A Rigidity Theorem of λ-Hypersurfaces
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摘要: 研究了λ-超曲面，得到了有关完备的λ-超曲面的一个积分等式：若 X :M→Rn+1是n-维完备的具有多项式面积增长的λ-超曲面且满足S有界，则有∫M(|▽H|2+(H-λ)(H+S(λ-H)))e−|X|22dμ=0，其中，H是M的平均曲率，S是M的第二基本形式模长平方.并由该积分等式得到了一个刚性结果.Abstract: λ-hypersurfaces are studied and a rigidity result about complete λ-hypersurfaces is given. If X :M→Rn+1 is an n-dimensional complete λ-hypersurface with polynomial area growth and satisfies S bounded, then ∫M(|▽H|2+(H-λ)(H+S(λ-H)))e−|X|22dμ=0, where H is the mean curvature of M, S is the squared norm of the second fundamental form of M. As an application of the integral equation, a rigidity result about complete λ-hypersurfaces is obtained.
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Keywords:
- mean curvature /
- the weighted area functional /
- λ-hypersurfaces
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令X:M→$\mathbb{R}$n+1是(n+1)-维欧氏空间中的n-维光滑超曲面. 2018年，CHENG和WEI[1]引入了保加权体积的平均曲率流，具体为：称一类满足X(·, 0)= X(·)的光滑浸入X(·, t):M→$\mathbb{R}$n+1为保加权体积的平均曲率流，若满足下面的方程
$$ \frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{X}}(t)}}{{\partial t}} = - \alpha (t)\mathit{\boldsymbol{N}}(t) + \mathit{\boldsymbol{H}}(t), $$ (1) 其中
$$ \alpha (t) = \frac{{\int_M H (t)\langle \mathit{\boldsymbol{N}}(t),\mathit{\boldsymbol{N}}\rangle {{\rm{e}}^{ - \frac{{|\mathit{\boldsymbol{X}}{|^2}}}{2}}}{\rm{d}}\mu }}{{\int_M {\langle \mathit{\boldsymbol{N}}(} t),\mathit{\boldsymbol{N}}\rangle {{\rm{e}}^{ - \frac{{|\mathit{\boldsymbol{X}}{|^2}}}{2}}}{\rm{d}}\mu }}, $$ H(t)=H(·, t)、N(t)、H(t)分别表示超曲面Mt=X(Mn, t)在点X(·, t)处的平均曲率向量、单位内法向量、平均曲率，N是X:M→$\mathbb{R}$n+1的单位法向量.可以证明方程(1)保持如下定义的加权体积V(t)：
$$ V(t) = \int_M {\langle \mathit{\boldsymbol{X}}(} t),\mathit{\boldsymbol{N}}\rangle {{\rm{e}}^{ - \frac{{|\mathit{\boldsymbol{X}}{|^2}}}{2}}}{\rm{d}}\mu . $$ 加权面积泛函A:(-ε, ε)→$\mathbb{R}$定义为
$$ A(t) = \int_M {{{\rm{e}}^{ - \frac{{|\mathit{\boldsymbol{X}}(t){|^2}}}{2}}}} {\rm{d}}{\mu _t}, $$ 其中, dμt是X(t)诱导度量下M的面积元.令X(t):M→$\mathbb{R}$n+1是X的变分，其中X(0)= X.若V(t)是常数，称X(t):M→$\mathbb{R}$n+1是X的保加权体积的变分.
CHENG和WEI[1]证明了:对所有的保持加权体积的变分来说，X:M→$\mathbb{R}$n+1是加权面积泛函A(t)的临界点的充分必要条件是存在常数λ满足
$$ \langle \mathit{\boldsymbol{X}},\mathit{\boldsymbol{N}}\rangle + H = \lambda , $$ (2) 其中，H为M的平均曲率; 并给出λ-超曲面的定义：如果一个浸入超曲面X:M→$\mathbb{R}$n+1满足方程(2)，则称之为λ-超曲面.随后，学者们得到了若干有关λ-超曲面的刚性定理和分类定理[2-12].
若λ=0，也就是说，〈 X, N 〉+H=0，则λ-超曲面就是平均曲率流的自收缩子.由此可见，λ-超曲面是自收缩子的推广.
关于0-超曲面的研究，已有很多好的结果.如，LE和SESUM[13]证明了:若M是(n+1)-维欧氏空间中的n-维完备的具有多项式面积增长的嵌入自收缩子并且满足S < 1，则S=0且M就是超平面$\mathbb{R}$n，其中S表示第二基本形式的模长平方；CAO和LI[14]研究了更广泛的情形并证明了：
定理A 若M是(n+1)-维欧氏空间中的n-维完备的具有多项式面积增长的自收缩子并且满足S≤1，则M要么是超平面$\mathbb{R}$n，要么是圆球面Sn$(\sqrt{n})$，要么是柱面$S^{m}(\sqrt{m}) \times \mathbb{R}^{n-m}$，1≤m≤n-1.
n-维欧氏空间$\mathbb{R}$n、n-维球面Sn(r)和n-维柱面Sk(r)×$\mathbb{R}$n-k都是λ-超曲面，其λ的值分别为0、n/r-r和k/r-r. CHENG和WEI[1]证明了：若M是n-维完备的具有多项式面积增长的嵌入λ-超曲面，且满足H-λ≥0和λ(f3(H-λ)-S)≥0，则M只能是Sk(r)×$\mathbb{R}$n-k(0≤k≤n)，其中$f_{3}=\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}^{3}$，λj是M的主曲率. CHENG等[2]分类了具有多项式面积增长的且平均曲率H和第二基本形式长度平方S满足一个不等式的完备λ-超曲面，并得到了没有多项式面积增长这一条件的刚性结果.
受文献[13]、[14]的启发，本文考虑了λ-超曲面的相关问题，得到了关于λ-超曲面的一个积分等式，并由此积分等式得到了相应的刚性结果.
1. 预备知识
首先，介绍文中所用的基本公式.令X :Mn→$\mathbb{R}$n+1是(n+1)-维欧氏空间$\mathbb{R}$n+1中的n-维连通的超曲面.取局部标准正交标架场{eA}A=1n+1，其对偶为{ωA}A=1n+1，要求限制在Mn上时，e1, …, en是Mn的切平面的基底.则
$$ {\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{X}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{\omega _i}} {\mathit{\boldsymbol{e}}_i},{\rm{d}}{\mathit{\boldsymbol{e}}_i} = \sum\limits_{j = 1}^n {{\omega _{ij}}} {\mathit{\boldsymbol{e}}_j} + {\omega _{i(n + 1)}}{\mathit{\boldsymbol{e}}_{n + 1}},{\rm{d}}{\mathit{\boldsymbol{e}}_{n + 1}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{\omega _{(n + 1)i}}} {\mathit{\boldsymbol{e}}_i}. $$ 限制在Mn上有
$$ {\omega _{n + 1}} = 0,{\omega _{(n + 1)i}} = - \sum\limits_{j = 1}^n {{h_{ij}}} {\omega _j},{h_{ij}} = {h_{ji}}, $$ 其中，hij表示X:Mn→$\mathbb{R}$n+1的第二基本形式的分量，$H=\sum_{j=1}^{n} h_{j j}$是平均曲率. $II = \sum_{i, j = 1}^n {{h_{ij}}} {\omega _i} \otimes {\omega _j}\mathit{\boldsymbol{N}}$是X:Mn→$\mathbb{R}$n+1的第二基本形式，N=en+1是单位法向量.令hijk=▽khij, hijkl=▽l▽khij, 其中, ▽j是协变微分算子. Gauss方程、Codazzi方程和Ricci方程分别为
$$ {{R_{ijkl}} = {h_{ik}}{h_{jl}} - {h_{il}}{h_{jk}},} $$ (3) $$ {{h_{ijk}} = {h_{ikj}},} $$ (4) $$ {{h_{ijkl}} - {h_{ijlk}} = \sum\limits_{m = 1}^n {{h_{im}}} {R_{mjkl}} + \sum\limits_{m = 1}^n {{h_{mj}}} {R_{mikl}},} $$ (5) 其中, Rijkl是曲率张量的分量.一个函数F的协变导数可以表示为F, i=▽iF, F, ij=▽j▽iF.对于λ-超曲面，我们定义一个椭圆算子$\mathcal{L}$如下：
$$ \mathcal{L}f = \Delta f - \langle X,\nabla f\rangle , $$ (6) 其中, Δ和▽分别表示λ-超曲面的拉普拉斯算子和梯度算子. $\mathcal{L}$算子由COLDING和MINICOZZI[15]引进研究自收缩子，并由CHENG和WEI[1]用于研究λ-超曲面.
其次，给出本文定理证明需用的引理.
引理1[15] 令X :M→$\mathbb{R}$n+1是完备的超曲面.若u和v是C2函数, 且满足
$$ \int_M {(|u\nabla v| + |\nabla u||\nabla v| + |u\mathcal{L}v|)} {{\rm{e}}^{ - \frac{{|\mathit{\boldsymbol{X}}{|^2}}}{2}}}{\rm{d}}\mu < + \infty , $$ (7) 则
$$ \int_M u (\mathcal{L}v){{\rm{e}}^{ - \frac{{|\mathit{\boldsymbol{X}}{|^2}}}{2}}}{\rm{d}}\mu = - \int_M {\langle \nabla u,\nabla v\rangle } {{\rm{e}}^{ - \frac{{|\mathit{\boldsymbol{X}}{|^2}}}{2}}}{\rm{d}}\mu . $$ (8) 引理2[1] 若X :M→$\mathbb{R}$n+1是λ-超曲面，则
$$ {\mathcal{L}H = \Delta H - \sum\limits_{i = 1}^n {\langle \mathit{\boldsymbol{X}},{\mathit{\boldsymbol{e}}_i}\rangle } {H_{,i}} = H + S(\lambda - H),} $$ (9) $$ {\frac{1}{2}\mathcal{L}S = \sum\limits_{i,j,k = 1}^n {h_{ijk}^2} + (1 - S)S + \lambda {f_3},} $$ (10) 其中, $H=\sum\limits_{i=1}^{n} h_{i i}$, $S=\sum\limits_{i, j=1}^{n} h_{i j}^{2}$$f_{3}=\sum\limits_{i, j, k=1}^{n} h_{i j} h_{j k} h_{i k}$.
2. 主要结论及其证明
定理1 若X :M→$\mathbb{R}$n+1是n-维完备的具有多项式面积增长的λ-超曲面且满足S有界，则
$$ \int_M {(|\nabla H{|^2} + (} H - \lambda )(H + S(\lambda - H))){{\rm{e}}^{ - \frac{{|\mathit{\boldsymbol{X}}{|^2}}}{2}}}{\rm{d}}\mu = 0, $$ 其中, H是M的平均曲率，S是M的第二基本形式模长平方.
证明 因为〈 X, N 〉+H=λ，则
$$ {{H_{,i}} = \sum\limits_{j = 1} {{h_{ij}}} \langle \mathit{\boldsymbol{X}},{\mathit{\boldsymbol{e}}_j}\rangle ,} $$ (11) $$ {{H_{,ik}} = \sum\limits_{j = 1}^n {{h_{ijk}}} \langle \mathit{\boldsymbol{X}},{\mathit{\boldsymbol{e}}_j}\rangle + {h_{ik}} + \sum\limits_{j = 1}^n {{h_{ij}}} {h_{jk}}(\lambda - H),} $$ (12) $$ {\Delta H = \sum\limits_{i = 1}^n {{H_{,ii}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{H_{,i}}} \langle \mathit{\boldsymbol{X}},{\mathit{\boldsymbol{e}}_i}\rangle + H + S(\lambda - H).} $$ (13) 由引理2可知
$$ {\frac{1}{2}\mathcal{L}{H^2} = |\nabla H{|^2} + {H^2} + S(\lambda - H)H,} $$ (14) $$ {\frac{1}{2}\mathcal{L}{{(H - \lambda )}^2} = |\nabla H{|^2} + (H - \lambda )(H + S(\lambda - H)).} $$ (15) 因为S有界，则H2和S(λ-H)H有界.因为M具有多项式面积增长，则由λ-超曲面的定义以及式(11)，有
$$ \int_M {(|\nabla H{|^2} + (} H - \lambda )(H + S(\lambda - H))){{\rm{e}}^{ - \frac{{|\mathit{\boldsymbol{X}}{|^2}}}{2}}}{\rm{d}}\mu $$ (16) 有界.由引理1、式(15)得到：
$$ \int_M {(|\nabla H{|^2} + (} H - \lambda )(H + S(\lambda - H))){{\rm{e}}^{ - \frac{{|\mathit{\boldsymbol{X}}{|^2}}}{2}}}{\rm{d}}\mu = 0. $$ (17) 推论1 若X :M→$\mathbb{R}$n+1是n-维完备的具有多项式面积增长的λ-超曲面且满足S有界和
$$ {(H - \lambda )^2}S \le H(H - \lambda ), $$ (18) 则M要么是超平面n，要么是圆球面Sn(r)，要么是柱面Sk(r)×$\mathbb{R}$n-k (1≤k≤n-1).
证明 由定理1以及已知条件(H- λ)2S≤H(H- λ)，可得
$$ (H - \lambda )(H + S(\lambda - H)) \equiv 0 $$ (19) 和H为常数.若H- λ ≡0，由式(9)得到H= λ ≡0，则M是超平面[14].若H$\not \equiv $λ，由式(19)可知S=H/(H- λ).此时，式(12)变为
$$ \sum\limits_{j = 1}^n {{h_{ij}}} {h_{jk}}(H - \lambda ) = \sum\limits_{j = 1}^n {{h_{ijk}}} \langle \mathit{\boldsymbol{X}},{\mathit{\boldsymbol{e}}_j}\rangle + {h_{ik}}. $$ (20) 式(20)两端同乘hik，并对i和k求和，可以得到
$$ \sum\limits_{i,j,k = 1}^n {{h_{ij}}} {h_{jk}}{h_{ik}}(H - \lambda ) = S + \sum\limits_{j = 1}^n {\frac{1}{2}} {S_{,j}}\langle \mathit{\boldsymbol{X}},{\mathit{\boldsymbol{e}}_j}\rangle = S, $$ (21) 即
$$ {f_3} = \sum\limits_{i,j,k = 1}^n {{h_{ij}}} {h_{jk}}{h_{ik}} = \frac{S}{{H - \lambda }}. $$ (22) 由引理2和式(22)可知
$$ 0 = \frac{1}{2}\mathcal{L}S = \sum\limits_{i,j,k = 1}^n {h_{ijk}^2} + (1 - S)S + \lambda {f_3} = \sum\limits_{i,j,k = 1}^n {h_{ijk}^2} . $$ (23) 由此知道M是等参超曲面且M要么是圆球Sn(r)，要么是柱面Sk(r)×$\mathbb{R}$n-k.
注记1 本文仅以定理1和推论1为例来说明如何得到λ-超曲面的积分等式和刚性定理.事实上，用类似的方法可以得到一些类似的积分等式和刚性定理.
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