Incomplete Invariant Groups and Explicit Exact Solutions of A Class of Integro-partial Differential Population Balance Equation
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摘要:
文章研究一类积分-偏微分群体平衡方程的非完全不变群、群不变解和显式精确解及解的动力学行为和特征：首先，利用尺度变换群法探索群体平衡方程的不变群；其次，将积分-偏微分方程转化成纯偏微分方程, 采用经典李群分析方法探究纯偏微分方程的完全不变群, 应用改进的李群分析方法验证原群体平衡方程的非完全不变群；最后，给出了原群体平衡方程的非完全不变群、群不变解、约化积分-常微分方程及显式精确解, 研究了部分解蕴藏的动力学性态及特征。
Abstract:Incomplete invariant groups, group invariant solutions, explicit exact solutions and dynamic behavior characteristics of solutions of a class of integro-partial differential population balance equation were investigated in this work. Firstly, admitted scaling transformation Lie groups of the population balance equation were explored by using the methods of scaling transformation group analysis. Secondly, an integro-partial differential population ba-lance equation was transformed into a pure partial differential equation, complete admitted Lie groups of the pure partial differential equation were studied by using the method of classical Lie group analysis. Thirdly, incomplete admitted Lie groups of the original integro-partial differential population balance equation were verified by using the methods of developed Lie group analysis. Finally, incomplete invariant groups of the original integro-partial diffe-rential population balance equation were found. All group invariant solutions, reduced integro-ordinary differential equations and explicit exact solutions were also given. The related analysis for dynamic behavior characteristics of solutions with evolution of the size distribution were also presented.
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积分-偏微分群体平衡方程[1-5]历史悠久, 在交叉学科领域应用广泛，但精确解缺乏。粒子分裂恰好是一分为二的积分-偏微分群体平衡方程[2-3]，可写成
∂f(x,t)∂t=2∫∞xf(y,t)K(x,y−x)dy−f(x,t)∫x0K(y,x−y)dy, (1) 其中，x代表粒子的内部尺寸坐标, t代表时间, f(x, t)代表在任意t时刻种群粒子分裂的尺寸进化行为及分布, 分裂率核K(x, y)是将尺寸为x+y的粒子分裂成尺寸分别为x、y的粒子的速率, 并且满足非负对称性质: K(x, y)=K(y, x)≥0。尺寸为x的粒子分裂的速率, 以及尺寸为y的粒子分裂成尺寸为x的粒子的平均数量分别定义为
v(x)=∫x0K(y,x−y)dy,b(x∣y)=2K(x,y−x)v(y)。 (2) b(x|y)满足质量守恒定律, 分裂粒子的子代粒子的平均数量满足实体工程应用中的约束不等式, 其动力学方程分别为:
∫y0xb(x∣y)dx=y,2⩽∫y0b(x∣y)dx=D(y)⩽∞ 。 (3) 若选取分裂率核K(x, y)=κ(x+y), 其中κ∈ R+代表动力学参数，则采用式(2)可得到粒子分裂的速率v(x)、平均数量b(x|y)和D(y)：
v(x)=κx2,b(x∣y)=2y,D(y)=2, (4) 可验证方程(4)均满足方程(3)。若引进记号F(x, t, f), 则方程(1)可写成
F(x,t,f)=∂f(x,t)∂t−2κ∫∞xsf(s,t)ds+κx2f(x,t)=0 。 (5) 对方程(5)两边同时关于x求偏导数, 得到
fxt(x,t)+κx2fx(x,t)+4κxf(x,t)=0 。 (6) 鉴于研究方程(1)和方程(5)的精确解既棘手又困难[6], 在实体工程应用领域中, 常常借助于数值离散方案、实验技术和近似解析逼近理论等方法研究其数值解[1-3]。探寻和构造解析求解方程(5)的方法及技巧, 并且给出显式精确解, 对群体平衡模型的应用和研究均具有实际价值和意义。经典李群分析方法[7-8]不能用来研究方程(5), 需要利用改进的李群分析方法[9-10], 但此方法最根本的困难是要探究方程(5)的决定方程的解析解法及解, 因其决定方程仍然是2+1维积分-偏微分方程, 并且积分类型∫∞x也是最主要的障碍。文献[11-12]采用改进的李群分析方法, 成功找到了积分类型涉及∫10或∫∞0, 并且关于未知函数f是非线性的2+1维或2+2维的积分-偏微分群体平衡方程的完全不变群, 但因积分类型的差异太大，其求解决定方程的方法和技巧是否适用于求解方程(5)的决定方程是需探究的。文献[13-14]应用伸缩变换群分析方法, 找到了积分涉及∫10型和∫∞0型, 并且关于未知函数f是非线性的2+1维积分-偏微分群体平衡方程的非完全不变群, 此方法不需要求解原方程对应的决定方程, 而且对方程(5)和涉及的积分类型∫∞x仍然有效。文献[15]应用间接方法, 获得了涉及积分类型∫∞x、增长及破损过程和关于未知函数f是线性的2+1维积分-偏微分群体平衡方程的非完全不变群。
受文献[11-15]的启发, 本文综合采用矩方法、尺度变换群方法、经典李群分析方法和改进的李群分析方法, 探究方程(5)的非完全不变群、群不变解、子李代数的最优化分类系统、约化积分-常微分方程、一般显式精确解、一类有规律的显式精确解及真实显式精确解的动力学性态。
1. 非完全不变群
鉴于经典李群分析方法不能直接用于研究方程(5)的完全不变群, 而需要采用改进的李群分析方法, 但此方法的最大困难是受积分类型∫∞x和求解相应的决定方程的重重羁绊和困扰。因此, 本节借助于纯偏微分方程(6), 综合交替利用尺度变换群分析方法、经典李群分析方法和改进的李群分析方法来探寻方程(5)接受的尽可能多的非完全不变群。
1.1 方程(5)和方程(6)接受的尺度变换群
鉴于受积分类型∫∞x的限制和方程(5)的结构特征，受文献[13-14]的启发, 本小节采用尺度变换群方法探寻方程(5)接受的尺度变换群。
定理1 方程(5)的尺度不变群的部分生成元构成一个2维的子李代数ˉL2=span{ˉX1,ˉX2}, 并且有一组基
ˉX1=x∂∂x−2t∂∂t,ˉX2=f∂∂f 。 (7) 证明 假设方程(5)接受的尺度变换群为
ˉx=xaλ1,ˉt=taλ2,ˉf=faμ, (8) 对应的算子为
X=λ1x∂∂x+λ2t∂∂t+μf∂∂f, (9) 其中, a为群参数; λ1, λ2, μ为任意常数。
假设方程(5)接受尺度变换群(8), 该尺度变换群将方程(5)的任一解f=f(x, t)变为同一方程
∂ˉf(ˉx,ˉt)∂ˉt=2κ∫∞ˉxˉsˉf(ˉs,ˉt)dˉs−κˉx2ˉf(ˉx,ˉt) (10) 的解。因此, 把ˉf(ˉx,ˉt)=aμf(ˉxa−λ1,ˉta−λ2)及式(8)代入方程(10), 可得
aμ−λ2∂f(x,t)∂t=aμ+2λ1[2κ∫∞xsf(s,t)ds−κx2f(x,t)]。 (11) 鉴于f=f(x, t)是方程(5)的任一解, 故采用方程(11), 可推出式(8)所含的参数λ1和λ2满足关系式λ2=－2λ1。因此, 把λ2=－2λ1代入式(9), 可知方程(5)接受式(7)。
定理2 方程(6)的尺度不变群的部分生成元构成一个2维的子李代数ˆL2=span{ˆX1,ˆX2}, 并且有一组基
ˆX1=x∂∂x−2t∂∂t,ˆX2=f∂∂f 。 (12) 证明 假设方程(6)接受尺度变换群
ˉx=xaλ1,ˉt=taλ2,ˉf=faμ, (13) 对应的算子为
X=λ1x∂∂x+λ2t∂∂t+μf∂∂f。 (14) 于是式(13)把方程(6)的任一解f=f(x, t)变成同一方程
\bar{f}_{\bar{x} \bar{t}}(\bar{x}, \bar{t})+\boldsymbol{\kappa} \bar{x}^2\bar{f}_{\bar{x}}(\bar{x}, \bar{t})+4 \boldsymbol{\kappa} \bar{x} \bar{f}(\bar{x}, \bar{t})=0 (15) 的解。因此, 把 \bar{f}(\bar{x}, \bar{t})=a^\mu f\left(\bar{x} a^{-\lambda_1}, \bar{t} a^{-\lambda_2}\right)及式(13)代入方程(15), 得到
a^{\mu-\lambda_1-\lambda_2} f_{x t}(x, t)+\kappa a^{\mu+\lambda_1} x^2 f_x(x, t)+4 a^{\mu+\lambda_1} x f(x, t)=0 。 (16) 鉴于f=f(x, t)是方程(6)的任一解, 故方程(16)给出了参数λ1和λ2满足的约束条件λ2=－2λ1。因此, 把λ2=－2λ1代入算子(14), 由λ1和μ的任意性可知方程(6)接受式(12)。证毕。
定理1和定理2表明, 方程(5)与方程(6)保持相同的尺度变换群特性, 求偏导运算不改变它们容许的尺度变换群性质。
1.2 方程(6)接受的完全不变群
因为方程(6)是纯偏微分方程, 所以采用经典李群分析方法[7-8]研究方程(6)的完全不变群。
定理3 若ζ=ζ(x, t)是方程(6)的任一解, 则其不变群的全体生成元构成一个无穷维李代数。该无穷维李代数包含一个4维的子李代数L4=span{X1, X2, X3, X4}, 并且有下列一组基
X_1=x \frac{\partial}{\partial x}-2 t \frac{\partial}{\partial t}, X_2=f \frac{\partial}{\partial f}, X_3=\frac{\partial}{\partial t}, X_4=\frac{1}{x} \frac{\partial}{\partial x}-2 \kappa t f \frac{\partial}{\partial f}, (17) 以及包含一个无穷维的子李代数L∞=span{Xζ}, 其算子为X_\zeta=\zeta(x, t) \frac{\partial}{\partial f} 。
证明 引进算子记号L(f), 将方程(6)记作算子形式
L(f)=f_{x t}+\kappa x^2 f_x+4 \kappa x f=0 \text { 。 } (18) 鉴于方程(18)是纯偏微分方程, 因此可直接采用经典李群分析方法进行研究。于是假设方程(18)容许的算子为
\begin{gathered} X=\xi(x, t, f) \frac{\partial}{\partial x}+\tau(x, t, f) \frac{\partial}{\partial t}+\eta(x, t, f) \frac{\partial}{\partial f}, \\ \tilde{X}=X+\eta^x \frac{\partial}{\partial f_x}+\eta^{x t} \frac{\partial}{\partial f_{x t}}, \end{gathered} 其中，\tilde{X} 是X的二阶延拓算子, 系数函数ηx、ηxt分别为
\begin{gathered} \eta^x=D_x(\eta)-f_x D_x(\xi)-f_t D_x(\tau), \\ \eta^{x t}=D_t\left(\eta^x\right)-f_{x x} D_t(\xi)-f_{x t} D_t(\tau), \end{gathered} 其中, Dx、Dt分别为关于x、t的全微分算子。系数函数ηx和ηxt的计算结果分别为
\begin{gathered} \eta^x=\eta_x+\eta_f f_x-f_x\left(\xi_x+\xi_f f_x\right)-f_t\left(\tau_x+\tau_f f_x\right), \\ \eta^{x t}=\eta_{x t}+\eta_{x f} f_t+\left(\eta_{f t}+\eta_{f f} f_t\right) f_x+\eta_f f_{x t}-f_{x t} \xi_x-f_x\left(\xi_{x t}+\xi_{x f} f_t\right)- \\ \left(\xi_{f t}+\xi_{f f} f_t\right) f_x^2-f_{t t} \tau_x-2 \xi_f f_x f_{x t}-f_t\left(\tau_{x t}+\tau_{x f} f_t\right)-f_{t t} \tau_f f_x- \\ f_t\left(\tau_{f t}+\tau_{f f} f_t\right) f_x-f_t \tau_f f_{x t}-f_{x x}\left(\xi_t+\xi_f f_t\right)-f_{x t}\left(\tau_t+\tau_f f_t\right) 。 \end{gathered} 依据经典李群分析方法知方程(18)的决定方程为
\begin{aligned} & \left.\tilde{X}(L(f))\right|_{(18)}= \\ & \left.\quad\left(\eta^{x t}+2 \kappa x \xi f_x+\kappa x^2 \eta^x+4 \kappa \xi f+4 \kappa x \eta\right)\right|_{(18)}=0, \end{aligned} (19) 其中, |(18)表示决定方程(19)对方程(18)的任一解均恒成立。把方程(18)的变形表达式
f_{x t}=-\kappa x^2 f_x-4 \kappa x f 以及系数函数ηx、ηxt代入决定方程(19), 可得到
\begin{aligned} & \eta_{x t}+\eta_{x f} f_t+\left(\eta_{f t}+\eta_{f f} f_t\right) f_x-\left(\eta_f-\xi_x\right)\left(\kappa x^2 f_x+4 \kappa x f\right)- \\ & f_x\left(\xi_{x t}+\xi_{x f} f_t\right)-\left(\xi_{f t}+\xi_{f f} f_t\right) f_x^2-f_{t t} \tau_x+2 \xi_f f_x\left(\kappa x^2 f_x+\right. \\ & 4 \kappa x f)-f_t\left(\tau_{x t}+\tau_{x f} f_t\right)-f_{t t} \tau_f f_x-f_t\left(\tau_{f t}+\tau_{f f} f_t\right) f_x+ \\ & f_t \tau_f\left(\kappa x^2 f_x+4 \kappa x f\right)-f_{x x}\left(\xi_t+\xi_f f_t\right)-f_{x t}\left(\tau_t+\tau_f f_t\right)+ \\ & 2 \kappa x \xi f_x+\kappa x^2\left(\eta_x+\eta_f f_x-f_x\left(\xi_x+\xi_f f_x\right)-f_t\left(\tau_x+\tau_f f_x\right)\right)+ \\ & 4_\kappa \xi f+4 \kappa x \eta=0。 \end{aligned} 将决定方程写成关于fx、ft、fxx、ftt的多项式, 再令多项式的各项系数为零, 得到关于系数ξ、τ、η满足的超决定方程组为
\begin{gathered} \tau_x=0, \tau_f=0, \xi_f=0, \xi_t=0, \eta_{f f}=0, \eta_{x f}=0, \eta_{t f}+\kappa x^2 \tau_t+2 \kappa x \xi=0, \\ \eta_{x t}+\kappa x^2 \eta_x+4 \kappa x \eta+4 \kappa f\left(x \tau_t-x \eta_f+x \xi_x+\xi\right)=0。 \end{gathered} 由于ηff=0, 将η(x, t, f)的表达式写成
\eta(x, t, f)=g(x, t) f+h(x, t), 其中, g(x, t)和h(x, t)为待确定的函数。把η(x, t, f)代入超决定方程组, 得到τtt=0。故进一步可得决定方程(19)的通解为
\tau=-2 c_1 t+c_2, \xi=c_1 x+\frac{c_3}{x}, \eta=\left(c_4-2 \kappa c_3 t\right) f+\zeta(x, t), (20) 其中，ζ=ζ(x, t)是方程(6)的任一解, ci(i=1, 2, 3, 4)为任意常数。由式(20)可得到式(17)，证毕。
1.3 方程(5)接受的非完全不变群
因为方程(5)是积分-偏微分方程, 所以不能直接利用经典李群分析方法[7-8]来研究其完全不变群, 而需要采用改进的李群分析方法[9-10], 但此方法的最大困难是求解方程(5)对应的决定方程的通解。因此, 本小节利用积分-偏微分方程接受李群的定义[9-10]来探寻方程(5)的非完全不变群。
定理4 积分-偏微分群体平衡方程(5)的非完全不变群的部分生成元构成一个4维的子李代数L4=span{X1, X2, X3, X4}, 并且有一组基(17)。
证明 依据改进的李群分析方法, 若方程(5)接受不变李群G, 则变换李群G将方程(5)的任一解变为同一方程的解。定理1已经表明方程(5)容许算子X1和算子X2, 接下来需要检验算子X3和算子X4是否被方程(5)容许。算子X3对应的平移变换李群为
T_{\tau_0}: \bar{x}=x, \bar{t}=t+\tau_0, \bar{f}=f, 其中τ0为群参数。将\bar{f}(\bar{x}, \bar{t})=f\left(\bar{x}, \bar{t}-\tau_0\right) 及T_{\tau_0} 代入方程
F(\bar{x}, \bar{t}, \bar{f})=\frac{\partial \bar{f}(\bar{x}, \bar{t})}{\partial \bar{t}}-2 \kappa \int_{\bar{x}}^{\infty} \bar{s} \bar{f}(\bar{s}, \bar{t}) \mathrm{d} \bar{s}+\kappa \bar{x}^2 \bar{f}(\bar{x}, \bar{t}), 得到
\begin{aligned} & F(\bar{x}, \bar{t}, \bar{f})=\frac{\partial f(x, t)}{\partial t}-2 \kappa \int_x^{\infty} s f(s, t) \mathrm{d} s+\kappa x^2 f(x, t)= \\ & \quad F(x, t, f) \text { 。 } \end{aligned} 对任意群参数τ0, F(\bar{x}, \bar{t}, \bar{f})=F(x, t, f) 表明李群Tτ0是将方程(5)的任一解变成同一方程的解, 故方程(5)容许李群Tτ0。
因为x≥0代表粒子的尺寸, 所以算子X4对应的变换李群为
T_b: \bar{x}=\sqrt{x^2+2 b}, \bar{t}=t, \bar{f}=\exp (-2 \kappa b t) f, 其中b为群参数。将Tb和\bar{f}(\bar{x}, \bar{t})=\exp (-2 \kappa b \bar{t}) \times f\left(\sqrt{\bar{x}^2-2 b}, \bar{t}\right)代入方程
F(\bar{x}, \bar{t}, \bar{f})=\frac{\partial \bar{f}(\bar{x}, \bar{t})}{\partial \bar{t}}-2 \kappa \int_{\bar{x}}^{\infty} \bar{s} \bar{f}(\bar{s}, \bar{t}) \mathrm{d} \bar{s}+\kappa \bar{x}^2 \bar{f}(\bar{x}, \bar{t}), 得到
\begin{aligned} & F(\bar{x}, \bar{t}, \bar{f})=\exp (-2 \kappa b t)\left[-2 \kappa b f(x, t)+\frac{\partial f(x, t)}{\partial t}-\right. \\ & \left.2 \kappa \int_x^{\infty} s f(s, t) \mathrm{d} s+\kappa\left(\sqrt{x^2+2 b}\right)^2 f(x, t)\right]= \\ & \exp (-2 \kappa b t)\left[\frac{\partial f(x, t)}{\partial t}-2 \kappa \int_x^{\infty} s f(s, t) \mathrm{d} s+\right. \\ & \left.\kappa x^2 f(x, t)\right]=\exp (-2 \kappa b t) F(x, t, f) 。 \end{aligned} 对任意群参数b, F(\bar{x}, \bar{t}, \bar{f})=\exp (-2 \kappa b t) F(x, t, f) , 表明李群Tb将方程(5)的任一解变为同一方程的解, 故方程(5)容许李群Tb。证毕。
定理5 对于纯偏微分方程(6)接受的算子Xζ=\zeta(x, t) \frac{\partial}{\partial f} , 积分-偏微分群体平衡方程(5)并非一定接受。
证明 依据改进的李群分析方法, 若方程(5)接受李群G, 则李群G将方程(5)的任一解变为同一方程的解。算子Xζ对应的李群为
T_\zeta: \bar{x}=x, \bar{t}=t, \bar{f}=f+a \zeta(x, t), 其中a为群参数。方程(5)不接受李群Tζ, 事实上, 注意到方程(5), 将Tζ代入方程
F(\bar{x}, \bar{t}, \bar{f})=\frac{\partial \bar{f}(\bar{x}, \bar{t})}{\partial \bar{t}}-2 \kappa \int_{\bar{x}}^{\infty} \bar{s} \bar{f}(\bar{s}, \bar{t}) \mathrm{d} \bar{s}+\kappa^2 \bar{x} \bar{f}(\bar{x}, \bar{t}), 得到
\begin{aligned} & F(\bar{x}, \bar{t}, \bar{f})=\frac{\partial f(x, t)}{\partial t}-2 \kappa \int_x^{\infty} s f(s, t) \mathrm{d} s+\kappa x^2 f(x, t)+ \\ & a\left[\frac{\partial \zeta(x, t)}{\partial t}-2 \kappa \int_x^{\infty} s \zeta(s, t) \mathrm{d} s+\kappa x^2 \zeta(x, t)\right]= \\ & F(x, t, f)+a F(x, t, \zeta) 。 \end{aligned} 对任意群参数a, 由定理3可知ζ=ζ(x, t)是方程(6)的任一解, 并非一定是方程(5)的解, 恒等式F(x, t, f)=F(x, t, f)+aF(x, t, ζ)表明李群Tζ不一定是将方程(5)的任一解变为同一方程的解, 故方程(5)不一定接受李群Tζ。证毕。
2. 群不变解
研究方程(5)的群不变解、约化的积分-常微分方程及显式精确解, 特别是探寻满足粒子实体意义的真实显式精确解, 首先需要构造子李代数L4的换位运算表、最优化子李代数分类系统。
定理6 对任意常数α, 子李代数L4的最优化子李代数分类系统为
\begin{gathered} \operatorname{span}\left\{X_2+\alpha X_3\right\}, \operatorname{span}\left\{X_4+\alpha X_3\right\}, \operatorname{span}\left\{X_1+\alpha X_2\right\}, \\ \operatorname{span}\left\{X_3\right\}, \operatorname{span}\left\{X_1+\alpha X_2, X_3\right\}, \operatorname{span}\left\{X_1+\alpha X_2, X_4\right\}, \\ \operatorname{span}\left\{X_2, X_4+\alpha X_3\right\}, \operatorname{span}\left\{X_2, X_3\right\}, \operatorname{span}\left\{X_1, X_2\right\}, \\ \operatorname{span}\left\{X_1, X_2, X_4\right\}, \operatorname{span}\left\{X_1, X_2, X_3\right\}, \operatorname{span}\left\{X_2, X_3, X_4\right\}, \\ \operatorname{span}\left\{X_1, X_2, X_3, X_4\right\} 。 \end{gathered} 证明 在文献[16]的基础上, 得到子李代数L4的换位运算结果(表 1)，从而得到相应的内自同构变换李群：
\begin{gathered} A_1:-2 x_3 \frac{\partial}{x_3}+2 x_4 \frac{\partial}{\partial x_4}, A_2: 2 x_1 \frac{\partial}{\partial x_3}+2 \kappa x_4 \frac{\partial}{\partial x_2}, \\ A_3:-2 x_1 \frac{\partial}{\partial x_4}-2 \kappa x_3 \frac{\partial}{\partial x_2} 。 \end{gathered} 表 1 子李代数L4的换位运算表Table 1. The table of commutators for the Lie subalgebra L4[·, ·] X1 X2 X3 X4 X1 0 0 2X3 －2X4 X2 0 0 0 0 X3 －2X3 0 0 －2κX2 X4 2X4 0 2κX2 0 求解对应的李方程之后, 获得相应的变换李群:
\begin{gathered} A_1: \bar{x}_1=x_1, \bar{x}_2=x_2, \bar{x}_3=x_3 \exp \left(-2 a_1\right), \bar{x}_4=x_4 \exp \left(2 a_1\right) ; \\ A_2: \bar{x}_1=x_1, \bar{x}_2=2 \kappa x_4 a_2+x_2, \bar{x}_3=2 x_1 a_2+x_3, \bar{x}_4=x_4 ; \\ A_3: \bar{x}_1=x_1, \bar{x}_2=-2 \kappa x_3 a_3+x_2, \bar{x}_3=x_3, \bar{x}_4=-2 x_1 a_3+x_4, \end{gathered} 其中, ai(i=1, 2, 3)分别为内自同构李群Ai(i=1, 2, 3)对应的群参数。因此, 假设α为任意常数, 采用李群Ai(i=1, 2, 3)可获得子李代数L4的最优化子李代数分类系统。证毕。
下面利用子李代数L4的一维最优化子李代数分类结果, 探寻方程(5)的群不变解及约化的积分-常微分方程。
情形(1)：子李代数为span{X2+αX3}。若常数α=0, 则算子X2对应的群不变量不存在, 因此方程(5)的群不变解和约化方程均不存在。若常数α≠0, 则算子X2+αX3的群不变量为J1=x, J2=exp(－1/αt)f。借助于算子Tτ0的平移作用, 方程(5)的群不变解的表达式可假设为
f(x, t)=\exp \left(\frac{1}{\alpha}\left(t+\tau_0\right)\right) \varphi(x), 其中，函数φ(x)满足约化方程
\left(\frac{1}{\alpha}+\kappa x^2\right) \varphi(x)=2 \kappa \int_x^{\infty} s \varphi(s) \mathrm{d} s \text { 。 } 情形(2)：子李代数为span{X4+αX3}。若常数α=0, 则算子X4的群不变量为J1=t, J2=exp(κtx2)f。于是方程(5)的群不变解的表达式可假设为
f(x, t)=\exp \left(-\kappa t x^2\right) \varphi(t), 其中，函数φ(t)满足约化方程tφ′=φ, 通解为φ(t)=ct, c是常数。借助于算子Tτ0的平移作用, 方程(5)的解可以写成
f(x, t)=c\left(t+\tau_0\right) \exp \left(-\kappa\left(t+\tau_0\right) x^2\right) 。 (21) 若常数α≠0, 则算子X4+αX3的群不变量为 J_1=\alpha x^2-2 t, J_2=\exp \left(\frac{\kappa}{\alpha} t^2\right) f。借助于算子Tτ0的平移作用, 可假设方程(5)的群不变解的表达式为
f(x, t)=\exp \left(-\frac{\kappa}{\alpha}\left(t+\tau_0\right)^2\right) \varphi(z), z=\alpha x^2-2\left(t+\tau_0\right), (22) 其中，函数φ(z)满足约化方程
2 \alpha \varphi^{\prime}(z)-\kappa z \varphi(z)=-\kappa \int_z^{\infty} \varphi(s) \mathrm{d} s 。 (23) 情形(3)：子李代数为span{X1+αX2}。算子X1+αX2的群不变量为J_1=x \sqrt{t} , J2=tγf, γ=α/2。借助于算子Tτ0的平移作用, 可假设方程(5)的群不变解的表达式为
f(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-\gamma} \varphi(z), z=x \sqrt{t+\tau_0}, \gamma=\frac{\alpha}{2}, (24) 其中，函数φ(z)满足约化方程
z \varphi^{\prime}+\left(2 \kappa z^2-\alpha\right) \varphi=4 \kappa \int_z^{\infty} s \varphi(s) \mathrm{d} s 。 (25) 情形(4)：子李数span{X3}。算子X3的群不变量为J1=x, J2=f。于是可假设方程(5)的群不变解的表达式为
f(x, t)=\varphi(x), 其中，函数φ(x)满足约化方程
x^2 \varphi(x)=2 \int_x^{\infty} s \varphi(s) \mathrm{d} s 。 3. 显式精确解及解的动力学行为
方程(5)既有偏导数项, 又有积分项和代数项, 给探寻其精确解带来了多方面的障碍。而采用李群分析方法探究方程(5)的精确解, 归结为群不变解对应的约化积分-常微分方程的精确解的研究问题。因此，本文采用观察试凑函数法[11-15]来研究约化的积分-常微分方程的精确解, 结合群不变解构造方程(5)的显式精确解, 最后利用矩方法分析真实显式精确解的动力学行为。
3.1 显式精确解
对于约化的积分-常微分方程, 没有成熟的精确求解理论和方法可直接利用与借鉴, 本质依赖于约化方程本身固有的结构及特征。受文献[11-15]的启发, 采用观察试凑函数法, 可发现和验证
\varphi(z)=z \exp \left(\frac{\kappa}{4 \alpha} z^2\right) \quad(\alpha<0) 是约化方程(23)的解。因此, 借助于群不变解的表达式(22), 可获得方程(5)的解为
f(x, t)=z \exp \left(\frac{\kappa}{4 \alpha}\left(z^2-4\left(t+\tau_0\right)^2\right)\right), z=\alpha x^2-2\left(t+\tau_0\right), \alpha<0 \text { 。 } 注意到变限广义积分的敛散性, 假设约化方程(25)的解的表达式可写成
\varphi(z)=\left(q_0+q_1 z^2+\cdots+q_n z^{2 n}\right) \exp \left(-\beta z^2\right), (26) 其中, β>0和qi(i=0, 1, …, n)为待确定的常数。将式(26)代入方程(25), 得到关于zjexp(－βz)(j=0, 1, …)的多项式。令zjexp(－βz)(j=0, 1, …)的各项系数均为零, 得到关于常数qi(i=0, 1, …, n), α, β的代数方程组。用吴消元法及软件REDUCE可解得qi(i=0, 1, …, n)、α、β。利用群不变解的表达式(24), 得到方程(5)的解为
\begin{aligned} & f(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-\frac{\alpha}{2}}\left(q_0+q_1 z^2+\cdots+q_n z^{2 n}\right) \exp \left(-\beta z^2\right), \\ & z=x \sqrt{t+\tau_0} 。 \end{aligned} (27) 当n=0, 1, …, 9时, 方程(5)的解(27)的计算结果见表 2。特别地, 当n=1时, 解(27)的表达式为
f(x, t)=\left(1-\kappa x^2\left(t+\tau_0\right)\right) \exp \left(-\kappa x^2\left(t+\tau_0\right)\right) 。 (28) 表 2 群体平衡方程(5)的显式精确解Table 2. Explicit exact solutions of the population balance equation (5)序号 显式精确解f=f(x, t) 1 f_1(x, t)=\frac{1}{x^4} 2 f_2(x, t)=\left(t+\tau_0\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 3 f_3(x, t)=\left(1-\kappa z^2\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 4 f_4(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-1}\left(2 z^2-\kappa z^4\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 5 f_5(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-2}\left(3 z^4-\kappa z^6\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 6 f_6(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-3}\left(4 z^6-\kappa z^8\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 7 f_7(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-4}\left(5 z^8-\kappa z^{10}\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 8 f_8(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-5}\left(6 z^{10}-\kappa z^{12}\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 9 f_9(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-6}\left(7 z^{12}-\kappa z^{14}\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 10 f_{10}(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-7}\left(8 z^{14}-\kappa z^{16}\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 11 f_{11}(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-8}\left(9 z^{16}-\kappa z^{18}\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 12 f_{12}(x, t)=z \exp \left(\frac{\kappa}{4 \alpha}\left(z^2-4\left(t+\tau_0\right)^2\right)\right), z=\alpha x^2-2\left(t+\tau_0\right), \alpha<0 由表 2中解fi(x, t)(i=3, …, 11)的规律，方程(5)的一类有规律性解可写成一般的表达形式
\begin{aligned} & f(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-j}\left((j+1) z^{2 j}-\kappa z^{2(j+1)}\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), \\ & z=x \sqrt{t+\tau_0}, j=0, 1, \cdots \text { 。 } \end{aligned} 若假设fi(x, t)(i=1, …, l)是方程(5)的解, 即满足F(x, t, fi)=0(i=1, …, l), 于是利用算子F(x, t, f)关于f是线性的, 可推出F\left(x, t, \sum\limits_{i=1}^l b_i f_i\right)= =0, 其中bi(i=1, …, l)是常数。因此, 方程(5)的叠加型解的表达式可写成
f(x, t)=b_1 f_1(x, t)+b_2 f_2(x, t)+\cdots+b_l f_l(x, t) 。 (29) 若选取表 2中的解fi(x, t)(i=1, …, l, l≤12), 进一步可得到解(29)的表达式。特别地, 当l=3时, 方程(5)的解的表达式可写成
\begin{aligned} & f(x, t)=\frac{b_1}{x^4}+\left[b_2\left(t+\tau_0\right)+b_3\left(1-\kappa x^2\left(t+\tau_0\right)\right)\right] \times \\ & \quad \exp \left(-\kappa x^2\left(t+\tau_0\right)\right)。 \end{aligned} (30) 3.2 解的动力学行为
方程(1)的初值和边值条件的提法分别是
f(x, 0)=\left.f(x, t)\right|_{t=0}, f(0, t)=\left.f(x, t)\right|_{x=0}, f(\infty, t)=0 \text { 。 } (31) f(x, 0)=0表示最初微粒系统中没有粒子存在。f(∞, t)=0表示粒子尺寸足够大时, 种群粒度分布必然趋于零。
源于统计学的矩分析法[2-5, 17]可用于计算粒子尺寸分布的多种性质, 假设函数f=f(x, t)满足方程(5)，且满足初值和边值条件(31), 则粒子尺寸分布的j(j=0, …, 4)阶矩定义如下
M_j(t)=\int_0^{\infty} x^j f(x, t) \mathrm{d} x \quad(j=0, \cdots, 4), 于是Mj(0)=0(j=0, …, 4)。零阶矩M0(t)表示整个微粒系统中粒子的总数量。一阶矩M1(t)表示整个微粒系统中粒子的总质量。若粒子在分裂过程中质量保持守恒, 则恒有变化率dM1/dt=0, 即粒子质量粒度是时间的不变量。二阶矩M2(t)代表粒子分裂密度分布的方差, 依赖于系统中表面积形状因子及粒子的总表面积。三阶矩M3(t)代表粒子分裂密度分布的偏斜度, 取决于系统中体积形状因子及粒子的总体积。四阶矩M4(t)代表粒子分裂密度分布形状的峰度。
对方程(5)两边同时关于粒子尺寸x从0到∞积分, 可得
\int_0^{\infty} \frac{\partial f(x, t)}{\partial t} \mathrm{~d} x=2 \kappa \int_0^{\infty} \int_x^{\infty} y f(y, t) \mathrm{d} y \mathrm{~d} x-\kappa \int_0^{\infty} x^2 f(x, t) \mathrm{d} x \text { 。 } (32) 由M0(t)、M2(t)和方程(32), 可得
\frac{\mathrm{d} M_0}{\mathrm{~d} t}=\kappa M_2 \text { 。 } (33) 式(33)刻画了微粒系统中粒子总数量的变化率与粒子密度分布总体波动大小之间的桥梁关系。不等式dM0/dt>0表明随着粒子一分为二过程的不断演化, 微粒系统中粒子的总数量不断增加。
从纯数学意义上来说, 表 2中的解, 包括利用叠加原理构造的解(29)和(30)都是方程(5)的解, 但实体工程科学应用领域追求真实解, 因此有必要分析解的动力学性质及特征。本文仅分析解(21)的动力学行为及性质, 表明此解是真实解, 其他解可类似探讨和分析。
首先, 解(21)满足x→∞时, f(x, t)→0, 表示对尺寸足够大的粒子, 种群粒子密度必然趋于零。另外, 当t→∞时, f(x, t)→0, 表示解(21)具有稳定性。解(21)对应的初值和边值条件分别为
\begin{gathered} f(x, 0)=c \tau_0 \exp \left(-\kappa \tau_0 x^2\right), f(0, t)=c\left(t+\tau_0\right), \\ f(\infty, t)=0 。 \end{gathered} 任意t时刻, 解(21)在矩形区域D=[0, L]×[0, T]上对应的初值和边值条件分别为
\begin{gathered} f(x, 0)=c \tau_0 \exp \left(-\kappa \tau_0 x^2\right), f(0, t)=c\left(t+\tau_0\right), \\ f(L, t)=c\left(t+\tau_0\right) \exp \left(-\kappa\left(t+\tau_0\right) L^2\right)。 \end{gathered} 对于解(21), 选取常数c>0, 则j阶矩Mj(t)(j=0, …, 4)分别为
\begin{gathered} M_0(t)=\int_0^{\infty} f(x, t) \mathrm{d} x=\frac{c}{2} \sqrt{\frac{\pi\left(t+\tau_0\right)}{\kappa}}, \\ M_1(t)=\int_0^{\infty} x f(x, t) \mathrm{d} x=\frac{c}{2 \kappa}, \\ M_2(t)=\int_0^{\infty} x^2 f(x, t) \mathrm{d} x=\frac{c}{4 \kappa} \sqrt{\frac{\pi}{\kappa\left(t+\tau_0\right)}}, \\ M_3(t)=\int_0^{\infty} x^3 f(x, t) \mathrm{d} x=\frac{c}{2 \kappa^2\left(t+\tau_0\right)}, \\ M_4(t)=\int_0^{\infty} x^4 f(x, t) \mathrm{d} x=\frac{3 c}{8 \kappa^2 t} \sqrt{\frac{\pi}{\kappa\left(t+\tau_0\right)}}, \\ \frac{\mathrm{d} M_0}{\mathrm{~d} t}=\frac{c}{4 \sqrt{\frac{\pi}{\kappa\left(t+\tau_0\right)}}}=\kappa M_2, \frac{\mathrm{d} M_1}{\mathrm{~d} t}=0, \end{gathered} 表明解(21)满足式(33)。变化率 \frac{\mathrm{d} M_0}{\mathrm{~d} t}=\frac{c}{4} \sqrt{\frac{\pi}{\kappa\left(t+\tau_0\right)}}>0, 表明随着粒子一分为二的演化过程, 粒子的总数量逐渐增加, 且M0(∞)=∞。变化率dM1/dt=0, 表明粒子在分裂过程中保持质量守恒。变化率dM2/dt＜0, 表明随着微粒系统中粒子总数量的逐渐增加, 粒子分裂密度分布的方差逐渐减少, 直到M2(∞)=0。类似地, 粒子分裂演化过程行为分布的偏斜度M3(t)和分布形状的峰度M4(t)均是单调不增的, 一直到M3(∞)=0, M4(∞)=0。选取常数c=1, τ0=0, 动力学参数κ=0.06和κ=0.6, 解(21)在矩形区域[0, 8]×[0, 0.8]上的空间图像见图 1。
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图 1 方程(5)的精确解(21)的粒子尺寸演化行为分布Figure 1. Distribution of particle size evolution behavior for exact solution (21) of equation (5) -
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图 1 方程(5)的精确解(21)的粒子尺寸演化行为分布
Figure 1. Distribution of particle size evolution behavior for exact solution (21) of equation (5)
表 1 子李代数L4的换位运算表
Table 1 The table of commutators for the Lie subalgebra L4
[·, ·] X1 X2 X3 X4 X1 0 0 2X3 －2X4 X2 0 0 0 0 X3 －2X3 0 0 －2κX2 X4 2X4 0 2κX2 0 
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表 2 群体平衡方程(5)的显式精确解
Table 2 Explicit exact solutions of the population balance equation (5)
序号 显式精确解f=f(x, t) 1 f_1(x, t)=\frac{1}{x^4} 2 f_2(x, t)=\left(t+\tau_0\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 3 f_3(x, t)=\left(1-\kappa z^2\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 4 f_4(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-1}\left(2 z^2-\kappa z^4\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 5 f_5(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-2}\left(3 z^4-\kappa z^6\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 6 f_6(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-3}\left(4 z^6-\kappa z^8\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 7 f_7(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-4}\left(5 z^8-\kappa z^{10}\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 8 f_8(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-5}\left(6 z^{10}-\kappa z^{12}\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 9 f_9(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-6}\left(7 z^{12}-\kappa z^{14}\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 10 f_{10}(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-7}\left(8 z^{14}-\kappa z^{16}\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 11 f_{11}(x, t)=\left(t+\tau_0\right)^{-8}\left(9 z^{16}-\kappa z^{18}\right) \exp \left(-\kappa z^2\right), z=x \sqrt{t+\tau_0} 12 f_{12}(x, t)=z \exp \left(\frac{\kappa}{4 \alpha}\left(z^2-4\left(t+\tau_0\right)^2\right)\right), z=\alpha x^2-2\left(t+\tau_0\right), \alpha<0
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