On the Modified Sombor Indices of Some Aromatic Compounds
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摘要: Sombor指数族(普通Sombor指数、约化Sombor指数和改良Sombor指数等)在模拟烷烃的熵和蒸发焓方面显示出良好的预测和判别能力, 可应用于化合物热力学性质的模拟, 具有重要的化学应用价值. 针对4类常见的芳香族化合物——随机苯链、随机聚苯链、随机亚苯基链和随机斯皮罗链, 通过递归计算的方式研究了改良Sombor指数的数学期望, 进而分别给出了这4类芳香族化合物的改良Sombor指数的极值与极图刻画.
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关键词:
- 改良Sombor指数 /
- 芳香族化合物 /
- 数学期望 /
- 极值 /
- 极图
Abstract: The family of Sombor indices(Sombor index, reduced Sombor index, modified Sombor index, etc.) show satisfactory predictive and discriminative potential in modeling entropy and enthalpy of vaporization of alkanes. The results of testing the predictive potential of the family of Sombor indices indicate that these descriptors may be successfully applied to modeling thermodynamic properties of compounds and have important value for chemical application. The expected values of the modified Sombor indices of four kinds of common polycyclic aromatic compounds—(random) hexagonal chains, (random) polyphenyl chains, (random) phenylene chains and (random) spiro chains are studied with recursive calculation. Furthermore, the extremal values and extremal graphs of the modified Sombor indices for these four kinds of polycyclic aromatic compounds are characterized respectively.-
Keywords:
- modified Sombor index /
- aromatic compound /
- expected value /
- extremal value /
- extremal graph
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化学图论是一门将化学与图论相结合的交叉学科. 拓扑指数作为图的不变量, 可用来预测有机化合物的物理化学性质, 在化学和医药科学中具有重要的作用[1]. 众所周知, 自化学图论发展至今已诞生了很多有价值的拓扑指数. 最近, GUTMAN和KULL提出了Sombor指数族的若干概念(普通Sombor指数[2]、约化Sombor指数[2]和改良Sombor指数[3]等), 经检验, 它们在模拟烷烃的熵和蒸发焓方面显示出良好的预测和判别能力[4], 这些描述可以成功地应用于化合物热力学性质的模拟, 具有重要的化学应用价值.
随机分子图在理论化学中具有重要意义, 近年来关于随机分子图各种拓扑指数的极值和极图的研究成果很多[5-10]. 如: JAHANBANI[5]研究了随机聚苯链的第一Zagreb指数及Randić指数; 刘合超等[6, 10]研究了随机斯皮罗链和随机环辛烷链的Gutman指数、Schultz指数及3类Kirchhoff指数; RAZA[7-8]研究了随机聚苯链和随机斯皮罗链的调和指数、第二Zagreb指数及连通指数; YANG和ZHANG[9]研究了随机聚苯链的Winner指数. Sombor指数族因其良好的化学适用性同样备受关注. 关于普通Sombor指数和约化Sombor指数的研究已有若干结果[2, 4, 11-17], 但对于改良Sombor指数还有待研究. 本文主要关注4类常见的芳香族化合物——随机苯链、随机聚苯链、随机亚苯基链和随机斯皮罗链, 分别研究了它们的改良Sombor指数的数学期望, 进而给出了极值与极图的刻画.
1. 预备知识
设G=(V, E)是一个有限连通简单图, 其中V=V(G)是顶点集, E=E(G)是边集. 记点u∈V的度为du, 改良Sombor指数[3]定义为:
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G)=\sum\limits_{u v \in E(G)} \frac{1}{\sqrt{d_{u}^{2}+d_{v}^{2}}}. $$ 为方便研究随机苯链、随机聚苯链、随机亚苯基链和随机斯皮罗链4类芳香族化合物的改良Sombor指数, 称图G的一条边为(i, j)-型, 如果该边的2个端点的度数分别为i和j; 并记图G中(i, j)-型边的数目为mij(G). 根据改良Sombor指数的定义[3], 一条(i, j)-型边对改良Sombor指数的贡献为: $\frac{1}{\sqrt{i^{2}+j^{2}}} $, 可得如下命题:
命题1 设G是一个n阶连通简单图, 则
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G)=\sum\limits_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n-1} \frac{m_{i j}(G)}{\sqrt{i^{2}+j^{2}}}. $$ 根据命题1, 易得如下2个推论:
推论1 设G是连通简单图且其仅有(2, 2)-型、(2, 3)-型和(3, 3)-型边, 则
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G)=\frac{\sqrt{2}}{4} m_{22}(G)+\frac{\sqrt{13}}{13} m_{23}(G)+\frac{\sqrt{2}}{6} m_{33}(G). $$ 推论2 设G是连通简单图且其仅有(2, 2)-型、(2, 4)-型和(4, 4)-型边, 则
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G)=\frac{\sqrt{2}}{4} m_{22}(G)+\frac{\sqrt{5}}{10} m_{24}(G)+\frac{\sqrt{2}}{8} m_{44}(G) . $$ 2. 4类芳香族化合物的改良Sombor指数的极值与极图
2.1 随机苯链
苯系物是由若干个六边形晶格(即苯环)构成的任意2个苯环至多有一条公共边且不含割点及非六边形内表面的有限连通图. 一个苯系物称为苯链, 如果其任意1个苯环至多与另外2个苯环相连, 且任何3个苯环无公共点. 记由n个苯环构成的苯链(族)为HXGn, 其中正整数n≥2. 当n≥3时, 根据苯链的递归生成方式, 其末端的苯环有3种不同的连接方式, 从而形成了3类不同局域排布的苯链, 不妨分别记为HXGn1、HXGn2、HXGn3(图 1).
随机苯链(族)HXG(n; p1, p2)是指通过逐步添加末端苯环并最终形成由n (≥2)个苯环构成的苯链, 其中第t (t=3, 4, …, n)>步添加末端苯环时有以下3种随机情形:
(1) HXGt-1→HXGt1的概率为p1;
(2) HXGt-1→HXGt2的概率为p2;
(3) HXGt-1→HXGt3的概率为1-p1-p2,
其中, p1, p2∈[0, 1]是与步骤参量t无关的常数.
由于G∈HXG(n; p1, p2)的随机性, mSO(G)可看作一个随机变量, 并记随机苯链HXG(n; p1, p2)的改良Sombor指数的数学期望为:
$$ { }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{HXG}}=E\left[{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G) \mid G \in \mathrm{HXG}\left(n ; p_{1}, p_{2}\right)\right]. $$ 下面将刻画随机苯链HXG(n; p1, p2)的改良Sombor指数的数学期望.
定理1 随机苯链HXG(n; p1, p2)的改良Sombor指数的数学期望为
$$ { }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{HXG}}=\left[6+7 n-5(n-2) p_{2}\right] \frac{\sqrt{2}}{12}+\left[n+(n-2) p_{2}\right] \frac{2 \sqrt{13}}{13}. $$ 证明 根据随机苯链的结构, 易见其是连通简单图且其仅有(2, 2)-型、(2, 3)-型和(3, 3)-型边. 由推论1可得:
$$ { }^{\mathrm{m}} E_{2}^{\mathrm{HXG}}=\frac{5 \sqrt{2}}{3}+\frac{4 \sqrt{13}}{13}. $$ 当n≥3时, 注意到末端的苯环有3种连接方式(图 1), 故可考虑分析以下3种情形.
情形1. G ∈HXGn-1→G1 ∈HXGn1. 因为
$$ \begin{aligned} &m_{22}\left(G_{1}\right)=m_{22}(G)+1, \\ &m_{23}\left(G_{1}\right)=m_{23}(G)+2, \\ &m_{33}\left(G_{1}\right)=m_{33}(G)+2, \end{aligned} $$ 所以，结合推论1可得:
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(G_{1}\right)={ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G)+\frac{7 \sqrt{2}}{12}+\frac{2 \sqrt{13}}{13}. $$ 情形2. G∈HXGn-1→G2 ∈HXGn2. 因为
$$ \begin{aligned} &m_{22}\left(G_{2}\right)=m_{22}(G)+0, \\ &m_{23}\left(G_{2}\right)=m_{23}(G)+4, \\ &m_{33}\left(G_{2}\right)=m_{33}(G)+1, \end{aligned} $$ 所以，结合推论1可得:
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(G_{2}\right)={ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G)+\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{4 \sqrt{13}}{13}. $$ 情形3. G ∈HXGn-1→G3 ∈HXGn3. 因为
$$ \begin{aligned} &m_{22}\left(G_{3}\right)=m_{22}(G)+1, \\ &m_{23}\left(G_{3}\right)=m_{23}(G)+2, \\ &m_{33}\left(G_{3}\right)=m_{33}(G)+2, \end{aligned} $$ 所以, 结合推论1可得:
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(G_{3}\right)={ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G)+\frac{7 \sqrt{2}}{12}+\frac{2 \sqrt{13}}{13}. $$ 综上可得:
$$ \begin{array}{l} { }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{HXG}}=p_{1} \cdot{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{S} \mathrm{O}\left(G_{1}\right)+p_{2} \cdot{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(G_{2}\right)+\left(1-p_{1}-p_{2}\right) \cdot{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(G_{3}\right)= \\ { \qquad}^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G)+\left(7-5 p_{2}\right) \frac{\sqrt{2}}{12}+\left(1+p_{2}\right) \frac{2 \sqrt{13}}{13}. \end{array} $$ 又由于E[mEnHXG]=mEnHXG, 从而可得
$$ \begin{aligned} &{ }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{HXG}}={ }^{\mathrm{m}} E_{n-1}^{\mathrm{HxG}}+\left(7-5 p_{2}\right) \frac{\sqrt{2}}{12}+\left(1+p_{2}\right) \frac{2 \sqrt{13}}{13}=\cdots= \\ &\ \ \ \ { }^{\mathrm{m}} E_{2}^{\mathrm{HXG}}+(n-2)\left[\left(7-5 p_{2}\right) \frac{\sqrt{2}}{12}+\left(1+p_{2}\right) \frac{2 \sqrt{13}}{13}\right]= \\ &\ \ \ \ \frac{5 \sqrt{2}}{3}+\frac{4 \sqrt{13}}{13}+(n-2)\left[\left(7-5 p_{2}\right) \frac{\sqrt{2}}{12}+\right. \\ &\ \ \ \ \left.\left(1+p_{2}\right) \frac{2 \sqrt{13}}{13}\right]=\left[6+7 n-5(n-2) p_{2}\right] \frac{\sqrt{2}}{12}+ \\ &\ \ \ \ \left[n+(n-2) p_{2}\right] \frac{2 \sqrt{13}}{13}, \end{aligned} $$ 即得所需结论. 证毕.
易见, 随机苯链族HXG(n; 0, 1)只包含唯一一个分子图, 不妨记其为PnHXG, 即HXG(n; 0, 1)={PnHXG}. 根据推论1直接计算, 可得如下结论:
推论3 设LRnHXG ∈HXG(n; p1, 0) (p1 ∈[0, 1]), 则
$$ \begin{gathered} { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(\mathrm{LR}_{n}^{\mathrm{HXG}}\right)=\frac{(6+7 n) \sqrt{2}}{12}+\frac{2 n \sqrt{13}}{13}, \\ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(P_{n}^{\mathrm{HXG}}\right)=\frac{2(n+8) \sqrt{2}}{12}+\frac{4(n-1) \sqrt{13}}{13}, \end{gathered} $$ 下面将给出随机苯链的改良Sombor指数的极值与极图刻画.
定理2 对于任意的G ∈HXGn (n≥2), 有
$$ \begin{aligned} &\frac{2(n+8) \sqrt{2}}{12}+\frac{4(n-1) \sqrt{13}}{13} \leqslant{}^{\mathrm{m}}\mathrm{SO}(G) \leqslant \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{(6+7 n) \sqrt{2}}{12}+\frac{2 n \sqrt{13}}{13}, \end{aligned} $$ 其中，第1个不等式成立当且仅当G $\cong $PnHXG, 第2个不等式成立当且仅当G$\cong $LRnHXG ∈HXG(n; p1, 0) (p1 ∈[0, 1]).
证明 根据定理1可知:
$$ \begin{gathered} { }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{HXG}}=\left[6+7 n-5(n-2) p_{2}\right] \frac{\sqrt{2}}{12}+\left[n+(n-2) p_{2}\right] \frac{2 \sqrt{13}}{13}= \\ (n-2)\left(\frac{2 \sqrt{13}}{13}-\frac{5 \sqrt{2}}{12}\right) p_{2}+\left(\frac{2 n \sqrt{13}}{13}+\frac{(6+7 n) \sqrt{2}}{12}\right). \end{gathered} $$ 由于
$$ (n-2)\left(\frac{2 \sqrt{13}}{13}-\frac{5 \sqrt{2}}{12}\right) \leqslant 0, $$ 故mEnHXG取得最大值当且仅当p2=0, mEnHXG取得最小值当且仅当p2=1. 又注意到HXG(n; 0, 1)={PnHXG}, 且由推论3不难发现: 对于任意的LRnHXG∈HXG(n; p1, 0) (p1 ∈[0, 1]), 它们的改良Sombor指数值是相同的(与常数p1无关). 结合推论3, 进而导出所需结论. 证毕.
所有由n个苯环构成的随机苯链的改良Sombor指数的均值可表示为:
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}_{\mathrm{avr}}\left(\mathrm{HXG}_{n}\right)=\frac{1}{\left|\mathrm{HXG}_{n}\right|} \sum\limits_{G \in \mathrm{HXG}_{n}}{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{S} \mathrm{O}(G). $$ 由于HXGn中每个元具有相同的发生概率, 故有p1=p2=1-p1-p2=1/3, 从而由定理1可得如下结论:
定理3 HXGn中所有元的改良Sombor指数的均值为
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}_{\mathrm{avr}}\left(\mathrm{HXG}_{n}\right)=\frac{(4 n+7) \sqrt{2}}{9}+\frac{4(2 n-1) \sqrt{13}}{39}. $$ 注1 随机苯链族HXG(n; 1, 0)和HXG(n; 0, 0)分别只包含唯一一个分子图, 不妨分别记为LnHXG和RnHXG, 即HXG(n; 1, 0)={LnHXG}且HXG(n; 0, 0)={RnHXG}. 由定理3和推论3, 可知:
$$ \frac{{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(L_{n}^{\mathrm{HXG}}\right)+{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{S} \mathrm{O}\left(R_{n}^{\mathrm{HXG}}\right)+{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(P_{n}^{\mathrm{HXG}}\right)}{3}={ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}_{\mathrm{avr}}\left(\mathrm{HXG}_{n}\right), $$ 即LnHXG、RnHXG和PnHXG3个苯链的改良Sombor指数的均值恰好等于HXGn中所有元的改良Sombor指数的均值.
2.2 随机聚苯链
聚苯链是指由若干个苯环及若干条割边(比苯环数量少1)依次连接而成，且任意2条割边无公共点的芳香族化合物. 记由n个苯环及n-1条割边构成的聚苯链(族)为PPCn, 其中正整数n≥2. 当n≥3时, 由聚苯链的递归生成方式, 其末端的割边及苯环有3种不同的连接方式, 从而形成了3类不同局域排布的聚苯链, 不妨分别记为PPCn1、PPCn2、PPCn3(图 2).
随机聚苯链(族)PPC(n; p1, p2)是指通过逐步添加末端割边及苯环并最终形成由n (≥2)个苯环及n-1条割边构成的聚苯链, 其中第t (t=3, 4, …, n)步添加末端苯环有以下3种随机情形:
(1) PPCt-1→PPCt1的概率为p1;
(2) PPCt-1→PPCt2的概率为p2;
(3) PPCt-1→PPCt3的概率为1-p1-p2,
其中, p1, p2 ∈[0, 1]是与步骤参量t无关的常数.
由于G ∈PPC(n; p1, p2)的随机性, mSO(G)可看作一个随机变量, 并记随机聚苯链PPC(n; p1, p2)的改良Sombor指数的数学期望为:
$$ { }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{PPC}}=E\left[{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G) \mid G \in \operatorname{PPC}\left(n ; p_{1}, p_{2}\right)\right]. $$ 下面将刻画随机聚苯链PPC(n; p1, p2)的改良Sombor指数的数学期望.
定理4 随机聚苯链PPC(n; p1, p2)的改良Sombor指数的数学期望为:
$$ \begin{gathered} { }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{PPC}}=\left[10+8 n+5(n-2) p_{2}\right] \frac{\sqrt{2}}{12}+ \\ {\left[2 n-2-(n-2) p_{2}\right] \frac{2 \sqrt{13}}{13}}. \end{gathered} $$ 证明 根据随机聚苯链的结构, 易见其是连通简单图且其仅有(2, 2)-型、(2, 3)-型和(3, 3)-型边. 由推论1可得:
$$ { }^{\mathrm{m}} E_{2}^{\mathrm{PPC}}=\frac{13 \sqrt{2}}{6}+\frac{4 \sqrt{13}}{13} $$ 当n≥3时, 注意到末端的割边及苯环有3种连接方式(图 2), 故可考虑分析以下3种情形.
情形1. G∈PPCn-1→G1 ∈PPCn1. 因为
$$ \begin{aligned} &m_{22}\left(G_{1}\right)=m_{22}(G)+2, \\ &m_{23}\left(G_{1}\right)=m_{23}(G)+4, \\ &m_{33}\left(G_{1}\right)=m_{33}(G)+1, \end{aligned} $$ 所以，结合推论1可得:
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(G_{1}\right)={ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G)+\frac{2 \sqrt{2}}{3}+\frac{4 \sqrt{13}}{13}. $$ 情形2. G∈PPCn-1→G2 ∈PPCn2. 因为
$$ \begin{aligned} &m_{22}\left(G_{2}\right)=m_{22}(G)+3, \\ &m_{23}\left(G_{2}\right)=m_{23}(G)+2, \\ &m_{33}\left(G_{2}\right)=m_{33}(G)+2, \end{aligned} $$ 所以，结合推论1可得:
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(G_{2}\right)={ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G)+\frac{13 \sqrt{2}}{12}+\frac{2 \sqrt{13}}{13}. $$ 情形3. G∈PPCn-1→G3∈PPCn3. 因为
$$ \begin{aligned} &m_{22}\left(G_{3}\right)=m_{22}(G)+2, \\ &m_{23}\left(G_{3}\right)=m_{23}(G)+4, \\ &m_{33}\left(G_{3}\right)=m_{33}(G)+1, \end{aligned} $$ 所以, 结合推论1可得:
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(G_{3}\right)={ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G)+\frac{2 \sqrt{2}}{3}+\frac{4 \sqrt{13}}{13}. $$ 综上可得:
$$ \begin{aligned} { }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{PPC}}&=p_{1} \cdot{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(G_{1}\right)+p_{2} \cdot{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{S} \mathrm{O}\left(G_{2}\right)+\left(1-p_{1}-p_{2}\right) \cdot{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(G_{3}\right)= \\ &{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G)+\left(8+5 p_{2}\right) \frac{\sqrt{2}}{12}+\left(2-p_{2}\right) \frac{2 \sqrt{13}}{13}. \end{aligned} $$ 又由于E[mEnPPC]=mEnPPC, 从而可得
$$ \begin{aligned} { }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{PPC}}&={ }^{\mathrm{m}} E_{n-1}^{\mathrm{PPC}}+\left(8+5 p_{2}\right) \frac{\sqrt{2}}{12}+\left(2-p_{2}\right) \frac{2 \sqrt{13}}{13}=\cdots=\\ &{ }^{\mathrm{m}} E_{2}^{\mathrm{PPC}}+(n-2)\left[\left(8+5 p_{2}\right) \frac{\sqrt{2}}{12}+\left(2-p_{2}\right) \frac{2 \sqrt{13}}{13}\right]= \\ &\frac{13 \sqrt{2}}{6}+\frac{4 \sqrt{13}}{13}+(n-2)\left[\left(8+5 p_{2}\right) \frac{\sqrt{2}}{12}+\right. \\ &\left.\left(2-p_{2}\right) \frac{2 \sqrt{13}}{13}\right]=\left[10+8 n+5(n-2) p_{2}\right] \frac{\sqrt{2}}{12}+ \\ &{\left[2 n-2-(n-2) p_{2}\right] \frac{2 \sqrt{13}}{13} .} \end{aligned} $$ 即得所需结论. 证毕.
随机聚苯链族PPC(n; 0, 1)只包含唯一一个分子图, 不妨记其为OnPPC, 即PPC(n; 0, 1)={OnPPC}. 根据推论1直接计算, 可得如下结论:
推论4 设MPnPPC ∈PPC(n; p1, 0) (p1 ∈[0, 1])，则
$$ \begin{gathered} { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(\mathrm{MP}_{n}^{\mathrm{PPC}}\right)=\frac{(5+4 n) \sqrt{2}}{6}+\frac{4(n-1) \sqrt{13}}{13}, \\ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(O_{n}^{\mathrm{PPC}}\right)=\left(\frac{13 \sqrt{2}}{12}+\frac{2 \sqrt{13}}{13}\right) n. \end{gathered} $$ 下面将给出随机聚苯链的改良Sombor指数的极值与极图刻画.
定理5 对于任意的G∈PPCn (n≥2), 有
$$ \frac{(5+4 n) \sqrt{2}}{6}+\frac{4(n-1) \sqrt{13}}{13} \leqslant{}^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G) \leqslant\left(\frac{13 \sqrt{2}}{12}+\frac{2 \sqrt{13}}{13}\right) n, $$ 其中，第1个不等式成立当且仅当G$\cong $MPnPPC ∈PPC(n; p1, 0) (p1 ∈[0, 1]), 第2个不等式成立当且仅当G$\cong $OnPPC.
证明 根据定理4可知:
$$ \begin{aligned} &{ }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{PPC}}=\left[10+8 n+5(n-2) p_{2}\right] \frac{\sqrt{2}}{12}+ \\ &\quad\left[2 n-2-(n-2) p_{2}\right] \frac{2 \sqrt{13}}{13}=(n-2)\left(\frac{5 \sqrt{2}}{12}-\frac{2 \sqrt{13}}{13}\right) p_{2}+ \\ &\quad\left[\frac{4(n-1) \sqrt{13}}{13}+\frac{(5+4 n) \sqrt{2}}{6}\right]. \end{aligned} $$ 由于
$$ (n-2)\left(\frac{5 \sqrt{2}}{12}-\frac{2 \sqrt{13}}{13}\right) \geqslant 0, $$ 故mEnPPC取得最大值当且仅当p2=1, mEnPPC取得最小值当且仅当p2=0. 又注意到PPC(n; 0, 1)={OnPPC}, 且由推论4不难发现: 对于任意的MPnPPC∈PPC(n; p1, 0) (p1 ∈[0, 1]), 它们的改良Sombor指数值是相同的(与常数p1无关). 结合推论4, 即证得所需结论. 证毕.
所有由n个苯环和n-1条割边构成的随机聚苯链的改良Sombor指数的均值可记为:
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}_{\mathrm{avr}}\left(\mathrm{PPC}_{n}\right)=\frac{1}{\left|\mathrm{PPC}_{n}\right|} \sum\limits_{G \in \mathrm{PPC}_{n}}{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G) . $$ 由于PPCn中每个元具有相同的发生概率, 故有p1=p2=1-p1-p2=1/3, 从而由定理4可得如下结论:
定理6 PPCn中所有元的改良Sombor指数的均值为：
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}_{\mathrm{arr}}\left(\mathrm{PPC}_{n}\right)=\frac{(29 n+20) \sqrt{2}}{36}+\frac{2(5 n-4) \sqrt{13}}{39}. $$ 注2 随机聚苯链族PPC(n; 1, 0)和PPC(n; 0, 0)分别只包含唯一一个分子图, 不妨分别记为MnPPC和PnPPC, 即PPC(n; 1, 0)={MnPPC}且PPC(n; 0, 0)={PnPPC}. 由定理6及推论4, 可知:
$$ \frac{{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(O_{n}^{\mathrm{PPC}}\right)+{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{S} \mathrm{O}\left(M_{n}^{\mathrm{PPC}}\right)+{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{S} \mathrm{O}\left(P_{n}^{\mathrm{PPC}}\right)}{3}={ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}_{\mathrm{avr}}\left(\mathrm{PPC}_{n}\right), $$ 即OnPPC、MnPPC和PnPPC3个聚苯链的改良Sombor指数的均值恰好等于PPCn中所有元的改良Sombor指数的均值.
2.3 随机亚苯基链
亚苯基链是由若干个六边形晶格(即苯环)和若干个四边形晶格(即环丁烷，比苯环数量少1)依次连接而成, 且任意2个环丁烷无公共点的芳香族化合物. 记由n个苯环和n-1个环丁烷构成的亚苯基链(族)为RPHn, 其中正整数n≥2. 当n≥3时, 根据亚苯基链的递归生成方式, 其末端的环丁烷及苯环有3种不同的连接方式, 从而形成了3类不同局域排布的亚苯基链, 不妨分别记为RPHn1、RPHn2、RPHn3(图 3).
随机亚苯基链(族)RPH(n; p1, p2)是指通过逐步添加末端环丁烷及苯环并最终形成由n (≥2) 个苯环和n-1个环丁烷构成的亚苯基链, 其中第t (t=3, 4, …, n)步添加末端苯环有以下3种随机情形:
(1) RPHt-1→RPHt1的概率为p1;
(2) RPHt-1→RPHt2的概率为p2;
(3) RPHt-1→RPHt3的概率为1-p1-p2,
其中, p1, p2∈[0, 1]是与步骤参量t无关的常数.
由于G∈RPH(n; p1, p2)的随机性, mSO(G)可看作一个随机变量, 并记随机亚苯基链RPH(n; p1, p2)的改良Sombor指数的数学期望为:
$$ { }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{RPH}}=E\left[{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G) \mid G \in \mathrm{RPH}\left(n ; p_{1}, p_{2}\right)\right]. $$ 下面将刻画随机亚苯基链RPH(n; p1, p2)的改良Sombor指数的数学期望.
定理7 随机亚苯基链RPH(n; p1, p2)的改良Sombor指数的数学期望为
$$ { }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{RPH}}=\left[13 n-5(n-2) p_{2}\right] \frac{\sqrt{2}}{12}+\left[n+(n-2) p_{2}\right] \frac{2 \sqrt{13}}{13}. $$ 证明 根据随机亚苯基链的结构, 其是连通简单图且其仅有(2, 2)-型、(2, 3)-型和(3, 3)-型边. 由推论1可得:
$$ { }^{\mathrm{m}} E_{2}^{\mathrm{RPH}}=\frac{13 \sqrt{2}}{6}+\frac{4 \sqrt{13}}{13}. $$ 当n≥3时, 注意到末端的环丁烷及苯环有3种连接方式(图 3), 故可考虑分析以下3种情形.
情形1. G∈RPHn-1→G1 ∈RPHn1. 因为
$$ \begin{aligned} &m_{22}\left(G_{1}\right)=m_{22}(G)+1, \\ &m_{23}\left(G_{1}\right)=m_{23}(G)+2, \\ &m_{33}\left(G_{1}\right)=m_{33}(G)+5, \end{aligned} $$ 所以，结合推论1可得:
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left({G}_{1}\right)={ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}({G})+\frac{13 \sqrt{2}}{12}+\frac{2 \sqrt{13}}{13}. $$ 情形2. G∈RPHn-1→G2 ∈RPHn2. 因为
$$ \begin{aligned} &m_{22}\left(G_{2}\right)=m_{22}(G)+0, \\ &m_{23}\left(G_{2}\right)=m_{23}(G)+4, \\ &m_{33}\left(G_{2}\right)=m_{33}(G)+4, \end{aligned} $$ 所以，结合推论1可得:
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(G_{2}\right)={ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G)+\frac{2 \sqrt{2}}{3}+\frac{4 \sqrt{13}}{13}. $$ 情形3. G∈RPHn-1→G3 ∈RPHn3. 因为
$$ \begin{aligned} &m_{22}\left(G_{3}\right)=m_{22}(G)+1 ,\\ &m_{23}\left(G_{3}\right)=m_{23}(G)+2 ,\\ &m_{33}\left(G_{3}\right)=m_{33}(G)+5, \end{aligned} $$ 所以, 结合推论1可得:
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(G_{3}\right)={ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G)+\frac{13 \sqrt{2}}{12}+\frac{2 \sqrt{13}}{13}. $$ 综上可得:
$$ \begin{gathered} { }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{RPH}}=p_{1} \cdot{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{S} \mathrm{O}\left(G_{1}\right)+p_{2} \cdot{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(G_{2}\right)+\left(1-p_{1}-p_{2}\right) \cdot{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(G_{3}\right)= \\ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G)+\left(13-5 p_{2}\right) \frac{\sqrt{2}}{12}+\left(1+p_{2}\right) \frac{2 \sqrt{13}}{13}. \end{gathered} $$ 又由于E[mEnRPH]=mEnRPH, 从而可得
$$ \begin{aligned} { }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{RPH}}&={ }^{\mathrm{m}} E_{n-1}^{\mathrm{RPH}}+\left(13-5 p_{2}\right) \frac{\sqrt{2}}{12}+\left(1+p_{2}\right) \frac{2 \sqrt{13}}{13}=\cdots= \\ &{ }^{\mathrm{m}} E_{2}^{\mathrm{RPH}}+(n-2)\left[\left(13-5 p_{2}\right) \frac{\sqrt{2}}{12}+\left(1+p_{2}\right) \frac{2 \sqrt{13}}{13}\right]= \\ &\frac{13 \sqrt{2}}{6}+\frac{4 \sqrt{13}}{13}+(n-2)\left[\left(13-5 p_{2}\right) \frac{\sqrt{2}}{12}+\right. \\ &\left.\left(1+p_{2}\right) \frac{2 \sqrt{13}}{13}\right]=\left[13 n-5(n-2) p_{2}\right] \frac{\sqrt{2}}{12}+ \\ &\left[n+(n-2) p_{2}\right] \frac{2 \sqrt{13}}{13}. \end{aligned} $$ 即得所需结论. 证毕.
随机亚苯基链族RPH(n; 0, 1)只包含唯一一个分子图, 不妨记其为PnRPH, 即RPH(n; 0, 1)={PnRPH}. 根据推论1直接计算, 可得如下结论:
推论5 设LRnRPH ∈RPH(n; p1, 0) (p1 ∈[0, 1]), 则
$$ \begin{gathered} { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(\mathrm{L} \mathrm{R}_{n}^{\mathrm{RPH}}\right)=\left(\frac{13 \sqrt{2}}{12}+\frac{2 \sqrt{13}}{13}\right) n ,\\ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(\mathrm{P}_{n}^{\mathrm{RPH}}\right)=\frac{(5+4 n) \sqrt{2}}{6}+\frac{4(n-1) \sqrt{13}}{13} . \end{gathered} $$ 下面将给出随机亚苯基链的改良Sombor指数的极值与极图刻画.
定理8 对于任意的G∈RPHn (n≥2), 有
$$ \frac{(5+4 n) \sqrt{2}}{6}+\frac{4(n-1) \sqrt{13}}{13} \leqslant{}^{m}{\rm{SO}}(G) \leqslant\left(\frac{13 \sqrt{2}}{12}+\frac{2 \sqrt{13}}{13}\right) n, $$ 其中，第1个不等式成立当且仅当G$\cong $PnRPH, 第2个不等式成立当且仅当G$\cong $LRnRPH ∈RPH(n; p1, 0) (p1 ∈[0, 1]).
证明 根据定理7可知:
$$ \begin{gathered} { }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{RPH}}=\left[13 n-5(n-2) p_{2}\right] \frac{\sqrt{2}}{12}+\left[n+(n-2) p_{2}\right] \frac{2 \sqrt{13}}{13}=\\ (n-2)\left(\frac{2 \sqrt{13}}{13}-\frac{5 \sqrt{2}}{12}\right) p_{2}+\left(\frac{2 \sqrt{13}}{13}+\frac{13 \sqrt{2}}{12}\right) n . \end{gathered} $$ 由于
$$ (n-2)\left(\frac{2 \sqrt{13}}{13}-\frac{5 \sqrt{2}}{12}\right) \leqslant 0. $$ 故mEnRPH取得最大值当且仅当p2=0, mEnRPH取得最小值当且仅当p2=1. 又注意到RPH(n; 0, 1)={PnRPH}, 且由推论5不难发现: 对于任意的LRnRPH ∈RPH(n; p1, 0) (p1 ∈[0, 1]), 它们的改良Sombor指数值是相同的(与常数p1无关). 结合推论5, 即得所需结论. 证毕.
所有n个苯环构成的随机亚苯基链的改良Sombor指数的均值可表示为:
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}_{\mathrm{avr}}\left(\mathrm{RPH}_{n}\right)=\frac{1}{\left|\mathrm{RPH}_{n}\right|} \sum\limits_{G \in \mathrm{RPH}_{n}}{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G) . $$ 由于RPHn中每个元具有相同的发生概率, 故有p1=p2=1-p1-p2=1/3, 从而由定理7可得如下结论:
定理9 RPHn中所有元的改良Sombor指数的均值为：
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{S} \mathrm{O}_{\mathrm{avr}}\left(\mathrm{RPH}_{n}\right)=\frac{(17 n+5) \sqrt{2}}{18}+\frac{4(2 n-1) \sqrt{13}}{39}. $$ 注3 随机亚苯基链族RPH(n; 1, 0) 和RPH(n; 0, 0)分别只包含唯一一个分子图, 不妨分别记为LnRPH和RnRPH, 即RPH(n; 1, 0)= {LnRPH}且RPH(n; 0, 0)={RnRPH}. 由定理9及推论5, 可知:
$$ \frac{{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(L_{n}^{\mathrm{RPH}}\right)+{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{S} \mathrm{O}\left(R_{n}^{\mathrm{RPH}}\right)+{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(P_{n}^{\mathrm{RPH}}\right)}{3}={ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}_{\mathrm{avr}}\left(\mathrm{RPH}_{n}\right), $$ 即LnRPH、RnRPH和PnRPH3个亚苯基链的改良Sombor指数的均值恰好等于RPHn中所有元的改良Sombor指数的均值.
2.4 随机斯皮罗链
螺旋苯系物是由若干个六边形晶格(即苯环)构成的任意2个苯环均无公共边且至多有一个公共点的有限连通图. 称一个螺旋苯系物为斯皮罗链, 如果其任何1个苯环至多与另外2个苯环相连, 且任何3个苯环无公共点. 记由n个苯环构成的斯皮罗链(族)为SPCn, 其中正整数n≥2. 当n≥3时, 由斯皮罗链的递归生成方式, 其末端苯环有3种连接方式, 从而形成了3类不同局域排布的斯皮罗链, 不妨分别记为SPCn1、SPCn2、SPCn3(图 4).
随机斯皮罗链(族)SPC(n; p1, p2)是指通过逐步添加末端苯环并最终形成由n (≥2)个苯环构成的斯皮罗链, 其中第t (t=3, 4, …, n)步添加末端苯环有以下3种随机情形:
(1) SPCt-1→SPCt1的概率为p1;
(2) SPCt-1→SPCt2的概率为p2;
(3) SPCt-1→SPCt3的概率为1-p1-p2,
其中, p1, p2 ∈[0, 1]是与步骤参量t无关的常数.
由于G∈SPC(n; p1, p2)的随机性, mSO(G)可看作一个随机变量, 并记随机斯皮罗链SPC(n; p1, p2)的改良Sombor指数的数学期望为:
$$ { }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{SPC}}=E\left[{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G) \mid G \in \operatorname{SPC}\left(n ; p_{1}, p_{2}\right)\right]. $$ 下面将刻画随机斯皮罗链SPC(n; p1, p2)的改良Sombor指数的数学期望.
定理10 随机斯皮罗链SPC(n; p1, p2)的改良Sombor指数的数学期望为:
$$ { }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{SPC}}=\left[8+4 n+3(n-2) p_{2}\right] \frac{\sqrt{2}}{8}+\left[2 n-2-(n-2) p_{2}\right] \frac{\sqrt{5}}{5}. $$ 证明 由随机斯皮罗链的结构可知其是连通简单图且仅有(2, 2)-型、(2, 4)-型和(4, 4)-型边. 由推论2可得:
$$ { }^{\mathrm{m}} E_{2}^{\mathrm{SPC}}=2 \sqrt{2}+\frac{2 \sqrt{5}}{5}. $$ 当n≥3时, 注意到末端苯环有3种连接方式(图 4), 故可考虑分析以下3种情形.
情形1. G∈SPCn-1→G1 ∈SPCn1. 因为
$$ \begin{aligned} &m_{22}\left(G_{1}\right)=m_{22}(G)+2, \\ &m_{24}\left(G_{1}\right)=m_{24}(G)+4, \\ &m_{44}\left(G_{1}\right)=m_{44}(G)+0, \end{aligned} $$ 所以，结合推论2可得:
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left({G}_{1}\right)={ }^{\mathrm{m}} \mathrm{S} \mathrm{O}({G})+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2 \sqrt{5}}{5}. $$ 情形2. G ∈SPCn-1→G2 ∈SPCn2. 因为
$$ \begin{aligned} &m_{22}\left(G_{2}\right)=m_{22}(G)+3, \\ &m_{24}\left(G_{2}\right)=m_{24}(G)+2, \\ &m_{44}\left(G_{2}\right)=m_{44}(G)+1, \end{aligned} $$ 所以，结合推论2可得:
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(G_{2}\right)={ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G)+\frac{7 \sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{5}}{5}. $$ 情形3. G ∈SPCn-1→G3 ∈SPCn3. 因为
$$ \begin{aligned} &m_{22}\left(G_{3}\right)=m_{22}(G)+2, \\ &m_{24}\left(G_{3}\right)=m_{24}(G)+4, \\ &m_{44}\left(G_{3}\right)=m_{44}(G)+0, \end{aligned} $$ 所以, 结合推论2可得:
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(G_{3}\right)={ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G)+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2 \sqrt{5}}{5}. $$ 综上可得:
$$ \begin{array}{l} { }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{SPC}}=p_{1} \cdot{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(G_{1}\right)+p_{2} \cdot{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{S} \mathrm{O}\left(G_{2}\right)+\left(1-p_{1}-p_{2}\right) \cdot{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{S} \mathrm{O}\left(G_{3}\right)= \\ {\qquad }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G)+\left(4+3 p_{2}\right) \frac{\sqrt{2}}{8}+\left(2-p_{2}\right) \frac{\sqrt{5}}{5}. \end{array} $$ 又由于E[mEnSPC]=mEnSPC, 从而可得
$$ \begin{aligned} &{ }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{SPC}}={ }^{\mathrm{m}} E_{n-1}^{\mathrm{SPC}}+\left(4+3 p_{2}\right) \frac{\sqrt{2}}{8}+\left(2-p_{2}\right) \frac{\sqrt{5}}{5}=\cdots= \\ &\ \ \ \ { }^{\mathrm{m}} E_{2}^{\mathrm{SPC}}+(n-2)\left[\left(4+3 p_{2}\right) \frac{\sqrt{2}}{8}+\left(2-p_{2}\right) \frac{\sqrt{5}}{5}\right]= \\ &\ \ \ \ 2 \sqrt{2}+\frac{2 \sqrt{5}}{5}+(n-2)\left[\left(4+3 p_{2}\right) \frac{\sqrt{2}}{8}+\left(2-p_{2}\right) \frac{\sqrt{5}}{5}\right]= \\ &\ \ \ \ {\left[8+4 n+3(n-2) p_{2}\right] \frac{\sqrt{2}}{8}+\left[2 n-2-(n-2) p_{2}\right] \frac{\sqrt{5}}{5}}. \end{aligned} $$ 即得所需结论. 证毕.
随机斯皮罗链族SPC(n; 0, 1)只包含唯一一个分子图, 不妨记其为OnSPC, 即SPC(n; 0, 1)={OnSPC}. 根据推论2直接计算, 可得如下结论:
推论6 设MPnSPC ∈SPC(n; p1, 0) (p1 ∈[0, 1]), 则
$$ \begin{gathered} { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(\mathrm{MP}_{n}^{\mathrm{SPC}}\right)=\frac{(2+n) \sqrt{2}}{2}+\frac{2(n-1) \sqrt{5}}{5}, \\ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(O_{n}^{\mathrm{SPC}}\right)=\frac{(2+7 n) \sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{5}}{5} n. \end{gathered} $$ 下面将给出随机斯皮罗链的改良Sombor指数的极值与极图刻画.
定理11 对于任意的G∈SPCn (n≥2), 有
$$ \frac{(2+n) \sqrt{2}}{2}+\frac{2(n-1) \sqrt{5}}{5} \leqslant{}^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}(G) \leqslant \frac{(2+7 n) \sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{5}}{5} n, $$ 其中，第1个不等式成立当且仅当G$\cong $MPnSPC ∈SPC(n; p1, 0) (p1 ∈[0, 1]), 第2个不等式成立当且仅当G$\cong $OnSPC.
证明 由定理10可知:
$$ \begin{gathered} { }^{\mathrm{m}} E_{n}^{\mathrm{SPC}}=\left[8+4 n+3(n-2) p_{2}\right] \frac{\sqrt{2}}{8}+\left[2 n-2-(n-2) p_{2}\right] \frac{\sqrt{5}}{5}= \\ (n-2)\left(\frac{3 \sqrt{2}}{8}-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) p_{2}+\left[\frac{2(n-1) \sqrt{5}}{5}+\frac{(2+n) \sqrt{2}}{2}\right]. \end{gathered} $$ 由于
$$ (n-2)\left(\frac{3 \sqrt{2}}{8}-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) \geqslant 0, $$ 故mEnSPC取得最大值当且仅当p2=1, mEnSPC取得最小值当且仅当p2=0. 又注意到SPC(n; 0, 1)={OnSPC}, 且由推论6不难发现: 对于任意的MPnSPC ∈SPC(n; p1, 0) (p1 ∈[0, 1]), 它们的改良Sombor指数值是相同的(与常数p1无关). 结合推论6, 即证得所需结论. 证毕.
所有由n个苯环构成的随机斯皮罗链的改良Sombor指数的均值可记为:
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}_{\mathrm{avr}}\left(\mathrm{SPC}_{n}\right)=\frac{1}{\mathrm{|SPC}_{n} \mid} \sum\limits_{G \in \mathrm{SPC}_{n}}{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{S} \mathrm{O}(G). $$ 由于SPCn中每个元具有相同的发生概率, 故有p1=p2=1-p1-p2=1/3, 从而由定理10可得如下结论:
定理12 SPCn中所有元的改良Sombor指数的均值为：
$$ { }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}_{\mathrm{avr}}\left(\mathrm{SPC}_{n}\right)=\frac{(5 n+6) \sqrt{2}}{8}+\frac{(5 n-4) \sqrt{5}}{15}. $$ 注4 随机斯皮罗链族SPC(n; 1, 0)和SPC(n; 0, 0)分别只包含唯一一个分子图, 不妨分别记为MnSPC和PnSPC, 即SPC(n; 1, 0)={MnSPC}且SPC(n; 0, 0)={PnSPC}. 由定理12及推论6, 可知:
$$ \frac{{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(O_{n}^{\mathrm{SPC}}\right)+{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}\left(M_{n}^{\mathrm{SPC}}\right)+{ }^{\mathrm{m}} \mathrm{S} \mathrm{O}\left(P_{n}^{\mathrm{SPC}}\right)}{3}={ }^{\mathrm{m}} \mathrm{SO}_{\mathrm{avr}}\left(\mathrm{SPC}_{n}\right), $$ 即OnSPC、MnSPC和PnSPC3个斯皮罗链的改良Sombor指数的均值恰好等于SPCn中所有元的改良Sombor指数的均值.
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