The Preparation and Mechanical Properties of Konjac Glucomannan Porous Material Crosslinked with Citric Acid
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摘要: 采用来源广泛且廉价的魔芋葡甘聚糖(KGM)为原料,通过不同温度(5~85 ℃)使柠檬酸(CA)与KGM形成交联的CA-KGM多孔材料。分别考察了KGM加入量、CA加入量、反应温度及反应时间对CA-KGM机械性能的影响;以这3个因素为考察对象进行正交优化实验;通过扫描电子显微镜观察产品形貌。结果表明:合适的KGM和CA加入量、温度及反应时间才能得到黏度适宜、吸水率较好、机械性能强的CA-KGM多孔材料。通过优化实验条件,在KGM质量浓度10 g/L、CA质量浓度10 g/L、反应温度65 ℃、反应时间2 h条件下得到的CA-KGM拉伸强度为0.95 MPa、断裂伸长率为16.7%。Abstract: Konjac glucomannan (KGM) is used as raw material to crosslink KGM (CA-KGM) with citric acid (CA) at different temperatures (5~85 ℃). The effects of KGM addition, CA addition, reaction temperature and reaction time on the mechanical properties of CA-KGM porous materials are investigated. Orthogonal optimization experiments are carried out to study these three factors. At the same time, the morphology of the product is investigated with the scanning electron microscope. The results show that CA-KGM porous materials with good viscosity, water absorption and strong mechanical properties can be obtained only with appropriate amount of KGM and CA addition, appropriate temperature and appropriate reaction time. By optimizing the test conditions, with KGM mass concentration of 10 g/L, CA mass concentration of 10 g/L, reaction temperature of 65 ℃ and reaction time of 2 h, the tensile strength of CA-KGM reaches 0.95 MPa and the elongation at break reaches 16.7%.
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Keywords:
- konjac glucomannan /
- citric acid /
- crosslink /
- porous material /
- mechanical properties
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含有m-Laplacian项的拟线性波方程源于非线性Voigt模型, 描述的是粘弹性材料杆的纵向振动, 特别是可描述受外力作用的Ludwick材料的振动[1-2]. 近年来, 学者们对带有p-Laplacian项的偏微分方程解的性态作了深入研究, 如:PEI等[3]研究了p-Laplacian型波方程utt-Δpu-Δut=f(u), 其中2 < p < 3且f(u)的指数为超临界情形, 证明了该方程的整体弱解的存在以及当初始能量为负值时其解存在有限时间爆破; NAKAO[4]在适当假设下, 证明了p-Laplacian项为div{σ(|▽u|2)▽u}的偏微分方程的能量解具有多项式衰减性; RAPOSO等[5]考虑了带有记忆项和p-Laplacian项但不含非线性源项和强阻尼项的波方程, 主要通过Galerkin方法证明该方程的整体解存在且能量函数也具有多项式衰减性. 此外, 时滞项是系统不稳定的一个重要因素, 含有时滞项的方程受到越来越多学者的关注, 如: MESSAOUDI等[6]研究了带有强阻尼时滞项的波方程utt-Δu-μ1Δut-μ2Δut(t- τ)=0, 当假设|μ2|≤μ1时证明方程解的适定性以及能量函数具有指数衰减性; FENG[7]在一定条件下利用能量扰动法得到方程utt−Δu+∫t0g(t−s)Δu(x,s)ds−μ1Δut−μ2Δut(t−τ)=0解的指数衰减性; MOHAMMAD和MUHAMMAD[8]在文献[7]的基础上研究带有非线性源项|u|p-1u的柯西问题, 证明在初始能量为负时, 解存在有限时间爆破. 更多解的爆破研究可参考文献[9-12].
基于文献[3, 6-8]的研究, 本文考虑可描述弹性杆纵波振动的带有强阻尼时滞项的粘弹性方程:
{utt−Δmu−Δu+g∗Δu−μ1Δut(x,t)−μ2Δut(x,t−τ)= |u|p−2u (x∈Ω,t>0),u(x,t)=0 (x∈∂Ω,t⩾0),ut(x,t−τ)=f0(x,t−τ)(x∈Ω,t∈(0,τ)),u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x)(x∈Ω), (1) 其中,u(x, t)表示振动的位移, g*Δu表示粘弹性弱阻尼, -Δut表示弹性体的内部阻尼, Ω是Rn (n≥1)上带有光滑边界∂Ω的有界区域, g(·): R+→R+是正函数, m、μ1、μ2、p为常数,
Δmu=div(|∇u|m−2∇u),(g∗Δu)(t)=∫t0g(t−s)Δu(s)ds. 本文主要利用凹性方法, 证明当初始能量0 < E(0) < E1和E(0) < 0时, 方程组(1)的解都存在有限时间的爆破, 并给出爆破时间T*的上界估计.
1. 预备知识
本文用到Sobolev空间W01, m(Ω) (m≥2)和赋范线性空间Lp(Ω)及其范数‖ · ‖p. 特别地, L2(Ω)的范数表示为‖ · ‖. 正常数K>0为紧嵌入W01, m(Ω)↪Lp(Ω)的最佳嵌入常数. 对方程组(1)中涉及到的函数g(·)和正常数m、p假设如下:
(A1) g: R+→R+是非增可微函数, 满足: 1- ∫+∞0g(s)ds=l0>0, g′(t)≤0, t≥0.
(A2) 当n>m时, m < p≤ mnn−m; 当n≤m时, m < p < +∞.
(A3) 常数p和函数g(·) 满足: ∫+∞0g(s)ds≤p(p−2)(p−1)2.
类似文献[6], 引进新变量
z(x,ρ,t)=ut(x,t−ρτ)((x,ρ,t)∈Ω×(0,1)×(0,+∞)), 则有
τz(x,ρ,t)+zρ(x,ρ,t)=0((x,ρ,t)∈Ω×(0,1)×(0,+∞)). 从而方程组(1)等价于:
{utt−Δmu−Δu+g∗Δu−μ1Δut(x,t)−μ2Δz(x,1,t)=|u|p−2u((x,t)∈Ω×(0,+∞)),τz(x,ρ,t)+zρ(x,ρ,t)=0((x,ρ,t)∈Ω×(0,1)×(0,+∞)),u(x,t)=0((x,t)∈∂Ω×[0,+∞)),z(x,ρ,0)=f0(x,−ρτ)((x,ρ)∈Ω×(0,1)),u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x)(x∈Ω). (2) 定义方程组(2)的修正能量函数为
E(t):=12‖ut‖2+1m‖∇u‖mm+12(1−∫t0g(s)ds)‖∇u‖2+12(g∘∇u)(t)+ξ2∫Ω∫10|∇z(x,ρ,t)|2 dρdx−1p‖u‖pp(t⩾0), (3) 其中
(g∘φ)(t)=∫t0g(t−s)‖φ(t)−φ(s)‖2 ds,τ|μ2|<ξ<τ(2μ1−|μ2|),μ1>|μ2|. 下面给出方程组(1)的弱解定义.
定义 1 任给定初始值(u0, u1)∈W01, m(Ω)×L2(Ω), 称H=(u, ut)∈C(R+, W01, m(Ω)×L2(Ω))为方程组(1)的弱解, 若满足: H(0)=(u0, u1), 且对任意w∈H01(Ω),有
(utt,w)+(|∇u|m−2∇u,∇w)+(∇u,∇w)− ∫t0g(t−s)(∇u(s),∇w)ds+μ1(∇ut,∇w)+ μ2(∇ut(t−τ),∇w)=(|u|p−2u,w). 类似文献[5]、[6]、[10]的证明, 可直接得到方程组(2)的局部解的存在唯一性:
定理 1 假设(A1)、(A2)成立, 若初始值满足(u0, u1, f0)∈W01, m(Ω)×L2(Ω)×H1(Ω×(- τ, 0)), 则方程组(2)存在唯一局部解, 且存在足够小的T>0, 有
u∈C([0,T);W1,m0(Ω)),ut∈C([0,T);H1(Ω))∩L2([0,T)×Ω),z∈C([0,T);H1(Ω×(0,1))). 引理 1 设u是方程组(2)的解, 则存在正常数C1>0, 使得
E′(t)⩽−C1(‖∇ut‖2+‖∇z(x,1,t)‖2)<0. 证明 用ut乘以方程组(2)中的第1个方程, 并在Ω上积分, 得
ddt[12‖ut‖2+1m‖∇u‖mm+12(1−∫t0g(s)ds)‖∇u‖2+12(g∘∇u)(t)−1p‖u‖pp]=12(g′∘∇u)(t)−12g(t)‖∇u‖2−μ1‖∇ut‖2−μ2∫Ω∇z(x,1,t)⋅∇ut(x,t)dx. (4) 用−ξτΔz乘以方程组(2)的第2个方程, 并在Ω×(0, 1)上积分,得
ξ2ddt∫Ω∫10|∇z(x,ρ,t)|2 dρdx+ξ2τ(‖∇z(x,1,t)‖2−‖∇ut‖2)=0. (5) 由Young不等式[13], 可得
−μ2∫Ω∇z(x,1,t)⋅∇ut(x,t)dx⩽|μ2|2‖∇z(x,1,t)‖2+|μ2|2‖∇ut‖2. (6) 由式(4)~(6), 可得
E′(t)⩽12(g′∘∇u)(t)−12g(t)‖∇u‖2+(ξ2τ+|μ2|2−μ1)‖∇ut‖2+(|μ2|2−ξ2τ)‖∇z(x,1,t)‖2. (7) 因此, 令0<C1≤min{μ1−|μ2|2−ξ2τ,ξ2τ−|μ2|2}, 由式(7)和假设(A1)可知结论成立.
2. 解的爆破
下面考虑方程组(2)的初始能量为正值和负值时解的爆破情况. 首先, 引入3个正常数:
K1=max{1,K},ζ1=Kpm/(m−p)1m,E1=(1−mp)ζ1. 引理 2 若假设(A1)、(A2)成立, 且满足
E(0)<E1,ζ1<1m‖∇u0‖mm+l2‖∇u0‖2⩽K−m1m, (8) 则存在正常数ζ2>ζ1, 使得
1m‖∇u(t)‖mm+l2‖∇u(t)‖2⩾ζ2(t⩾0), (9) ‖u(t)‖pp⩾(m1mK1)pζp/m2(t⩾0). (10) 证明 由式(3)和假设(A1)、(A2), 可得
E(t)⩾1m‖∇u‖mm+l2‖∇u‖2−1p‖u‖pp⩾1m‖∇u‖mm+l2‖∇u‖2−Kp1p‖∇u‖pm⩾(1m‖∇u‖mm+l2‖∇u‖2)−(m1mK1)pp(1m‖∇u‖mm+l2‖∇u‖2)pm=ζ(t)−(m1mK1)ppζpm(t):=f(ζ(t)). (11) 其中ζ(t)=1m‖∇u‖mm+l2‖∇u‖2. 易知f(ζ(t))在ζ1>0处有最大值E1, 且有
f′(ζ)=1−(m1mK1)pmζp−mm. (12) 当ζ ∈(0, ζ1) 时, f′(ζ)>0, 所以f(ζ)在(0, ζ1)上严格单调递增; 当ζ∈(ζ1, +∞)时, f′(ζ) < 0, 所以f(ζ)在(ζ1, +∞)上严格单调递减. 又由于E(0) < E1=f(ζ1), 则存在正常数ζ2 ∈(ζ1, +∞), 使得f(ζ2)=E(0). 由式(11)可知f(ζ(0))≤E(0)=f(ζ2), 所以ζ(0)≥ζ2.
假设存在t1>0, 有1m‖∇u(t1)‖mm+l2‖∇u(t1)‖2<ζ2. 进一步地, 由式(11)和f(ζ)的单调性可得E(t2)≥ f(ζ(t2))>f(ζ2)=E(0), 在t ∈(0, T)上与E(t) < E(0)矛盾, 故式(9)成立.
再一次利用式(11), 可得
1p‖u‖pp⩾1m‖∇u‖mm+l2‖∇u‖2−E(t)⩾ 1m‖∇u‖mm+l2‖∇u‖2−E(0)⩾ζ2−E(0)= (m1mK)ppζp/m2. (13) 因此, 式(10)成立.
定理 2 在引理2的假设下, 进一步假设(A3)成立, 则方程组(2)的解存在有限时间爆破.
证明 设函数
L1(t)=G1−α1(t)+ε∫Ωuut dx+εμ12‖∇u‖2(t∈[0,T)), (14) 其中, ε>0为足够小的正实数, 且
0<α⩽min{m−2p,m−22m}, (15) G1(t):=E2−E(t),E2∈(E(0),E1). (16) 下面将证明存在C>0, 使L1(t)满足微分不等式
L′1(t)⩾CLq1(t)(q>1). 首先, 由式(3)、(16)和引理1, 得
0<G1(0)<G1(t)⩽ E2−(1m‖∇u‖mm+l2‖∇u‖2)+1p‖u‖pp(t⩾0). 由引理2, 有
E2−(1m‖∇u‖mm+l2‖∇u‖2)⩽E2−ζ2⩽E1−ζ1=−mpζ1. 因此
0<G1(0)<G1(t)⩽1p‖u‖pp. (17) 对L1(t)关于时间t求导, 有
L′1(t)=(1−α)G−α1(t)G′1(t)+ε‖ut‖2+ ε∫Ωuutt dx+εμ1∫Ω∇u⋅∇ut dx= (1−α)G−α1(t)G′1(t)+ε‖ut‖2−ε‖∇u‖mm− ε‖∇u‖2+ε∫Ω∇u(t)∫t0g(t−s)∇u(s)ds dx− εμ2∫Ω∇u(x,t)⋅∇z(x,1,t)dx+ε‖u‖pp. (18) 由Young不等式, 有
∫Ω∇u(t)∫t0g(t−s)∇u(s)ds dx= ∫t0g(t−s)∫Ω∇u(t)⋅(∇u(s)−∇u(t))dx ds+ ∫t0g(s)ds‖∇u‖2⩾−δ1(g∘∇u)(t)+ (1−14δ1)∫t0g(s)ds‖∇u‖2, (19) −μ2∫Ω∇u(x,t)⋅∇z(x,1,t)dx⩾−|μ2|4δ2‖∇u‖2−|μ2|δ2‖∇z(x,1,t)‖2. (20) 取0<a<1, δ1=p(1-a)/2, 将式(19)、(20)代入式(18), 可得
L′1(t)⩾(1−α)G−α1(t)G′1(t)+εp(1−a)G1(t)+ε(1+p(1−a)2)‖ut‖2+ε[p(1−a)2−1+(1−12p(1−a)−p(1−a)2)∫t0g(s)ds]‖∇u‖2+εa‖u‖pp+εp(1−a)ξ2∫Ω∫10|∇z(x,ρ,t)|2 dρdx+ε(p(1−a)m−1)‖∇u‖mm−ε|μ2|4δ2‖∇u‖2−ε|μ2|δ2‖∇z(x,1,t)‖2−εp(1−a)E2. (21) 下面对式(21)中一些项进行估计. 令δ2=MG1-α(t) (M>0), 由引理1可得
−ε∣μ2∣δ2‖∇z(x,1,t)‖2=−εM|μ2|G−α1(t)‖∇z(x,1,t)‖2⩾εM|μ2|C1E′(t)G−α1(t)=−εM|μ2|C1G−α1(t)G′1(t). (22) 利用Hölder不等式[14]和嵌入W01, m(Ω)↪Lp(Ω), 结合式(17), 有
−ε|μ2|4δ2‖∇u‖2=−ε|μ2|4MGα1(t)‖∇u‖2⩾−ε|μ2||Ω|m−2m4Mpα‖u‖pαp‖∇u‖2m⩾−ε|μ2||Ω|m−2mKpα4Mpα‖∇u‖pα+2m. (23) 进一步地, 由zν≤z+1≤(1+1b)(z+b) (z≥0, 0 < ν≤1, b≥0)和式(23), 可得
−ε|μ2|4δ2‖∇u‖2⩾−εC2M(‖∇u‖mm+G1(t)), (24) 其中C2:=|μ2||Ω|m−2mKpα(1+G1(0))4pαG1(0).
由假设(A3)和p>m, 可得
p(1−a)2−1+(1−12p(1−a)−p(1−a)2)∫t0g(s)ds>0,p(1−a)m−1⩽p(1−a)−2+(2−1p(1−a)−p(1−a))(1−l). 因此, 令a>0充分小, 取适当的E2 ∈(E(0), E1), 并结合引理2可得
ε[p(1−a)2−1+(1−12p(1−a)−p(1−a)2)∫t0g(s)ds]×‖∇u‖2+ε(p(1−a)m−1)‖∇u‖mm−εp(1−a)E2⩾ε(p(1−a)−m)(1m‖∇u‖mm+l2‖∇u‖2)−εp(1−a)E2⩾εC3(1m‖∇u‖mm+l2‖∇u‖2), (25) 其中C3=p(1-a)-m- p(1−a)E2ζ2≥0.
将式(22)~(25)代入式(21), 可得
L′1(t)⩾(1−α−εM|μ2|C1)G−α1(t)G′1(t)+ε(p(1−a)−C2M)G1(t)+ε(1+p(1−a)2)‖ut‖2+ε(C3m−C2M)‖∇u‖mm+εlC32‖∇u‖2+εa‖u‖pp. (26) 在式(26)中, 当a>0充分小、M>0足够大时, 可使p(1-a)-C2M ≥0, 且C3m−C2M ≥0. 进一步地, 令ε>0充分小, 可使1-α- εM|μ2|C1≥0. 故存在正常数C4>0, 使得
L′1(t)⩾C4(‖ut‖2+‖∇u‖mm+‖∇u‖2+‖u‖pp+G1(t))(t⩾0). (27) 另一方面, 由式(14)可得
L1/(1−α)1(t)⩾C5(G1(t)+(∫Ωuut dx)11−α+‖∇u‖21−α). (28) 利用式(15)、(17), 结合Young不等式、Poincaré不等式[13], 得
(∫Ωuut dx)11−α⩽C6(G1(t)+‖∇u‖mm+‖ut‖2). (29) 再由式(15)、(17), 有
‖∇u‖21−α=(‖∇u‖m)2m(1−α)⩽(1+1G1(0))(G1(t)+‖∇u‖mm)⩽(1+1G1(0))(G1(t)+|Ω|m−22‖∇u‖mm). (30) 可得
L1/(1−α)1(t)⩽C6(G1(t)+‖∇u‖mm+‖ut‖2). (31) 最后, 综合式(27)、(31)可知:存在C>0, 使得
L′1(t)⩾CL1/(1−α)1(t)(t⩾0). (32) 对式(32)在(0, t)上积分, 有
L1/(1−α)1(t)⩾1L−α/(1−α)1(0)−Cα1−αt, 所以, 存在T*≤ 1−αCαLα/(1−α)1(0), 当t趋于T*时, L1(t)趋于无穷, 即方程组(2)的解爆破.
定理 3 若假设(A1)~(A3)成立, 且初始能量E(0) < 0时, 则方程组(2)的解同样存在有限时间爆破.
证明 设函数
L2(t)=G1−β2(t)+ε∫Ωuut dx+εμ12‖∇u‖2(t∈[0,T)), (33) 其中, ε>0为足够小的正实数, 0 < β≤min{m−2p,m−22m}, 且G2(t)=-E(t).
由式(3)、(16)和引理1, 可得0 < G2(0) < G2(t)≤ 1p‖u‖pp (t≥0). 参照定理2的证明方法(只需令E2=0), 定理得证.
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表 1 因素-水平表
Table 1 The factor-level table
水平 因素A∶w(KGM)/(g·L-1) 因素B∶T/℃ 因素C∶w(CA)/(g·L-1) 因素D∶t/h 1 7.5 55 5.0 2 2 10.0 65 7.5 4 3 12.5 75 10.0 6 表 2 CA-KGM多孔材料拉伸强度的正交试验结果
Table 2 The orthogonal test results of the tensile strength of CA-KGM porous materials
编号 因素A∶w(KGM)/(g·L-1) 因素B∶T/℃ 因素C∶w(CA)/(g·L-1) 因素D∶t/h 拉伸强度/MPa 1 1 1 1 1 0.167 2 1 2 2 2 0.381 3 1 3 3 3 0.434 4 2 1 2 3 0.305 5 2 2 3 1 0.949 6 2 3 1 2 0.194 7 3 1 3 2 0.824 8 3 2 1 3 0.183 9 3 3 2 1 0.532 K1 0.327 0.432 0.181 0.549 K2 0.483 0.504 0.406 0.466 K3 0.513 0.387 0.387 0.307 R 0.186 0.117 0.225 0.242 表 3 CA-KGM多孔材料断裂伸长率的正交试验结果
Table 3 The orthogonal test results of elongation at break of the CA-KGM porous materials
编号 因素A∶w(KGM)/(g·L-1) 因素B∶T/℃ 因素C∶w(CA)/(g·L-1) 因素D∶t/h 断裂伸长率/% 1 1 1 1 1 14.078 2 1 2 2 2 8.324 3 1 3 3 3 25.863 4 2 1 2 3 17.344 5 2 2 3 1 16.737 6 2 3 1 2 4.941 7 3 1 3 2 12.276 8 3 2 1 3 3.132 9 3 3 2 1 4.754 K1 16.088 14.566 7.384 11.857 K2 13.088 9.398 10.141 8.514 K3 6.721 11.853 18.292 15.447 R 9.368 5.168 10.908 6.933 -
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期刊类型引用(1)
1. 欧阳柏平,侯春娟. 一类具有非线性项的弱耦合半线性双波动系统全局解的非存在性. 华南师范大学学报(自然科学版). 2023(03): 103-109 . 百度学术
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