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铅基钙钛矿太阳能电池界面工程的研究

陈龙, 张文超, 黄睿, 牛宇航, 李炜, 唐吉玉

陈龙, 张文超, 黄睿, 牛宇航, 李炜, 唐吉玉. 铅基钙钛矿太阳能电池界面工程的研究[J]. 华南师范大学学报(自然科学版), 2022, 54(1): 7-12. DOI: 10.6054/j.jscnun.2022002
引用本文: 陈龙, 张文超, 黄睿, 牛宇航, 李炜, 唐吉玉. 铅基钙钛矿太阳能电池界面工程的研究[J]. 华南师范大学学报(自然科学版), 2022, 54(1): 7-12. DOI: 10.6054/j.jscnun.2022002
CHEN Long, ZHANG Wenchao, HUANG Rui, NIU Yuhang, LI Wei, TANG Jiyu. The Interface Engineering of Lead-based Perovskite Solar Cells[J]. Journal of South China Normal University (Natural Science Edition), 2022, 54(1): 7-12. DOI: 10.6054/j.jscnun.2022002
Citation: CHEN Long, ZHANG Wenchao, HUANG Rui, NIU Yuhang, LI Wei, TANG Jiyu. The Interface Engineering of Lead-based Perovskite Solar Cells[J]. Journal of South China Normal University (Natural Science Edition), 2022, 54(1): 7-12. DOI: 10.6054/j.jscnun.2022002

铅基钙钛矿太阳能电池界面工程的研究

基金项目: 

国家自然科学基金项目 11674106

详细信息
    通讯作者:

    唐吉玉,Email: tangjy@scnu.edu.cn

  • 中图分类号: TK514

The Interface Engineering of Lead-based Perovskite Solar Cells

  • 摘要: 在wxAMPS太阳能电池数值模拟软件微平台上,对ITO/ZnO/界面层(IFL)/MAPbI3/Sprio-OMeTAD/Au结构的钙钛矿太阳能电池(PSCs)的电子传输层(ETL)/吸收层的界面工程进行研究。结果表明:在界面层缺陷密度低于1014 cm-3时,PSCs的电池性能几乎不变,当缺陷密度高于1014 cm-3时,PSCs的电池性能急剧下滑。当界面层与吸收层亲和势差(Δχ)在-0.7~-0.1 eV范围时,各项电池性能参数均随Δχ的增大而增大;当Δχ在-0.1~0.5 eV范围时,各项电池性能呈平缓增长;当Δχ大于0.5 eV时,电池的短路电流(JSC)呈平缓增长趋势,而开路电压(VOC)、填充因子(FF)及光电装换效率(PCE)快速降低。当带隙Eg在0.9~1.4 eV范围内增大时,PSCs的VOC、FF和PCE均上升;当带隙Eg大于1.4 eV,PSCs的各项性能参数基本不变。
    Abstract: The ITO/ZnO/interface layer (IFL)/MAPbI3/Sprio-OMeTAD/Au structure of Perovskite Solar Cells (PSCs) and the electron transport layer (ETL)/absorber interface engineering are studied based on the wxAMPS solar cell numerical simulation software micro-platform. The results show that the performance of PSCs is almost unchanged when the defect density of the interface layer is lower than 1014 cm-3, and when the defect density is higher than 1014 cm-3, the performance of PSCs declines sharply. When the affinity difference(Δχ) between the interface layer and the absorber layer is within the range of -0.7~-0.1 eV, the parameters of PSCs increase with the increase of Δχ; when Δχ is within the range of -0.1~0.5 eV, the solar cell performance shows a gentle increase. When Δχ is greater than 0.5 eV, the short-circuit current (JSC) of the solar cell shows a gentle increase while the open circuit voltage (VOC), fill factor (FF) and photovoltaic conversion efficiency (PCE) decrease rapidly. When the band gap Eg increases within 0.9~1.4 eV, the VOC, FF and PCE of PSCs increase. When the band gap Eg is greater than 1.4 eV, the performance parameters of PSCs remain unchanged basically.
  • 半群结构的价值除了在于能给出半群构造的刻画之外, 还在于能给出半群的性质、同态、同构和同余等的刻画。半群的结构、性质、同态、同构和同余等共同构成了半群理论的经典内容, 这些内容至今仍是半群理论的研究热点。

    幂等元集的性质对研究半群的结构起着重要作用, 学者们研究了具有不同的幂等元或中间幂等元结构的半群[1-14]。如:REILLY[1]通过群及群的自同态, 利用经典的BRUCK-REILLY扩张给出了双单ω-半群的结构定理, 证明了双单ω-半群S是被S的单位群GG的自同态完全决定;参考文献[1]的方法, MUNN[2]利用群及群的同态给出了正则单ω-半群的刻画, 阐述了正则单ω-半群S是被S的一系列子群Gi (i=0, 1, …, d-1)及一系列群同态γi (i=0, 1, …, d-1)完全决定, 其中SdD-类;WARNE[4]研究了正则双单ωn-半群, 证明了正则双单ωn-半群具有(G×Cn, ○)的结构, 其中G为群, Cn为2n-循环半群, “○”为一种乘法; 汪立民和商宇[5]研究了ω2-链及ω2-半群,给出了双单ω2-半群的结构。

    N为非负整数的集合, N+为正整数的集合。若S为半群, 用ES表示S的幂等元的集合。如果ES不是空集, 那么对ES中任意2个元ef,可引入关系“≥”为: ef当且仅当ef=fe=f。可知“≥”构成ES的一个偏序。用Cω表示半格{e0, e1, e2, …}, 其中的元满足序关系e0>e1>e2>…。若S为半群且ESCω, 则称Sω-半群。对N×N的任意2个元素(m, n)和(p, q), 规定

    (m,n)(p,q)m>p, 或 m=p 且 nq 。  (1)

    可知“≤”构成N×N的一个偏序。用Cω2表示半格{ei, j: (i, j)∈N×N}, 其中的元素em, nep, q满足序关系“≤”: em, nep, q当且仅当(m, n)≤(p, q), 称Cω2ω2-链。任何一个序同构于Cω2的半格也称为ω2-链。如果半群S的幂等元集ES序同构于Cω2, 那么称S为一个ω2-半群。因此, 若Sω2-半群, 则

    ES={em,n:m,nN×N},

    其中, em, nep, q当且仅当(m, n)≤(p, q)。文献[5]证明了S=N×N×N×N在乘法

    (m,n,q,p)(a,b,d,c)={(m,nq+max{q,b},db+max{q,b},c)(p=a),(m,n,q,ca+p)(p>a),(mp+a,b,d,c)(p<a)

    下是一个双单ω2-半群, 称之为4-循环半群, 记为Bω2。文献[6-8]分别给出了3类单ω2-半群结构的刻画。文献[3, 9-14]利用一些特殊半群的幂等元、中间幂等元具有的性质, 对这些半群的性质、结构、同态、同构和同余等进行研究, 获得了丰硕的成果。

    本文将利用文献[2]的方法来研究具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群的结构: 给出了具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群的概念, 借助一系列群Gi, j ((i, j)∈Y)、同态θ和Bruck-Reilly扩张来构造具有ωd, d′-型D关系和无穷多个D-类的正则单ω2-半群; 证明任意一个具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群都可以用Bruck-Reilly扩张构造出来。

    本文将使用文献[15]和文献[16]的概念及符号。设ab为半群S的任意2个元, 若S1a=S1b, 则称abL-等价的, 记为a L b; 若aS1=bS1, 则称abR等价的, 记为a R b。规定H=LR, D=LR=LR=RLD|ES=D∩(ES×ES)。若半群S只有一个D-类, 则称S是双单半群; 若半群S没有零元且没有真理想, 则称S是单半群。用LaRaHaDa分别表示S中含aLRHD-类。设Sω2-半群且ES={em, n: m, nN}, 用Rm, n表示S的含幂等元em, nR-类, 用Lp, q表示S的含幂等元ep, qL-类, 即

    Rm,n={aS:aRem,n},Lp,q={aS:aLep,q}

    H(m, n), (q, p)表示Rm, nLp, q, 即

    H(m,n),(q,p)={aS:em,nRaLep,q}

    H(m, n), (q, p)≠Ø, 则H(m, n), (q, p)S的一个H-类。

    Y为半格, Gα (αY)为群, 若对任意α, βYαβ, 存在从GαGβ的同态ϕα, β, 使得:

    (ⅰ)对任意αY, 有ϕα, α=1Gα;

    (ⅱ)对任意α, β, γYαβγ, 有ϕα, βϕβ, γ=ϕα, γ

    对任意xGα, yGβ, 在S=αYGα上规定乘法为:

    xy=(xϕα,αβ)(yϕβ,αβ),

    容易验证S为一个半群, 称之为群的强半格, 记为S=S(Y; Gα; ϕα, β)。

    E为半格, eE, 称集合Ee={iE: ie}为E的主理想, 称关系U={(e, f) ∈E×E: EeEf}为E的一致关系。设(e, f) ∈U, 规定Te, f为从EeEf的所有同构所构成的集合。设TE=(e,f)UTe,f, 则称TEE的Munn半群。设E为半格, 若对任意e, fE, 从EeEf的同构映射有且仅有一个, 则称E是刚性的。

    T为幺半群, 恒等元为e, HeT的单位群, θ为从THe的同态, S=N×T×N, 对任意(m, a, n), (p, b, q) ∈S, 在S上规定乘法为

    (m,a,n)(p,b,q)=(mn+t,(aθtn)(bθtp),qp+t),

    其中, t=max{n, p}, θ0T的恒等映射。集合S在研究ω-半群的结构中扮演着重要作用, 由文献[15]知S为单半群且恒等元为(0, e, 0), 称ST的被θ决定的Bruck-Reilly扩张, 记为BR(T, θ)。

    由文献[15]知, 半群S是单半群的充分必要条件是对S的任意元ab, 存在S的元xy, 使得xay=bS是Clifford半群当且仅当S是群的强半格;S是群的强半格当且仅当S是正则的且每个D-类有且仅有一个幂等元。E的Munn半群TE是逆半群且ETEE。(m, a, n)为BR(T, θ)的幂等元当且仅当m=na2=a。(m, a, n)为BR(T, θ)的正则元当且仅当aT的正则元。(p, b, q)为(m, a, n)在BR(T, θ)中的逆元当且仅当baT中的逆元且p=nq=m。对BR(T, θ)的任意2个元(m, a, n)和(p, b, q), 有:

    (m,a,n)H(p,b,q)m=p,aHb,n=q,(m,a,n)R(p,b,q)m=p,aRb,(m,a,n)L(p,b,q)aLb,n=q,(m,a,n)D(p,b,q)aDb (2)

    正则ω2-半群是逆半群, 文献[15]中以下2个关于逆半群的表示及其最大幂等分离同余的刻画的结论对研究正则ω2-半群的结构起着重要作用。

    引理1[15]   设S为逆半群, 幂等元的半格为E, 则存在从STE的同态ϕ, 使得ϕ的核为S的最大幂等分离同余μ

    引理2[15]   设S为逆半群, 幂等元的半格为EE是刚性的, 则S的最大幂等分离同余μ=H, 从而H为同余。

    引理3[6]   设S为正则ω2-半群, 则

    H(m,n),(q,p)H(a,b),(d,c)H(i,j),(l,k),

    其中

    (i,j,l,k)=(m,n,q,p)(a,b,d,c)={(m,nq+max{q,b},db+max{q,b},c)(p=a),(m,n,q,ca+p)(p>a),(mp+a,b,d,c)(p<a)

    S为正则ω2-半群, ES={em, n: m, nN}, d, d′N+, em, n, ep, qES, 规定ES上的关系ωd, d′em, nωd, d′ep, q当且仅当以下式子中有一个成立:

    mp(mod d),m>0,p>0,n=q;mp(mod d),m=0,p>0,q=n+d;mp(mod d),m>0,p=0,n=q+d;m=0,p=0,n=q

    由等价关系的定义直接验证知ωd, d′ES上的等价关系。若S为正则单ω2-半群且D|ES=ωd, d′, 则称S为具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群。注意, 若d′=0, 则等价关系ωd, d′为文献[6]中的等价关系Md:

    em,nMdep,qmp(mod d),n=q

    本节借助群和同态来构造具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群, 这类半群具有无限多个D-类。

    d, d′N+, D={0, 1, …, d-1}, D′={0, 1, …, d′-1}, Ω=({1, 2,…, d-1}×N)∪({dD′), Y=(D×N)∪({dD′), {Gi, j: (i, j) ∈Y}为两两不相交的群, Y中的元素按式(1)规定序。令T=(i,j)YGi,j, 对任意(i, j), (k, l), (m, n) ∈Y, 规定α(i, j), (i, j)Gi, j的恒等映射; 若(i, j)≥(k, l), 规定α(i, j), (k, l)为从Gi, jGk, l的同态; 且对任意(i, j)≥(k, l)≥(m, n), 有

    α(i,j),(k,l)α(k,l),(m,n)=α(i,j),(m,n),

    T为Clifford半群的特殊形式, 即为群的强半格, 记为T=S(Y; Gi, j; α(i, j), (k, l)), 其中Y为链{(0, 0), (0, 1), (0, 2), …, (1, 0), (1, 1), (1, 2), …, (d-1, 0), (d-1, 1), (d-1, 2), …, (d, 0), (d, 1), …, (d, d′-1)}。设T的幂等元为f0, 0, f0, 1, f0, 2, …, f1, 0, f1, 1, f1, 2, …, fd-1, 0, fd-1, 1, fd-1, 2, …, fd, 0, fd, 1, …, fd, d′-1, 它们分别为G0, 0, G0, 1, G0, 2, …, G1, 0, G1, 1, G1, 2, …, Gd-1, 0, Gd-1, 1, Gd-1, 2, …, Gd, 0, Gd, 1, …, Gd, d′-1的恒等元。在T中, 有

    f0,0>f0,1>f0,2>>f1,0>f1,1>f1,2>>fd1,0>fd1,1>fd1,2>>fd,0>fd,1>>fd,d1,

    T的恒等元为f0, 0, 称T为群的长度为(d, d′)的ω-链。

    下面将给出利用群的长度为(d, d′)的ω-链、群的同态和BRUCK-REILLY扩张构造具有无穷多个D-类且具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群的方法:

    定理1    设T为群的长度为(d, d′)的ω-链,θTT的单位群的同态, 则BR(T, θ)为具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群且有无穷多个D-类。

    证明    记S=BR(T, θ), 对任意(i, j) ∈Y, 设群Gi, j的恒等元为fi, j, 对gi, jGi, j, 记gi, jGi, j中的逆元为gi, j-1, 则S为单半群。对任意(m, gi, j, n) ∈S, 由于

    (m,gi,j,n)(n,g1i,j,m)(m,gi,j,n)=(m,gi,j,n),

    S是正则的。可知S的幂等元的集合为{(m, fi, j, m): mN; (i, j) ∈Y}。若fr, v>fw, t, 则

    (m,fr,v,m)(m,fw,t,m)=(m,fw,t,m)=(m,fw,t,m)(m,fr,v,m);

    m>n, 则

    (m,fi,j,m)(n,fk,l,n)=(m,fi,j,m)=(n,fk,l,n)(m,fi,j,m)

    从而在自然偏序下, S的幂等元构成一个链:

    (0,f0,0,0)>(0,f0,1,0)>>(0,fd1,0,0)>(0,fd1,1,0)>>(0,fd,0,0)>>(0,fd,d1,0)>(1,f0,0,1)>(1,f0,1,1)>>(1,fd1,0,1)>(1,fd1,1,1)>>(1,fd,0,1)>>(1,fd,d1,1)>(2,f0,0,2)>(2,f0,1,2)>>(2,fd1,0,2)>(2,fd1,1,2)>>(2,fd,0,2)>>(2,fd,d1,2)>

    因此, S的恒等元为(0, f0, 0, 0)且

    (m,gi,j,n)1=(n,g1i,j,m)

    em, n=(0, fm, n, 0);对i>0, 记eid, d′+n=(i, f0, n, i); 对i>0且m>0, 记eid+m, n=(i, fm, n, i), 则S的幂等元的集合为{em, n: m, nN}且

    e0,0>e0,1>>e1,0>e1,1>>ed1,0>ed1,1>>ed,0>>ed,d1>ed,d>ed,d+1>>ed+1,0>ed+1,1>>e2d1,0>e2d1,1>>e2d,0>>e2d,d1>e2d,d>e2d,d+1>>e2d+1,0>e2d+1,1>>e3d1,0>e3d1,1>>e3d,0>>e3d,d1>,

    从而em, nep, q当且仅当(m, n)≤(p, q)。因此, Sω2-半群。对任意em, n, ep, qES, 由式(2)知, (em, n, ep, q) ∈D当且仅当(m, n)ωd, d′(p, q), 因此, S为具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群。

    下面证明S有无穷多个D-类。由于S是正则半群, 每个D-类含有幂等元,故只需证明

    (m,fi,j,m)D(n,fk,l,n)i=k,j=l

    e=(m, fi, j, m), e′=(n, fk, l, n), 可知(e, e′) ∈D当且仅当存在xS, 使得xx-1=e, x-1x=e′。若(e, e′) ∈D,设x=(p, gr, t, q), 满足xx-1=e, x-1x=e′。由于xx-1=(p, fr, t, p)且x-1x=(q, fr, t, q), 因此i=r=kj=t=l。另一方面, 若i=kj=l, 取x=(m, fi, j, n), 则xx-1=ex-1x=e′, 从而(e, e′) ∈D。证毕。

    本节将证明任一个具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群都同构于一个BR(T, θ)。设S表示具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群, ES= {em, n: m, nN}且em, nep, q当且仅当(m, n)≤(p, q)。

    由于S为具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群, 则D|ES=ωd, d′, 从而易得S的幂等元D相关的下列刻画。

    引理4    设S为具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群, ES={em, n: m, nN}且em, nep, q当且仅当(m, n)≤(p, q), 则

    (1) 对任意k, nN, 任意mN+, 有(em, n, em+kd, n) ∈D;

    (2) 对任意nN, 任意kN+, 有(e0, n, ekd, n+d′) ∈D;

    (3) 对任意nN, 任意kN+, 有(ekd, n+d′, e0, n) ∈D;

    (4) 对任意nN, 有(e0, n, e0, n) ∈D

    证明    结论(1)~(4)的证明方法类似, 此处仅证明结论(1)。对任意k, nN, 任意mN+, 有em, nωd, d′em+kd, n。由于D|ES=ωd, d′, 则有(em, n, em+kd, n) ∈D。证毕。

    D|ES=ωd, d′可得到判断S的2个幂等元不在同一个D类的一个充分条件:

    引理5    设S为具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群, 且(0, 0)≥(m, n)>(d, d′), (0, 0)≥(p, q)>(d, d′)且(m, n)≠(p, q), 则(em, n, ep, q) D

    下面给出H(m, n), (p, q)非空的等价条件:

    引理6    设S为具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群, 对任意m, n, p, qN, 以下条件等价:

    (1) H(m, n), (q, p)≠Ø;

    (2)(em, n, ep, q) ∈D;

    (3) em, nωd, d′ep, q

    证明    易知条件(1)和条件(2)是等价的。由引理4知, 若条件(3)成立, 则条件(2)也成立。若(em, n, ep, q) ∈D, 由于D|ES=ωd, d′, 则有em, nωd, d′ep, q。因此, 由条件(2)可推出条件(3)。证毕。

    S为具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群, 对任意(i, j) ∈Y, 用Di, j表示S的含幂等元ei, jD-类, 用Gi, j表示群H(i, j), (j, i)。显然, S=(i,j)YDi,j。若(i, j), (k, l) ∈Y且(i, j)≠(k, l), 则Di, jDk, l=Ø。下面给出Di, j的一些性质及其R-类、L-类。

    引理7    设S为具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群, 则

    (1) 对任意(i, j) ∈Y, Di, j为具有恒等元ei, j的双单ω-半群, 单位群为Gi, j;

    (2) 对任意(0, j) ∈{0}×N, D0, jR-类为R0, jRnd, d′+j; D0, jL-类为L0, jLnd, d′+j, 其中nN+;

    (3) 对任意(i, j) ∈{1, 2, …, d-1}×N, Di, jR-类为Rnd+i, j; Di, jL-类为Lnd+i, j, 其中nN;

    (4) 对任意(d, j) ∈{dD′, Dd, jR-类为Rnd, j; Dd, jL-类为Lnd, j, 其中nN+

    证明    (1)由于S正则且S的幂等元的集合构成链, 则由文献[3]知, 每一个Di, j构成S的双单逆子半群。进一步地, 由引理6知, 对任意(0, j) ∈{0}×N, D0, j的幂等元集为{e0, j}∪{end, d′+j: nN+}; 对任意(i, j) ∈{1, 2, …, d-1}×N, Di, j的幂等元集为{end+i, j: nN}; 对任意(d, j) ∈{d}×{0, 1, …, d′-1}, Dd, j的幂等元集为{end, j: nN}。因此, Di, j为具有恒等元ei, j的双单ω-半群。Di, j的单位群是Di, j的含ei, j的极大子群。由于Gi, jDi, jGi, jS的含ei, j的极大子群, 因此Di, j的单位群为Gi, j

    (2) 对任意jN, 由引理6有

    D0,j=R0,j(n=1Rnd,d+j)=L0,j(n=1Lnd,d+j)

    下面分2种情形进行讨论。

    情形1:nN+a, bRnd, d′+j。显然D0, jR-类包含于SR-类, 欲证D0, jR-类是Rnd, d′+j, 只需证明abD0, j中是R-相关的。由于(a, b) ∈R, 从而在S中, 存在xy, 使得a=bxb=ay。令x′=b-1bxa-1a, y′=a-1ayb-1b, 则a=bx′b=ay′, 从而(a, x′) ∈L且(b, y′) ∈L。因此, x′, y′D0, j。于是, abD0, j中是R-相关的。

    情形2:a, bR0, j。这种情形的证明与情形1类似。

    L-类的情形类似可证。

    (3) 对任意(i, j) ∈{1, 2, …, d-1}×N, 有Di,j=n=0Rnd+i,j=n=0Lnd+i,j。这种情形的证明与结论(2)的证明类似。

    (4) 对任意j ∈{1, 2, …, d′-1}, nN+, 有Dd,j=n=1Rnd,j=n=1Lnd,j。这种情形的证明与结论(2)的证明类似。证毕。

    jN, 利用H(0, j), (d′+j, d)的元, 可以在群G0, j与双单ω-半群D0, j之间建立双射:

    引理8    设S为具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群, jN, a0, jH(0, j), (d′+j, d), 则

    (1) 从G0, jH(md, d′+j), (d′+j, nd)的映射ϕ: g0, ja0, jmg0, ja0, jn为双射, 其中g0, jG0, j, m, nN+;

    (2) 从G0, jH(0, j), (d′+j, nd)的映射ϕ: g0, ja0, j-0g0, ja0, jn为双射, 其中g0, jG0, j, nN+;

    (3) 从G0, jH(md, d′+j), (j, 0)的映射ϕ: g0, ja0, jmg0, ja0, j0为双射, 其中g0, jG0, j, mN+;

    (4) 从G0, jH(0, j), (j, 0)的映射ϕ: g0, ja0, j-0g0, ja0, j0为双射, 其中g0, jG0, j

    证明    结论(1)~(4)的证明方法类似, 此处仅证明结论(1)。用数学归纳法证明。

    对任意nN+, 有a0, jnH(0, j), (d′+j, nd)。当n=1时, 结论成立。假设对正整数r, 有a0, jrH(0, j), (d′+j, rd)。由引理3知

    ar+10,j=ar0,ja0,jH(0,j),(d+j,rd)H(0,j),(d+j,d)H(0,j),(d+j,(r+1)d)

    因此, 对所有正整数n, 有a0, jnH(0, j), (d′+j, nd)。类似地, 对任意正整数n, 有

    an0,jH(nd,d+j),(j,0),

    从而

    an0,jan0,j=e0,j,an0,jan0,j=end,d+j

    由引理3, 对任意m, nN+g0, jG0, j, 有

    am0,jg0,jan0,jH(md,d+j),(d+j,nd)

    a0, jmg0, ja0, jn=a0, jmh0, ja0, jn, 则a0, jma0, jmg0, ja0, jna0, jn=a0, jma0, jmh0, ja0, jna0, jn, 从而g0, j=h0, j。若xH(md, d′+j), (d′+j, nd), 则a0, jmxa0, jnG0, j且(a0, jmxa0, jn)ϕ=x, 因此ϕ为双射。证毕。

    对(i, j) ∈Ω, 利用H(i, j), (j, d+i)的元, 可以在群Gi, j与双单ω-半群Di, j之间建立双射:

    引理9    设S为具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群, (i, j) ∈Ω, ai, jH(i, j), (j, d+i)。规定ai, j0=ei, j, 则对任意m, nN, 任意gi, jGi, j, 有

    ami,jgi,jani,jH(md+i,j),(j,nd+i),

    且对任意gi, jGi, j, 从Gi, jH(md+i, j), (j, nd+i)的映射

    gi,jϕ=ami,jgi,jani,j

    为双射。

    证明    先用数学归纳法证明对任意nN, 有ai, jnH(i, j), (j, nd+i)。当n=0时, 结论成立。假设对正整数r, 有ai, jrH(i, j), (j, rd+i), 则由引理3知

    ar+1i,j=ari,jai,jH(i,j),(j,rd+i)H(i,j),(j,d+i)H(i,j),(j,(r+1)d+i),

    从而对所有非负整数n, 有ai, jnH(i, j), (j, nd+i)。类似地, 若n为非负整数, 有

    ani,jH(nd+i,j),(j,i)

    ani,jani,j=ei,j,ani,jani,j=end+i,j

    因此, 对任意m, nN,任意gi, jGi, j, 由引理3, 有

    ami,jgi,jani,jH(md+i,j),(j,nd+i)

    ai, jmgi, jai, jn=ai, jmhi, jai, jn, 则ai, jmai, jmgi, jai, jnai, jn=ai, jmai, jmhi, jai, jnai, jn, 从而gi, j=hi, j。若xH(md+i, j), (j, nd+i), 则ai, jmxai, jnGi, j且(ai, jmxai, jn)ϕ=x。因此ϕ为双射。证毕。

    aH(0, 0), (d′, d), 则aa-1=e0, 0a-1a=ed, d′。规定a0=e0, 0。由引理3易得以下引理:

    引理10    设S为具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群, aH(0, 0), (d′, d), 则对任意jN, 有e0, jaH(0, j), (d′+j, d); 对任意(i, j) ∈Ω, 有ei, jaH(i, j), (j, d+i)

    对任意(i, j) ∈Y, 规定(ei, ja)0=ei, j。下面给出具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群S的元的一个表示:

    引理11    设S为具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群, aH(0, 0), (d′, d), 则S的每一元都可唯一地表示为amgi, jan的形式, 其中m, nN,(i, j) ∈Ygi, jGi, j

    证明    设S1=(jNH(0,j),(j,0))(nN+,jNH(0,j),(d+j,nd))(mN+,jNH(md,d+j),(j,0))(m,nN+,jNH(md,d+j),(d+j,nd)), S2=m,nN,(i,j)ΩH(md+i,j),(j,nd+i), 则S=S1S2S1S2=Ø。下面分2种情形讨论:

    情形1:xS1xm,nN+,jNH(md,d+j),(d+j,nd)。设jN, 对任意nN, 先用数学归纳法证明(e0, ja)n=e0, jan成立。当n=0时, 结论成立。假设对rN, 有(e0, ja)r=e0, jar, 则由引理10, 有e0, jaH(0, j), (d′+j, d)D0, j, 从而(e0, ja)re0, j=(e0, ja)r。因此

    (e0,ja)r+1=(e0,ja)ra=e0,jar+1,

    从而由数学归纳法知结论成立。

    对任意nN, 有(e0, ja)n=[(e0, ja)n]-1=(e0, jan)-1= ane0, j。在引理8中取a0, j=e0, ja, 设xH(md, d′+ j), (d′+ j, nd)(m, nN+, jN), 则由引理8知

    x=am0,jg0,jan0,j=ame0,jg0,je0,jan=amg0,jan,

    其中, g0, jG0, j。若amg0, jan=am′h0, jan′, 则a0, jmg0, ja0, jn= a0, jm′h0, ja0, jn′, 从而由引理8知m=m′, n=n′g0, j=h0, j, 故S1的每一个元的表示式是唯一的。类似地, 容易证明当xjNH(0,j),(j,0)xnN+,jNH(0,j),(d+j,nd)xmN+,jNH(md,d+j),(j,0)时结论成立。

    情形2:xS2。此时存在m, nN, (i, j) ∈Ω, 使得xH(md+i, j), (j, nd+i)。对任意nN, 先用数学归纳法证明(ei, ja)n=ei, jan。当n=0时, 结论成立。假设对rN, 有(ei, ja)r=ei, jar, 由引理10知: ei, jaH(i, j), (j, d+i)Di, j, 从而(ei, ja)rei, j=(ei, ja)r。因此

    (ei,ja)r+1=(ei,ja)ra=ei,jar+1 。 

    从而由数学归纳法知结论成立。

    对任意nN, 有

    (ei,ja)n=[(ei,ja)n]1=(ei,jan)1=anei,j

    在引理9中, 取ai, j=ei, ja, 则有

    x=ami,jgi,jani,j=amei,jgi,jei,jan=amgi,jan,

    其中, gi, jGi, j。若amgi, jan=am′hi, jan′, 则ai, jmgi, jai, jn=ai, jm′hi, jai, jn′。从而由引理9知m=m′, n=n′gi, j=hi, j, 故S2的每一个元的表示式是唯一的。证毕。

    由引理3可得以下结论:

    引理12    设S为具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群, (i, j) ∈Y, gi, jGi, j, 则agi, jH(0, 0), (d′, d)

    设(i, j) ∈Y, 对任意gi, jGi, j, 有agi, jH(0, 0), (d′, d)。由引理8和引理11知, H(0, 0), (d′, d)的每一元都可唯一表示为g′0, 0a的形式, 其中g′0, 0G0, 0。因此, 对任意gi, jGi, j, 可由

    agi,j=(gi,jθi,j)a

    来定义从Gi, jG0, 0的映射θi, j。设T=(i,j)YGi,j。若(i, j), (k, l) ∈Y且(i, j)≥(k, l), 则由引理3及H(m, n), (n, m)-1=H(m, n), (n, m)知:

    Gi,jGk,lGk,l,Gk,lGi,jGk,l,G1i,j=Gi,j

    因此TS的逆子半群, T也显然是完全正则半群, 于是T为Clifford半群且幂等元构成无限链

    e0,0>e0,1>>e1,0>e1,1>>ed1,0>ed1,1>>ed,0>ed,1>>ed,d1,

    其中, (i, j) ∈Yei, j为群Gi, j的恒等元。因此, T为群的长度为(d, d′)的ω-链。由于群G0, 0, G0, 1, …, G1, 0, G1, 1, …, Gd-1, 0, Gd-1, 1, …, Gd, 0, Gd, 1, …, Gd, d′-1两两不相交, 则可得到从TG0, 0的映射θ

    tθ=tθi,j(tGi,j,(i,j)Y) 。 

    引理13    θ是一个同态。

    证明    设x, yT, 其中xGi, j, yGk, l且(d, d′) < (k, l)≤(i, j)≤(0, 0), 则

    (xy)θk,la=a(xy)=(ax)y=(xθi,j)ay=(xθi,j)(yθk,l)a

    又由于aa-1=e0, 0, 则有

    (xy)θ=(xy)θk,l=(xθi,j)(yθk,l)=(xθ)(yθ) 。 

    因此θ为一个同态。证毕。

    规定θ0T的恒等映射, 则易得以下结论:

    引理14    设xTkN, 则

    (1) akx=(k)ak;

    (2) xak=ak(k)。

    证明    (1)当k=0时, 结论成立。假设k=n-1时结论成立, 则

    anx=a(an1x)=a[(xθn1)an1)]=[a(xθn1)]an1=(xθn)an 。 

    因此, r=n时结论成立。

    (2) 由于对任意gi, jGi, j, 有agi, j=(gi, jθi, j)a, 从而gi, j-1a-1=a-1(gi, j-1θi, j)。又由于G为群, 因此对任意gi, jGi, j, 有gi, ja-1=a-1(gi, jθi, j)。用数学归纳法容易验证对任意xT, 任意kN, 有xak=ak(k)。证毕。

    下面利用BRUCK-REILLY扩张, 给出具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群的结构定理:

    定理2    设S为具有ωd, d′-型D关系的正则单ω2-半群, 则SBR(T, θ), 其中T为群的长度为(d, d′)的ω-链, θ为从TT的单位群的同态。

    证明    设T为群的长度为(d, d′)的ω-链, θ为前述的TT的单位群的同态, 由引理11, S的任一元都可唯一表示为amgan的形式, 其中,m, nN, gT

    x=amgan, y=apg′aq, 其中,m, n, p, qN, g, g′T。下面分3种情形讨论:

    (1) 若n=p, 则

    xy=amge0,0gaq=amggaq 。 

    (2) 若n>p, 则

    xy=amganpgaq=amg(gθnp)an+qp

    (3) 若n < p, 则

    xy=amganpgaq=a(mn+p)(gθpn)gaq 。 

    t=max{n, p}, 则

    xy=a(mn+t)(gθtn)(gθtp)aqp+t 。 

    因此, 从S到BR(T, θ)的映射ψ:

    (amgan)ψ=(m,g,n)

    为同构映射。证毕。

  • 图  1   MAPbI3的吸收系数[13]

    Figure  1.   The absorption coefficient of MAPbI3[13]

    图  2   界面缺陷密度对电池性能的影响

    Figure  2.   The effect of the defect density of the interface layer on battery performance

    图  3   界面层缺陷密度对复合速率、电子寿命、空穴寿命的影响

    Figure  3.   The effect of the defect density of the interface layer on recombination rate, electron lifetime and hole lifetime

    图  4   界面亲和势差对电池性能的影响

    Figure  4.   The effect of interfacial affinity difference on battery performance

    图  5   界面亲和势差对复合速率、电子寿命、空穴寿命的影响

    Figure  5.   The effects of interfacial affinity difference on recombination rate, electron lifetime and hole lifetime

    图  6   界面层带隙对电池性能的影响

    Figure  6.   The effect of interface layer band gap on battery performance

    图  7   界面层带隙Eg对器件能带、载流子复合速率的影响

    Figure  7.   The effects of interface layer band gap Eg on energy band and carrier recombination rate of devices

    表  1   半导体材料的各种参数

    Table  1   The various parameters of semiconductor materials

    参数 ITO[14] ZnO[14] MAPbI3[15] Spiro-OMeTAD[16]
    厚度d/μm 0.05 0.05 0.10~0.70 0.05
    介电常数(ϵ/ϵ0) 8.9 9.0 23.5 3.0
    带隙宽度Eg/eV 3.65 3.30 1.55 3.00
    亲和势χ/eV 4.8 4.4 3.9 2.45
    导带有效态密度Nc/cm-3 5.8×1018 2.2×1018 2.5×1018 2.2×1018
    价带有效态密度Nv/cm-3 1.0×1018 1.8×1019 2.5×1019 1.9×1019
    电子迁移率μn/(cm2·V-1·s-1) 10 100 50 0.000 4
    空穴迁移率μp/(cm2·V-1·s-1) 10 25 50 0.000 4
    施主密度Nd/cm-3 1.0×1020 1.0×1020 0 0
    受主密度Na/cm-3 0 0 1.0×1017 1×1018
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    其他类型引用(2)

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出版历程
  • 收稿日期:  2021-05-31
  • 网络出版日期:  2022-03-13
  • 刊出日期:  2022-02-24

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