The Research of G-lipschitz Shadowing Property, G-equicontinuity and G-non-wandering Point Set
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摘要:
利用度量G-空间中映射f与轨道空间中诱导映射ˆf之间的性质，研究了映射f的G-利普希茨跟踪性、G-等度连续、G-非游荡点与诱导映射ˆf的利普希茨跟踪性、等度连续、非游荡点集之间的动力学关系，得到如下结论：(1)映射f具有G-利普希茨跟踪性⇔诱导映射ˆf具有利普希茨跟踪性；(2)映射f是G-等度连续的⇔诱导映射ˆf是等度连续的；(3)映射f的G－非游荡点集ΩG(f)在X中稠密⇔诱导映射ˆf的非游荡点集Ω(ˆf)在X/G中稠密。
Abstract:By using the properties between the map f in metric G-space and induced map ˆf in orbital space, the dynamical relationship between G-Lipschitz shadowing property, G-equicontinuity, G-non-wandering point of the map f and Lipschitz shadowing property, equicontinuity, non-wandering point of the induced map ˆf are studied. The following conclusions are obtained: (1)The map f has G-Lipschitz shadowing property if and only if the induced map ˆf has Lipschitz shadowing property. (2)The map f is G-equicontinuous if and only if the induced map ˆf is equicontinuous. (3)The G-non-wandering point set ΩG(f) of the map f is dense in X if and only if the non-wandering point set Ω(ˆf) of the induced map ˆf is dense in X/G.
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跟踪性、等度连续和非游荡点集是经典动力系统中重要的定义和研究对象，在动力系统的发展中有着重要的作用，与系统的混沌和复杂性密切相关。
学者们对跟踪性、等度连续和非游荡点集的动力学性质进行了研究[1-17]。例如，汪火云和曾鹏[1]得到平均跟踪性的一个等价条件；冀占江和张更容[2]在乘积空间中研究G-利普希茨跟踪性的相关性质；WANG和ZHANG[3]在特殊群ZK作用下的一维动力系统中引入跟踪性概念并得到了若干结论；XIE和YIN[4]得到集值动力系统具有最终跟踪性的等价条件；罗飞和金渝光[5]给出了序列映射与极限映射之间关于非游荡点的拓扑结构；钟玥铧和汪火云[6]得到结论：x是平均等度连续点当且仅当对任意的0≤q＜1，x点是一个$\underline{q}^{-}$等度连续点；LI等[7]给出了平均等度连续与平均敏感之间的动力学性质。以上研究成果都是在经典动力系统中得到的，而度量G-空间是拓扑群作用在紧致度量空间X上的动力系统，相比于经典动力系统中的整数加群Z，拓扑群不具有序结构、交换性等，再加上时间维数的增加，空间点的轨迹更加复杂，使得在经典动力系统中一些单个映射成立的结果在群作用下并不成立，或者虽然成立但其证明变得非常复杂，因此研究拓扑群作用下的动力系统难度将会更大。
本文研究了度量G-空间中映射f的G-利普希茨跟踪性、G-等度连续、G-非游荡点集与轨道空间中诱导映射$\hat{f}$的利普希茨跟踪性、等度连续、非游荡点集之间的动力学关系，以丰富G-利普希茨跟踪性、G-等度连续和G-非游荡点集的研究结果，并为其在计算机科学等学科的应用提供理论依据和科学支撑。
1. 预备知识
定义1[2] 设(X, d)是度量G-空间，f: X→X连续。若存在常数L>0与δ0>0，∀0＜δ＜δ0，使得对f的任意(G, δ)-伪轨{xi}i=0∞，∃x∈X，x(G, Lδ)-跟踪{xi}i=0∞，则称f具有G-利普希茨跟踪性。
定义2[5] 设(X, d)是度量空间，f: X→X连续。称x是f的非游荡点，若对任意包含x的开集U，$\exists n \in \mathbb{N}_{+}$，使得fn(U)∩U≠Ø。Ω(f)代表f的非游荡点集。
定义3[9] 设(X, d)是度量空间，G是拓扑群。若映射φ: G×X→X满足
(1) 对任意x∈X，有φ(e, x)=x，其中e为G的单位元；
(2) 对任意x∈X以及g1, g2 ∈G，有
$$ \varphi\left(g_1, \varphi\left(g_2, x\right)\right)=\varphi\left(g_1 g_2, x\right), $$ 则称(X, G, φ)是度量G-空间，简称(X, d)是度量G-空间。
定义4[9] 设(X, d)是度量G-空间，f: X→X连续。若∀x ∈X，∀g ∈G，∃h ∈G，使得f(gx)=hf(x)，则称f是伪等价映射。
定义5[9] 设(X, d)是度量G-空间，f: X→X连续。若∀ε>0，∃δ>0，当d(x, y)＜δ时，$\forall n \in \mathbb{N}_{+}$，∃gn, pn∈G，有$d\left(f^n\left(g_n x\right), f^n\left(p_n y\right)\right)＜\varepsilon$，则称f是G-等度连续的。
定义6[9] 设(X, d)是度量G-空间。若对任意的x, y∈X和g∈G，有d(x, y)=d(gx, gy)，则称度量d对拓扑群G不变。
定义7[18] 设(X, d)是度量空间，f: X→X连续。若存在常数L>0与δ0>0，∀0＜δ＜δ0，使得对f的任意δ-伪轨$\left\{x_i\right\}_{i=0}^{\infty}, \exists x \in X$，xL δ-跟踪{xi}i=0∞，则称f具有利普希茨跟踪性。
定义8[19] 设(X, d)是度量空间，f: X→X连续。若∀ε>0，∃δ>0，当d(x, y)＜δ时，$\forall n \in \mathbb{N}_{+}$，有d(f n(x), f n(y))＜ε，则称f是等度连续的。
定义9[20] 设(X, d)是度量G-空间，f: X→X连续。称x是f的G-非游荡点，若对任意包含x的开集U，$\exists n \in \mathbb{N}_{+}$，∃g ∈G, 使得gf n(U)∩U≠Ø。ΩG(f)代表f的G-非游荡点集。
定义10[21] 设(X, d)是度量G-空间。若记G(x)={gx: g∈G}，则称G(x)是点x的G-轨道。
定义11[21] 设(X, d)是度量G-空间，f: X→X伪等价。若记X/G={G(x): x∈X}，则称X/G是X的轨道空间。
设G(x)∈X/G，G(y)∈X/G，若定义度量dG为：
dG(G(x), G(y))=inf{d(gx, ky): g, k∈G}，则(X\G, dG)是度量空间。
定义轨道映射π: X→X/G为：π(x)=G(x)，则π: X→X/G是连续的开映射。
定义诱导映射$\hat{f}$: X/G→X/G为：$\hat{f}$(G(x))=G(f(x))，则$\hat{f}$: X/G→X/G是连续映射。
下面给出本文证明需用的引理：
引理1 设(X, d)是紧致度量G-空间，f: X→X是伪等价的，则以下结论成立：
(1) $\hat{f}^n(G(x))=G\left(f^n(x)\right), \forall n \in \mathbb{N}_{+}$；
(2) $G(g x)=G(x), \forall g \in G, \forall x \in X$；
(3) $\hat{f}^n 。 \pi=\pi 。 f^n, \forall n \in \mathbb{N}_{+}$；
(4) $\pi(g x)=\pi(x), \forall g \in G, \forall x \in X$；
(5) π(ΩG(f))=Ω($\hat{f}$)。
证明 由定义11可得到结论(1)至结论(4)。下面给出结论(5)的证明。首先证明π(ΩG(f))⊂Ω($\hat{f}$)。设x∈ΩG(f)，下证π(x)∈Ω($\hat{f}$)。$\forall \hat{U}$是包含π(x)的开集，则$\pi^{-1}(\hat{U})$是包含x的开集。由x∈ΩG(f)知，$\exists n \in \mathbb{N}_{+}, \exists g \in G$，使得
$$ g f^n\left(\pi^{-1}(\hat{U})\right) \cap \pi^{-1}(\hat{U}) \neq \varnothing, $$ 则
$$ \pi\left(g f^n\left(\pi^{-1}(\hat{U})\right) \cap \pi^{-1}(\hat{U})\right) \neq \varnothing, $$ 故
$$ \pi\left(g f^n\left(\pi^{-1}(\hat{U})\right)\right) \cap \pi\left(\pi^{-1}(\hat{U})\right) \neq \varnothing, $$ 从而由引理1(4)知
$$ \pi\left(f^n\left(\pi^{-1}(\hat{U})\right)\right) \cap \pi\left(\pi^{-1}(\hat{U})\right) \neq \varnothing 。 $$ 又由π是满射，故$\pi\left(\pi^{-1}(\hat{U})\right)=\hat{U}$。再由引理1(3)知
$$ \hat{f}^n(\hat{U}) \cap \hat{U} \neq \varnothing, $$ 因此π(x)∈Ω($\hat{f}$)，故π(ΩG(f))⊂Ω($\hat{f}$)。
其次证明Ω($\hat{f}$)⊂π(ΩG(f))。设π(y)∈Ω($\hat{f}$)，下证y∈ΩG(f)。∀V是包含y的开集，则π(V)是包含π(y)的开集。由π(y)∈Ω($\hat{f}$)知，$\exists m \in \mathbb{N}_{+}$，使得
$$ \hat{f}^m(\pi(V)) \cap \pi(V) \neq \varnothing \text { 。 } $$ 由引理1(3)知
$$ \pi\left(f^m(V)\right) \cap \pi(V) \neq \varnothing, $$ 即
$$ G\left(f^m(V)\right) \cap G(V) \neq \varnothing \text { 。 } $$ 因此，∃x, z∈V，∃p, k∈G，使得
$$ \left.p f^m(z)\right)=k x, $$ 则有
$$ k^{-1} p f^m(z)=x, $$ 从而有
$$ k^{-1} p f^m(V) \cap V \neq \varnothing \text { 。 } $$ 故y∈ΩG(f)，因此Ω($\hat{f}$)⊂π(ΩG(f))。证毕。
2. 主要结论及证明
定理1 设(X, d)是紧致度量G-空间，f: X→X伪等价，度量d对G不变, 则映射f具有G-利普希茨跟踪性⇔诱导映射$\hat{f}$具有利普希茨跟踪性。
证明 (⇒)由f具有G-利普希茨跟踪性知：∃L1>0，∃δ1>0，∀0＜δ＜δ1，对f的(G, δ)-伪轨{xi}i=0+∞，∃x∈X，∃gi ∈G (i≥0)，使得
$$ d\left(f^i(x), g_i x_i\right)＜L_1 \delta_{。} $$ ∀0＜η＜δ1，设{G(xi)}i=0+∞是X/G中$\hat{f}$的η-伪轨，则
$$ d_G\left(\hat{f}\left(G\left(x_i\right)\right), G\left(x_{i+1}\right)\right)＜\eta \quad(i \geqslant 0) 。 $$ 由引理1(1)可得
$$ d_G\left(G\left(f\left(x_i\right)\right), G\left(x_{i+1}\right)\right)＜\eta \text { 。 } $$ 由度量dG的定义知，∃hi, ki∈G (i≥0)，使得
$$ d\left(h_i f\left(x_i\right), k_i x_{i+1}\right)＜\eta \text { 。 } $$ 由度量d对G不变，可得
$$ d\left(k_i^{-1} h_i f\left(x_i\right), x_{i+1}\right)＜\eta, $$ 则{xi}i=0+∞是f的(G, η)-伪轨，故∃x∈X，∃gi ∈G (i≥0)，使得
$$ d\left(f^i(x), g_i x_i\right)<L_1 \eta, $$ 因此
$$ d_G\left(G\left(f^i(x)\right), G\left(g_i x_i\right)\right) \leqslant d\left(f^i(x), g_i x_i\right)<L_1 \eta_{。} $$ 由引理1(1)、(2)可得
$$ d_G\left(\hat{f}^i(G(x)), G\left(x_i\right)\right)<L_1 \eta, $$ 因此诱导映射$\hat{f}$具有利普希茨跟踪性。
(⇐)设诱导映射$\hat{f}$具有利普希茨跟踪性，则∃L2>0和∃δ2>0，∀0＜δ′＜δ2，当{G(yi)}i=0+∞是$\hat{f}$的δ′-伪轨时，∃G(y)∈X/G，使得
$$ d\left(\hat{f}^i(G(y)), G\left(y_i\right)\right)<L_2 \delta^{\prime} \quad(i \geqslant 0) \text { 。 } $$ ∀0＜ε＜δ2，设{yi}i=0+∞是f的(G, ε)-伪轨，则∃ti ∈G (i≥0)，使得
$$ d\left(t_i f\left(y_i\right), y_{i+1}\right)<\varepsilon, $$ 则
$$ d_G\left(G\left(t_i f\left(y_i\right)\right), G\left(y_{i+1}\right)\right) \leqslant d\left(t_i f\left(y_i\right), y_{i+1}\right)<\varepsilon \text { 。 } $$ 由引理1(2)可得
$$ d_G\left(G\left(f\left(y_i\right)\right), G\left(y_{i+1}\right)\right)<\varepsilon \text { 。 } $$ 再由引理1(1)可得
$$ d_G\left(\hat{f}\left(G\left(y_i\right)\right), G\left(y_{i+1}\right)\right)<\varepsilon, $$ 故{G(yi)}i=0+∞是$\hat{f}$的ε-伪轨，则∃G(y)∈X/G，使得
$$ d_G\left(\hat{f}^i(G(y)), G\left(y_i\right)\right)<L_2 \varepsilon \quad(i \geqslant 0) 。 $$ 由引理1(1)可得
$$ d_G\left(G\left(f^i(y)\right), G\left(y_i\right)\right)<L_2 \varepsilon_{。} $$ 由度量dG的定义知，∃pi, li ∈G (i≥0)，使得
$$ d\left(p_i f^i(y), l_i y_i\right)<L_2 \varepsilon_{。} $$ 由度量d对G不变，可得
$$ d\left(f^i(y), p_i^{-1} l_i y_i\right)<L_2 \varepsilon_{。} $$ 因此映射f具有G-利普希茨跟踪性。证毕。
定理2 设(X, d)是紧致度量G-空间，f: X→X伪等价，则映射f是G-等度连续的⇔诱导映射$\hat{f}$是等度连续的。
证明 (⇒)设f是G-等度连续的，则∀ε>0，∃δ1>0，当d(x, y)＜δ1时，∃gn, pn ∈G($n \in \mathbb{N}_{+}$)，使得
$$ d\left(f^n\left(g_n x\right), f^n\left(p_n y\right)\right)<\varepsilon \text { 。 } $$ 设dG(G(x), G(y))＜δ1，则∃t, h∈G，满足
$$ d(t x, h y)<\delta_{1 。} $$ 因此，∃gn, pn ∈G ($n \in \mathbb{N}_{+}$)，使得
$$ d\left(f^n\left(g_n t x\right), f^n\left(p_n h y\right)\right)<\varepsilon, $$ 则
$$ \begin{gathered} d_G\left(G\left(f^n\left(g_n t x\right)\right), G\left(f^n\left(p_n h y\right)\right)\right) \leqslant \\ d\left(f^n\left(g_n t x\right), f^n\left(p_n h y\right)\right)<\varepsilon_{。} \end{gathered} $$ 由引理1(1)知
$$ d_G\left(\hat{f}^n\left(G\left(g_n t x\right)\right), \hat{f}^n\left(G\left(p_n h y\right)\right)\right)<\varepsilon_{。} $$ 再由引理1(2)可得
$$ d_G\left(\hat{f}^n(G(x)), \hat{f}^n(G(y))\right)<\varepsilon_{。} $$ 因此，诱导映射$\hat{f}$是等度连续的。
(⇐)设诱导映射$\hat{f}$是等度连续的，则∀η>0，∃δ2>0，当dG(G(x), G(y))＜δ2时，有
$$ d_G\left(\hat{f}^m(G(x)), \hat{f}^m(G(y))\right)<\varepsilon \quad\left(m \in \mathbb{N}_{+}\right) 。 $$ 设d(x, y)＜δ2，则
$$ d_G(G(x), G(y)) \leqslant d(x, y)<\delta_2 \text { 。 } $$ 因此
$$ d_G\left(\hat{f}^m(G(x)), \hat{f}^m(G(y))\right)<\eta \quad\left(m \in \mathbb{N}_{+}\right) 。 $$ 由引理1(1)知
$$ d_G\left(G\left(f^m(x)\right), G\left(f^m(y)\right)\right)<\eta 。 $$ 由度量dG的定义知，∃km, lm ∈G，使得
$$ d\left(k_m f^m(x), l_m f^m(y)\right)<\eta \text { 。 } $$ 根据f: X→X伪等价知，∃k′ m, l′ m ∈G，使得
$$ d\left(f^m\left(k_m^{\prime} x\right), f^m\left(l_m^{\prime} y\right)\right)<\eta \text { 。 } $$ 因此，f是G-等度连续的。证毕。
定理3 设(X, d)是紧致度量G-空间，f: X→X伪等价，π: X→X/G是单射，则ΩG(f)在X中稠密⇔Ω($\hat{f}$)在X/G中稠密。
证明 (⇒)设ΩG(f)在X中稠密。取$\hat{U}$是X/G中的开集，则π-1($\hat{U}$)是X中的开集，从而有
$$ \varOmega_G(f) \cap \pi^{-1}(\hat{U}) \neq \varnothing \text { 。 } $$ 取$x \in \varOmega_G(f) \cap \pi^{-1}(\hat{U})$，则$\pi(x) \in \hat{U}$，由x∈ΩG(f)知π(x)∈π(ΩG(f))。由引理1(5)知π(ΩG(f))=Ω($\hat{f}$)，则π(x)∈Ω($\hat{f}$)，从而有
$$ \varOmega(\hat{f}) \cap \hat{U} \neq \varnothing, $$ 故Ω($\hat{f}$)在X/G中稠密。
(⇐)设Ω($\hat{f}$)在X/G中稠密。取V是X中的开集，则π(V)是X/G中的开集，从而有
$$ \pi(V) \cap \varOmega(\hat{f}) \neq \varnothing_{。} $$ 由引理1(5)知π(ΩG(f))=Ω($\hat{f}$)，则
$$ \pi(V) \cap \pi\left(\varOmega_G(f)\right) \neq \varnothing_{。} $$ 又π: X→X/G是单射，则
$$ \pi\left(V \cap \varOmega_G(f)\right)=\pi(V) \cap \pi\left(\varOmega_G(f)\right) \neq \varnothing, $$ 从而有
$$ V \cap \varOmega_G(f) \neq \varnothing, $$ 故ΩG(f)在X中稠密。证毕。
3. 小结
本文利用度量G-空间中映射f与轨道空间中诱导映射$\hat{f}$之间的关系，研究了映射f的G-利普希茨跟踪性、G-等度连续、G-非游荡点集与诱导映射$\hat{f}$的利普希茨跟踪性、等度连续、非游荡点集之间的动力学性质。主要结论如下：
(1) 映射f具有G-利普希茨跟踪性⇔诱导映射$\hat{f}$具有利普希茨跟踪性；
(2) 映射f是G-等度连续的⇔诱导映射$\hat{f}$是等度连续的；
(3) 映射f的G-非游荡点集ΩG(f)在X中稠密⇔诱导映射$\hat{f}$的非游荡点集Ω($\hat{f}$)在X/G中稠密。
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