On the Weakly Almost Periodic Point and the Periodic Sequence Shadowing Property Under Strongly Uniform Convergence
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摘要: 在强一致收敛下，研究了弱几乎周期点和周期序列跟踪性，得到弱几乎周期点和周期序列跟踪性的若干结论: (1)设序列映射{fn}强一致收敛于等度连续映射f，且点列{xk}是每个映射fn的弱几乎周期点. 若limk→∞xk=x，则x是f的弱几乎周期点. (2)若序列映射{fn}强一致收敛于等度连续映射f，则limsup W(fn)⊂W(f). (3)若fn具有fine周期序列跟踪性，则f具有周期序列跟踪性.Abstract: The weakly almost periodic point and the periodic sequence shadowing property are studied under strongly uniform convergence. Some conclusions about them are obtained. First, let the sequence map {fn} converge strongly uniformly to the equicontinuous map f and the sequence of points{xk}be the weakly almost periodic point of every map fn. If limk→∞xk=x, then the point x is the weakly almost periodic point of the map f. Second, if the sequence map{fn}converges strongly uniformly to the equicontinuous map f, then limsup W(fn)⊂W(f). Third, if fn has the fine periodic sequence shadowing property, then f has periodic sequence shadowing property.
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周期序列跟踪性和弱几乎周期点是动力系统中非常重要的概念，与系统的混沌有着密切的联系，在计算机领域也有着重要的应用.
在一致收敛条件下，序列映射具有某些动力学性质，但是其极限函数不一定具有该动力学性质，如：序列映射是拓扑混合的，但是其极限函数不是拓扑混合的[1]；序列映射具有初值敏感性，但是其极限函数不具有初值敏感性[2]. 因此，学者们开始在强一致收敛条件下研究极限函数的动力学性质，得到若干结果[3-13]. 如：在强一致收敛条件下，若序列映射{fn}是Li-Yorke混沌，则其极限函数f是Li-Yorke混沌[3]；若序列函数{fn}是渐进周期的，则其极限函数f是渐进周期的[4]；在强一致条件下, $\bigcap\limits_{m = 1}^\infty {\bigcup\limits_{n = m}^\infty {W\left( {{f_n}} \right) \subset W\left( f \right)} } $[5].
本文在文献[5]的基础上得到弱几乎周期点集的拓扑结构，并研究了强一致收敛下的周期序列跟踪性，以期促进强一致收敛下弱几乎周期点和周期序列跟踪性理论的发展.
1. 基本概念
定义1[1] 设(X, d)是度量空间，对∀n ∈$\mathbb{N}$+，fn: X→X连续，f: X→X连续. 称序列映射{fn}在X上强一致收敛于f，如果∀ε>0，∃n0 ∈$\mathbb{N}$+，当n>n0时，∀x ∈X，∀m≥0，有d(fnm(x), fm(x)) < ε. 记作${{f}_{n}}\xrightarrow{s}f$.
定义2[5] 设(X, d)是度量空间，f: X→X连续，x ∈X. 若对∀ε>0，∃N>0，对∀n≥0，有#({r: fr(x)∈B(x, ε), 0≤r < nN})≥n，则称x是f的弱几乎周期点. f的弱几乎周期点集用W(f)表示.
定义3[14] 设(X, d)是度量空间，f: X→X连续. 若对∀ε>0，∃δ>0, 使得当{xi}i≥0是X中f的δ-周期伪轨时，∃y ∈P(f)，∃ {ni|ni+1>ni, ni ∈$\mathbb{N}$+}i=0∞, yε-跟踪{xni} i=0∞，则称f具有周期序列跟踪性.
定义4[14] 设(X, d)是度量空间，f: X→X连续. 若对∀ε>0，使得当{xi}i≥0是f的ε-周期伪轨时，∃y ∈P(f)，∃ {ni|ni+1>ni, ni ∈$\mathbb{N}$+}i=0∞，yε-跟踪{xni} i=0∞，则称f具有fine周期序列跟踪性.
2. 主要结论
引理1[5] 设(X, d)是度量空间，f: X→X连续，序列映射{fn}连续且${{f}_{n}}\xrightarrow{s}f$，x∈X. 如果点x是序列映射{fn} 的弱几乎周期点，则x是f的弱几乎周期点.
定理1 设(X, d)是度量空间，f: X→X等度连续，序列映射{fn}连续且${{f}_{n}}\xrightarrow{s}f$. 如果$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_k}$=x且{xk}是序列映射{fn}的弱几乎周期点，则点x是极限映射f的弱几乎周期点.
证明 因为f是等度连续的，所以∀ε>0，∃0 < δ < ε/3，当d(z1, z2) < δ时，∀l≥0，有
$$ d\left(f^{l}\left(z_{1}\right), f^{l}\left(z_{2}\right)\right)<\frac{\varepsilon}{3} . $$ (1) 由于$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_k}$=x, 故对δ>0，∃m ∈$\mathbb{N}$+, 使得d(xm, x) < δ. 结合式(1)可得到：∀l≥0，有
$$ d\left(f^{l}\left(x_{m}\right), f^{l}(x)\right)<\frac{\varepsilon}{3} . $$ (2) 结合引理1，可知xm是f的弱几乎周期点，因此, 对ε/3>0，∃q>0，∀n≥0，有
$$ \#\left(\left\{r: f^{r}\left(x_{m}\right) \in B\left(x_{m}, \varepsilon / 3\right), 0 \leqslant r<n q\right\}\right) \geqslant n . $$ 令An={r: fr(xm)∈B(xm, ε/3), 0≤r < nq}，Bn={r: fr(x)∈B(x, ε), 0≤r < nq}. 设r∈An，则
$$ d\left(f^{r}\left(x_{m}\right), x_{m}\right)<\frac{\varepsilon}{3} . $$ (3) 由式(2)、(3)，可得
$$ \begin{array}{l} d\left(f^{r}(x), x\right)<d\left(f^{r}(x), f^{r}\left(x_{m}\right)\right)+d\left(f^{r}\left(x_{m}\right), x_{m}\right)+ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ d\left(x_{m}, x\right)<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\delta<\varepsilon, \end{array} $$ 则r ∈Bn，An⊂Bn，故#Bn>#An≥n. 因此，点x是极限映射f的弱几乎周期点.
定理2 设(X, d)是度量空间，f: X→X等度连续. 如果序列映射{fn}连续且${{f}_{n}}\xrightarrow{s}f$，则limsup W(fn)⊂W(f).
证明 因为f是等度连续的，故∀ε>0，∃0 < δ < ε/4，当d(z1, z2) < δ时，∀l≥0，有
$$ d\left(f^{l}\left(z_{1}\right), f^{l}\left(z_{2}\right)\right)<\frac{\varepsilon}{4}. $$ (4) 又${{f}_{n}}\xrightarrow{s}f$，因此，对ε/4>0，∃N1 ∈$\mathbb{N}$+，当n>N1时，∀l≥0，∀x∈X，有
$$ d\left(f_{n}^{l}(x), f^{l}(x)\right)<\frac{\varepsilon}{4} \text { . } $$ (5) 设z ∈limsup W(fn)，则∃m>N1 (m ∈$\mathbb{N}$+)，使得
$$ W\left(f_{m}\right) \cap B(z, \delta) \neq \varnothing. $$ 取y∈W(fm)∩B(z, δ). 由于y ∈W(fm)，故对ε/4>0，∃q>0，对∀n∈$\mathbb{N}$，有
$$ \#\left(\left\{r: f_{m}^{r}(y) \in B\left(y, \frac{\varepsilon}{4}\right), 0 \leqslant r<n q\right\}\right) \geqslant n. $$ 令An={r: fmr(y)∈B(y, ε/4), 0≤r < nq}，Bn={r: fr(z)∈B(z, ε), 0≤r < nq}. 设r ∈An，有
$$ d\left(f_{m}^{r}(y), y\right)<\frac{\varepsilon}{4}, $$ (6) 则由y∈B(z, δ)和式(4)，有
$$ d\left(f^{r}(y), f^{r}(z)\right)<\frac{\varepsilon}{4}. $$ (7) 再由式(5)~(7)，可得
$$ \begin{array}{c} d\left(f^{r}(z), z\right)<d\left(f^{r}(z), f^{r}(y)\right)+d\left(f^{r}(y), f_{m}^{r}(y)\right)+ \\ d\left(f_{m}^{r}(y), y\right)+d(y, z)<\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}+\delta<\varepsilon, \end{array} $$ 则r ∈Bn，An⊂Bn，故#Bn>#An≥n，因此，z∈W(f)，从而可得limsup W(fn)⊂W(f).
注1 在强一致收敛下，即使满足定理2的条件，也存在limsup W(fn)≠W(f)的情况.
例1 设I=[0, 1]，对n ∈$\mathbb{N}$+，定义fn: X→X
$$ f_{n}(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 \ \ \ \ \left(x \in\left[0, \frac{1}{n}\right]\right), \\ x-\frac{1}{n} \ \ \ \ \left(x \in\left(\frac{1}{n}, 1\right]\right) . \end{array}\right. $$ 定义f: X→X
$$ f(x)=x \quad(x \in[0,1]), $$ 则limsup W(fn)≠W(f).
解 易知f是等度连续的, (0, 1)⊂W(f)且${{f}_{n}}\xrightarrow{s}f$. 下证∀n ∈$\mathbb{N}$+，∀x ∈(0, 1]，∃m=m(n, x)∈$\mathbb{N}$+，当k≥m时，有
$$ f_{n}^{k}(x)=0 . $$ (8) 若x∈(0, $\frac{1}{n}$]，当k≥1时，有fnk(x)=0.
若x∈($\frac{1}{n}, \frac{2}{n}$]，当k≥2时，有fnk(x)=0.
若x∈($\frac{2}{n}, \frac{3}{n}$]，当k≥3时，有fnk(x)=0.
依此类推，若x ∈($\frac{i}{n}, \frac{{i + 1}}{n}$] (0≤i≤n-1)，则∃m=m(n, x)∈$\mathbb{N}$+，当k≥m时，有
$$ f_{n}^{k}(x)=0 , $$ 故式(8)成立. 设x ∈(0, 1]. 下面证明x ∉W(fn). 假设x ∈W(fn)，则∀ε>0，∃m0>m, 使得fnm0(x)∈B(x, ε). 由式(8)可得fnm0(x)=0，故0 ∈B(x, ε)，这与ε的任意性矛盾，故x ∉W(fn). 又0 ∈W(fn)，则W(fn)={0}. 故limsup W(fn)= {0}，因此limsup W(fn)≠W(f).
定理3 设(X, d)是度量空间，f: X→X连续，序列映射{fn}连续且${{f}_{n}}\xrightarrow{s}f$. 如果序列映射{fn}具有fine周期序列跟踪性，则极限映射f具有周期序列跟踪性.
证明 对∀ε>0，取0 < δ < ε/3. 设{xi}i=0∞是极限映射f的δ-周期伪轨，则当i≥0时，有
$$ d\left(f\left(x_{i}\right), x_{i+1}\right)<\delta . $$ (9) 由于${{f}_{n}}\xrightarrow{s}f$，故对δ>0，存在N1 ∈$\mathbb{N}$+，当n>N1时，∀l≥0，∀y∈X，有
$$ d\left(f_{n}^{l}(y), f^{l}(y)\right)<\delta . $$ (10) 取m>N1并固定m，根据式(10)，当i≥0时，有
$$ d\left(f_{m}\left(x_{i}\right), f\left(x_{i}\right)\right)<\delta . $$ (11) 再由式(9)、(11)，可得
$$ d\left(f_{m}\left(x_{i}\right), x_{i+1}\right)<d\left(f_{m}\left(x_{i}\right), f\left(x_{i}\right)\right)+d\left(f\left(x_{i}\right), x_{i+1}\right)<\frac{2 \varepsilon}{3}. $$ 由于映射fm具有fine周期序列跟踪性，则∃x ∈P(fm)，∃ {ni|ni+1>ni, ni ∈$\mathbb{N}$+}i=0∞，当i≥0时，有
$$ d\left(f_{m}^{n_{i}}(x), x_{n_{i}}\right)<\frac{2 \varepsilon}{3}. $$ (12) 再由式(10)可得：当i≥0时，有
$$ d\left(f_{m}^{n_{i}}(x), f^{n_{i}}(x)\right)<\delta . $$ (13) 结合式(12)、(13)可得：当i≥0时，有
$$ d\left(f^{n_{i}}(x), x_{n_{i}}\right)<d\left(f^{n_{i}}(x), f_{m}^{n_{i}}(x)\right)+d\left(f_{m}^{n_{i}}(x), x_{n_{i}}\right)<\varepsilon. $$ 下面证明x ∈P(f). 因为x ∈P(fm)，所以，∃k>0，使得fmk(x)=x. 根据式(10)可得
$$ d\left(f_{m}^{k}(x), f^{k}(x)\right)<\delta . $$ 故
$$ d\left(f^{k}(x), x\right)<d\left(f^{k}(x), f_{m}^{k}(x)\right)+d\left(f_{m}^{k}(x), x\right)<\varepsilon. $$ 由于ε是任意小的，则fk(x)=x，故x∈P(f)，从而可得f具有周期序列跟踪性.
3. 总结
本文在强一致收敛下证明了周期序列跟踪性可以被遗传到极限函数，研究了弱几乎周期点集的拓扑结构，得到：(1)如果$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_k}$=x且点列{xk}是序列映射{fn}的弱几乎周期点，则x是极限映射f的弱几乎周期点；(2)limsup W(fn)⊂W(f). 文献[5]只证明了$\bigcap\limits_{m = 1}^\infty {\bigcup\limits_{n = m}^\infty {W\left( {{f_n}} \right) \subset W\left( f \right)} } $，而$\bigcap\limits_{m = 1}^\infty {\bigcup\limits_{n = m}^\infty {W\left( {{f_n}} \right) \subset \lim \sup \;W\left( {{f_n}} \right)} } $，说明本文的结果推广和改进了文献[5]的结论.
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