半群结构的价值除了在于能给出半群构造的刻画之外, 还在于能给出半群的性质、同态、同构和同余等的刻画。半群的结构、性质、同态、同构和同余等共同构成了半群理论的经典内容, 这些内容至今仍是半群理论的研究热点。

幂等元集的性质对研究半群的结构起着重要作用, 学者们研究了具有不同的幂等元或中间幂等元结构的半群^[1-14]。如：REILLY^[1]通过群及群的自同态, 利用经典的BRUCK-REILLY扩张给出了双单ω-半群的结构定理, 证明了双单ω-半群S是被S的单位群G和G的自同态完全决定；参考文献[1]的方法, MUNN^[2]利用群及群的同态给出了正则单ω-半群的刻画, 阐述了正则单ω-半群S是被S的一系列子群G_i (i=0, 1, …, d－1)及一系列群同态γ_i (i=0, 1, …, d－1)完全决定, 其中S有d个$\mathcal{D}$-类；WARNE^[4]研究了正则双单ωⁿ-半群, 证明了正则双单ωⁿ-半群具有(G×C_n, ○)的结构, 其中G为群, C_n为2n-循环半群, “○”为一种乘法; 汪立民和商宇^[5]研究了ω²-链及ω²-半群，给出了双单ω²-半群的结构。

设$\mathbb{N}$为非负整数的集合, $\mathbb{N}$₊为正整数的集合。若S为半群, 用E_S表示S的幂等元的集合。如果E_S不是空集, 那么对E_S中任意2个元e、f，可引入关系“≥”为: e≥f当且仅当ef=fe=f。可知“≥”构成E_S的一个偏序。用C_ω表示半格{e₀, e₁, e₂, …}, 其中的元满足序关系e₀>e₁>e₂>…。若S为半群且E_S$\cong$C_ω, 则称S为ω-半群。对$\mathbb{N}$×$\mathbb{N}$的任意2个元素(m, n)和(p, q), 规定

可知“≤”构成$\mathbb{N}$×$\mathbb{N}$的一个偏序。用C_ω²表示半格{e_{i, j}: (i, j)∈$\mathbb{N}$×$\mathbb{N}$}, 其中的元素e_{m, n}和e_{p, q}满足序关系“≤”: e_{m, n}≤e_{p, q}当且仅当(m, n)≤(p, q), 称C_ω²为ω²-链。任何一个序同构于C_ω²的半格也称为ω²-链。如果半群S的幂等元集E_S序同构于C_ω², 那么称S为一个ω²-半群。因此, 若S为ω²-半群, 则

其中, e_{m, n}≤e_{p, q}当且仅当(m, n)≤(p, q)。文献[5]证明了S=$\mathbb{N}$×$\mathbb{N}$×$\mathbb{N}$×$\mathbb{N}$在乘法

下是一个双单ω²-半群, 称之为4-循环半群, 记为B_ω²。文献[6-8]分别给出了3类单ω²-半群结构的刻画。文献[3, 9-14]利用一些特殊半群的幂等元、中间幂等元具有的性质, 对这些半群的性质、结构、同态、同构和同余等进行研究, 获得了丰硕的成果。

本文将利用文献[2]的方法来研究具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群的结构: 给出了具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群的概念, 借助一系列群G_{i, j} ((i, j)∈Y)、同态θ和Bruck-Reilly扩张来构造具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系和无穷多个$\mathcal{D}$-类的正则单ω²-半群; 证明任意一个具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群都可以用Bruck-Reilly扩张构造出来。

1.   预备知识

本文将使用文献[15]和文献[16]的概念及符号。设a和b为半群S的任意2个元, 若S¹a=S¹b, 则称a和b是$\mathcal{L}$-等价的, 记为a $\mathcal{L}$ b; 若aS¹=bS¹, 则称a和b是$\mathcal{R}$等价的, 记为a $\mathcal{R}$ b。规定$\mathcal{H}$=$\mathcal{L}$∩$\mathcal{R}$, $\mathcal{D}$=$\mathcal{L}$∨$\mathcal{R}$=$\mathcal{L}$○$\mathcal{R}$=$\mathcal{R}$○$\mathcal{L}$且$\mathcal{D}$|_ES=$\mathcal{D}$∩(E_S×E_S)。若半群S只有一个$\mathcal{D}$-类, 则称S是双单半群; 若半群S没有零元且没有真理想, 则称S是单半群。用L_a、R_a、H_a、D_a分别表示S中含a的$\mathcal{L}$、$\mathcal{R}$、H、$\mathcal{D}$-类。设S为ω²-半群且E_S={e_{m, n}: m, n ∈$\mathbb{N}$}, 用R_{m, n}表示S的含幂等元e_{m, n}的$\mathcal{R}$-类, 用L_{p, q}表示S的含幂等元e_{p, q}的$\mathcal{L}$-类, 即

用H_{(m, n), (q, p)}表示R_{m, n}∩L_{p, q}, 即

若H_{(m, n), (q, p)}≠Ø, 则H_{(m, n), (q, p)}为S的一个$\mathcal{H}$-类。

设Y为半格, G_α (α ∈Y)为群, 若对任意α, β ∈Y且α≥β, 存在从G_α到G_β的同态ϕ_{α, β}, 使得:

(ⅰ)对任意α ∈Y, 有ϕ_{α, α}=1_Gα;

(ⅱ)对任意α, β, γ ∈Y且α≥β≥γ, 有ϕ_{α, β}ϕ_{β, γ}=ϕ_{α, γ}。

对任意x ∈G_α, y ∈G_β, 在$S=\underset{\alpha \in Y}{\cup} G_\alpha$上规定乘法为:

容易验证S为一个半群, 称之为群的强半格, 记为S=S(Y; G_α; ϕ_{α, β})。

设E为半格, e ∈E, 称集合Ee={i ∈E: i≤e}为E的主理想, 称关系$\mathcal{U}$={(e, f) ∈E×E: Ee$\cong$Ef}为E的一致关系。设(e, f) ∈$\mathcal{U}$, 规定T_{e, f}为从Ee到Ef的所有同构所构成的集合。设$T_E=\underset{(e, f) \in \mathcal{U}}{\cup} T_{e, f}$, 则称T_E为E的Munn半群。设E为半格, 若对任意e, f ∈E, 从Ee到Ef的同构映射有且仅有一个, 则称E是刚性的。

设T为幺半群, 恒等元为e, H_e为T的单位群, θ为从T到H_e的同态, S=$\mathbb{N}$×T×$\mathbb{N}$, 对任意(m, a, n), (p, b, q) ∈S, 在S上规定乘法为

其中, t=max{n, p}, θ⁰为T的恒等映射。集合S在研究ω-半群的结构中扮演着重要作用, 由文献[15]知S为单半群且恒等元为(0, e, 0), 称S为T的被θ决定的Bruck-Reilly扩张, 记为BR(T, θ)。

由文献[15]知, 半群S是单半群的充分必要条件是对S的任意元a、b, 存在S的元x、y, 使得xay=b。S是Clifford半群当且仅当S是群的强半格；S是群的强半格当且仅当S是正则的且每个$\mathcal{D}$-类有且仅有一个幂等元。E的Munn半群T_E是逆半群且E_TE$\cong$E。(m, a, n)为BR(T, θ)的幂等元当且仅当m=n且a²=a。(m, a, n)为BR(T, θ)的正则元当且仅当a为T的正则元。(p, b, q)为(m, a, n)在BR(T, θ)中的逆元当且仅当b为a在T中的逆元且p=n、q=m。对BR(T, θ)的任意2个元(m, a, n)和(p, b, q), 有:

正则ω²-半群是逆半群, 文献[15]中以下2个关于逆半群的表示及其最大幂等分离同余的刻画的结论对研究正则ω²-半群的结构起着重要作用。

引理1^[15]   设S为逆半群, 幂等元的半格为E, 则存在从S到T_E的同态ϕ, 使得ϕ的核为S的最大幂等分离同余μ。

引理2^[15]   设S为逆半群, 幂等元的半格为E且E是刚性的, 则S的最大幂等分离同余μ=$\mathcal{H}$, 从而$\mathcal{H}$为同余。

引理3^[6]   设S为正则ω²-半群, 则

其中

设S为正则ω²-半群, E_S={e_{m, n}: m, n ∈$\mathbb{N}$}, d, d′ ∈$\mathbb{N}$₊, e_{m, n}, e_{p, q} ∈E_S, 规定E_S上的关系ω_{d, d′}为e_{m, n}ω_{d, d′}e_{p, q}当且仅当以下式子中有一个成立:

由等价关系的定义直接验证知ω_{d, d′}为E_S上的等价关系。若S为正则单ω²-半群且$\mathcal{D}$|_ES=ω_{d, d′}, 则称S为具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群。注意, 若d′=0, 则等价关系ω_{d, d′}为文献[6]中的等价关系$\mathcal{M}$_d:

2.   具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群的构造

本节借助群和同态来构造具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群, 这类半群具有无限多个$\mathcal{D}$-类。

设d, d′ ∈$\mathbb{N}$₊, D={0, 1, …, d－1}, D′={0, 1, …, d′－1}, Ω=({1, 2，…, d－1}×$\mathbb{N}$)∪({d}×D′), Y=(D×$\mathbb{N}$)∪({d}×D′), {G_{i, j}: (i, j) ∈Y}为两两不相交的群, Y中的元素按式(1)规定序。令$T=\bigcup\limits_{(i, j) \in Y} G_{i, j}$, 对任意(i, j), (k, l), (m, n) ∈Y, 规定α_{(i, j), (i, j)}为G_{i, j}的恒等映射; 若(i, j)≥(k, l), 规定α_{(i, j), (k, l)}为从G_{i, j}到G_{k, l}的同态; 且对任意(i, j)≥(k, l)≥(m, n), 有

则T为Clifford半群的特殊形式, 即为群的强半格, 记为T=S(Y; G_{i, j}; α_{(i, j), (k, l)}), 其中Y为链{(0, 0), (0, 1), (0, 2), …, (1, 0), (1, 1), (1, 2), …, (d－1, 0), (d－1, 1), (d－1, 2), …, (d, 0), (d, 1), …, (d, d′－1)}。设T的幂等元为f_{0, 0}, f_{0, 1}, f_{0, 2}, …, f_{1, 0}, f_{1, 1}, f_{1, 2}, …, f_{d－1, 0}, f_{d－1, 1}, f_{d－1, 2}, …, f_{d, 0}, f_{d, 1}, …, f_{d, d′－1}, 它们分别为G_{0, 0}, G_{0, 1}, G_{0, 2}, …, G_{1, 0}, G_{1, 1}, G_{1, 2}, …, G_{d－1, 0}, G_{d－1, 1}, G_{d－1, 2}, …, G_{d, 0}, G_{d, 1}, …, G_{d, d′－1}的恒等元。在T中, 有

T的恒等元为f_{0, 0}, 称T为群的长度为(d, d′)的ω-链。

下面将给出利用群的长度为(d, d′)的ω-链、群的同态和BRUCK-REILLY扩张构造具有无穷多个$\mathcal{D}$-类且具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群的方法:

定理1    设T为群的长度为(d, d′)的ω-链，θ为T到T的单位群的同态, 则BR(T, θ)为具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群且有无穷多个$\mathcal{D}$-类。

证明    记S=BR(T, θ), 对任意(i, j) ∈Y, 设群G_{i, j}的恒等元为f_{i, j}, 对g_{i, j}∈G_{i, j}, 记g_{i, j}在G_{i, j}中的逆元为g_{i, j}^－1, 则S为单半群。对任意(m, g_{i, j}, n) ∈S, 由于

则S是正则的。可知S的幂等元的集合为{(m, f_{i, j}, m): m ∈$\mathbb{N}$; (i, j) ∈Y}。若f_{r, v}>f_{w, t}, 则

若m>n, 则

从而在自然偏序下, S的幂等元构成一个链:

因此, S的恒等元为(0, f_{0, 0}, 0)且

记e_{m, n}=(0, f_{m, n}, 0);对i>0, 记e_{id, d′+n}=(i, f_{0, n}, i); 对i>0且m>0, 记e_{id+m, n}=(i, f_{m, n}, i), 则S的幂等元的集合为{e_{m, n}: m, n ∈$\mathbb{N}$}且

从而e_{m, n}≤e_{p, q}当且仅当(m, n)≤(p, q)。因此, S为ω²-半群。对任意e_{m, n}, e_{p, q} ∈E_S, 由式(2)知, (e_{m, n}, e_{p, q}) ∈$\mathcal{D}$当且仅当(m, n)ω_{d, d′}(p, q), 因此, S为具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群。

下面证明S有无穷多个$\mathcal{D}$-类。由于S是正则半群, 每个$\mathcal{D}$-类含有幂等元，故只需证明

记e=(m, f_{i, j}, m), e′=(n, f_{k, l}, n), 可知(e, e′) ∈$\mathcal{D}$当且仅当存在x ∈S, 使得xx^－1=e, x^－1x=e′。若(e, e′) ∈$\mathcal{D}$，设x=(p, g_{r, t}, q), 满足xx^－1=e, x^－1x=e′。由于xx^－1=(p, f_{r, t}, p)且x^－1x=(q, f_{r, t}, q), 因此i=r=k且j=t=l。另一方面, 若i=k且j=l, 取x=(m, f_{i, j}, n), 则xx^－1=e且x^－1x=e′, 从而(e, e′) ∈$\mathcal{D}$。证毕。

3.   具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群的结构定理

本节将证明任一个具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群都同构于一个BR(T, θ)。设S表示具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群, E_S= {e_{m, n}: m, n ∈$\mathbb{N}$}且e_{m, n}≤e_{p, q}当且仅当(m, n)≤(p, q)。

由于S为具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群, 则$\mathcal{D}$|_ES=ω_{d, d′}, 从而易得S的幂等元$\mathcal{D}$相关的下列刻画。

引理4    设S为具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群, E_S={e_{m, n}: m, n ∈$\mathbb{N}$}且e_{m, n}≤e_{p, q}当且仅当(m, n)≤(p, q), 则

(1) 对任意k, n ∈$\mathbb{N}$, 任意m ∈$\mathbb{N}$₊, 有(e_{m, n}, e_{m+kd, n}) ∈$\mathcal{D}$;

(2) 对任意n ∈$\mathbb{N}$, 任意k ∈$\mathbb{N}$₊, 有(e_{0, n}, e_{kd, n+d′}) ∈$\mathcal{D}$;

(3) 对任意n ∈$\mathbb{N}$, 任意k ∈$\mathbb{N}$₊, 有(e_{kd, n+d′}, e_{0, n}) ∈$\mathcal{D}$;

(4) 对任意n ∈$\mathbb{N}$, 有(e_{0, n}, e_{0, n}) ∈$\mathcal{D}$。

证明    结论(1)~(4)的证明方法类似, 此处仅证明结论(1)。对任意k, n ∈$\mathbb{N}$, 任意m ∈$\mathbb{N}$₊, 有e_{m, n}ω_{d, d′}e_{m+kd, n}。由于$\mathcal{D}$|_ES=ω_{d, d′}, 则有(e_{m, n}, e_{m+kd, n}) ∈$\mathcal{D}$。证毕。

由$\mathcal{D}$|_ES=ω_{d, d′}可得到判断S的2个幂等元不在同一个$\mathcal{D}$类的一个充分条件:

引理5    设S为具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群, 且(0, 0)≥(m, n)>(d, d′), (0, 0)≥(p, q)>(d, d′)且(m, n)≠(p, q), 则(e_{m, n}, e_{p, q}) $\notin \mathcal{D}$。

下面给出H_{(m, n), (p, q)}非空的等价条件:

引理6    设S为具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群, 对任意m, n, p, q ∈$\mathbb{N}$, 以下条件等价:

(1) H_{(m, n), (q, p)}≠Ø;

(2)(e_{m, n}, e_{p, q}) ∈$\mathcal{D}$;

(3) e_{m, n}ω_{d, d′}e_{p, q}。

证明    易知条件(1)和条件(2)是等价的。由引理4知, 若条件(3)成立, 则条件(2)也成立。若(e_{m, n}, e_{p, q}) ∈$\mathcal{D}$, 由于$\mathcal{D}$|_ES=ω_{d, d′}, 则有e_{m, n}ω_{d, d′}e_{p, q}。因此, 由条件(2)可推出条件(3)。证毕。

设S为具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群, 对任意(i, j) ∈Y, 用D_{i, j}表示S的含幂等元e_{i, j}的$\mathcal{D}$-类, 用G_{i, j}表示群H_{(i, j), (j, i)}。显然, $S=\bigcup\limits_{(i, j) \in Y} D_{i, j}$。若(i, j), (k, l) ∈Y且(i, j)≠(k, l), 则D_{i, j}∩D_{k, l}=Ø。下面给出D_{i, j}的一些性质及其$\mathcal{R}$-类、$\mathcal{L}$-类。

引理7    设S为具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群, 则

(1) 对任意(i, j) ∈Y, D_{i, j}为具有恒等元e_{i, j}的双单ω-半群, 单位群为G_{i, j};

(2) 对任意(0, j) ∈{0}×$\mathbb{N}$, D_{0, j}的$\mathcal{R}$-类为R_{0, j}和R_{nd, d′+j}; D_{0, j}的$\mathcal{L}$-类为L_{0, j}和L_{nd, d′+j}, 其中n ∈$\mathbb{N}$₊;

(3) 对任意(i, j) ∈{1, 2, …, d－1}×$\mathbb{N}$, D_{i, j}的$\mathcal{R}$-类为R_{nd+i, j}; D_{i, j}的$\mathcal{L}$-类为L_{nd+i, j}, 其中n ∈$\mathbb{N}$;

(4) 对任意(d, j) ∈{d}×D′, D_{d, j}的$\mathcal{R}$-类为R_{nd, j}; D_{d, j}的$\mathcal{L}$-类为L_{nd, j}, 其中n ∈$\mathbb{N}$₊。

证明    (1)由于S正则且S的幂等元的集合构成链, 则由文献[3]知, 每一个D_{i, j}构成S的双单逆子半群。进一步地, 由引理6知, 对任意(0, j) ∈{0}×$\mathbb{N}$, D_{0, j}的幂等元集为{e_{0, j}}∪{e_{nd, d′+j}: n ∈$\mathbb{N}$₊}; 对任意(i, j) ∈{1, 2, …, d－1}×$\mathbb{N}$, D_{i, j}的幂等元集为{e_{nd+i, j}: n ∈$\mathbb{N}$}; 对任意(d, j) ∈{d}×{0, 1, …, d′－1}, D_{d, j}的幂等元集为{e_{nd, j}: n ∈$\mathbb{N}$}。因此, D_{i, j}为具有恒等元e_{i, j}的双单ω-半群。D_{i, j}的单位群是D_{i, j}的含e_{i, j}的极大子群。由于G_{i, j}⊆D_{i, j}且G_{i, j}为S的含e_{i, j}的极大子群, 因此D_{i, j}的单位群为G_{i, j}。

(2) 对任意j ∈$\mathbb{N}$, 由引理6有

下面分2种情形进行讨论。

情形1：n ∈$\mathbb{N}$₊且a, b ∈R_{nd, d′+j}。显然D_{0, j}的$\mathcal{R}$-类包含于S的$\mathcal{R}$-类, 欲证D_{0, j}的$\mathcal{R}$-类是R_{nd, d′+j}, 只需证明a、b在D_{0, j}中是$\mathcal{R}$-相关的。由于(a, b) ∈$\mathcal{R}$, 从而在S中, 存在x和y, 使得a=bx和b=ay。令x′=b^－1bxa^－1a, y′=a^－1ayb^－1b, 则a=bx′且b=ay′, 从而(a, x′) ∈$\mathcal{L}$且(b, y′) ∈$\mathcal{L}$。因此, x′, y′ ∈D_{0, j}。于是, a与b在D_{0, j}中是$\mathcal{R}$-相关的。

情形2：a, b ∈R_{0, j}。这种情形的证明与情形1类似。

$\mathcal{L}$-类的情形类似可证。

(3) 对任意(i, j) ∈{1, 2, …, d－1}×$\mathbb{N}$, 有$D_{i, j}=\bigcup\limits_{n=0}^{\infty} R_{n d+i, j}=\bigcup\limits_{n=0}^{\infty} L_{n d+i, j}$。这种情形的证明与结论(2)的证明类似。

(4) 对任意j ∈{1, 2, …, d′－1}, n ∈$\mathbb{N}$₊, 有$D_{d, j}=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} R_{n d, j}=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} L_{n d, j}$。这种情形的证明与结论(2)的证明类似。证毕。

对j ∈$\mathbb{N}$, 利用H_{(0, j), (d′+j, d)}的元, 可以在群G_{0, j}与双单ω-半群D_{0, j}之间建立双射：

引理8    设S为具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群, j ∈$\mathbb{N}$, a_{0, j}∈H_{(0, j), (d′+j, d)}, 则

(1) 从G_{0, j}到H_{(md, d′+j), (d′+j, nd)}的映射ϕ: g_{0, j}↦a_{0, j}^－mg_{0, j}a_{0, j}ⁿ为双射, 其中g_{0, j}∈G_{0, j}, m, n ∈$\mathbb{N}$₊;

(2) 从G_{0, j}到H_{(0, j), (d′+j, nd)}的映射ϕ: g_{0, j}↦a_{0, j}^－0g_{0, j}a_{0, j}ⁿ为双射, 其中g_{0, j}∈G_{0, j}, n ∈$\mathbb{N}$₊;

(3) 从G_{0, j}到H_{(md, d′+j), (j, 0)}的映射ϕ: g_{0, j}↦a_{0, j}^－mg_{0, j}a_{0, j}⁰为双射, 其中g_{0, j}∈G_{0, j}, m ∈$\mathbb{N}$₊;

(4) 从G_{0, j}到H_{(0, j), (j, 0)}的映射ϕ: g_{0, j}↦a_{0, j}^－0g_{0, j}a_{0, j}⁰为双射, 其中g_{0, j} ∈G_{0, j}。

证明    结论(1)~(4)的证明方法类似, 此处仅证明结论(1)。用数学归纳法证明。

对任意n ∈$\mathbb{N}$₊, 有a_{0, j}ⁿ ∈H_{(0, j), (d′+j, nd)}。当n=1时, 结论成立。假设对正整数r, 有a_{0, j}^r ∈H_{(0, j), (d′+j, rd)}。由引理3知

因此, 对所有正整数n, 有a_{0, j}ⁿ ∈H_{(0, j), (d′+j, nd)}。类似地, 对任意正整数n, 有

从而

由引理3, 对任意m, n ∈$\mathbb{N}$₊，g_{0, j}∈G_{0, j}, 有

若a_{0, j}^－mg_{0, j}a_{0, j}ⁿ=a_{0, j}^－mh_{0, j}a_{0, j}ⁿ, 则a_{0, j}^ma_{0, j}^－mg_{0, j}a_{0, j}ⁿa_{0, j}^－n=a_{0, j}^ma_{0, j}^－mh_{0, j}a_{0, j}ⁿa_{0, j}^－n, 从而g_{0, j}=h_{0, j}。若x ∈H_{(md, d′+j), (d′+j, nd)}, 则a_{0, j}^mxa_{0, j}^－n∈G_{0, j}且(a_{0, j}^mxa_{0, j}^－n)ϕ=x, 因此ϕ为双射。证毕。

对(i, j) ∈Ω, 利用H_{(i, j), (j, d+i)}的元, 可以在群G_{i, j}与双单ω-半群D_{i, j}之间建立双射:

引理9    设S为具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群, (i, j) ∈Ω, a_{i, j}∈H_{(i, j), (j, d+i)}。规定a_{i, j}⁰=e_{i, j}, 则对任意m, n ∈$\mathbb{N}$, 任意g_{i, j}∈G_{i, j}, 有

且对任意g_{i, j}∈G_{i, j}, 从G_{i, j}到H_{(md+i, j), (j, nd+i)}的映射

为双射。

证明    先用数学归纳法证明对任意n ∈$\mathbb{N}$, 有a_{i, j}ⁿ∈H_{(i, j), (j, nd+i)}。当n=0时, 结论成立。假设对正整数r, 有a_{i, j}^r∈H_{(i, j), (j, rd+i)}, 则由引理3知

从而对所有非负整数n, 有a_{i, j}ⁿ∈H_{(i, j), (j, nd+i)}。类似地, 若n为非负整数, 有

且

因此, 对任意m, n ∈$\mathbb{N}$，任意g_{i, j}∈G_{i, j}, 由引理3, 有

若a_{i, j}^－mg_{i, j}a_{i, j}ⁿ=a_{i, j}^－mh_{i, j}a_{i, j}ⁿ, 则a_{i, j}^ma_{i, j}^－mg_{i, j}a_{i, j}ⁿa_{i, j}^－n=a_{i, j}^ma_{i, j}^－mh_{i, j}a_{i, j}ⁿa_{i, j}^－n, 从而g_{i, j}=h_{i, j}。若x ∈H_{(md+i, j), (j, nd+i)}, 则a_{i, j}^mxa_{i, j}^－n∈G_{i, j}且(a_{i, j}^mxa_{i, j}^－n)ϕ=x。因此ϕ为双射。证毕。

令a ∈H_{(0, 0), (d′, d)}, 则aa^－1=e_{0, 0}且a^－1a=e_{d, d′}。规定a⁰=e_{0, 0}。由引理3易得以下引理：

引理10    设S为具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群, a ∈H_{(0, 0), (d′, d)}, 则对任意j ∈$\mathbb{N}$, 有e_{0, j}a ∈H_{(0, j), (d′+j, d)}; 对任意(i, j) ∈Ω, 有e_{i, j}a ∈H_{(i, j), (j, d+i)}。

对任意(i, j) ∈Y, 规定(e_{i, j}a)⁰=e_{i, j}。下面给出具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群S的元的一个表示：

引理11    设S为具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群, a ∈H_{(0, 0), (d′, d)}, 则S的每一元都可唯一地表示为a^－mg_{i, j}aⁿ的形式, 其中m, n ∈$\mathbb{N}$，(i, j) ∈Y，g_{i, j}∈G_{i, j}。

证明    设S₁=$\left(\bigcup\limits_{j \in \mathbb{N}} H_{(0, j), (j, 0)}\right) \cup\left(\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}_{+}, j \in \mathbb{N}} H_{(0, j), \left(d^{\prime}+j, nd\right)}\right)$∪$\left(\bigcup\limits_{m \in \mathbb{N}_{+}, j \in \mathbb{N}} H_{\left(m d, d^{\prime}+j\right), (j, 0)}\right)$∪$\left(\bigcup\limits_{m, n \in \mathbb{N}_{+}, j \in \mathbb{N}} H_{\left(m d, d^{\prime}+j\right), \left(d^{\prime}+j, n d\right)}\right)$, S₂=$\bigcup\limits_{m, n \in \mathbb{N}, (i, j) \in \mathit{\Omega }} H_{(m d+i, j), (j, n d+i)}$, 则S=S₁∪S₂且S₁∩S₂=Ø。下面分2种情形讨论:

情形1：x ∈S₁且x ∈$\bigcup\limits_{m, n \in \mathbb{N}_{+}, j \in \mathbb{N}} H_{\left(m d, d^{\prime}+j\right), \left(d^{\prime}+j, n d\right)}$。设j ∈$\mathbb{N}$, 对任意n ∈$\mathbb{N}$, 先用数学归纳法证明(e_{0, j}a)ⁿ=e_{0, j}aⁿ成立。当n=0时, 结论成立。假设对r ∈$\mathbb{N}$, 有(e_{0, j}a)^r=e_{0, j}a^r, 则由引理10, 有e_{0, j}a ∈H_{(0, j), (d′+j, d)}⊆D_{0, j}, 从而(e_{0, j}a)^re_{0, j}=(e_{0, j}a)^r。因此

从而由数学归纳法知结论成立。

对任意n ∈$\mathbb{N}$, 有(e_{0, j}a)^－n=[(e_{0, j}a)ⁿ]^－1=(e_{0, j}aⁿ)^－1= a^－ne_{0, j}。在引理8中取a_{0, j}=e_{0, j}a, 设x ∈H_{(md, d′+ j), (d′+ j, nd)}(m, n ∈$\mathbb{N}$₊, j ∈$\mathbb{N}$), 则由引理8知

其中, g_{0, j}∈G_{0, j}。若a^－mg_{0, j}aⁿ=a^－m′h_{0, j}a^n′, 则a_{0, j}^－mg_{0, j}a_{0, j}ⁿ= a_{0, j}^－m′h_{0, j}a_{0, j}^n′, 从而由引理8知m=m′, n=n′且g_{0, j}=h_{0, j}, 故S₁的每一个元的表示式是唯一的。类似地, 容易证明当$x \in \bigcup\limits_{j \in \mathbb{N}} H_{(0, j), (j, 0)}$或$x \in \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}_+, j \in \mathbb{N}} H_{(0, j), \left(d^{\prime}+j, n d\right)}$或$x \in \underset{m \in \mathbb{N}_{+}, j \in \mathbb{N}}{\cup} H_{\left(m d, d^{\prime}+j\right), (j, 0)}$时结论成立。

情形2：x ∈S₂。此时存在m, n ∈$\mathbb{N}$, (i, j) ∈Ω, 使得x ∈H_{(md+i, j), (j, nd+i)}。对任意n ∈$\mathbb{N}$, 先用数学归纳法证明(e_{i, j}a)ⁿ=e_{i, j}aⁿ。当n=0时, 结论成立。假设对r ∈$\mathbb{N}$, 有(e_{i, j}a)^r=e_{i, j}a^r, 由引理10知: e_{i, j}a ∈H_{(i, j), (j, d+i)}⊆D_{i, j}, 从而(e_{i, j}a)^re_{i, j}=(e_{i, j}a)^r。因此

从而由数学归纳法知结论成立。

对任意n ∈$\mathbb{N}$, 有

在引理9中, 取a_{i, j}=e_{i, j}a, 则有

其中, g_{i, j}∈G_{i, j}。若a^－mg_{i, j}aⁿ=a^－m′h_{i, j}a^n′, 则a_{i, j}^－mg_{i, j}a_{i, j}ⁿ=a_{i, j}^－m′h_{i, j}a_{i, j}^n′。从而由引理9知m=m′, n=n′且g_{i, j}=h_{i, j}, 故S₂的每一个元的表示式是唯一的。证毕。

由引理3可得以下结论：

引理12    设S为具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群, (i, j) ∈Y, g_{i, j}∈G_{i, j}, 则ag_{i, j}∈H_{(0, 0), (d′, d)}。

设(i, j) ∈Y, 对任意g_{i, j}∈G_{i, j}, 有ag_{i, j}∈H_{(0, 0), (d′, d)}。由引理8和引理11知, H_{(0, 0), (d′, d)}的每一元都可唯一表示为g′_{0, 0}a的形式, 其中g′_{0, 0}∈G_{0, 0}。因此, 对任意g_{i, j} ∈G_{i, j}, 可由

来定义从G_{i, j}到G_{0, 0}的映射θ_{i, j}。设$T=\bigcup\limits_{(i, j) \in Y} G_{i, j}$。若(i, j), (k, l) ∈Y且(i, j)≥(k, l), 则由引理3及H_{(m, n), (n, m)}^－1=H_{(m, n), (n, m)}知:

因此T为S的逆子半群, T也显然是完全正则半群, 于是T为Clifford半群且幂等元构成无限链

其中, (i, j) ∈Y且e_{i, j}为群G_{i, j}的恒等元。因此, T为群的长度为(d, d′)的ω-链。由于群G_{0, 0}, G_{0, 1}, …, G_{1, 0}, G_{1, 1}, …, G_{d－1, 0}, G_{d－1, 1}, …, G_{d, 0}, G_{d, 1}, …, G_{d, d′－1}两两不相交, 则可得到从T到G_{0, 0}的映射θ为

引理13    θ是一个同态。

证明    设x, y ∈T, 其中x ∈G_{i, j}, y ∈G_{k, l}且(d, d′) < (k, l)≤(i, j)≤(0, 0), 则

又由于aa^－1=e_{0, 0}, 则有

因此θ为一个同态。证毕。

规定θ⁰为T的恒等映射, 则易得以下结论：

引理14    设x ∈T且k∈$\mathbb{N}$, 则

(1) a^kx=(xθ^k)a^k;

(2) xa^－k=a^－k(xθ^k)。

证明    (1)当k=0时, 结论成立。假设k=n－1时结论成立, 则

因此, r=n时结论成立。

(2) 由于对任意g_{i, j} ∈G_{i, j}, 有ag_{i, j}=(g_{i, j}θ_{i, j})a, 从而g_{i, j}^－1a^－1=a^－1(g_{i, j}^－1θ_{i, j})。又由于G为群, 因此对任意g_{i, j} ∈G_{i, j}, 有g_{i, j}a^－1=a^－1(g_{i, j}θ_{i, j})。用数学归纳法容易验证对任意x ∈T, 任意k ∈$\mathbb{N}$, 有xa^－k=a^－k(xθ^k)。证毕。

下面利用BRUCK-REILLY扩张, 给出具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群的结构定理:

定理2    设S为具有ω_{d, d′}-型$\mathcal{D}$关系的正则单ω²-半群, 则S$\cong$BR(T, θ), 其中T为群的长度为(d, d′)的ω-链, θ为从T到T的单位群的同态。

证明    设T为群的长度为(d, d′)的ω-链, θ为前述的T到T的单位群的同态, 由引理11, S的任一元都可唯一表示为a^－mgaⁿ的形式, 其中，m, n ∈$\mathbb{N}$, g ∈T。

设x=a^－mgaⁿ, y=a^－pg′a^q, 其中，m, n, p, q ∈$\mathbb{N}$, g, g′ ∈T。下面分3种情形讨论：

(1) 若n=p, 则

(2) 若n>p, 则

(3) 若n < p, 则

令t=max{n, p}, 则

因此, 从S到BR(T, θ)的映射ψ:

为同构映射。证毕。