镍铁丝电爆炸特性及超细粉制备

张爱华; 史梦凡; 段靖邦; 汪重光; 朱亮

doi:10.6054/j.jscnun.2023018

镍铁丝电爆炸特性及超细粉制备

1.
兰州理工大学电气工程与信息工程学院，兰州 730050
2.
兰州理工大学材料科学与工程学院，兰州 730050

基金项目:

国家自然科学基金项目 51765038

详细信息

通讯作者:
张爱华，Email: zhangaihua@lut.edu.cn

中图分类号: TM89
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出版历程
- 收稿日期: 2022-01-03
- 网络出版日期: 2023-06-13
- 刊出日期: 2023-04-24

Electro-explosive Properties of Ni-Fe Wire and Preparation of Ultra-fine Powder

1.
College of Electrical and Information Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China
2.
College of Materials Science and Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China

摘要

摘要: 利用非接触式丝电爆制粉装置制备了球形度良好、纯度高的镍铁超细粉，在氩气气氛中使用直径0.4 mm的镍铁丝在不同充电电压下进行实验，同步采集并分析镍铁丝电爆炸放电波形及沉积能量变化规律。建立了镍铁丝电爆炸过程中的时变非线性电阻模型，并与实验曲线进行对比分析；利用扫描电镜观察粉末形貌，分析镍铁丝电爆炸工艺参数对粉末形貌、粒径的影响。结果表明：随着充电电压的升高，放电波形及金属丝沉积能量峰值逐渐增大，沿面击穿时刻逐渐提前；在击穿前金属丝电阻模型与实验曲线符合程度良好；在充电电压为11~15 kV的工艺参数下，可制得球形度良好、粒径分布均匀且纯度较高的超细粉。
- 丝电爆制粉 /
- 沉积能量 /
- 时变非线性电阻模型 /
- 粉末粒径
Abstract: To prepare Ni-Fe ultrafine powder with good sphericity and high purity, a non-contact wire electrical explosion powder making device was used to conduct experiments, which were carried out in an argon atmosphere using 0.4 mm diameter Ni-Fe wire at different charging voltages. Simultaneously collecting and analyzing the waveform of electrical explosion discharge of Ni-Fe wire and the variation pattern of deposition energy. A time-varying nonlinear resistance model of Ni-Fe wire electrical explosion is developed and compared with the experimental curve for analysis to investigate the mechanism of Ni-Fe wire electrical explosion. The powder morphology is observed by scanning electron microscope to investigate the effect of Ni-Fe wire electrical explosion process parameters on powder morphology and particle size. The results show that the wire voltage, deposition energy and discharge circuit current peak gradually increase with the increase of charging voltage, and the breakdown moment along the surface is gradually advanced. The wire resistance model can reflect the actual resistance change, and the degree of compliance with the experimental curve is good. Superfine powder with good sphericity, uniform particle size distribution and high purity can be produced under the process parameters of charging voltage of 11-15 kV.
- wire electrical-explosion powder production /
- energy deposition /
- time-varying nonlinear resistance model /
- powder particle size

HTML全文

近几十年来，分数阶微分方程及其边值问题受到了许多学者的关注，在很多科学领域中都有着广泛的应用。目前，关于分数阶微分方程边值问题的研究已经有很多成果^[1-13]，但是关于边值条件中带不同分数阶导数的研究相对较少。

薛益民等^[1]运用Guo-Krasnosel'skii's不动点定理，得到如下分数阶微分方程正解的存在性：

$\left\{\begin{array}{l} D^\alpha u(t)+f(t, u(t))=0 \quad(0<t<1), \\ u(0)=D^\beta u(0)=D^\beta u(1)=0, \end{array}\right.$

其中, D^α(2 < α≤3)为Rimann-Liouvile分数阶导数。

张凯斌和陈鹏玉^[3]运用非紧性测度的估计技巧与凝聚映射的不动点指数理论，得到如下分数阶微分方程正解的存在性：

$\left\{\begin{array}{l} -D_{0+}^\alpha u(t)=f(t, u(t)) \quad(0<t<1), \\ u(0)=u^{\prime}(0)=u^{\prime}(1)=\theta, \end{array}\right.$

其中, D₀₊^α为Rimann-Liouvile分数阶导数，2 < α≤3。

受文献[1]、[3]的启发，本文考虑如下带有分数阶导数边值条件的分数阶微分方程

$\left\{\begin{array}{l} D_{0+}^v u(t)+h(t) f(t, u(t))=0 \quad(0<t<1, n-1<v \leqslant n), \\ u(0)=u^{\prime}(0)=u^{\prime \prime}(0)=\cdots=u^{(n-2)}(0)=0 \quad(n \geqslant 3), \\ \left(D_{0+}^\alpha u(t)\right)_{t=1}=\sum\limits_{i=1}^{m-2} \beta_i\left(D_{0+}^{\alpha_i} u(t)\right)_{t=\eta_i} \quad\left(1 \leqslant \alpha, \alpha_i \leqslant n-2\right), \end{array}\right.$

(1)

其中, η_i∈(0, 1), 0 < η₁ < η₂ < … < η_m-2 < 1, β_i∈[0, ∞)。需要指出的是，这里的边值条件中带有不同阶数的分数阶导数。

文中首先构建其格林函数，得到相应的相关性质；其次, 运用凸泛函上的不动点指数定理来计算不动点指数，从而得到了方程(1)至少存在一个正解的结论; 最后, 通过一个例子来说明定理的具体应用。

1. 预备知识

首先，给出一些必要的定义和引理，推导出相应的带有分数阶导数边值条件的分数阶微分方程的格林函数，并给出格林函数的一些性质；然后，将方程(1)转化为一个等价的积分方程。

定义1^[6] 函数y: (0, +∞)→ $\mathbb{R}$ 的v>0阶Riemann-Liouville积分定义如下

$I_{0+}^v y(t)=\frac{1}{\varGamma(v)} \int_0^t(t-s)^{v-1} y(s) \mathrm{d} s,$

其中, 等式右边是在(0, +∞)上逐点定义的。

定义2^[6] 函数y: (0, +∞)→ $\mathbb{R}$ 的v>0阶Riemann-Liouville微分定义如下

$D_{0+}^v y(t)=\frac{1}{\varGamma(n-v)}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right)^n \int_0^t \frac{y(s)}{(t-s)^{v-n+1}} \mathrm{~d} s,$

其中，等式右边是在(0, +∞)上逐点定义的，n=[α]+1。

引理1^[6] 假设u∈C(0, 1)∩L[0, 1], 有v>0阶导数D^v₀₊∈C(0, 1)∩L[0, 1], 则

$I_{0+}^v D_{0+}^v u(t)=u(t)+C_1 t^{v-1}+C_2 t^{v-2}+\cdots+C_N t^{v-N},$

其中，C_i∈ $\mathbb{R}$ (i=1, 2, …, N), N是大于或等于v的最小整数。

为下文叙述方便，现给出如下假设条件：

(H₁) $\frac{\varGamma(v)}{\varGamma(v-\alpha)}-\sum\limits_{i=1}^{m-2} \beta_i \frac{\varGamma(v)}{\varGamma\left(v-\alpha_i\right)}\left(\eta_i\right)^{v-\alpha_i-1}>0$ 。

(H₂)h: (0, 1)→[0, ∞)连续, h(t)不恒等于0。允许h(t)在t=0, 1处奇异，且

$0<\int_0^1 G(1, t) h(t) \mathrm{d} t<+\infty \text { 。 }$

(2)

(H₃)f: [0, 1]×[0, +∞)→[0, +∞)连续。

引理2 给定y∈C[0, 1], 边值问题

$\left\{\begin{array}{l} D_{0+}^v u(t)+y(t)=0 \quad(0<t<1, n-1<v \leqslant n), \\ u(0)=u^{\prime}(0)=u^{\prime \prime}(0)=\cdots=u^{(n-2)}(0)=0 \quad(n \geqslant 3), \\ \left(D_{0+}^\alpha u(t)\right)_{t=1}=\sum\limits_{i=1}^{m-2} \beta_i\left(D_{0+}^{\alpha_i} u(t)\right)_{t=\eta_i} \\ \left(1 \leqslant \alpha, \alpha_i \leqslant n-2\right) \end{array}\right.$

(3)

有唯一解

$u(t)=\int_0^1 G(t, s) y(s) \mathrm{d} s,$

这里η_i∈(0, 1), 0 < η₁ < η₂ < … < η_m-2 < 1, β_i∈[0, ∞), 其中

$G(t, s)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{p(0) \varGamma(v)} p(s)(1-s)^{v-\alpha-1} t^{v-1}-(t-s)^{v-1} p(0) \\ (0 \leqslant s \leqslant t \leqslant 1), \\ \frac{1}{p(0) \varGamma(v)}(1-s)^{v-\alpha-1} p(s) t^{v-1} \quad(0 \leqslant t \leqslant s \leqslant 1), \end{array}\right.$

$p(s)=\frac{\varGamma(v)}{\varGamma(v-\alpha)}-\sum\limits_{s \leqslant \eta_i} \beta_i \frac{\varGamma(v)}{\varGamma\left(v-\alpha_i\right)}\left(\frac{\eta_i-s}{1-s}\right)^{v-\alpha_i-1}(1-s)^{\alpha-\alpha_i} 。$

证明应用引理1，将微分方程(3)转化为等价的积分方程

$u(t)=C_1 t^{v-1}+C_2 t^{v-2}+\cdots+C_n t^{v-n}-I_{0+}^v y(s) 。$

由u(0)=u′(0)=u″(0)=…=u^(n-2)(0)=0, 可得C₂=C₃=…=C_n=0。又由 $D^\alpha\left[t^{v-1}\right]=\frac{\varGamma(v)}{\varGamma(v-\alpha)} t^{v-\alpha-1}$ , 再代入边值条件 $\left(D_{0+}^\alpha u(t)\right)_{t=1}=\sum\limits_{i=1}^{m-2} \beta_i\left(D_{0+}^{\alpha_i} u(t)\right)_{t=\eta_i}$ , 可得

$\begin{aligned} &C_1 \frac{\varGamma(v)}{\varGamma(v-\alpha)} 1^{v-\alpha-1}-\frac{1}{\varGamma(v-\alpha)} \int_0^1(1-s)^{v-\alpha-1} y(s) \mathrm{d} s=\\ & \sum\limits_{i=1}^{m-2} \beta_i\left[C_1 \frac{\varGamma(v)}{\varGamma\left(v-\alpha_i\right)}\left(\eta_i\right)^{v-\alpha_i-1}-\right. \\ & \left.\frac{1}{\varGamma\left(v-\alpha_i\right)} \int_0^{\eta_i}\left(\eta_i-s\right)^{v-\alpha_i-1} y(s) \mathrm{d} s\right], \end{aligned}$

整理得

$\begin{aligned} C_1= & \frac{1}{\frac{\varGamma(v)}{\varGamma(v-\alpha)}-\sum\limits_{i=1}^{m-2} \beta_i \frac{\varGamma(v)}{\varGamma\left(v-\alpha_i\right)}\left(\eta_i\right)^{v-\alpha_i-1}} \times \\ & {\left[\frac{1}{\varGamma(v-\alpha)} \int_0^1(1-s)^{v-\alpha-1} y(s) \mathrm{d} s^{-}\right.} \\ & \left.\sum\limits_{i=1}^{m-2} \beta_i \frac{1}{\varGamma\left(v-\alpha_i\right)} \int_0^{\eta_i}\left(\eta_i-s\right)^{v-\alpha_i-1} y(s) \mathrm{d} s\right] 。 \end{aligned}$

于是

$\begin{aligned} u(t)= & \frac{t^{v-1}}{\frac{\varGamma(v)}{\varGamma(v-\alpha)}-\sum\limits_{i=1}^{m-2} \beta_i \frac{\varGamma(v)}{\varGamma\left(v-\alpha_i\right)}\left(\eta_i\right)^{v-\alpha_i-1}} \times \\ & {\left[\frac{1}{\varGamma(v-\alpha)} \int_0^1(1-s)^{v-\alpha-1} y(s) \mathrm{d} s-\right.} \\ & \left.\sum\limits_{i=1}^{m-2} \beta_i \frac{1}{\varGamma\left(v-\alpha_i\right)} \int_0^{\eta_i}\left(\eta_i-s\right)^{v-\alpha_i-1} y(s) \mathrm{d} s\right]- \\ & \frac{1}{\varGamma(v)} \int_0^t(t-s)^{v-1} y(s) \mathrm{d} s=\int_0^1\left[\frac{(1-s)^{v-\alpha-1}}{\varGamma(v) p(0)} \times\right. \\ & \left.p(s) t^{v-1} y(s)\right] \mathrm{d} s-\frac{1}{\varGamma(v)} \int_0^t(t-s)^{v-1} y(s) \mathrm{d} s= \\ & \int_0^t \frac{(1-s)^{v-\alpha-1} p(s) t^{v-1}-(t-s)^{v-1} p(0)}{\varGamma(v) p(0)} y(s) \mathrm{d} s+ \\ & \int_t^1 \frac{(1-s)^{v-\alpha-1} p(s) t^{v-1}}{\varGamma(v) p(0)} y(s) \mathrm{d} s=\int_0^1 G(t, s) y(s) \mathrm{d} s 。 \end{aligned}$

证毕。

引理3 函数p(s)在0, 1上单调不减且恒正。

证明因为

$\begin{aligned} & p^{\prime}(s)=\sum\limits_{s \leqslant \eta_i} \beta_i \frac{\varGamma(v)}{\varGamma\left(v-\alpha_i\right)}\left(v-\alpha_i-1\right)\left(\eta_i-s\right)^{v-\alpha_i-2} \times \\ &(1-s)^{\alpha_i+1-v}(1-s)^{\alpha-\alpha_i}+\sum\limits_{s \leqslant \eta_i}\left[\beta_i \frac{\varGamma(v)}{\varGamma\left(v-\alpha_i\right)}\left(\alpha_i+1-v\right) \times\right. \\ &\left.\left(\eta_i-s\right)^{v-\alpha_i-1}(1-s)^{\alpha_i-v}(1-s)^{\alpha-\alpha_i}\right]+ \\ & \sum\limits_{s \leqslant \eta_i}\left[\beta_i \frac{\varGamma(v)}{\varGamma\left(v-\alpha_i\right)}\left(\alpha-\alpha_i\right)\left(\eta_i-s\right)^{v-\alpha_i-1}(1-s)^{\alpha_i+1-v} \times\right. \\ &\left.(1-s)^{\alpha-\alpha_i-1}\right]=\sum\limits_{s \leqslant \eta_i}\left[\beta_i \frac{\varGamma(v)}{\varGamma\left(v-\alpha_i\right)}\left(\eta_i-s\right)^{v-\alpha_i-2} \times\right. \\ &(1-s)^{\alpha_i-v}(1-s)^{\alpha-\alpha_i}\left(\left(v-\alpha_i-1\right)(1-s)+\right. \\ &\left.\left.\left(\alpha_i+1-v\right)\left(\eta_i-s\right)+\left(\alpha-\alpha_i\right)\left(\eta_i-s\right)\right)\right]=\\ & \sum\limits_{s \leqslant \eta_i}\left[\beta_i \frac{\varGamma(v)}{\varGamma\left(v-\alpha_i\right)}\left(\eta_i-s\right)^{v-\alpha_i-2}(1-s)^{\alpha-v} \times\right. \\ & \left(\left(v-\alpha_i-1\right)(1-s)-\left(v-\alpha_i-1\right)\left(\eta_i-s\right)+\right. \\ & \left.\left.\left(\alpha-\alpha_i\right)\left(\eta_i-s\right)\right)\right] \geqslant 0, \end{aligned}$

故p(s)单调不减。

又根据假设H₁知,

$p(0)=\frac{\varGamma(v)}{\varGamma(v-\alpha)}-\sum\limits_{i=1}^{m-2} \beta_i \frac{\varGamma(v)}{\varGamma\left(v-\alpha_i\right)}\left(\eta_i\right)^{v-\alpha_i-1}>0,$

从而知p(s)≥p(0)>0。证毕。

引理4 函数G(t, s)具有如下性质：

(1) ∀t, s∈[0, 1], 有G(t, s)≥0;

(2) ∀t∈[0, 1], 有G(t, s)≤G(1, s);

(3) ∀ $\frac{1}{4}$ ≤t≤34, 有G(t, s)≥( $\frac{1}{4}$ )^v-1G(1, s)。

证明 (1)当0 < s≤t≤1时, 有

$\begin{aligned} G(t, s)= & \frac{1}{p(0) \varGamma(v)}\left[t^{v-1} p(s)(1-s)^{v-\alpha-1}-p(0)(t-s)^{v-1}\right)= \\ & \frac{t^{v-1}}{p(0) \varGamma(v)}\left[p(s)(1-s)^{v-\alpha-1}-p(0)\left(1-\frac{s}{t}\right)^{v-1}\right] \geqslant \\ & \frac{t^{v-1} p(s)}{p(0) \varGamma(v)}\left[(1-s)^{v-\alpha-1}-\left(1-\frac{s}{t}\right)^{v-1}\right] \geqslant \\ & \frac{t^{v-1} p(s)}{p(0) \varGamma(v)}\left[(1-s)^{v-1}-\left(1-\frac{s}{t}\right)^{v-1}\right] \geqslant 0 \text { 。 } \end{aligned}$

当0 < t≤s≤1时, 显然有G(t, s)≥0。

综上可知，∀t, s∈[0, 1], 有G(t, s)≥0。

(2) 因为

$\begin{aligned} & \frac{\partial}{\partial t} G(t, s)= \\ & \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{p(0) \varGamma(v)}(v-1) t^{v-2} p(s)(1-s)^{v-\alpha-1}-(v-1)(t-s)^{v-2} p(0) \\ \quad(0 \leqslant s \leqslant t \leqslant 1), \\ \frac{1}{p(0) \varGamma(v)}(v-1)(1-s)^{v-\alpha-1} p(s) t^{v-2} \quad(0 \leqslant t \leqslant s \leqslant 1), \end{array}\right. \end{aligned}$

所以，当0 < s≤t≤1时, 有

$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} &G(t, s)=\frac{1}{p(0) \varGamma(v)}\left[(v-1) t^{v-2} p(s)(1-s)^{v-\alpha-1}-\right. \\ & \left.(v-1)(t-s)^{v-2} p(0)\right] \geqslant \frac{(v-1) t^{v-2}}{\varGamma(v)}\left[(1-s)^{v-\alpha-1}-\right. \\ & \left.\left(1-\frac{s}{t}\right)^{v-2}\right] \geqslant 0 \text { 。 } \end{aligned}$

当0 < t≤s≤1时, 显然有 $\frac{\partial}{\partial t}$ G(t, s)≥0。

综上可知，∀t∈[0, 1], 有 $\frac{\partial}{\partial t}$ G(t, s)≥0, 所以G(t, s)关于t单调不减。因此, ∀t∈[0, 1], 有G(t, s)≤G(1, s)。

(3) 当1/4≤t≤3/4且0≤s≤t时, 有

$\begin{aligned} G(t, s)= & \frac{t^{v-1}}{p(0) \varGamma(v)}\left[p(s)(1-s)^{v-\alpha-1}-p(0) \times\right. \\ & \left.\left(1-\frac{s}{t}\right)^{v-1}\right] \geqslant \frac{t^{v-1}}{p(0) \varGamma(v)}\left[p(s)(1-s)^{v-\alpha-1}-\right. \\ & \left.p(0)(1-s)^{v-1}\right]=t^{v-1} G(1, s) \geqslant\left(\frac{1}{4}\right)^{v-1} G(1, s) 。 \end{aligned}$

当1/4≤t≤3/4且0 < t≤s时, 有

$\begin{aligned} G(t, s)= & \frac{1}{p(0) \varGamma(v)}(1-s)^{v-\alpha-1} p(s) t^{v-1} \geqslant t^{v-1} G(1, s) \geqslant \\ & \left(\frac{1}{4}\right)^{v-1} G(1, s)。 \end{aligned}$

证毕。

在Banach空间C[0, 1]中，定义范数为‖u‖= $\max\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}|u(t)|$ , 令P={u∈C[0, 1]: u(t)≥0, t∈[0, 1]}, 则P是C[0, 1]上的正锥。取P₁={u∈P: $\min\limits_{1 / 4 \leqslant t \leqslant 3 / 4}$ u(t)≥l‖u‖}, 其中l=( $\frac{1}{4}$ )^v-1。

定义如下算子：

$(A u)(t)=\int_0^1 G(t, s) h(s) f(s, u(s)) \mathrm{d} s \quad(t \in[0, 1]) 。$

接下来证明算子A的全连续性。

引理5 设条件(H₁)~(H₃)满足, 则算子A: P₁→P₁全连续。

证明由引理4可知

$\|A u\| \leqslant \int_0^1 G(1, s) h(s) f(s, u(s)) \mathrm{d} s,$

且

$\begin{gathered} \min\limits_{1 / 4 \leqslant t \leqslant 3 / 4}(A u)(t) \geqslant \min\limits_{1 / 4 \leqslant t \leqslant 3 / 4} \int_0^1 t^{v-1} G(1, s) h(s) f(s, u(s)) \mathrm{d} s \geqslant \\ \left(\frac{1}{4}\right)^{v-1}\|A u\|, \end{gathered}$

从而A: P₁→P₁, 且A(P₁)⊂P₁。由Azela-Ascoli定理知, 算子A: P₁→P₁全连续。证毕。

下面介绍凸泛函的2个不动点指数引理。

定义3^[14] 对于锥P上的泛函ρ: P→ $\mathbb{R}$ , 如果∀x, y∈P, t∈[0, 1]，满足

$\rho(t x+(1-t) y) \leqslant t \rho(x)+(1-t) \rho(y),$

则称ρ是锥P上的凸泛函。

引理6^[14] 设P是E中的锥，Ω是E中的有界开集，且θ∈Ω。假设算子A: P∩Ω→P全连续，ρ: P→[0, +∞)是凸泛函，且满足ρ(θ)=0, 并对∀x≠θ, ρ(x)>0。如果ρ(Ax)≤ρ(x), 且当x∈P∩∂Ω时, Ax≠x, 则不动点指数i(A, P∩Ω, P)=1。

引理7^[14] 设P是E中的锥，Ω是E中的有界开集。假设算子A: P∩Ω→P全连续，ρ: P→[0, +∞)是一致连续的凸泛函，且满足ρ(θ)=0, 并对∀x≠θ, ρ(x)>0。如果

(i) $\inf\limits_{x \in P \cap \partial \varOmega} \rho(x)>0$ ;

(ii) ρ(Ax)≥ρ(x)且对∀x∈P∩∂Ω, Ax≠x, 则不动点指数i(A, P∩Ω, P)=0。

2. 主要结论

令

$h_0=\int_0^1 G(1, t) h(t) \mathrm{d} t, h_\tau=\int_{1 / 4}^{3 / 4} G(1, t) h(t) \mathrm{d} t,$

显然有h₀≥h_τ>0。

定理1 假设条件(H₁)~(H₃)成立, s∈[0, 1], 如果存在常数a和b, 使得当a, b>0时, 有

(i) b < a;

(ii) f(s, u(s))≤h₀^-1u (u≤bl^-1h_τ^-1);

(iii) f(s, u(s))≥h_τ^-1u (ah_τ^-1l≤u≤ah_τ^-1l^-1),

则带有分数阶导数边值条件的分数阶微分方程(1)至少存在一个正解。

证明令

$\rho_1(u)=\int_0^1 G(1, t) h(t) u(t) \mathrm{d} t,$

则ρ₁: P₁→[0, +∞)是一致连续的凸泛函，且ρ₁(θ)=0。

∀u∈P₁\{θ}, 有

$\begin{aligned} \rho_1(u) \geqslant & \int_{1 / 4}^{3 / 4} G(1, t) h(t) u(t) \mathrm{d} t \geqslant \\ & l\|u\| \int_{1 / 4}^{3 / 4} G(1, t) h(t) \mathrm{d} t>0 。 \end{aligned}$

设Ω₁={u∈C[0, 1]|ρ₁(u) < b}。显然Ω₁是C[0, 1]上的开集，且θ∈Ω₁。

如果u∈P₁∩Ω₁, 则

$\begin{aligned} b \geqslant & \rho_1(u)=\int_0^1 G(1, t) h(t) u(t) \mathrm{d} t \geqslant \\ & l\|u\| \int_{1 / 4}^{3 / 4} G(1, t) h(t) \mathrm{d} t=l\|u\| h_\tau 。 \end{aligned}$

因此‖u‖≤bl^-1h_τ^-1, 这意味着P₁∩Ω₁是有界的。

如果u∈P₁∩∂Ω₁, 则ρ₁(u)=b且‖u‖≤bl^-1h_τ^-1，因此

$\begin{aligned} \rho_1(A u)= & \int_0^1\left[G(1, t) h(t) \int_0^1 G(t, s) h(s) f(s, u(s)) \mathrm{d} s\right] \mathrm{d} t \leqslant \\ & \int_0^1\left[G(1, t) h(t) \int_0^1 G(1, s) h(s) f(s, u(s)) \mathrm{d} s\right] \mathrm{d} t \leqslant \\ & \int_0^1 G(1, t) h(t) \mathrm{d} t \int_0^1 G(1, s) h(s) h_0^{-1} u(s) \mathrm{d} s= \\ & \int_0^1 G(1, s) h(s) u(s) \mathrm{d} s=\rho_1(u) 。 \end{aligned}$

假设A在P₁∩∂Ω₁上没有不动点，则由引理6知

$i\left(A, P_1 \cap \varOmega_1, P_1\right)=1。$

令

$\rho_2(u)=\int_{1 / 4}^{3 / 4} G(1, t) h(t) u(t) \mathrm{d} t,$

则ρ₂: P₁→[0, +∞)是一致连续的凸泛函，且ρ₂(θ)=0，ρ₂(u)>0(u∈P₁\θ)。

设Ω₂={u∈C[0, 1]|ρ₂(u), 显然Ω₂是C[0, 1]上的开集。

如果u∈P₁∩Ω₂, 则

$a \geqslant \rho_2(u) \geqslant l\|u\| \int_{1 / 4}^{3 / 4} G(1, t) h(t) \mathrm{d} t=l\|u\| h_{\tau }。$

于是‖u‖≤al^-1h_τ^-1, 这意味着P₁∩Ω₂是有界的。

如果u∈P₁∩∂Ω₂, 则ρ₂(u)=a且‖u‖≤al^-1h_τ^-1。由于

$\begin{aligned} a= & \int_{1 / 4}^{3 / 4} G(1, t) h(t) u(t) \mathrm{d} t \leqslant \\ & \|u\| \int_{1 / 4}^{3 / 4} G(1, t) h(t) \mathrm{d} t=\|u\| h_\tau, \end{aligned}$

则‖u‖≥ah_τ^-1, 于是

$\min\limits_{1 / 4 \leqslant l \leqslant 3 / 4} u(t) \geqslant l\|u\| \geqslant {lah}_\tau^{-1},$

所以

$\begin{aligned} \rho_2(A u)= & \int_{1 / 4}^{3 / 4}\left[G(1, t) h(t) \int_0^1 G(t, s) h(s) f(s, u(s)) \mathrm{d} s\right] \mathrm{d} t \geqslant \\ & \int_{1 / 4}^{3 / 4} G(1, t) h(t) \mathrm{d} t \int_{1 / 4}^{3 / 4} G(1, s) h(s) h_\tau^{-1} u(s) \mathrm{d} s= \\ & \int_{1 / 4}^{3 / 4} G(t, s) h(s) \mathrm{d} s=\rho_2(u) 。 \end{aligned}$

假设A在P₁∩∂Ω₂上没有不动点，由引理7知

$i\left(A, P_1 \cap \varOmega_2, P_1\right)=0 \text { 。 }$

∀u∈P₁∩Ω₁, 有

$\rho_2(u) \leqslant \int_0^1 G(1, t) h(t) u(t) \mathrm{d} t \leqslant \rho_1(u) \leqslant b<a,$

则P₁∩Ω₁⊂P₁∩Ω₂, 从而有

$i\left(A, P_1 \cap\left(\varOmega_2 \ \bar{\varOmega}_1\right), P_1\right)=-1,$

说明算子A在P₁∩(Ω₂\Ω₁)上至少有一个不动点, 即微分方程(1)至少存在一个正解。

定理2 假设条件(H₁)~(H₃)成立, s∈[0, 1], 如果存在常数a和b, 使得当0 < b时，有

(i) b < al²h_τ²h₀^-1;

(ii) f(s, u(s))≥h_τ^-1u (blh_τ^-1≤u≤bl^-1h_τ^-1);

(iii) f(s, u(s))≤ah₀^-1 (u≤al^-1),

则带有分数阶导数边值条件的分数阶微分方程(1)至少存在一个正解。

证明根据(i)有

$b l^{-1} h_\tau^{-1}<a l^2 h_\tau^2 h_0^{-1} l^{-1} h_\tau^{-1}=a l h_\tau h_0^{-1}<a l^{-1} \text { 。 }$

∀u≤bl^-1h_τ^-1, 有

$h_\tau^{-1} u \leqslant h_\tau^{-1} b l^{-1} h_\tau^{-1}<\left(h_\tau^{-1}\right)^2 a l^2 h_\tau^2 h_0^{-1} l^{-1}=a l h_0^{-1}<a h_0^{-1} 。$

设

$\rho_1(u)=\max\limits_{1 / 4 \leqslant t \leqslant 3 / 4} u(t), \rho_2(u)=\int_{1 / 4}^{3 / 4} G(1, t) h(t) u(t) \mathrm{d} t,$

显然有ρ_i: P₁→[0, +∞)是一致连续凸泛函，且ρ_i(θ)=0(i=1, 2)。

∀u∈P₁\{θ}, 有

$\rho_1(u) \geqslant l\|u\|>0, \rho_2(u) \geqslant \int_{1 / 4}^{3 / 4} G(1, t) h(t) l\|u\| \mathrm{d} t>0 \text { 。 }$

令Ω₁={u∈C[0, 1]|ρ₂(u) < b}, Ω₂={u∈C[0, 1]|ρ₁(u)。显然Ω₁和Ω₂是C[0, 1]上的开集，且θ∈Ω₁。

如果u∈P₁∩Ω₁, 则

$b \geqslant \rho_2(u) \geqslant l\|u\| \int_{1 / 4}^{3 / 4} G(1, t) h(t) \mathrm{d} t=l\|u\| h_\tau 。$

因此，‖u‖≤bl^-1h_τ^-1, 这意味着P₁∩Ω₁是有界的。进一步有

$\rho_1(u) \leqslant\|u\| \leqslant b l^{-1} h_\tau^{-1}<a l^2 h_\tau^2 h_0^{-1} l^{-1} h_\tau^{-1}=a l h_\tau h_0^{-1}<a l<a,$

所以P₁∩Ω₁⊂P₁∩Ω₂。

如果u∈P₁∩Ω₂, 则

$a \geqslant \rho_1(u) \geqslant l\|u\|,$

于是‖u‖≤al^-1, 这意味着P₁∩Ω₂是有界的。

假设A在P₁∩∂Ω₁和P₁∩∂Ω₂上没有不动点。如果u∈P₁∩∂Ω₁, 则b=ρ₂(u)≤‖u‖h_τ, 且

$\min\limits_{1 / 4 \leqslant l \leqslant 3 / 4} u(t) \geqslant l\|u\| \geqslant l b h_\tau^{-1},$

则

$\begin{array}{r} \rho_2(A u)=\int_{1 / 4}^{3 / 4} G(1, t) h(t)\left[\int_0^1 G(t, s) h(s) f(s, u(s)) \mathrm{d} s\right] \mathrm{d} t \geqslant \\ \int_{1 / 4}^{3 / 4} G(1, t) h(t) \mathrm{d} t \int_{1 / 4}^{3 / 4} G(1, s) h(s) h_\tau^{-1} u(s) \mathrm{d} s=\rho_2(u)。 \end{array}$

所以, 由引理7知

$i\left(A, P_1 \cap \varOmega_1, P_1\right)=0_{\text {。 }}$

如果u∈P₁∩∂Ω₂, 则

$\begin{gathered} \rho_1(A u)=\max\limits_{1 / 4 \leqslant t \leqslant 3 / 4} \int_0^1 G(t, s) h(s) f(s, u(s)) \mathrm{d} s \leqslant \\ \int_0^1 G(1, s) h(s) a h_0^{-1} \mathrm{~d} s=a=\rho_1(u) 。 \end{gathered}$

由引理6知，

$i\left(A, P_1 \cap \varOmega_2, P_1\right)=1。$

综上可得

$i\left(A, P_1 \cap\left(\varOmega_2 \backslash \bar{\varOmega}_1\right), P_1\right)=1,$

说明算子A在P₁∩(Ω₂\Ω₁)上至少有一个不动点, 即微分方程(1)至少存在一个正解。

3. 数值例子

为了说明定理的应用性, 下面给出一个具体的实例。

例1 考虑如下的分数阶微分方程

$\left\{\begin{array}{l} D_{0+}^{\frac{9}{2}} u(t)+\frac{0.6 \mathrm{e}^{0.2021 u}}{1+t}=0 \quad(0<t<1), \\ u(0)=u^{\prime}(0)=u^{\prime \prime}(0)=u^{\prime \prime \prime}(0)=0, \\ \left(D_{0+}^{\frac{5}{2}} u(t)\right)_{t=1}=\frac{1}{8}\left(D_{0+}^{\frac{3}{2}} u(t)\right)_{t=\frac{1}{9}}+\frac{1}{6}\left(D_{0+}^{\frac{1}{2}} u(t)\right)_{t=\frac{1}{3}}, \end{array}\right.$

(5)

其中 $v=\frac{9}{2}, \alpha=\frac{5}{2}, n=5, \alpha_1=\frac{3}{2}, \alpha_2=\frac{1}{2}, \eta_1=\frac{1}{9}, \eta_2=\frac{1}{3}$ , $\beta_1=\frac{1}{8}, \beta_2=\frac{1}{6}, l=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{7}{2}}=\frac{1}{128}, h(t)=\frac{1}{1+t}$ , f(t, u(t))=0.6e^{0.202 1u}。取a≈6.18, b≈0.001。由

$\begin{gathered} p(0)=\frac{\varGamma(v)}{\varGamma(v-\alpha)}-\sum\limits_i \beta_i \frac{\varGamma(v)}{\varGamma\left(v-\alpha_i\right)}\left(\eta_i\right)^{v-\alpha_i-1}= \\ \varGamma\left(\frac{9}{2}\right)\left(1-\frac{1}{1296}-\frac{1}{972}\right)>0, \end{gathered}$

且

$\begin{gathered} G(1, t) \leqslant \frac{1}{p(0)} \approx 0.0096 \quad(0<t<1), \\ G(1, t) \geqslant \frac{0.2421875}{\varGamma(9 / 2)} \approx 0.0023 \quad\left(\frac{1}{4} \leqslant t \leqslant \frac{3}{4}\right) 。 \end{gathered}$

取

$h_0=\int_0^1 G(1, t) \frac{1}{1+t} \mathrm{~d} t, h_\tau=\int_{1 / 4}^{3 / 4} G(1, t) \frac{1}{1+t},$

有

$h_0=\int_0^1 G(1, t) \frac{1}{1+t} \mathrm{~d} t, h_\tau=\int_{1 / 4}^{3 / 4} G(1, t) \frac{1}{1+t},$

经过推导，当u≤39.752 6≤bl^-1h_τ^-1时，f(t, u(t))≤150.757 4u≤h₀^-1u; 当al^-1h_τ^-1≥u≥62.024 6≥alh_τ^-1时，f(t, u(t))≥1 284.652 9u≥h_τ^-1u。

综上可知，微分方程(5)满足定理1的3个条件，则该方程至少存在一个正解。

图 1 丝电爆电路原理

Figure 1. The principle of wire electric explosion circuit

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图 2 金属丝阻性电压、电阻、沉积能量及回路电流随时间变化曲线

Figure 2. The curves of resistivevoltage, resistance, deposition energy and loop current of metal wire with time

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图 3 不同充电电压下金属丝电阻随能量变化曲线

Figure 3. The variation curve of wire resistance with energy at different charging voltages

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图 4 镍铁丝电阻的理论计算结果与实验结果对比

Figure 4. The comparison of theoretical calculation results and experimental results of Ni-Fe wire resistance

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图 5 直径0.4 mm镍铁丝的理论电阻-能量变化曲线

Figure 5. The theoretical resistance-energy variation curve of 0.4 mm diameter Ni-Fe wire

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图 6 直径0.4 mm的镍铁丝在不同初始充电电压下的SEM图

Figure 6. The SEM images of Ni-Fe wire of 0.4 mm wire diameter at different initial charging voltages

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图 7 不同充电电压下制备镍铁粉末的粒径分布

Figure 7. The particle size distribution of Ni-Fe powder prepared under different charging voltages

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图 8 充电电压13 kV条件下制备的镍铁粉末的XRD图谱

Figure 8. The XRD pattern of Ni-Fe powder prepared under the charging voltage of 13 kV

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表 1 不同充电电压下制备镍铁粉末的颗粒尺寸

Table 1 The particle size of Ni-Fe powder prepared under different charging voltages

储能电压/kV	平均粒径/nm	最小粒径/nm	最大粒径/nm
11	47.98	17.19	97.98
12	46.73	21.79	72.63
13	45.54	24.79	70.36
14	48.37	24.17	81.82
15	46.66	21.11	67.73

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