Bio-drying of Dewatered Sludge and Changes of Calorific Value
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摘要: 探讨了物料配比、翻堆方式和通风量对脱水污泥生物干化的影响,分析了污泥生物干化前后热值的变化情况.结果表明,当污泥与园林垃圾的配比为5:2时,温度峰值最高,达54.6℃,物料含水率下降了11.22%,且VS去除率最高;与不翻堆的试验相比,翻堆试验的最终含水率为45.98%,比不翻堆的低2.54%;当通风量为0.5m3/h时,有利于堆体温度的上升和强化干化效果.采用最佳的生物干化条件对污泥进行预干化处理后,堆体的含水率从60.45%降至42.57%;干化后物料的低位热值达到9763.3kJ/kg,有良好的热值资源化前景.
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关键词:
- 热值
Abstract: This study evaluated the effects of material ratio, turning and ventilation on bio-drying of dewatered sludge and the changes of calorific value. Results showed that the peak temperature was the highest and reached 54.6℃ when the sludge and garden waste ratio was 5:2. The moisture content decreased by 11.22% with the highest VS degradation rate. Compared with no turning, the final water content of turning process was 45.95%, 2.54% lower than that in no turning. The ventilation rate of oxygen was 0.5m3/h in the experiment was conducive to the increase of the pile temperature and strengthening the drying effect. The moisture content of the pile pre-dried with optimal condition decreased from 60.45% to 42.57%. The low calorific value of dried material reached 9763.3kJ/kg. The utilization of calorific value has a good prospect.-
Keywords:
- calorific value
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单位圆盘D={z: |z| < 1}内所有解析函数的全体记为A。S是A的子集,被称为单叶函数族,其中的元素
f(z)=z+a2z2+a3z3+⋯ (1) 均为单叶函数,即满足一一对应。在单叶函数族的研究过程中,产生了许多有着重要几何性质的子族[1]。例如:星形函数族S*将单位圆盘一一映射到一个星形区域(连接原点到区域边界点的线段或半直线全部落在映射区域内),可以解析地表达为f∈ S∗⇔f∈S且
Rezf′(z)f(z)>0。 对于函数f(z),定义q-导数(0 < q < 1)[2]为:
Dqf(z):={f(z)−f(qz)(1−q)z(z≠0),f′(0)(z=0)。 显然,limq→1− Dq f(z)=f′(z)。利用q-导数,ISMAIL等[3]将经典的几何函数理论中的星形函数推广为q-星形函数:
S∗q={f∈S,RezDqf(z)f(z)>0}, 并对其系数以及与其他函数族之间的关系进行了研究。容易看出当q→1-时,Sq*退化为经典的星形函数族S*。最近,VERMA等[4]研究了q-星形函数与q-凸形函数之间的Marx-Strohhäcker型关系;SHABA等[5]研究了一类与q导数及q-形式下的双曲正切函数有关的双单叶函数类。
Hankel行列式
H(k)n=|anan+1⋯an+k−1an+1an+2⋯an+k⋮⋮⋮an+k−1an+k⋯an+2k−2| 在研究奇异性和积分系数的幂级数等方面有着重要的应用[6]。1967年, POMMERENKE[7]和HAYMAN[8]分别给出了单叶函数族S的一些Hankel行列式的渐进估计。2007年, JANTENG等[9]研究了星形函数的Hankel行列式,得到H2(2)的精确估计。2018年,CHO等[10]对更一般的α度星型函数的Hankel行列式的精确估计进行了研究。本文以q-星形函数为研究对象,对其Hankel行列式的精确估计展开研究。在文献[11-15]的基础上,本文得到了q-星型函数的系数估计以及H1(2)、H2(2)等的精确估计。
1. 预备知识
引理1 对于任意q>0,当x>0.6时, 有
P(x)=Ax4+4Bx3+6Cx2+4Dx+E<0, (2) 其中, A, B, C, D, E分别为
A=−3(q+1)2(5q2+6q+5),B=−2(q+1)2(2q2+3q+2), C=2q4+4q3+16q23+4q+2,D=2(q+1)2(q2+q+1), E=−4(q2+q+1)2。 证明 首先,式(2)可另写成:
P(x)=A1(x)q4+A2(x)q3+A3(x)q2+A2(x)q+A1(x), 其中:
A1(x)=−15x4−16x3+12x2+8x−4,A2(x)=−48x4−56x3+24x2+24x−8,A3(x)=−66x4−80x3+32x2+32x−12。 再应用文献[16]中对一元四次方程根的分类方法易知,A1(x)有4个不同的实根,A2(x)有4个不完全相同的实根,A3(x)有2个实根、2个复根。通过计算可得
A1(−2)=−84<0,A1(−1)=1>0,A1(0)=−4<0,A1(1/2)=0.625>0,A1(0.6)=−0.28<0。 由此看出A1(x)的4个实根分别位于区间(-3/2, -1)、(-1, -1/2)、(-1/2, 1/2)、(-1/2, 0.6)中,且当x>0.6时,A1(x) < 0。利用相同的办法可得
A2(−1)=0,A2(0)=−8<0,A2(0.4)=0.6272>0,A2(1/2)=0,A1(0.6)=−3.2768<0。 由此看出A2(x)有3个不同的实根,其中2个分别为-1、1/2,1个位于区间(0, 0.4)内。因此,当x>0.6时,A2(x) < 0。同理,由
A3(−2)=−364<0,A3(−1)=2>0,A3(0)=−12<0,A3(0.6)=−7.1136<0, 可得A3(x)的2个实根分别位于区间(-2, -1)和(-1, 0)内,且当x>0.6时,A3(x) < 0。
综上可得,对于任意q>0,当x>0.6时,有
P(x)=A1(x)q4+A2(x)q3+A3(x)q2+A3(x)q+A1(x)<0。 证毕。
本文主要结果的证明主要依赖于下式的估计:
Y(a,b,c)=maxz∈ˉD(|a+bz+cz2|+1−|z|2)。 (3) 因此,下面介绍OHNO和SUGAWA[17]的一个结论:
引理2[17] 令a,b,c∈R,如果ac≥0,则
Y(a,b,c)={|a|+|b|+|c|(|b|⩾2(1−|c|)),1+|a|+b24(1−|c|)(|b|<2(1−|c|))。 当ac < 0时,有
Y(a,b,c)={1+|a|+b24(1+|c|)(b2<min{4(1+|c|)2,−4ac(1−c2)}),1−|a|+b24(1−|c|)(−4ac(1−c2)⩽b2,|b|<2(1−|c|)),R(a,b,c)(|b|⩾2(1−|c|) 或 m i n{4(1+|c|)2,−4ac(1−c2)}⩽b2<−4ac(1−c2)), 其中,
R(a,b,c)={|a|+|b|−|c|(|c|(|b|+4|a|)⩽|ab|),−|a|+|b|+|c|(|ab|⩽|c|(|b|−4|a|)),(|c|+|a|)√1−b24ac(|ab|>|c|(|b|−4|a|) 或 |ab|<|c|(|b|+4|a|))。 特别地,当a, b, c分别取特殊值时,有以下结果:
引理3 令P=(1+q2)/(1+q)2,Q=(1+q+q2)/(1+q)2,其中q∈(0, 1),当式(3)中a、b、c分别为
a=−Qb311−b21,b=Pb1,c=b1−Q(1−b21)b1 (4) 时,有
Y(a,b,c)={−2b1+Qb1(1−b21)(b1∈(0,x1]),1+b31Q1−b21−b31P24(1+b1)(Q−b1(Q−1))(b1∈(x1,1)), 其中,
x1=−13+13√1+6Q。 证明 对于任意的q∈(0, 1),显然有b≥0,a≤0。另由
c=b1−Q(1−b21)b1=b21(1+Q)−Qb1 可以看出,方程c=0有互为相反数的2个实根,记其正根为
x0:=√Q1+Q=√12(1−12q+2/q+3)。 由q∈(0, 1)可知x0∈(√3/7,√1/2)⊂(0.65,0.71)。下面分2种情况进行讨论:
情况1:当0 < b1≤x0时,c≤0,因此ac≥0。此时由2Q-P=1知
|b|−2(1−|c|)=−3b21−2b1+2Qb1。 对于给定的q∈(0, 1),不难看出一元二次方程-3b12-2b1+2Q=0有正负2个不同的实根,其正根为
x1=−1+√1+6Q3<√7−13≈0.55<x0。 此时由引理2,有以下2种情形:
(1) 当0 < b1≤x1时,|b|-2(1-|c|)≥0。此时
Y(a,b,c)=−a+b−c=−2b1+Qb1(1−b21)。 (2) 当x1 < b1≤x0时,|b|-2(1-|c|) < 0。此时
Y(a,b,c)=1+|a|+b24(1−|c|)=1+b31Q1−b21−b31P24(1+b1)(Q−b1(Q−1))。 情况2: 当b1>x0时, 可得c>0,即ac < 0。此时
b2+4ac(1−c2)=b21(b21(Q+1)(P2−4Q(Q+1))−P2Q+4Q3)b21(Q+1)−Q。 因为b2+4ac(1-c2)=0的正根为
√P2Q−4Q3(Q+1)(P2−4Q(Q+1))=3q4+5q3+8q2+5q+3(2q2+3q+2)(7q2+6q+7)<√314≈0.46<x0, 则有
b2+4ac(1−c2)<0。 接下来考虑
b2−4(1+|c|)2=Ab41+4Bb31+6Cb21+4Db1+Eb21(1+q)4, (5) 其中
A=−3(q+1)2(5q2+6q+5),B=−2(q+1)2(2q2+3q+2),C=2q4+4q3+16q23+4q+2,D=2(q+1)2(q2+q+1),E=−4(q2+q+1)2。 由于b1∈(x0, 1)⊂(0.6, 1),则由引理1可知
Ab4+4Bb3+6Cb2+4Db+E<0, 再由式(5)可得b2 < 4(1+|c|)2。因此,由引理2知
Y(a,b,c)=1+|a|+b24(1+|c|)=1+b31Q1−b21−b31P24(1+b1)(Q−b1(Q−1))。 综合情况1和情况2,引理3得证。
几何函数理论的研究与Carathéodory函数密切相关。记P为Carathéodory函数族:
P={p(z)=1+p1z+p2z2+⋯∈A,Rep(z)>0,z∈D}。 CARATHÉODORY和TOEPLITZ得到Carathéo-dory函数的一个充分必要条件,在几何函数理论的研究中发挥着非常重要的作用[18-21],也是本文的关键研究工具。
引理4[21] (Carathéodory-Toeplitz定理)假设函数p(z)=1+p1z+p2z2+p3z3+…∈A,则p(z)∈P当且仅当行列式
Δn=|2p1p2⋯pnˉp12p1⋯pn−1ˉp2ˉp12⋯pn−2⋮⋮⋮⋮ˉpnˉpn−1ˉpn−2⋯2|⩾0 对任意的n≥1成立。此外,如果Δ1>0, …, Δk-1>0且Δk=0,那么
p(z)=k∑j=1γj1+εjz1−εjz,γj>0,|εj|=1,εj≠εh(j≠h)。 由于p(0)=1,所以γj必须满足条件∑kj=1γj=1。在引理4的基础上,LIBERA和ZLOTKIEWICZ[22]将Carathéodory函数的系数参数化,得到了以下结果:
引理5[22]假设函数p(z)=1+p1z+p2z2+p3z3+…∈P,p1>0,则一定存在满足条件|y|≤1、|ζ|≤1的复数y和ζ,使得
2p2=p21+y(4−p21)4p3=p31+2(4−p21)p1y−p1(4−p21)y2+2(4−p21)(1−|y|2)ζ。 (6) 对于任意的函数p(z)=1+p1z+p2z2+p3z3+…∈P,总存在与之相应的解析函数
ω(z)∈B0={ω(z)=b1z+b2z2+⋯∈A,|ω(z)|<1}, 使得
p(z)=1+ω(z)1−ω(z)。 对比两边的系数可得
bn=(−1)n+12n|p1200⋯00p2p120⋯00⋮⋮⋮⋮⋮⋮pn−1pn−2pn−3pn−4⋯p12pnpn−1pn−2pn−3⋯p2p1|。 特别地,
2b1=p1,4b2=2p2−p21,8b3=4p3−4p1p2+p31。 (7) 显然|b1|≤1。将式(6)代入式(7),可得以下结论:
引理6[20] 假设函数ω(z)=b1z+b2z2+…∈A,满足|ω(z)|≤1, b1>0,则一定存在满足条件|y|≤1、|ζ|≤1的复数y和ζ,使得
b2=y(1−b21),b3=(1−b21)[(1−|y|2)ζ−b1y2]。 另外,对于函数ω(z)=b1z+b2z2+…∈A,有以下泛函估计:
引理7[23] 如果解析函数ω(z)=b1z+b2z2+…∈A,满足|ω(z)|≤1,那么对于任意的实数μ和ν,存在以下精确估计:
|b3+μb1b2+νb31|⩽{1((μ,ν)∈D1∪D2∪{(2,1)}),|ν|((μ,ν)∈∪7k=3Dk),23(|μ|+1)(|μ|+13|μ|+1+ν)1/2((μ,ν)∈D8∪D9),ν3(μ2−4μ2−4ν)(μ2−43(ν−1))1/2((μ,ν)∈D10∪D11−{(2,1)}),23(|μ|−1)(|μ|−13(|μ|−1−ν))1/2((μ,ν)∈D12), 其中:
D1={(μ,ν):|μ|⩽12,−1⩽ν⩽1}, D2={(μ,ν):12⩽|μ|⩽2,427(|μ|+1)3−(|μ|+1)⩽ν⩽1}, D3={(μ,ν):|μ|⩽12,ν⩽−1}, D4={(μ,ν):|μ|⩾12,ν⩽−23(|μ|+1)}, D5={(μ,ν):|μ|⩽2,ν⩾1}, D6={(μ,ν):2⩽|μ|⩽4,ν⩽μ2+812}, D7={(μ,ν):|μ|⩽4,ν⩽23(|μ|−1)}, D8={(μ,ν):12⩽|μ|⩽2,−23(|μ|+1)⩽ν⩽427(|μ|+1)3−(|μ|+1)}, D9={(μ,ν):|μ|⩾2,−23(|μ|+1)⩽ν⩽2|μ|(|μ|+1)μ2+2|μ|+4}, D10={(μ,ν):2⩽|μ|⩽4,2|μ|(|μ|+1)μ2+2|μ|+4⩽ν⩽μ2+812}, D11={(μ,ν):|μ|⩾4,2|μ|(|μ|+1)μ2+2|μ|+4⩽ν⩽2|μ|(|μ|−1)μ2−2|μ|+4}, D12={(μ,ν):|μ|⩾4,2|μ|(|μ|−1)μ2−2|μ|+4⩽ν⩽2(|μ|−1)3}。 2. 主要结果及其证明
定理1 若f(z)=z+∞∑n=2anzn∈S∗q,则
|a2|⩽1+qq,|a3|⩽1+q+q2q2,|a4|⩽(1+q)(1+q+2q2+q3+q4)q3(1+q+q2), (8) 这些估计均为精确的。
证明 对于函数f(z)=z+a2z2+a3z3+…∈Sq*, 由q-星形函数的定义,存在解析函数ω(z)=b1z+b2z2+…,满足|ω|≤1,使得
zDqf(z)f(z)=1+ω(z)1−ω(z)。 对比两边的系数可得
a2=b1(q+1)q,a3=b21(q2+q+1)+b2qq2,a4=(q+1)(b1b2q(2q2+q+2)+b3q2+b31(q4+q3+2q2+q+1))q3(q2+q+1)。 (9) 由于w(z)具有旋转对称性,因此,不失一般性地可设b1为非负数。又因为|b1|≤1,所以令b1∈[0, 1]。
显然
|a2|⩽(1+q)b1q⩽1+qq, 等号成立当且仅当b1=1,即ω(z)=z。应用引理6可得
|a3|=|(1+q+q2)b21+q(1−b21)yq2|⩽(1+q2)b21q2+1q⩽1+q+q2q2, 第1个等号成立当且仅当y=1,第2个等号成立当且仅当b1=1,即ω(z)=z。取
μ=2+q+2q2q,ν=1+q+2q2+q3+q4q2, 则
|a4|=q+1q(q2+q+1)⋅|b1b2μ+b3+b31ν|。 由q∈(0, 1),容易验证μ>4, v>2(μ-1)/3, 即(μ, ν)∈D7。因此,由引理7有
|a4|⩽1+qq(1+q+q2)⋅1+q+2q2+q3+q4q2=(1+q)(1+q+2q2+q3+q4)q3(1+q+q2)。 由文献[23]可知ω(z)=z时等号成立。证毕。
注1 显然,当q→1-时,由式(8)可以得到星型函数系数的精确估计[1],即
|a2|⩽2,|a3|⩽3,|a4|⩽4。 定理2 如果函数f(z)=z+∞∑n=2anzn∈S∗q,那么
|a2a3−a4|⩽q+1q3 (10) 这个估计是精确的。
证明 由式(9)可得
|a2a3−a4|=q+1q2(q2+q+1)|b31(q2+q+1)−b1b2(q2+1)−b3q| 。 令μ=q+1/q, ν=-(q+1/q+1),容易验证
μ⩾2>12,ν+23(μ+1)=1+q+q23q>0。 因此, 由引理7可知
|b31(q2+q+1)−b1b2(q2+1)−b3q|⩽q2+q+1q, 即
|a2a3−a4|⩽q+1q2(q2+q+1)⋅q2+q+1q=q+1q3。 由文献[23]可知ω(z)=z时等号成立。证毕。
注2 特别地,当q→1-时,由式(10)可以得到文献[10]中的定理2.1在α=0时的情形。
定理3 如果函数f(z)=z+∞∑n=2anzn∈S∗q,那么
|H(2)1|=|a3−a22|⩽1q,|H(2)2|=|a2a4−a23|⩽1q2, (11) 这2个估计均为精确的。
证明 因为函数f(z)=z+∞∑n=2anzn∈S∗q,则由式(9)可得
|H(2)1|=|a3−a22|=|b2−b21q|=|(1−b21)y−b21q|⩽1q, 等号成立当且仅当y=-1,此时ω(z)=z2−b1zb1z−1。同理,由式(9)可得
|a2a4−a23|=|(1+q)2b1b3−(1+q+q2)b22+(1+q2)b21b2−(1+q+q2)b41q2(1+q+q2)|。 令P=(1+q2)/(1+q)2,Q=(1+q+q2)/(1+q)2,则式(2)可简化为
|a2a4−a23|=1q2|1Qb1b3−b22+PQb21b2−b41|。 (12) 再由引理6,有
|a2a4−a23|=1q2|1Qb1(1−b21)((1−|y|2)ζ−b1y2)−(1−b21)2y2+PQb21(1−b21)y−b41|。 当b1=0时, 有
|a2a4−a23|=1q2|y2|⩽1q2, 等号成立当且仅当|y|=1,此时ω(z)=yz2。
当b1=1时, 有
|a2a4−a23|=1q2, 此时ω(z)=z。
当b1∈(0, 1)时,有
|a2a4−a23|⩽b1(1−b21)q2Q(1−|y|2+|b1y2−(1−b21)Qy2b1+Pb1y−b311−b21|)∘ 应用引理3可得
|a2a4−a23|⩽b1(1−b21)q2Q×{−2b1+Qb1(1−b21)(b1∈(0,x1]),1+b31Q1−b21−b31P24(1+b1)(Q−b1(Q−1))(b1∈(x1,1)), 其中, x1=−13+13√1+6Q。
当b1∈(0, x1]时,有
|a2a4−a23|⩽−2b21(1−b21)q2Q+1q2⩽1q2, 等号成立当且仅当b1=0或者b1=1。
当b1∈(x1, 1)时,有
|a2a4−a23|⩽b1(1−b21)q2Q(1+b31Q1−b21−b31P24(1+b1)(Q−b1(Q−1)))⩽1q2(b1(1−b21)Q+b41)。 对于固定的q∈(0, 1),当b1(1-b12)/Q+b14对于b1在区间(x1, 1)上单调递增时,有
|a2a4−a23|⩽1q2, 等号成立当且仅当b1=1。下面证明b1(1-b12)/Q+b14对于b1在区间(x1, 1)上确实是单调递增的,即证明b1(1-b12)/Q+b14对b1的偏导在区间(x1, 1)上大于零。首先
∂(b1(1−b21)/Q+b41)∂b1=1−3b21Q+4b31。 由于Q=1+q+q2(1+q)2∈(34,1),当b1>√33时,显然有
∂(b1(1−b21)Q(1+b31Q1−b21))/∂b1>0。 当x1≤b1≤√3/3时,由于-1/Q≥-4/3,1/Q≥1, 则有
∂(b1(1−b21)Q(1+b31Q1−b21))/∂b1⩾1−4b21+4b31。 容易验证1-4b12+4b13在区间(0, 2/3)上单调递减,所以当x1≤b1≤√3/3时, 有
∂(b1(1−b21)Q(1+b31Q1−b21))/∂b1⩾1−43+4√39≈0.436>0。 证毕。
注3 容易看出,当q→1-时,式(11)中的第2个式子退化为JANTENG等[8]对星型函数的Hankel行列式|H2(2)|的估计。
注4 从定理1至定理3的证明过程可以看出,若函数f(z)满足
zDqf(z)f(z)=1+z1−z, 则式(8)、(10)、(11)均取等号。
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