光滑纤维化的特征函数与诱导光滑纤维化

詹妍; 赵浩

doi:10.6054/j.jscnun.2021013

光滑纤维化的特征函数与诱导光滑纤维化

詹妍,
赵浩^,

华南师范大学数学科学学院, 广州 510631

基金项目:

国家自然科学基金项目 11671154

国家自然科学基金项目 12001474

广东省自然科学基金项目 2020A1515011008

详细信息

通讯作者:
赵浩, Email: zhaohao@scnu.edu.cn

中图分类号: O189.23
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出版历程
- 收稿日期: 2020-09-23
- 网络出版日期: 2021-03-23
- 刊出日期: 2021-02-24

Characteristic Functions of Smooth Fibrations and Induced Smooth Fibrations

ZHAN Yan,
ZHAO Hao^,

School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou 510631, China

摘要

摘要: 在差异空间范畴中研究了光滑纤维化与光滑上纤维化的等价刻画, 利用光滑升腾函数与光滑收缩函数, 分别证明了一个光滑映射是光滑纤维化的充要条件是其存在相应的光滑升腾函数、是光滑上纤维化的充要条件是其存在相应的光滑收缩函数. 同时, 证明了光滑纤维化或光滑上纤维化诱导的光滑映射空间之间的光滑映射是光滑纤维化.
- 差异空间 /
- 光滑纤维化 /
- 光滑上纤维化
Abstract: The equivalent description of smooth fibration and smooth cofibration was studied in the category of di-ffeological spaces. By applying the smooth lifting function and the smooth retracting function, it was respectively shown that a smooth map is a smooth fibration if and only if it has a corresponding smooth lifting function and a smooth cofibration if and only if it has a corresponding smooth retracting function. Meanwhile, it was also shown that the smooth map between smooth mapping spaces induced by a smooth fibration or a smooth cofibration is again a smooth fibration.
- diffeological space /
- smooth fibration /
- smooth cofibration

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纤维化作为复叠映射的推广, 在同伦论中对于拓扑空间的同伦群的计算起着非常重要的作用^[1]. 自从纤维化的概念提出以来, 由于研究目的的不同, 已经出现诸如Hurwicz纤维化、Serre纤维化和弱纤维化等各种不同的定义. 1966年, SPANIER^[2]在复叠空间理论的基础上对不同的纤维化概念进行了整理, 并且给出了纤维化的相关性质. 特别地, 在纤维化与上纤维化的等价刻画方面, 文献[2]首先给出了升腾函数与收缩函数的概念, 并证明了一个映射p: E→B分别是纤维化或上纤维化当且仅当分别存在p的升腾函数与收缩函数；利用这一等价刻画, 给出了诱导纤维化的如下相关结论: (1)对任一空间X, 映射p: E→B可诱导映射p_* : E^X→B^X(由p_*(g)=p°g定义), 其中E^X与B^X表示映射空间. 若p是纤维化, 则p_*也是纤维化. (2)对任一空间Y, 映射f: X′→X诱导映射f^* : Y^X→Y^X′(由f^*(g)=g°f定义). 若f是上纤维化, 则f^*是纤维化.

相对于拓扑空间范畴中纤维化的理论, 在其他范畴中也有对应的纤维化理论, 差异空间范畴^[3]便是其中的范畴之一. 在差异空间范畴中, 其对象为差异空间, 态射为差异空间之间的光滑映射. 差异空间作为光滑流形的推广, 最初由SOURIAU^[3]提出. 接着, LAUBINGER^[4]、LESLIE^[5]、WALDORF^[6]、KARSHON和WATTS^[7]、PERVOVA^[8]、IWASE和IZUMIDA^[9]等分别研究了差异空间范畴中的De-Rham上同调、李代数、差异丛、Pseudo-丛、轨形、Mayer-Vietoris序列等的相关性质. 基于这些已有的研究成果, IGLESIAS-ZEMMOUR^[10]系统地给出了差异空间的同伦理论, 对这种同伦理论所涉及到的基本概念做了定义, 其中包括差异向量空间、差异群、D-拓扑和De-Rham上同调计算等等. HARAGUCHI和SHIMAKAWA^[11]研究了差异空间范畴中的模结构, 并给出了2个光滑映射f, f′: X→Y之间的光滑同伦的另一定义, 即存在X×I到Y的光滑映射H, 使得H₀=f, H₁=f′, 且不失一般性地可假设H为tame-同伦. HARAGUCHI^[12]给出了光滑CW复形的定义, 并对与光滑CW复形相关的同伦扩张性质、胞腔逼近定理和Whitehead定理进行了研究.

在已有研究中, 虽然有关差异空间的基本同伦理论得到了较大的发展, 但是有关纤维化的一些基本概念与性质尚未得到研究. 本文将利用光滑升腾函数以及光滑收缩函数, 对光滑纤维化以及光滑上纤维化做出等价的刻画. 同时, 将用这样的等价刻画来证明由光滑纤维化及光滑上纤维化所诱导的映射空间之间的光滑映射即是光滑纤维化.

1. 预备知识

本节介绍有关差异空间的一些基本概念与性质.

定义 1^[10] 设X是一个集合, U是欧式空间的开子集, 任一映射P: U→X称为X的一个参数化.

定义 2^[10] 设X是一个非空集合, U是欧式空间的开子集. X的一个参数化族D_X={f | f: U→X}称为X的一个差异拓扑, 如果D_X满足以下3个条件:

(1) 常值参数化在D_X中;

(2) 对任一映射P: U→X, 若对于U中的任一点u, 存在u的一个开邻域V, 使得P|V: V→X在D_X中, 则P在D_X中;

(3) 对D_X中的任一参数化P: U→X和任一欧式空间开子集之间的光滑映射Q: V→U, P°Q在D_X中.

我们称一个带有差异拓扑D_X的集合X为一个差异空间, 称D_X中的每个成员为X的一个绘标.

定义 3^[10] 给定差异空间X和Y, 称映射f: X→Y是光滑的, 如果对于X的任意一个绘标P: U→X, f°P都是Y的一个绘标.

性质 1^[10] 设X、Y和Z都是差异空间, 若f: X→Y和g: Y→Z都是光滑映射, 则复合映射g°f: X→Z也是光滑映射.

以下介绍几类常见的差异空间及其相关的性质.

定义 4^[12] 设A是X的一个非空子集, i: A→X是包含映射. 若A有一个差异子拓扑

${D_A} = \{ P:U \to A|i \circ P:U \to X \in {D_X}\} ,$

则称A是X的子空间.

注 1 在本文中, 把单位区间I看成 $\mathbb{R}$ 的子空间.

定义 5^[12] 设X是差异空间, Y是非空集合, π : X→Y是满射. 若Y有一个差异商拓扑:

$\begin{aligned} &D_{Y}=\left\{P: U \rightarrow Y \mid \text { 对任意 } r \in U { ,存在 } r \text { 的开邻域 } V\right. \text { 与 } D_{X}\\ &\text { 中元素 } Q: V \rightarrow X, \text { 使得 } P \mid V: V \rightarrow X=\pi \circ Q\}, \end{aligned}$

则称Y为X的商空间或X的差异商.

定义 6^[10] 设X和Y都是差异商拓扑空间, 令C^∞(X, Y)={所有光滑映射f: X→Y}, 则集合C^∞(X, Y)有一个函数式差异拓扑:

$\begin{aligned} &D_{C^{\infty}}(X, Y)=\left\{P: U \rightarrow C^{\infty}(X, Y) \text { |对任意 } D_{X}\right. \text { 中元素 } Q: V \rightarrow Y,\\ &\ \ \ \text { 有 } \left.\psi \circ(P \times Q): U \times V \rightarrow Y \in D_{X}\right\}, \end{aligned}$

其中，ψ: C^∞(X, Y)×X→Y是赋值映射, 定义为ψ(f, x)=f(x).

性质 2^[10] (指数对应法则)设X、Y和Z都是差异空间, 且映射空间C^∞(X, Y)、C^∞(X×Y, Z)和C^∞(X, C^∞(Y, Z))都带函数式差异拓扑, 则C^∞(X, C^∞(Y, Z))≅C^∞(X×Y, Z).

定义 7^[10] 设H: X×I→Y是光滑同伦, 如果存在0 < ε < 1/2, 使得

$\begin{array}{cc} H(x, s)=H(x, 0) & (0 \leqslant s \leqslant \varepsilon), \\ H(x, s)=H(x, 1) & (1-\varepsilon \leqslant s \leqslant 1), \end{array}$

则称H为tame-同伦.

下面给出光滑纤维化与光滑上纤维化的概念.

定义 8^[10] 设E、B和X都是差异空间. 如果对任一光滑映射f: X→E, 光滑同伦G: X×I→B, G₀=p°f, 都存在光滑同伦F: X×I→E, 使得F₀=f, p°F=G(F是G的提升), 则称p有关于空间X的光滑同伦提升性质. 把X看成X×{0}, 设i₀: X→X×I是包含映射, 则有交换图表:

若对所有差异空间X, p都有光滑同伦提升性质, 则称p是光滑纤维化.

定义 9^[10] 设X和Y是差异空间, A是X的子空间. 如果对任一光滑映射f: X→Y, 光滑同伦G: A×I→Y, G₀=f|A, 都存在光滑同伦F: X×I→Y, 使得F₀=f, F|A×I=G(F是G是扩张), 则称f有关于空间X的光滑同伦扩张性质. 设i: A→X是包含映射, 则有交换图表:

若对所有差异空间X, f都有光滑同伦扩张性质, 则称f是光滑上纤维化.

2. 光滑特征函数

设p: E→B是光滑映射. 定义E×B^I的子空间B为B={(e, w)∈E×B^I|ω(0)=p(e)}, 其中B^I=C^∞(I, B)，则存在由p(ω)=(ω(0), p°ω)所定义的光滑映射p : E^I→B.

定义 10^[10] 若p存在一个右逆函数λ: B→E^I且λ是光滑的, 则称λ为p的一个光滑升腾函数.

下面给出任一光滑映射是光滑纤维化的等价描述.

定理 1 映射p: E→B是光滑纤维化当且仅当存在p的光滑升腾函数.

证明 (充分性)若p是光滑纤维化, 定义

$\begin{array}{c} f^{\prime}: \bar{B} \rightarrow E \\ \quad(e, \omega) \mapsto e, \\ F: \bar{B} \times I \rightarrow B \\ \quad\quad((e, \omega), t) \mapsto \omega(t). \end{array}$

因为f′是E上的投射, 所以f′是光滑映射. 下证F是光滑的.

任取P: U→ B×I∈D_B×I, 设P(u)=((e, ω), t) (u∈U), 则F°P: U→B为

$\begin{array}{c} U \stackrel{P}{\longrightarrow} \bar{B} \times I \stackrel{F}{\longrightarrow} B \\ u \mapsto((e, \omega), t) \mapsto \omega(t) . \end{array}$

设π_B: B×I→B, π_I : B×I→I是自然投射, 则P₁≜π_B°P: U→B∈D_B, P₂≜π_I°P: U→I∈D_I:

$\begin{array}{c} U \stackrel{P}{\longrightarrow} \bar{B} \times I \stackrel{\pi_{\bar{B}}}{\longrightarrow} \bar{B} \\ u \mapsto((e, \omega), t) \mapsto(e, \omega), \\ U \stackrel{P}{\longrightarrow} \bar{B} \times I \stackrel{\pi_{I}}{\longrightarrow} I \\ u \mapsto((e, \omega), t) \mapsto t . \end{array}$

设i: B→E×B^I是包含映射, π_E: E×B^I→E和π_B^I: E×B^I→B^I是自然投射, 则P′₁≜π_E°i°P₁: U→B∈D_B, P′₂≜π_E°i°P₂: U→B^I ∈D_B^I:

$\begin{array}{c} U \stackrel{P_{1}}{\longrightarrow} \bar{B} \stackrel{i}{\longrightarrow} E \times B^{I} \stackrel{\pi_{E}}{\longrightarrow} E \\ u \mapsto(e, \omega) \mapsto(e, \omega) \mapsto e, \\ U \stackrel{P_{2}}{\longrightarrow} \bar{B} \stackrel{i}{\longrightarrow} E \times B^{I} \stackrel{\pi_{B^{I}}}{\longrightarrow} B^{I} \\ u \mapsto(e, \omega) \mapsto(e, \omega) \mapsto \omega. \end{array}$

于是, 对P₂: U→I∈D_I和光滑映射l: U→U×U, l(u)=(u, u) (u∈U), 有ψ°(P′₂×P₂)°l∈D_B:

$\begin{array}{c} U \longrightarrow U \times U \stackrel{P_{2}^{\prime} \times P_{2}}{\longrightarrow} B^{I} \times I \stackrel{\psi}{\longrightarrow} B \\ u \mapsto(u, u) \mapsto(\omega, t) \mapsto \omega(t), \end{array}$

即F°P=ψ°(P′₂×P₂)°l∈D_B.

根据F的定义, F满足F((e, ω), 0)=ω(0)=p(e)=p°f′(e, ω). 因为p是光滑纤维化, 所以存在光滑映射F′: B×I→E, 使得F′((e, ω), 0)=f′(e, ω)=e和p°F′=F. 如以下交换图表:

由性质2可得光滑映射λ : B→E^I, λ (e, ω)(t)=F′((e, ω), t), 且满足λ (e, ω)(0)=F′((e, ω), 0)=e, p°λ (e, ω)(t)=p°F′((e, ω), t)=F((e, ω), t)=ω(t), 即p°λ =1_B. 故λ是p的光滑升腾函数.

(必要性)若λ : B →E是p的光滑升腾函数, 则λ (e, ω)是光滑的, (e, ω)∈B.

设f: X→E和G: X×I→B是光滑映射, 使得G(x, 0)=p°f(x). 根据性质2, 有光滑映射g: X→B^I, g(x)(t)=G(x, t)，则g(x)(0)=G(x, 0)=p°f(x).

定义F: X×I→E, F(x, t)= λ (f(x), g(x))(t). 由于λ (e, ω)、f、g都是光滑的, 故F是光滑的, 且有F(x, 0)= λ (f(x), g(x))(0)=f(x), p°F(x, t)=p°λ (f(x), g(x))(t)=g(x)(t)=G(x, t), 即有交换图表:

从而p是光滑纤维化.

设X′与X是差异空间, f: X′→X是光滑映射. 令“~”是X×{0}⊔X′×I上的等价关系: (x′, 0)~ (f(x′), 0), x′∈X′. 由此有商空间 $\tilde{X}$ =X×{0}⊔X′×I/~. 令映射p: X×{0}⊔X′×I→ $\tilde{X}$ 为光滑粘合映射, 记为p(x′, t)=[x′, t], (x′, t)∈X′×I, p(x, 0)=[x, 0], (x, 0)∈X×{0}, 则存在光滑映射

$\begin{array}{l} \tilde{i}: \tilde{X} \rightarrow X \times I \\ \ \ \ \ {[x, 0] \mapsto(x, 0), x \in X}, \\ \ \ \ \ {\left[x^{\prime}, t\right] \mapsto\left(f\left(x^{\prime}\right), t\right),\left(x^{\prime}, t\right) \in X^{\prime} \times I .} \end{array}$

定义 11^[10] 映射 $\tilde{i}$ 的一个光滑左逆映射ρ: X×I→ $\tilde{X}$ (即有ρ° $\tilde{i}$ = ${{1}_{{\tilde{X}}}}$ )称为f的一个光滑收缩函数.

下面给出任一光滑映射是光滑上纤维化的等价描述.

定理 2 映射f: X′→X是光滑上纤维化当且仅当存在对f的光滑收缩函数.

证明 (充分性)若f是光滑上纤维化, 令

$\begin{array}{c} g: X \rightarrow \widetilde{X} \\ \quad\quad x \mapsto[x, 0], \\ G: X^{\prime} \times I \rightarrow \widetilde{X} \\ \quad\quad\left(x^{\prime}, t\right) \mapsto\left[x^{\prime}, t\right] . \end{array}$

显然g是光滑的, 设p: X×{0} ⊔ X′×I→ ${\tilde{X}}$ 是光滑粘合映射, 则G=p|X′×I也是光滑的.

G(x′, 0)=[x′, 0]=[f(x′), 0]=g°f(x′), 而p是光滑上纤维化, 则存在光滑映射ρ: X×I→ $\tilde{X}$ , 使得ρ°(f ×1_I)=G和ρ₀=g. 如交换图表:

从而当x ∈X时, 有ρ° $\tilde{i}$ [x, 0]=ρ(x, 0)=g(x)=[x, 0]. 当(x′, t)∈X′×I时, 有ρ° $\tilde{i}$ [x′, t]=ρ(f(x′), t)=G(x′, t)=[x′, t]. 故ρ° $\tilde{i}$ = ${{1}_{{\tilde{X}}}}$ . 因此, ρ是f的光滑收缩函数.

(必要性)设ρ: X×I→ $\tilde{X}$ 是f的光滑收缩函数, g: X→E和G: X′×I→Y是光滑映射, 使得G(x′, 0)=g°f(x′).

定义 $\tilde{G}$ : $\tilde{X}$ →Y为：

$\begin{aligned} \widetilde{G} &: \tilde{X} \rightarrow Y \\ &[x, 0] \mapsto g(x), x \in X, \\ &\left[x^{\prime}, t\right] \mapsto G\left(x^{\prime}, t\right),\left(x^{\prime}, t\right) \in X^{\prime} \times I . \end{aligned}$

由于G和g是光滑的, 故 $\tilde{G}$ 也是光滑的.

定义F= $\tilde{G}$ °ρ: X×I→Y, 则光滑映射 $\tilde{G}$ 和光滑映射ρ复合得到的映射F仍是光滑的，且

$\begin{array}{l} F \circ\left(f \times 1_{I}\right)\left(x^{\prime}, t\right)=\widetilde{G}{\circ} \rho\left(f\left(x^{\prime}\right), t\right)=\widetilde{G}\left(\left[x^{\prime}, t\right]\right)= \\ \ \ \ \ \ \ \ \ G\left(x^{\prime}, t\right) \quad\left(\left(x^{\prime}, t\right) \in X^{\prime} \times I\right), \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ F(x, 0)=\widetilde{G} \circ \rho(x, 0)=\widetilde{G}([x, 0])=g(x). \end{array}$

故有交换图表:

从而f是光滑上纤维化.

3. 诱导光滑纤维化

本节给出由光滑纤维化与光滑上纤维化诱导出光滑纤维化的结论.

定理 3 设映射f: X′→X是光滑上纤维化, Y是任一差异空间, 则诱导映射f^* : Y^X→Y^X′是光滑纤维化.

证明由定理1知存在f的光滑收缩函数ρ: X×I→ $\tilde{X}$ . 由ρ′(h)=h°ρ可定义映射ρ′: ${{Y}^{{\tilde{X}}}}$ →Y^X×I, 下证其光滑性.

任取P: U→ ${{Y}^{{\tilde{X}}}}$ ∈ ${{D}_{{{Y}^{{\tilde{X}}}}}}$ , 设P(u)=h (u ∈U), 则ρ′°P: U→Y^X×I为:

$\begin{array}{c} U \stackrel{P}{\longrightarrow} Y^{\tilde{X}} \stackrel{\rho^{\prime}}{\longrightarrow} Y^{X \times I} \\ u \mapsto h \mapsto h \circ \rho . \end{array}$

任取Q: V→X×I ∈D_X×I, 由于ρ是光滑的, 故ρ°Q: U→ $\tilde{X}$ ∈ ${{D}_{{\tilde{X}}}}$ . 又由于P: U→ ${{Y}^{{\tilde{X}}}}$ ∈ ${{D}_{{{Y}^{{\tilde{X}}}}}}$ , 则有ψ°(P×(ρ°Q))∈D_Y:

$\begin{array}{c} U \times V \stackrel{P \times(\rho \circ Q)}{\longrightarrow} Y^{\tilde{X}} \times \tilde{X} \stackrel{\psi}{\longrightarrow} Y \\ (u, v) \mapsto(h, \rho \circ Q(v)) \mapsto h \circ \rho{\circ} Q(v). \end{array}$

而ψ°((ρ′°P)×Q)为:

$\begin{array}{c} U \times V \stackrel{\left(\rho^{\prime} \circ P\right) \times Q}{\longrightarrow} Y^{X \times I} \times X \times I \stackrel{\psi}{\longrightarrow} Y \\ (u, v) \mapsto(h \circ \rho, Q(v)) \mapsto h \circ \rho \circ Q(v) . \end{array}$

可见, ψ°((ρ′°P)×Q)=ψ°(P×(ρ°Q))∈D_Y.

在 ${{Y}^{{\tilde{X}}}}$ 中, [x′, 0]=[f(x′), 0], x′∈X′, 则任意h: ${\tilde{X}}$ →Y∈ ${{Y}^{{\tilde{X}}}}$ 可看成g∪G, 其中映射g: X×{0}→Y与G: X′×I→Y满足G(x′, 0)=g°f(x′). 故

$\begin{array}{l} Y^{\tilde{X}}=\left\{g \cup G \mid g: X \times\{0\} \rightarrow Y, G=X^{\prime} \times I \rightarrow Y, G\left(x^{\prime}, 0\right)=\right.\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.g \circ f\left(x^{\prime}\right), x^{\prime} \in X^{\prime}\right\}. \end{array}$

又 $\overline {{Y^{X'}}}$ ={(g, G)∈Y^X×Y^X′×I|G(x′, 0)=f^*(g)=g°f(x′), x′∈X′}, 可得 ${{Y}^{{\tilde{X}}}}$ ≅ $\overline {{Y^{X'}}}$ . 又根据性质2, 有Y^X×I≅(Y^X)^I. 从而ρ′对应光滑映射λ : $\overline {{Y^{X'}}}$ →(Y^X)^I, 对x ∈X与t ∈I, 有λ (g, G)(t)(x)=(g∪G)°ρ(x, t)).

由于

$\begin{array}{l} f^{*} \circ \lambda(g, G)(t)\left(x^{\prime}\right)=\lambda(g, G)(t)\left(f\left(x^{\prime}\right)\right)= \\ \quad(g \cup G) \circ \rho\left(f\left(x^{\prime}\right), t\right)=(g \cup G) \circ \rho \circ \bar{i}\left[x^{\prime}, t\right]= \\ \quad g \cup G\left[x^{\prime}, t\right]=G\left(x^{\prime}, t\right), \end{array}$

其中, (g, G)∈Y^X×Y^X′×I, t ∈I, x′∈X′. 故f^*°λ (g, G)= (λ (g, G)(0), f^*°λ (g, G))=(g, G). 因此, ^*°λ = ${1_{\overline {{Y^{X'}}} }}$ , 即λ是f^*的光滑升腾函数, 故f^*是光滑纤维化.

定理 4 设映射p: E→B是光滑纤维化, X是任一差异空间, 则诱导映射p_*: E^X→B^X是光滑纤维化.

证明令 $\overline {{B^X}}$ ={(g, G)∈E^X×(B^X)^I|p_*(g)=p°g=G(0)}. 任取(g, G)∈ $\overline {{B^X}}$ , 根据性质2, 可得到由G′(x, 0)=G(0)(x)=p°g(x)所定义的光滑映射G′: X×I→B. 由于p是光滑纤维化, 故存在光滑映射F′: X×I→E, 使得p°F′=G′以及F′ ₀=g. 再根据性质2, 得到光滑映射F: I→E^X, 满足p°F=G以及F₀(x)=g(x). 从而可得到由λ (g, G)=F所定义的映射λ : $\overline {{B^X}}$ →(E^X)^I, 则λ是光滑的且对任一(g, G)∈ $\overline {{B^X}}$ , 满足

$\begin{array}{c} \bar{p}_{*} \circ \lambda(g, G)=(\lambda(g, G)(0), \\ \left.p_{*} \circ \lambda(g, G)\right)=(F(0), p \circ F)=(g, G). \end{array}$

由此可知λ是p_*的光滑升腾函数, 从而p_*是光滑纤维化.

参考文献(12)

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