称偶对(X, f)是一个拓扑动力系统(简称动力系统)，如果X是紧致度量空间，f: X→X是连续映射. 自LI和YORKE^[1]首次提出混沌的定义以来，系统的复杂性一直是拓扑动力系统研究的重要课题.

初值敏感是Devaney混沌定义中的核心，精略地说就是在任意非空开集中存在2个不同点，它们的轨道至少在某个时刻分开的距离是给定的正数长. 2005年，熊金城^[2]给出了n-敏感的定义，精略地说就是在任意非空开集中存在n个不同点，两两之间的轨道至少在某个时刻分开的距离是给定的正数长. 多年以来，学者们致力于敏感性和n-敏感性的研究. 如：张瑞丰^[3]证明了对于一个拓扑动力系统(X, f)，设X是局部连通空间，如果(X, f)是敏感的，那么它是n-敏感的；YE和ZHANG^[4]给出了相对于集合初值敏感、初值敏感集和局部proximal集的定义，证明了一个传递系统是敏感的当且仅当存在一个敏感集S且Card(S)≥2，并且传递系统的任意敏感集都是局部proximal集.

近年来，半群作用下的敏感性及其相关概念的研究得到了许多学者的关注^[5-9]. 例如：EDUARD和MICHAEL^[5]研究了一般半群作用下的敏感性，证明了如果S是C-半群且(X, d)是一个传递的Polish S-系统，那么系统(S，X)是几乎等度连续的当且仅当它不是敏感的；IGLESIAS和PORTELA^[6]证明了半群作用下的动力系统如果是几乎开的，那么该系统是敏感的或者该系统的等度连续集是一个剩余集；LI等^[7]研究了半群作用下的敏感函数和等度连续函数，证明了一个传递系统是敏感的当且仅当该系统具有敏感偶对，或者说该系统具有一个敏感函数.

事实上，在不同类型的半群作用下的动力系统表现出来的复杂性也不同. 2016年，FARMAKI等^[10]研究了有向部分半群作用下的拓扑动力系统，在一些限定条件下得到了关于有向部分半群作用的多重回复性定理，指出了IP-系统^[11]和以词为索引的拓扑动力系统^[12]都是关于有向部分半群作用下的拓扑动力系统的具体例子；同时，FARMAKI等^[13]得到了有向集上余理想的Nash-Williams型定理，拓展了经典的拓扑Ramsey定理. 受文献[10]、[13]的启发，本文研究了有向部分半群作用下的敏感性和n-敏感性，试图找到Λ-拓扑动力系统中敏感性和n-敏感性的等价刻画，进一步给出有向部分半群作用下的Λ-拓扑动力系统中敏感性和n-敏感性之间的关系.

1.   预备知识

对于非空集合A，用Card(A)表示集合A的基数. 对于拓扑空间X，用Xⁿ表示n次乘积空间X×X×…×X. 记Δ_n={(x, x, …, x)∈Xⁿ: x∈X}且Δ⁽ⁿ⁾={(x₁, x₂, …, x_n)∈Xⁿ: ∃i≠j, 使得x_i=x_j}.

定义1^[14]  设X是一个度量空间，f: X→X是连续映射，如果f满足下面的条件：

(1) f是传递的；

(2) f的周期点在X中稠密；

(3) f是初值敏感的，

则称f是X上的Devaney混沌.

下面介绍有向部分半群、有向部分半群作用下的适配余理想基以及以部分半群为索引的拓扑动力系统的定义.

定义2^[10]  设Λ是一个非空无限集且≺是Λ上的关系，如果满足下面的条件:

(1) 当λ₁, λ₂∈Λ且λ₁≺λ₂时，有λ₁≠λ₂；

(2) 当λ₁, λ₂, λ₃∈Λ，且满足λ₁≺λ₂且λ₂≺λ₃时，有λ₁≺λ₃；

(3) 对任意λ₁, λ₂∈Λ，存在λ₃∈Λ，使得λ₁≺λ₃且λ₂≺λ₃，

则称(Λ, ≺)是一个有向集.

本文总假设Λ是可数集.

定义3^[10]  设(Λ, ≺)是一个无限的有向集. 如果[Λ]^∞的子集$\Re$满足下面的3条性质：

(1) 对任意A∈$\Re$和λ₁∈Λ，存在λ₂∈A，使得λ₁≺λ₂；

(2) 当A∪B∈$\Re$时，有A∈$\Re$或者B∈ $\Re$；

(3) 当A∈$\Re$且A⊆B⊆X时，有B∈$\Re$，则称$\Re$是(Λ, ≺)上的一个余理想.

设(Λ, ≺)是一个无限的有向集，A⊆Λ且λ∈Λ, 则A-λ={z∈A: λ≺z}.

注1  设(Λ, ≺)是一个无限的有向集，$\mathfrak{J}$是Λ上的一个超滤子. 如果对任意A∈ $\mathfrak{J}$以及λ∈Λ，满足A-λ≠∅，那么超滤子$\mathfrak{J}$是(Λ, ≺)上的余理想，且在Λ上的这种超滤子的并集也是(Λ, ≺)上的余理想.

定义4^[10]  设(Λ, ≺)是一个无限的有向集. 如果[Λ]^∞上的子集$\aleph$满足下面的2条性质：

(1) 对任意A∈$\aleph$和λ₁∈Λ，存在λ₂∈A，使得λ₁≺λ₂；

(2) 当A∪B∈$\aleph$时，存在C∈$\aleph$，使得C⊆A或C⊆B，

则称$\aleph$是(Λ, ≺)上的一个余理想基.

容易看出(Λ, ≺)上的余理想是(Λ, ≺)上的余理想基.

定义5^[10]  设(Λ, ≺)是一个无限的有向集. 如果Λ上的算子*满足下面的条件：对任意满足λ₁≺λ₂≺λ₃的λ₁, λ₂, λ₃∈Λ，有λ₁≺λ₂*λ₃、λ₁*λ₂≺λ₃且(λ₁*λ₂)*λ₃=λ₁*(λ₂*λ₃)，则称(Λ, ≺, *)是一个有向部分半群.

定义6^[10]  设(Λ, ≺, *)是一个有向部分半群，$\aleph$是(Λ, ≺)上的一个余理想基. 对于任意B∈$\aleph$，对任意λ₁, λ₂∈B，若当λ₁≺λ₂时，有λ₁*λ₂∈B，则称$\aleph$是相对于(Λ, ≺, *)适配的.

定义7^[10]  设(Λ, ≺, *)是一个有向部分半群. 称由紧致度量空间(X, d)到自身的连续映射构成的集族是一个X上的Λ-拓扑动力系统，如果对任意λ₁, λ₂∈Λ，λ₁≺λ₂, 有T^λ₁∘T^λ₂=T^λ₁*λ₂.

本文记X上的Λ-拓扑动力系统为(X, {T^λ}_λ∈Λ).

注2  (1)若$\aleph$是(Λ, ≺, *)的一个适配余理想基且B∈$\aleph$，则集族(X, {T^λ}_λ∈B)也是X上的一个拓扑动力系统.

(2) 设T是从紧致度量空间X到自身的连续映射，则(X, ${{\left\{ {{T}^{\lambda }} \right\}}_{\lambda \in {{\mathbb{N}}_{\text{+}}}}}$)也是X上的一个$\mathbb{N}_+$-拓扑动力系统. 如果对任意λ₁, λ₂∈Λ，有T^λ₁∘T^λ₂=T^λ₁*λ₂，则称这个Λ-拓扑动力系统是可交换的.

定义8^[10]  设(Λ, ≺, *)是一个有向部分半群，(X, {T^λ}_λ∈Λ)是X上的Λ-拓扑动力系统，$\aleph$是(Λ, ≺, *)上的一个适配余理想基且B∈$\aleph$. 对X中的点x₀，如果存在A∈$\aleph$且A⊆B，使得$\mathop {\lim }\limits_{\lambda \in \mathit{\Lambda }} \, {{T}^{\lambda }}\left({{x}_{0}} \right)={{x}_{0}}$，则称x₀是B-回复点.

2.   有向部分半群作用的初值敏感性

本节研究在有向部分半群作用下的紧致度量空间到自身的Λ-拓扑动力系统中的敏感性，得到了关于初值敏感的一些性质.

下面给出拓扑传递性以及等度连续的相关定义.

定义9  设(Λ, ≺, *)是一个有向部分半群，(X, {T^λ}_λ∈Λ)是紧致度量空间(X, d)上的Λ-拓扑动力系统，$\aleph$是(Λ, ≺, *)上的一个适配余理想基且B∈$\aleph$. 那么

(1) 如果对任意非空开集U、V，存在λ∈Λ，使得U∩T^λ(V)≠∅，则称(X, {T^λ}_λ∈Λ)是拓扑传递的.

(2) 如果存在点x₀具有稠密轨道，即$\overline{\left\{ {{T}^{\lambda }}{{x}_{0}}:\lambda \in \mathit{\Lambda } \right\}}=X$，则称(X, {T^λ}_λ∈Λ)是点传递的，此时称x₀为传递点，记Trans(X)为传递点的全体.

(3) 设x₀∈X. 如果对任意x∈X，存在A∈$\aleph$且A⊆B，使得$\mathop {\lim }\limits_{\lambda \in \mathit{\Lambda} } \, {{T}^{\lambda }}\left(x \right)={{x}_{0}}$，则称点x₀为B传递点. 显然每个B-传递点都是B-回复点, 记全体B-传递点的集合为Trans^B(X).

定义10  设(X, {T^λ}_λ∈Λ)是一个Λ-拓扑动力系统, 那么

(1) 设A⊆{T^λ}_λ∈Λ. 如果对任意ε＞0，存在δ＞0，使得d(x₀, x)＜δ时，有d(T^λ (x₀), T^λ (x))＜ε对任意T^λ∈A (λ∈Λ)成立，则称子集A作用在x₀∈X上是等度连续的；如果A作用在任意x₀∈X上是等度连续的，则称A作用在X上是等度连续的.

(2) 如果A: ={T^λ}_λ∈Λ作用在点x₀∈X上是等度连续的，则称点x₀是等度连续点，记Eq(X)为等度连续点的全体. 如果Eq(X)=X，则称(X, {T^λ}_λ∈Λ)是等度连续的.

性质1  设X是紧致度量空间，(Λ, ≺, *)是有向部分半群，且(X, {T^λ}_λ∈Λ)是一个Λ-拓扑动力系统，则(X, {T^λ}_λ∈Λ)具有稠密的传递点集当且仅当它是拓扑传递的.

证明  假设系统(X, {T^λ}_λ∈Λ)具有稠密的传递点集. U和V是X的非空开集，选取传递点y∈V，则存在λ∈Λ，使得T^λ(y)∈U，可得U∩T^λ(V)≠∅.

现在假设(X, {T^λ}_λ∈Λ)是传递系统. 对任意非空开集U⊂X，集合{T^λ}_λ∈Λ^-1U在X中稠密. 由于X是紧致度量空间，对于给定拓扑，存在一个可数基$\aleph$，使得∩{ {T^λ}_λ∈Λ^-1U: U∈$\aleph$}是X的稠密集且这个集合的任意点都是X的传递点. 证毕.

性质2  设X是紧致度量空间，(Λ, ≺, *)是有向部分半群且(X, {T^λ}_λ∈Λ)是一个Λ-拓扑动力系统. 如果(X, {T^λ}_λ∈Λ)是拓扑传递的，那么Eq(X)⊂Trans(X).

证明  设x₀∈Eq(X)且任取y∈X. 对任意给定的ε＞0，记B_ε(y) : ={x∈X: d(x, y)＜ε}是y的ε-邻域. 因为x₀∈Eq(X)，则存在x₀的邻域U，使得对任意λ∈Λ和x∈U，有d(T^λ(x₀), T^λ(x))＜ε/2. 由于(X, {T^λ}_λ∈Λ)是拓扑传递的，则存在λ₀∈Λ，使得T^λ₀(U)∩ B_ε/2(y)≠∅. 因此，存在x∈U，有d(T^λ₀(x), y)＜ε/2，这就意味着d(T^λ₀(x₀), y)＜ε. 证毕.

定义11^[10]  设X是一个紧致度量空间，(Λ, ≺, *)是有向部分半群，且(X, {T^λ}_λ∈Λ)是一个Λ-拓扑动力系统. 对X中的非空闭子集B，如果对任意λ∈Λ，B都是T^λ-不变的，则B=X，那么称系统(X, {T^λ}_λ∈Λ)是极小的.

由定义11，易得以下结论：

性质3  设X是紧致度量空间，(Λ, ≺, *)是有向部分半群且(X, {T^λ}_λ∈Λ)是一个Λ-拓扑动力系统. 则下面命题等价：

(1)(X, {T^λ}_λ∈Λ)是极小系统；

(2) 对任意x∈X，集合{T^λ(x): λ∈Λ}是X的稠密集；

(3) 对X的任意非空开集U，存在有限多个元素λ₁, …, λ_n∈Λ，使得$\bigcup\limits_{i=1}^{n}{{{\left( {{T}^{{{\lambda }_{i}}}} \right)}^{-1}}\left( U \right)}=X$.

下面给出C-系统的定义.

定义12  设(Λ, ≺, *)是有向部分半群，(X, {T^λ}_λ∈Λ)是一个Λ-拓扑动力系统. 如果{T^λ}_λ∈Λ是一个拓扑半群且对任意λ₀∈Λ，{T^λ}_λ∈Λ\({T^λ}_λ∈Λ∘T^λ₀)在(X, {T^λ}_λ∈Λ)中是相对紧致(即它的闭包紧致)的，则称(X, {T^λ}_λ∈Λ)是C-系统.

引理1^[5]  设(X, S)是拓扑半群作用的动力系统，其中(X, d)是紧致度量空间. 设A⊂S是相对紧致的集合，那么A作用在(X, d)上是等度连续的.

性质4  设(Λ, ≺, *)是有向部分半群，(X, {T^λ}_λ∈Λ)是一个可交换的C-系统. 假设(X, {T^λ}_λ∈Λ)是点传递系统且Eq(X)≠∅，则任意传递点都是等度连续点，即Trans(X)⊂Eq(X).

证明  设y是传递点且x∈Eq(X)是等度连续点. 对给定的ε＞0，存在x的邻域U(x)，使得对任意λ∈Λ和任意x′, x″∈U(x)，有d(T^λ(x′), T^λ(x″))＜ε. 因为y是传递点，则存在λ₀∈Λ，有T^λ₀(y)∈U(x). 由于(T^λ₀)^-1U(x) 是y的一个邻域，则对任意λ∈Λ和任意y′, y″∈(T^λ₀)^-1U(x)，有d(T^λ(T^λ₀(y′)), T^λ(T^λ₀(y″)))＜ε.

因为(X, {T^λ}_λ∈Λ)是一个C-系统，则集合M: = $\overline{{{\{{{T}^{\lambda }}\}}_{\lambda \in \mathit{\Lambda }}}\backslash \left( {{\{{{T}^{\lambda }}\}}_{\lambda \in \mathit{\Lambda }}}\circ {{T}^{{{\lambda }_{0}}}} \right)}$是紧致集. 因此，由引理1可知M⊂ {T^λ}_λ∈Λ是X的等度连续集. 选取y的邻域V(y)，使得对任意T^λ∈M和任意y′, y″∈U(x)，有d(T^λ (y′), T^λ (y″))＜ε，则W: =(T^λ₀)^-1U(x)∩V(y)是y的邻域.

由于{T^λ}_λ∈Λ=M∪({T^λ}_λ∈Λ$\circ$T^λ₀)且(X, {T^λ}_λ∈Λ)是可交换的，则对任意λ∈Λ和任意y′, y″∈W，有d(T^λ(y′), T^λ(y″))＜ε，即证明了y是等度连续点. 证毕.

性质5  设(Λ, ≺, *)是有向部分半群，(X, {T^λ}_λ∈Λ)是一个可交换的Λ-系统. 假设(X, {T^λ}_λ∈Λ)是极小的C-系统且Eq(X)≠∅，则X是等度连续的.

证明  如果(X, {T^λ}_λ∈Λ)是极小系统，那么Trans(X)=X. 如果Eq(X)≠∅，由性质4可知X中的点都是等度连续点，则有Eq(X)=X. 证毕.

对于Λ-拓扑动力系统(X, {T^λ}_λ∈Λ)，如果集合Eq(X)在X中稠密，则称该系统是几乎等度连续的.下面给出一个几乎等度连续的等价命题.

性质6  设(Λ, ≺, *)是有向部分半群，(X, {T^λ}_λ∈Λ)是一个可交换的Λ-拓扑动力系统. 假设(X, {T^λ}_λ∈Λ)是拓扑传递的C-系统，则X是几乎等度连续的当且仅当Eq(X)≠∅.

证明  如果X是几乎等度连续的，显然Eq(X)≠∅. 现在假设(X, {T^λ}_λ∈Λ)是拓扑传递的，则由性质1可知Trans(X)是X的稠密集. 如果Eq(X)≠∅，则由性质4可得Trans(X)⊂Eq(X). 因此，Eq(X)是X的稠密集，即X是几乎等度连续的. 证毕.

下面给出敏感的Λ-拓扑动力系统的定义.

定义13  设(X, {T^λ}_λ∈Λ)是一个Λ-拓扑动力系统. 如果存在ε＞0，对任意x∈X和x的任意邻域U，存在y∈U和λ∈Λ，使得d(T^λx, T^λy)＞ε，则称(X, {T^λ}_λ∈Λ)是敏感的. 此时称ε是一个敏感常数.

下面给出有向部分半群作用下的Λ-拓扑动力系统是几乎等度连续的等价刻画.

定理1  设(Λ, ≺, *)是有向部分半群，(X, {T^λ}_λ∈Λ)是一个可交换的Λ-拓扑动力系统. 假设(X, {T^λ}_λ∈Λ)是拓扑传递的C-系统，则X是几乎等度连续的当且仅当它不是敏感的.

证明  由定义13易知，如果X是几乎等度连续的, 则X一定不是敏感的. 现在假设X不是敏感的，则对任意k∈$\mathbb{N}_+$，存在非空开集U_k⊂X，使得对任意(λ, k)∈Λ×$\mathbb{N}_+$，有diam(T^λ(U_k))＜1/k成立. 令V_k : ={T^λ}_λ∈Λ^-1U_k且W : =$\bigcap\nolimits_{k\in {{\mathbb{N}}_{\text{+}}}}{{{V}_{k}}}$. 由传递性可知，对X的任意非空开集U，存在λ∈Λ，使得U∩(T^λ)^-1V_k≠∅. 由于{T^λ}_λ∈Λ是可交换的，则任意V_n都是X的稠密集. 由Baire定理^[15]可知W也在X中稠密.

下面证明W⊂Eq(X)成立. 设x∈W且ε＞0，选取足够大的k∈$\mathbb{N}_+$，使得1/k＜ε，则存在k∈$\mathbb{N}_+$，使得x∈V_k，这就意味着存在λ₀∈Λ，满足T^λ₀(x)∈U_k. 设U₀=(T^λ₀)^-1U_k，则对于任意y∈U₀和任意T^λ: =T^λ′$\circ$T^λ₀∈{T^λ}_λ∈Λ$\circ$T^λ₀，有

因为集合{T^λ}_λ∈Λ\({T^λ}_λ∈Λ$\circ$T^λ₀)在{T^λ}_λ∈Λ中相对紧致，由引理1可知{T^λ}_λ∈Λ\({T^λ}_λ∈Λ$\circ$T^λ₀)在X上是等度连续的. 那么存在x的开邻域V，使得对任意y∈V和任意T^λ∈{T^λ}_λ∈Λ$\circ$T^λ₀，均有d(T^λ(x), T^λ(y))＜ε. 令O=U₀∩V，对任意y∈O和任意T^λ∈{T^λ}_λ∈Λ，均有d(T^λ(x), T^λ(y))＜ε, 这就意味着x是等度连续点. 证毕.

称一个映射是半开的，如果任意非空开集的像集包含非空开子集. 称2个Λ-拓扑动力系统之间的映射π: (X, {T^λ}_λ∈Λ)→(Y, {T^λ}_λ∈Λ)是因子映射，如果π是连续的满射, 且对任意λ∈Λ, 满足T^λ$\circ$π=π$\circ$T^λ. 下面说明敏感性可以被因子映射所提升.

性质7  设(X, d)和(Y, d)是紧致度量空间，(X, {T^λ}_λ∈Λ)和(Y, {T^λ}_λ∈Λ)是Λ-拓扑动力系统，且π: (X, {T^λ}_λ∈Λ)→(Y, {T^λ}_λ∈Λ)是一个半开的因子映射. 如果(Y, {T^λ}_λ∈Λ)是敏感的，那么(X, {T^λ}_λ∈Λ)也是敏感的.

证明  设ε是系统(Y, {T^λ}_λ∈Λ)的一个敏感常数. 因为π连续，则存在δ＞0，使得d(π(x), π(y))＞ε时，有d(x, y)＞δ.

设U是X的非空开集. 由于π是半开映射，则π(U)包含了Y的一个非空开集V. 因为(Y, {T^λ}_λ∈Λ)是敏感的，则存在λ∈Λ及y₁, y₂∈V，使得d(T^λ (y₁), T^λ(y₂))＞ε. 选取x₁, x₂∈U，使得π(x₁)=y₁, π(x₂)=y₂，则d(T^λ(x₁), T^λ(x₂))＞δ. 因此，系统(X, {T^λ}_λ∈Λ)是敏感的. 证毕.

3.   有向部分半群作用的n-敏感

本节研究有向部分半群作用下紧致度量空间上的Λ-拓扑动力系统的n-敏感性，得到了n-敏感的一些性质并且给出了敏感性和n-敏感性之间的关系.

定义集合Q_n(X, T)=$\bigcap\nolimits_{k=1}^{\infty }{\overline{\bigcup\nolimits_{\lambda \in \mathit{\Lambda }}{{{\left( {{T}^{\lambda }} \right)}^{-1}}\mathit{\Delta }_n\left( 1/k \right)}}}$，其中

显然点(x₁, …, x_n)∈Q_n(X, T)当且仅当对于任意ε＞0和x_i的任意邻域U_i，存在x′_i∈U_i和λ∈Λ, 有d(T^λ(x′_i), T^λ(x′_j))＜ε (1≤i≤j≤n). 下面给出Q-集的定义.

定义14  设集合S⊆X. 如果对任意n≥2，(x₁, …, x_n)∈Q_n(X, T)，有(x₁, …, x_n)∈Sⁿ，则称S是Q-集.

对于点(x₁, …, x_n)∈Xⁿ，定义集合L(x₁, …, x_n)如下：x∈L(x₁, …, x_n)当且仅当对x_i的任意邻域U_i及x的任意邻域U，存在x′_i∈U, 使得T^λ(x′_i)∈U_i (1≤i≤n).

性质8  设(Λ, ≺, *)是有向部分半群，(X, {T^λ}_λ∈Λ)是一个可交换的Λ-拓扑动力系统，$\aleph$是(Λ, ≺, *)上的适配余理想基，且对任意λ∈Λ，集合{i∈Λ: i*λ}⊂Λ. 设B∈$\aleph$, 如果X具有稠密的B-传递点集且y∈Trans^B(X)，则以下结论成立：

(1) L(x₁, …, x_n)是闭集.

(2) L(x₁, …, x_n)非空当且仅当(x₁, …, x_n)∈Q_n(X, T). 如果y∈ L(x₁, …, x_n)，且对于任意λ∈Λ，L(x₁, …, x_n)是T^λ-不变的，那么L(x₁, …, x_n)=X.

证明  结论(1)是显然成立的，下面证明结论(2). 假设L(x₁, …, x_n)非空且令x∈L(x₁, …, x_n). 由于集合

在Xⁿ中稠密，且W_n中的每个元素都是B-回复的，则B-回复集也在Xⁿ中稠密. 设U是x的邻域，U_i是x_i的邻域，则存在λ∈Λ和x′_i∈U, 使得对任意1≤i≤n，有T^λ(x′_i)∈U_i. 不失一般性，假设(x′₁, …, x′_n) 是B-传递点，则存在λ′≻ λ，使得T^λ′ (T^λ(x′_i))∈U (1≤i≤n). 因此，(x₁, …, x_n)∈Q_n(X, T).

另一方面，假设(x₁, …, x_n)∈Q_n(X, T).设U_i^k是x_i的邻域且满足diam(U_i^k)≤1/k，其中k∈Λ且1≤i≤n. 对任意k，存在λ_k∈Λ和x_i^k∈U_i^k，有d(T^λ_k(x_i^m), T^λ_k(x_j^m))≤1/k (1≤i≤j≤n). 由紧致性，对任意i，可假设$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \, {{T}^{{{\lambda }_{k}}}}\left( x_{i}^{k} \right)=x$. 由于W_n是Xⁿ的稠密集，不难得到x∈ L(x₁, …, x_n). 证毕.

下面给出相对于集合K敏感的Λ-拓扑动力系统的定义.

定义15  设X是紧致度量空间，(Λ, ≺, *)是有向部分半群，(X, {T^λ}_λ∈Λ)是Λ- 拓扑动力系统. 设K是X的子集且Card(K)≥2，如果对任意(x₁, …, x_n)∈Kⁿ\Δ_n，均有L(x₁, …, x_n)=X成立，即对点x_i的任意邻域U_i、任意x∈X和x的邻域U，存在λ∈Λ和x′_i∈U，使得对任意的i (1≤i≤n)，有T^λ(x′_i)∈U_i，则称系统(X, {T^λ}_λ∈Λ)是相对于集合K敏感的. 这样的集合K叫做初值敏感集或者S-集.

对任意n≥2，记S_n(X, T)={(x₁, …, x_n): (x₁, …, x_n)∉Δ_n且{x₁, …, x_n}∈S}.

以下定理给出了在有向部分半群作用下, Λ-拓扑动力系统中的S-集和Q-集之间的关系.

定理2  设(Λ, ≺, *)是有向部分半群，(X, {T^λ}_λ∈Λ)是一个可交换的Λ-拓扑动力系统，$\aleph$是(Λ, ≺, *)上的适配余理想基且对任意λ∈Λ，集合{i∈Λ: i*λ}⊂Λ. 设B∈$\aleph$，且对于任意(x₁, …, x_n)∈Xⁿ，对任意λ∈Λ，集合L(x₁, …, x_n)都是T^λ-不变的. 如果X中包含稠密的B-传递点集，那么任意S-集都是Q-集；当(X, {T^λ}_λ∈Λ)是极小系统时，逆命题成立.

证明  假设X包含稠密的B-传递点集，集合A是S-集且(x₁, …, x_n)∈S_n(X, T)∩Aⁿ. 设x∈X且对任意自然数k≥1，U_k是x的非空开邻域且满足diam(U_k)＜1/k. 设V_i是x_i的邻域，则对任意k≥1，存在λ_k∈Λ及y₁^k, …, y_n^k∈U_k，使得T^λ_k(y_i^k)∈V_i. 由假设易知B-回复点集在Xⁿ中稠密，不妨设(y₁^k, …, y_n^k)是Xⁿ的B-回复点，则存在λ ≻ λ_k，使得T^λ(T^λ_k (y_i^k))∈U_k. 这就意味着(x₁, …, x_n)∈Q_n(X, T).

下面假设(X, {T^λ}_λ∈Λ)是极小系统. 设A是一个Q集且(x₁, …, x_n)∈Aⁿ\Δ⁽ⁿ⁾，对任意k≥1和x_i的任意邻域U_i，存在y_i^k∈U_i和λ_k∈Λ，使得

假设$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \, {{T}^{{{\lambda }_{k}}}}\left( y_{i}^{k} \right)=x$ (i=1, …, l). 由于X包含稠密的B-传递点集，那么Xⁿ中也包含稠密的B-回复点集，这就意味着x∈L(x₁, …, x_n)，即L(x₁, …, x_n)=X. 因此，(X, {T^λ}_λ∈Λ) 是相对于(x₁, …, x_n)敏感的，进而(X, {T^λ}_λ∈Λ)是相对于集合A敏感的，这也意味着A是S-集. 证毕.

下面给出n-敏感的Λ-拓扑动力系统的定义.

定义16  对给定的自然数n≥2，称系统(X, {T^λ}_λ∈Λ)是n-敏感的，如果存在ε＞0，使得对任意非空开集U，存在两两互异点x₁, x₂, …, x_n∈U及λ∈Λ，使得min{d(T^λx_i, T^λx_j): 1≤i≠j≤n}≥ε.

由定义16，易得以下结论.

定理3  设(Λ, ≺, *)是有向部分半群，(X, {T^λ}_λ∈Λ)是一个可交换的Λ-拓扑动力系统，$\aleph$是(Λ, ≺, *)上的适配余理想基且对任意λ∈Λ，集合{i∈Λ: i*λ} ⊂Λ. 设B∈$\aleph$，且对任意λ∈Λ，L(x₁, …, x_n)是T^λ-不变的. 如果X包含稠密的B-传递点集且(X, {T^λ}_λ∈Λ)是n- 敏感的，那么对任意n≥2，有S_n(X, T)\Δⁿ≠∅.

证明  假设系统(X, {T^λ}_λ∈Λ)是n-敏感的. 设x是B-传递点, 对任意的m∈$\mathbb{N}_+$，设U_m是x的开邻域且diam(U_m)＜1/m，则存在常数ε＞0，使得对任意自然数m，存在B-回复点(x₁^m, …, x_n^m)∈U_m×…×U_m及λ_m∈Λ，当i≠j时，有d(T^λ_mx_i^m, T^λ_mx_j^m)＞ε. 不失一般性，假设T^λ_mx_i^m→x_i (i=1, …, n). 显然x₁, …, x_n是两两不同的, 且x∈L(x₁, …, x_n). 因此, L(x₁, …, x_n)=X，即(x₁, …, x_n)∈S_n(X, T). 证毕.

接下来证明对于紧致度量空间上的Λ-拓扑动力系统来说，在X是局部连通空间的条件下，敏感性与n-敏感相互等价.

定理4  设(Λ, ≺, *)是有向部分半群，(X, {T^λ}_λ∈Λ)是一个Λ-拓扑动力系统且X是局部连通空间. 如果(X, {T^λ}_λ∈Λ)是敏感的，那么它也是n-敏感的(n≥2，n∈$\mathbb{N}_+$).

证明  设ε是一个敏感常数，U是X的非空开集且n≥3. 由于X是局部连通空间，则存在非空连通开子集W⊂U. 由于X是敏感的，则可选取x, y∈W及λ∈Λ，使得d′=d(T^λ(x), T^λ(y))＞ε.

对于选出的这个λ，定义f: T^λ(U)→$\mathbb{R}$，使得f(z)=d(T^λ(x), z). 易知f是连续的. 由于T^λ (U)是连通的且f(T^λ(x))=0, f(T^λ(y))=d′，可得f(T^λ (U)) ⊃[0, d′]. 选取n个互异点x′₁=T^λ(x), x′ ₂, …, x′_n=T^λ(y)∈T^λ (U)，使得对任意i=1, 2, …, n, 有d(x′₁, x′_i)=$\frac{i-1}{n-1}{d}'$. 选取x₁=x, x₂, …, x_n-1, x_n=y∈U，使得x′_i=T^λ(x_i)，那么

这就证明了系统(X, {T^λ}_λ∈Λ)是n-敏感的. 证毕.

由定理4，易得以下推论：

推论1  设(Λ, ≺, *)是有向部分半群，(X, {T^λ}_λ∈Λ) 是一个Λ-拓扑动力系统且X是局部连通空间. 那么对于任意自然数n≥2，系统(X, {T^λ}_λ∈Λ)是敏感的当且仅当它是n-敏感的.