的正负性，从而驱动该体系量子相的转变。

3. 结论

研究了二维光晶格中的单组份和双组份极化子在Mott绝缘体区域的量子相。在BEC背景下，光晶格中的玻色子与BEC声子库存在耦合，形成准粒子(极化子)。极化子-极化子之间的相互作用可以通过Lang-Firsov变换得到，体系的有效哈密顿量形式为拓展的玻色-哈伯德模型。在考虑其中一种极化子本身存在偶极排斥相互作用的情况下，分别通过严格求解体系的有效哈密顿量和平均场近似的方法得到了单组份和双组份极化子在填充数分别为1/2和1/4时体系的量子相。结果表明：当系统处于Mott绝缘体相时，不同组份和填充数的极化子体系都能够在晶格中形成密度波。极化子之间的平均距离随填充数减少而增加；密度波的结构取决于极化子的填充数、组份以及玻色子与BEC声子之间的散射长度。

在后续的工作中，可以进一步研究体系随跃迁强度增大后从Mott绝缘体相到超流相的相变边界以及有限温情况下的系统性质。

图 1 不同填充数时b组份粒子随空间坐标的分布

注：系统处于Mott绝缘体区域，系统线性尺寸L=12。

Figure 1. The particle distribution of b species in real space corresponding to different filling factors

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图 2 不同填充数2组份极化子体系的量子相

注：系统处于Mott绝缘体区域，系统线性尺寸L=12。

Figure 2. The quantum phases of the system with two-component polaron for different filling factors

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1. 模型与方法
2. 结果与讨论
2.1 平均场近似下的有效哈密顿量
2.2 非平庸参数区域的讨论
2.3 极化子的系统结构
3. 结论

光晶格中多体极化子在Mott绝缘体区域的量子相

通讯作者: 贺亮, Email: liang.he@scnu.edu.cn

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