The Congruences on Regular Semigroups with Inverse Transversals Associated with Green's Relations
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摘要: 利用商半群中元素的提升性和同态像中格林关系的提升性, 研究由格林关系和格林关系在具有逆断面的正则半群S的重要子半群上的限制所生成的同余, 确定这些同余所对应的半群类.Abstract: Let S be a regular semigroup with an inverse transversal. Following the study of the lifting property of ele-ments in the quotient semigroup of S and the lifting property of Green's relations in the homomorphic image of S, congruences on S generated by Green's relations and by restriction of Green's relations to the important subsemi-groups of S are investigated. The classes of semigroups related to these congruences are described.
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Keywords:
- inverse transversal /
- Green's relations /
- congruence
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气溶胶是由悬浮在气体中的固体或液态颗粒共同组成的系统. 在生活中，在密闭空间或通风条件较差的空间内，病毒气溶胶可能以较高颗粒残留率(数目百分比，全文同)的形式存在，封闭环境可能造成病毒的传播.
2005年，赵钧等[1]采用计算流体力学的方法首次分析了SARS病毒颗粒在空气中绕建筑物后的运动过程和分布情况. 同年，邓伟鹏等[2]分析了SARS病毒的特性及传播机理，并给出了"双层百叶风口单侧顶送，并在异侧病床两边下部回风"的气流分布方式作为隔离病房设计优选方案，为隔离病房的通风设计理论研究奠定了基础. 2011年，WANG等[3]以空气传播感染病房为对象进行研究，采用数值模拟研究了人的行走速率对悬浮气溶胶数量的影响. 2012年，高乃平等[4]通过实验研究，建立了全尺寸置换通风的条件，研究了人体呼出的气溶胶颗粒在室内垂直和水平方向的分布，在距离发生源较近的区域中，颗粒在呼吸域中的高度存在自锁现象. 同年，宗青松等[5]利用数值模拟以及实验测试相结合的方式，首次研究了在颗粒仅来自室外的情况下送风速率、颗粒粒径、壁面粗糙度等因素对室内颗粒分布和沉积的影响. 在以往的实验中，多数使用示踪气体代替固体颗粒，以便研究呼出颗粒污染物在室内环境中的分布与传播[6-7]. 2013年，韩云龙等[8]采用数值模拟建立了自然通风条件下室内不同颗粒的扩散模型，分析了2.5、10、50 μm粒径的颗粒物在室内的分布情况，结果表明：小颗粒(粒径2.5 μm)具有很强的气流跟随性，并且其分布也比中大颗粒(粒径10、50 μm)的均匀，大颗粒由于受重力作用主要沉积于地板. 2017年，康智强等[9]用数值模拟方法模拟了在会议室中3种通风方案对飞沫气溶胶运动轨迹的影响，引入颗粒物在室内滞留时间和运动距离的概念评价指标，结果表明：在同侧上送上回的条件下滞留时间和运动距离最短，是避免气溶胶在室内传播的最佳气流组织方式. 2020年，刘荔等[10]首次提出了方舱医院在冬季条件下可能发生的热分层现象导致发生交叉感染的新概念，研究发现将人员活动区域的垂直温度梯度降低0.42 K/m，可以降低吸入飞沫核数的60%，并建议增大新风量. 2020年，殷平[11]首次研究了病毒和集中空调系统的关系，并提出采取有效措施的集中空调系统可大幅降低室内的病毒残留率. 因此，了解室内气溶胶颗粒运动扩散特性及通风环境对病毒残留率的影响，有利于防止交叉感染，提高空气质量[12-13].
本文结合实际，通过数值仿真首次研究相对密闭空间内局部触发气溶胶的弥散特性，为了防止室内高残留率气溶胶存在的可能性，提出了通风方案，对气溶胶传播病毒风险的预防作用具有深刻意义. 针对密闭空间室内，人体咳嗽时气溶胶颗粒扩散范围及运动规律进行数值模拟，并建立3种通风方案，对比分析方案中颗粒的滞留时间、运动距离和残留率，为设计可以降低室内高残留率气溶胶传播病毒可能性的通风方案提供参考.
1. 计算模型及控制方程
1.1 封闭空间模型
建立1 ∶ 1尺寸比例的教室模型(图 1A)，室内空间尺寸为8 m×6 m×3 m，包括门、窗、通风口. 人体模型采用简化的方块模型，高于周围他人的为模拟咳嗽时局部触发的气溶胶源，喷口位置如图 1B所示，喷口半径为30 mm.
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图 1 密闭公共空间计算模型示意图Figure 1. The schematic diagram of a closed public space calculation model1.2 具有通风方案的空间模型
图 2为通风方案的3种形式. 在"对侧通风"方案中，单侧窗户为进风口，对侧门为排风口；在"上送两侧回风"方案中，顶部通风口进风，窗口与门为排风口；在"单侧通风-对侧/上侧回风"方案中，单侧窗户为进风口，顶部通风与门为排风口.
1.3 控制方程
采用连续相气流流场和颗粒相耦合的方法进行数值模拟，气流场采用室内气流流场效果较好的Realizable k-ε湍流模型计算[14]，通用方程为：
∂(ρΦ)∂t+∇⋅(ρuΦ)=∇⋅(Γ∇Φ)+K, (1) 其中，ρ为气体密度，Φ为通用变量，可以代表速率分量u、v、w和热力学温度T等求解变量，t为时间，▽为梯度，K代表广义源项.
对颗粒相的计算采用离散相颗粒模型(DPM)，该方法是在拉格朗日法的基础上建立的，因此可以追踪颗粒的运动轨迹，可以计算两相耦合和单相耦合问题，在忽略颗粒对气体相的影响、只考虑气体对颗粒的影响情况下，气固相间作用力采用曳力模型描述，对于单个颗粒的运动方程，由牛顿第二运动定律可得在笛卡尔坐标下的表达式：
dupdt=FD(ug−up)+g(ρp−ρg)/ρp+Fx, (2) 其中，ρp为颗粒密度，ρg为气相密度，g为重力加速率，up为颗粒相速率，ug为气相速率，FD为流体对颗粒的曳力，Fx为除重力以外的其他力. Fx包括：流场中由于速率梯度而产生的saffman力、颗粒在流体中加速或者减速而存在的Basset力、流场中颗粒的旋转而产生的Magnus力(附加质量)、热泳力、布朗力以及颗粒之间和颗粒在与壁面碰撞的力.
在室内颗粒物的运动受力中，压力梯度力、虚拟质量力、由于颗粒旋转而产生的Basset力均比曳力小2个量级，因此考虑由于速率梯度产生的saffman力、热泳力和布朗力的作用，方程(2)可简化为：
dupdt=FD(ug−up)+g(ρp−ρg)/ρp+Fb+Fth+Fs, (3) 其中，Fb为布朗力，Fth为热泳力，Fs为saffman力.
2. 网格划分和边界条件
2.1 网格划分
采用ICEM软件对计算区域创建非结构化网格，并在颗粒源喷射口附近进行网格加密，计算网格如图 3所示. 由于数值模拟使用的非稳态计算方法，在有限的计算资源前提下保证计算速率，建立了网格数分别为77万、151万、186万和246万的网格进行网格无关性验证. 在室内空间取一条中心垂直线(X=0、Z=0)，得到1 s时刻的速率分布(图 3).
从图 4可以看出，在室内空间, 中心线高度随颗粒速率的变化率从0开始先迅速增大，达到峰值之后减小，当速率低于0.003 m/s后略有提升，随后速率迅速降低到0. 在4种网格空间中，网格数为186万的中心线高度变化速率分布与77万的相比有较大差距，151万网格的次之，但网格数为186万的速率分布曲线与246万的分布结果并无明显变化. 因此，网格数为186万的网格敏感性已经达标，最终选择186万网格数作为全局网格划分方案的参数.
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图 4 4种不同网格数空间的中心线高变化速率分布Figure 4. The distribution of centerline height change rate in four different grid number spaces2.2 边界条件
数值模拟研究由局部触发的气溶胶弥散特性，获得气溶胶颗粒在特定时间的位置和残留率等信息，因此采用Fluent软件进行非稳态计算. 简化人物模型的呼吸方式，设置空间进气条件，模拟呼气中咳嗽产生颗粒的气流. 设定1 s内由咳嗽触发的气溶胶喷射条件，颗粒物采用离散相模型(DPM)进行计算，颗粒物设置为水颗粒. 湍流模型选择Realizable模型计算[15-16]，采用Coupled算法，离散格式为二阶迎风格式，单时间步长内收敛残差低于1×10-6数量级，非稳态数值模拟设置时间步长为0.2 s，步数共300步，即模拟1 min气溶胶颗粒残留率的变化情况.
2.2.1 密闭空间的边界条件
气溶胶扩散中，由于气体颗粒尺寸不同，大质量颗粒受重力的影响较大，因此计算域设置必要的重力环境条件. 具体边界条件如表 1所示，人体正常体温为310 K(37 ℃)左右，但模拟时人体正常外表温度为304 K(31 ℃)，空间环境为室内常温293 K(20 ℃). 本文主要模拟人体咳嗽后气溶胶颗粒的弥散特性，因此人体口腔设置速率边界条件：速率为1.3 m/s，气流温度为308 K(35 ℃)[17]. 咳嗽喷出的气溶胶为气液两相混合物，设置水颗粒物性参数：直径为0.5~100 μm，平均粒径为10 μm. 设定沿口腔法向方向喷出颗粒物：颗粒物初速率为10 m/s，温度为310 K(37 ℃). 设置周围人体为粒子捕捉边界条件：墙壁为粒子逃逸边界条件.
表 1 密闭空间边界条件参数Table 1. The boundary condition parameters of a confined space边界 温度/K 流速/(m·s-1) DPM边界条件 人体口腔 308 1.3 Escape 气溶胶颗粒物 310 10.0 — 周围人体 304 0 Trap 周围墙壁 293 — Escape 注：周围墙壁上气流无滑移，流速为0 m/s. 2.2.2 通风方案的参数设定
本文旨在研究3种通风方案对密闭气溶胶残留率随时间扩散规律的影响，因此采用瞬态计算，得到特定时间点颗粒物的状态. 在密闭空间中，简化人体模型均具有一定频率的呼吸，且模拟人体口腔咳嗽产生1 s时长的颗粒物. 呼吸、房内空气设定为不可压缩空气，颗粒物为液态水颗粒.
计算湍流模型采用Realizable k-ε模型和Coupled算法. 单步计算收敛残差低于1×10-6. 设定瞬态求解参数，时间步长为0.2 s，共计算300步，即1 min内在通风条件下颗粒的弥散规律.
方案1：对侧通风.
边界条件与密闭空间边界条件相同，包括：墙壁、人体温度、呼吸气流、颗粒物条件. 通风下在保证通风流量相同的情况下设置通风窗口为速率入口，速率大小为0.2 m/s，温度为290 K(17 ℃). 对侧门为回风口，设置为压力出口，出口压力为标准大气压(101.325 kPa). 通风主要从窗口流入，从门口处流出，所有边界条件见表 2.
表 2 对侧通风空间边界条件参数Table 2. The boundary condition parameters of opposite-side ventilation边界 温度/K 流速/(m·s-1) DPM边界条件 人体口腔 308 1.3 Escape 气溶胶颗粒物 310 10.0 — 墙壁 293 0 Escape 人体 304 0 Trap 4个窗口 290 0.2 Escape 2个门 293 — Escape 方案2：上送两侧回风.
除通风外其他边界条件与上述密闭空间的边界条件相同，在保证通风流量相同的情况下设置顶部送风口为速率入口，速率大小为1.3 m/s，温度为290 K(17 ℃). 4个窗口和2个门为回风口设置为压力出口, 出口压力为标准大气压. 因此通风主要从顶部窗口流入，从两侧窗口和门口处流出，所有边界条件见表 3.
表 3 上送两侧回风通风空间边界条件参数Table 3. The boundary condition parameters of the upper-side ventilation边界 温度/K 流速/(m·s-1) DPM边界条件 人体口腔 308 1.3 Escape 气溶胶颗粒物 310 10.0 — 顶部窗口 290 1.3 Escape 墙壁 293 0 Escape 人体 304 0 Trap 4个窗口 293 — Escape 2个门 293 — Escape 方案3：单侧通风-对侧/上侧回风.
除通风条件外，边界条件与方案(1)、方案(2)的条件相同. 在保证通风流量相同的情况下设置4个窗口为速率入口，速率大小为0.2 m/s，温度为290 K(17 ℃). 顶部窗口和2个对侧门为回风口设置成压力出口：出口压力为大气压. 因此通风主要从4个窗口流入，从顶部窗口和对侧2个门口处流出，所有边界条件见表 4.
表 4 单侧通风-对侧/上侧回风通风空间边界条件参数Table 4. The boundary condition parameters of single-side ventilation of opposite and upper-side return air边界 温度/K 流速/(m·s-1) DPM边界条件 人体口腔 308 1.3 Escape 气溶胶颗粒物 310 10.0 — 顶部窗口 290 1.3 Escape 周围墙壁 293 0 Escape 周围人体 304 0 Trap 4个窗口 293 — Escape 2个门 293 — Escape 3. 结果与讨论
3.1 密闭空间的颗粒弥散分布
在密闭空间中，颗粒从口腔喷出后60 s内的颗粒弥散结果如图 5所示，仅有较大颗粒(粒径>10 μm)落到前方，其他较小颗粒(粒径＜10 μm)随空气流动，而由于室内回流，将颗粒附着在自身上. 当颗粒喷出5 s时，颗粒仅随气流运动到身体前上方，扩散性不强，颗粒团处于聚集状态. 当喷出后15 s时，小部分颗粒滞留在原地，但绝大多数颗粒继续向前上方运动，此时颗粒团范围扩大. 当喷出后25 s时，颗粒运动到空间顶部，由于顶部墙壁的物理边界压迫，颗粒由团状散开成片状，随后在35 s时刻颗粒呈片状向前飘动，在45、55、60 s时刻，上方颗粒到达空间顶部前上方边界，并向两侧和后方下落移动.
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图 5 在60 s内密闭空间中颗粒的弥散分布Figure 5. The particle dispersion distribution in a confined space within 60 s气溶胶颗粒传播最远距离与残留率随时间的变化如图 6A所示, 从口腔喷射而出的颗粒在最开始喷出的时间段内移动的速率最快，随着时间推移，移动逐渐变缓，在喷出后55 s，颗粒到达空间中前方壁面并向后方空间扩散，最大传播距离为5.3 m，与颗粒弥散图的颗粒运动现象相符. 由于人体和四周壁面DPM边界条件分别设置为Trap和Escape，颗粒的残留率不断降低，刚开始喷出颗粒存在于空气中，并未到达墙壁及人体表面，仅大颗粒落于地面，因此在前15 s内颗粒残留率变化较小，此后颗粒接触上方和前方壁面，残留率下降的速率明显，最终在60 s时刻，残留率为70.86%.
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图 6 密闭空间中颗粒的移动特性与温度分布Figure 6. The movement characteristics of particles and temperature distribution in a confined space在喷出后60 s时刻，密闭空间不同位置的温度分布如图 6B所示，位置分别为X=0 m和Z=3.75 m处(距前壁0.5 m处). 由于人体表面附近温度较周围环境的高，气流向上运动，产生了热羽流现象，并在空间前方和后方壁面附近形成环流区. 在空间两侧，空气沿壁面向下流动，形成室内环流，颗粒随气流运动的影响大，造成颗粒在密闭空间内无法排出.
3.2 不同通风方案的仿真结果
3.2.1 对侧通风方案
图 7A为对侧通风颗粒传播最远距离、残留率随时间的变化关系. 由于通风的关系，最远距离在45 s时到达峰值，随后颗粒向后方扩散，相对密闭空间的提前了10 s，但是最大传播距离为5.7 m. 对侧通风方案中室内颗粒残留率随时间的变化趋势与密闭空间的相同(图 6A)，但随时间的不同，颗粒残留率在25 s之前并未改变，说明颗粒未被人体捕捉. 随后颗粒接触到壁面停滞或被通风气流带走，60 s后室内颗粒残留率为65.4%，少于密闭空间的残留率(图 6A).
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图 7 对侧通风下颗粒的移动特性与温度分布Figure 7. The morement characteristics of particles and temperature distribution in the opposite-side ventilation图 7B为60 s时刻对侧通风条件下空间的温度分布，由于通风效果室内温度变得较均匀，并且可以看出室内气流朝门口流动，颗粒更容易被气流带出室外.
3.2.2 上送两侧通风方案
图 8A为上送两侧回风颗粒物传播最远距离与残留率随时间的变化，可以发现在60 s内颗粒传播距离越来越远，但是传播速率变缓，最大传播距离为5.23 m. 在前35 s，颗粒残留率的下降速率变慢，在35 s后迅速下降，并且在60 s时刻，室内颗粒残留率为63.22%.
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图 8 上送两侧回风条件下颗粒的移动特性与温度分布Figure 8. The movement characteristics of particles and temperature distribution in the upper-side ventilation图 8B为60 s时刻上送两侧回风条件下空间的温度分布，由于上通风方案中室内温度中间较低，上方送风的冷气流和人体表面附近的热羽流作用，在室内前后方形成环流，并且室内气流朝门口和窗口流动，颗粒更容易被气流带出室外.
3.2.3 单侧通风-对侧/上侧回风方案
图 9A为上送两侧回风颗粒物传播最远距离与残留率随时间的变化，可以发现从0~45 s内颗粒传播距离越来越远，但是传播速率变缓，45~60 s的传播距离下降，最大传播距离为5.49 m. 从15 s之后颗粒物残留率明显下降，但在60 s时刻，室内颗粒物残留率依然较高(70.32%).
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图 9 单侧通风-对侧/上侧回风条件下颗粒的移动特性与温度分布Figure 9. The movement characteristics of particles and temperature distribution in single-side ventilation of opposite- and upper-side return air图 9B为单侧通风-对侧/上侧回风条件下60 s时刻空间的温度分布，由于对比对侧通风模式，多了上方出口，气流一部分从上方流出，但还存在较强的室内环流，导致在60 s时刻颗粒残留率仍然较高.
3.3 方案测评
图 10为1 min内3种不同通风方案室内颗粒残留率的变化情况，可以看出在对侧通风方案颗粒残留率稳步下降，但是上送两侧回风方案在60 s时刻颗粒残留率降低到较低的水平，比对侧通风方案的低2.18%；单侧通风-对侧/上侧回风方案颗粒残留率下降较慢. 可见，上送两侧回风方式可以有效降低室内气溶胶残留率，降低气溶胶的干扰风险.
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图 10 3种不同通风方案室内颗粒残留率随时间的变化Figure 10. The change of indoor particle residual rate in three different ventilation schemes4. 结论
通过数值仿真方法，开展在密闭空间由局部触发的气溶胶弥散的仿真研究，结果表明：大颗粒受重力影响落于地面，小颗粒随室内环流扩散. 在颗粒物喷出后60 s时，有70.86%数量的颗粒依然存在于室内空气中. 因此，在室内存留的高残留率气溶胶，容易引发气溶胶感染风险，特别是颗粒源的前上方残留率最大的区域. 基于密闭空间提出了3种通风方案，在保证通风气流流量相同的情况下，上送两侧回风方案颗粒传播距离短，同时室内颗粒残留率较低，是较理想的密闭空间气溶胶通风方案. 对侧通风是常用的通风方案，可以保证气溶胶残留率在室内稳步降低，并且气流紊流度低，通风体感较好，可以在平时采用对侧通风方案，必要时采用上送两侧回风的通风方案以保证较低的颗粒物浓度.
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