The Effect of Rough Potential Energy on the Thermal Conductivity of Frenkel-Kontorova Lattice
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摘要: 采用非线性分子动力学方法，通过计算机模拟，研究了粗糙势能的高度和频率对Frenkel-Kontorova晶格负微分热阻和热导率的影响.结果表明：粗糙势的高度和频率减小了负微分热阻(NDTR)出现的范围；热导率是粗糙势能高度和频率的函数，存在一个最佳的粗糙势能高度，热导率达到最大值；热导率随着粗糙势能频率的增加而单调降低.研究结果揭示了粗糙势能对热传导性能的影响，对低维材料非线性反应机制及热流控制器的应用研究具有参考价值.
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关键词:
- 负微分热阻 /
- 热传导率 /
- Frenkel-Kontorova晶格
Abstract: The effects of the height and frequency of rough potential energy on the negative differential thermal resistance and thermal conductivity of Frenkel-Kontorova lattice were studied through computer simulation using the nonlinear molecular dynamics method. The results are as follows. First, the height and frequency of the rough potential reduce the appearance range of negative differential thermal resistance (NDTR). Second, the thermal conductivity is a function of the height and frequency of the rough potential energy, and there exists an optimal height of the rough potential energy where the thermal conductivity reaches the maximum value. And third, the thermal conductivity decreases monotonically with the increase of the rough potential energy frequency. The research results reveal the effect of rough potential energy on heat conduction and can be reference for the study of the nonlinear response mechanism of low-dimensional materials and the application of heat flow controllers. -
近20年来，低维热传导机理的研究引起了广泛关注，低维热传导也表现出与宏观材料不同的特性，最大区别是在低维系统中傅里叶定律是否有效.一般来说，一维模型可以分为3类[1-2]：(1)可积分系统, 例如关于谐波链的研究[3]表明在这一类系统中不存在温度梯度，并且热导率是发散的；(2)不可积分系统, Frenkel-Kontorova模型[4-5]和Lorentz气体模型[6]都是经典的例子，傅立叶定律在此类系统中有效；(3)特殊的不可积分系统，例如Fermi-Pasta-Ulam链[7-8]和双原子Toda链[9]等，该链中存在温度梯度，但热导率随热力学极限发散.对低维材料的理论研究不仅增加了对热传导机理的认识，而且为设计各种热装置开辟了道路.一些研究提出了有趣且实用的热学器件，例如整流器[10-13]、热二极管[14]、晶体管[15]、热逻辑门[16]、隔热斗篷[17-18]、热记忆[19]、热泵[20-21]、热限流器[22]和恒热源[22]等，这些研究关注非线性响应机制.在非线性响应状态下，负微分热阻(NDTR)是一种违反直觉的、特殊的物理现象，其热流随温度差的增加而减小，这可能成为某些热器件的物理机制，近年来引起了广泛关注.
目前对Frenkel-Kontorova模型的研究集中于标准Frenkel-Kontorova晶格模型[5, 23]、由2段Frenkel-Kontorova晶格组成的模型[10, 14]和由3段Frenkel-Kontorova晶格组成的模型[24]，但是对原子所处的粗糙势能对热传导影响的研究尚少.
1. 研究方法
具有粗糙周期性的FK链哈密顿量可描述为：
H=N∑i=1p2i2+V(xi+1−xi)+U(xi), 其中，pi表示第i个原子的瞬时动量；xi表示第i个原子偏离平衡位置的瞬时位移. V(xi+1-xi)表示最近相邻原子的交互势能：
V(xi+1−xi)=12K0(xi+1−xi)2, 其中，K0为FK链的弹簧常数. U(xi)表示粗糙周期势能：
U\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) = - \frac{{{V_0}}}{{{{\left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}} \right)}^2}}} \cdot \frac{{\left[ {\cos \left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}\mathit{\boldsymbol{x}}} \right) - r\sin \left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}\omega \mathit{\boldsymbol{x}}} \right)} \right]}}{{1 + r}}, 其中，V0为势能的高度；r为粗糙势能的高度；ω为粗糙部分势能的频率.如图 1所示，当选择r=0时，则标准的FK链势能曲线光滑；当r≠0时，势能变得粗糙并带有凹槽.增大ω会使总势能的粗糙度增大，因此可以通过改变r或ω来改变粗糙势.
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图 1 V0 = 5时粗糙势能U(x)随x的变化Figure 1. The rough potential U(x) as the function of displacement x in the case of V0 = 5在数值模拟中，FK链的两端分别固定在T+和T-温度下，以实现稳定的热流.链两端的温度由Langevin heat baths提供.为了固定链，x0和xN+1都作固定边界条件，取值为零.
其他原子的运动方程为：
m\frac{{{\partial ^2}{\mathit{\boldsymbol{x}}_i}}}{{\partial {t^2}}} = - \frac{{\partial H}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{x}}_i}}} - {\gamma _i}\frac{{\partial {\mathit{\boldsymbol{x}}_i}}}{{\partial t}} + {\xi _i}, 其中，m是原子质量. γi和ξi的定义如下:
{\gamma _i} = \gamma \left( {{\xi _ + }{\delta _{1, i}} + {\xi _ - }{\delta _{i, N}}} \right), {\xi _i} = \left( {{\xi _ + }{\delta _{1, i}} + {\xi _ - }{\delta _{i, N}}} \right), 其中，γ表示摩擦系数；δ表示狄拉克δ函数；ξ表示高斯白噪声.其耗散关系为：
\left\langle {\xi \left( t \right)\xi \left( {t'} \right)} \right\rangle = 2\gamma {k_{\rm{B}}}T{\delta _{tt'}}, \left\langle {\xi \left( t \right)} \right\rangle = 0, 其中，KB是玻耳兹曼常数；〈…〉表示一段时间内的总体平均值.
为便于计算，将玻尔兹曼常数和原子质量设为1，即kB=γ=1.计算局部热流的方程为：
{j_i} = {K_0}\left\langle {{{\dot x}_i}\left( {{x_i} - {x_{i - 1}}} \right)} \right\rangle . 计算局部温度的方程为：
{T_i} = \left\langle {m\;\dot x_i^2} \right\rangle . 经过长时间的模拟，系统达到稳定状态，局部热流ji与原子位置i无关，因此总热流可以通过J=Nj计算.
通过声子态密度(PDOS)解释热传递性质是一种有效方法. PDOS是在给定频率间隔内变化的动能分布.通过计算速度自相关函数的傅立叶变换，PDOS可描述为[25]：
D\left( \omega \right) = \int_0^\infty {\rm{d}} \left[ {t\exp \left( { - {\rm{i}}\omega t} \right) - \sum\limits_j {\frac{{\left\langle {{v_j}\left( t \right) \cdot {v_j}\left( 0 \right)} \right\rangle }}{{\left\langle {{v_j}{{\left( 0 \right)}^2}} \right\rangle }}} } \right]\left( 5 \right) 其中，ω是声子的频率；vj表示第j个原子的速度矢量，〈…〉表示所有原子和所有时间的平均值.
2. 结果与讨论
2.1 粗糙势能对负微分热阻的影响
2.1.1 负微分热阻与粗糙高度的关系
在ω=3、T-=0.001、V0=5、K0=0.5、N=32条件下，不同r=0~0.10时，绘制总热流与T+的函数图像(图 2).
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图 2 不同r取值时总热流J随T+的变化注: T-=0.001，ω=3，V0=5，K0=0.5，N=32.Figure 2. The total heat flux J as a function of T+ in different r在一定温度范围，如果出现温差较大而产生的总热流较小，则说明出现NDTR.当r＜0.05时，NDTR出现；当r＞0.05时，NDTR消失.与r=0的情况相比，当r＜0.05时，增加r会使NDTR的范围变小. 图 2还说明存在一个临界温度Tc，当温度T+＞Tc时J随r的增加而增大.这是因为高温使颗粒易于克服势能，原子更加趋向远离x=0处的势能凹槽中，势能凹槽的深度随r的增加而增大，增加r可使槽中的原子比标准FK链中的原子获得更多的动能，故增加r时热流J增大.
当r=0.01和T-=0.001时，NDTR出现规模效应(图 3). NDTR的范围变得更小，最终随着系统大小N的增大而消失.这是因为NDTR可能是某种边界机制的结果，例如声子边界散射或边界热阻，当N增加时，边界机制的影响减小.在T+=0.070、0.154、T-=0.001情况下，得到PDOS图(图 4).与T+=0.154的情况相比，当T+=0.070时，PDOS在低频下较高，因此，热流在T+=0.070时比在T+=0.154情况下的大，NDTR出现.当r=0.05时，在T+=0.154情况下，PDOS的低频部分大于T+=0.070的情况，因此NDTR消失.
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图 3 不同系统大小(N)条件下总热流J随T+的变化注: T-=0.001，ω=3，V0=5，K0=0.5.Figure 3. The change of total heat flux J as a function of T+ for different system sizes (N).2.1.2 负微分热阻与粗糙频率的关系
由总热流J与T+的关系(图 5)可知，当固定T-=0.001，而对ω取不同值时，NDTR出现，但随着ω的增加，NDTR逐渐消失.随T+增大，ω对热流的影响减小，最后热流趋向相同，这是因为温度升高原子运动剧烈，粗糙势能对原子的作用力比热源的作用力小，因此改变ω热流的变化不大.当T+=0.154时声子态密度的低频部分比T+=0.070时的大，NDTR消失(图 5).
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图 5 不同ω与T+时的总热流和PDOS图像注: T-=0.001，r=0.01，V0=5，K0=0.5，N=32.Figure 5. The images of total heat flux J and PDOS in deferent ω and T+2.2 粗糙势能对热导率的影响
对于不同的ω，热导率κ与粗糙势能高度r的关系如图 6所示. r对热导率κ的影响随粗糙度频率ω的不同而变化.当ω=1时，κ与r单调增加，这是由于总势能高度r降低所致.当ω从1开始增加时，κ会增加，然后随着r的增加而减少，即存在一个峰值κm，κm是ω的函数.
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图 6 热导率κ与r的关系注:T+=0.2, T-=0.1, V0=5, K0=1.0.Figure 6. The thermal conductivity κ as a function of r当ω=1时，粗糙势可以写成
U\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) = - \frac{{{V_0}}}{{{{\left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}} \right)}^2}}}\sqrt {\frac{{1 + {r^2}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^2}}}} \cos \left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}\mathit{\boldsymbol{x}} + \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2} + \phi } \right), 其中，
\phi = \arctan \left( {{r^{ - 1}}} \right), 它表明增加r会降低势能的最大值，因此热流增大.由图 1可知，当ω＞1时，粗糙势能会引起沟槽.与r=0的情况相比，当r≠0时处在凹槽底部的原子将获得较少的势能，并且随着r的增加，凹槽越深，获得的势能越小，势能越小原子获得的动能越大.当r较小时，原子可以穿过x=0附近的凹槽到达远离x=0的凹槽，增加r可使处在槽中的原子比处在标准势能的原子获得更多的动能，在这种情况下，增加r意味着原子更容易传导热流.当r增加时，原子被困在接近x=0的凹槽中，这使得热流变小.
由图 7可知，κ随ω的增加而单调减少，并且设置不同的r可以控制κ的下降速度.这是因为随着ω的增大，势能作用在原子上的力增大，导致原子运动的速度和范围变小.因此，热流更难以从高温区域传递到低温区域，热导率减小.由系统尺寸对热导率κ的影响(图 8)可知，当系统大小N=64、128时，随r的增加，热导率κ先增大后减小，也具有最大值.
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图 7 热导率κ与ω的关系注:T+=0.2, T-=0.1, V0=5, K0=1.0.Figure 7. The thermal conductivity κ as a function of ω![]()
图 8 热导率κ与r的关系注:T+=0.2, T-=0.1, V0=5, K0=1.0.Figure 8. The thermal conductivity κ as a function of r3. 结论
研究了Frenkel-Kontorova晶格处于粗糙势能下的热传导性能.结果表明：当粗糙势能的高度、粗糙度的频率增加时，NDTR的范围变小，最终消失.研究了热导率与粗糙势能高度和频率之间的关系，结果表明：在不同频率ω下，存在一个粗糙高度r最优值，热导率κ在该处取最大值.随着系统尺寸的增加，粗糙势能仍可以对热导率起作用.粗糙势能的频率增大可以使热导率单调降低.粗糙势能的高度或频率增大将缩小NDTR的范围，这可能是导致在实际材料中几乎找不到NDTR的原因，因为在现实中建立标准势能场是一项较难的操作.本文提出了一种可能的方法，即通过改变粗糙度FK势的高度和频率来控制低维晶格中的热导率.
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图 1 V0 = 5时粗糙势能U(x)随x的变化
Figure 1. The rough potential U(x) as the function of displacement x in the case of V0 = 5
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图 2 不同r取值时总热流J随T+的变化
注: T-=0.001，ω=3，V0=5，K0=0.5，N=32.
Figure 2. The total heat flux J as a function of T+ in different r
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图 3 不同系统大小(N)条件下总热流J随T+的变化
注: T-=0.001，ω=3，V0=5，K0=0.5.
Figure 3. The change of total heat flux J as a function of T+ for different system sizes (N).
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图 5 不同ω与T+时的总热流和PDOS图像
注: T-=0.001，r=0.01，V0=5，K0=0.5，N=32.
Figure 5. The images of total heat flux J and PDOS in deferent ω and T+
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图 6 热导率κ与r的关系
注:T+=0.2, T-=0.1, V0=5, K0=1.0.
Figure 6. The thermal conductivity κ as a function of r
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图 7 热导率κ与ω的关系
注:T+=0.2, T-=0.1, V0=5, K0=1.0.
Figure 7. The thermal conductivity κ as a function of ω
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