度量<i>G</i>-空间中<i>G</i>-强链回归点集的动力学性质

冀占江

doi:10.6054/j.jscnun.2022034

度量G-空间中G-强链回归点集的动力学性质

冀占江^,

梧州学院大数据与软件工程学院/广西高校图像处理与智能信息系统重点实验室/广西高校行业软件技术重点实验室，梧州 543002

基金项目:

广西自然科学基金项目 2020JJA110021

梧州学院校级重点项目 2020B007

详细信息

通讯作者:
冀占江，Email：1395954261@qq.com

中图分类号: O189.11
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出版历程
- 收稿日期: 2021-04-23
- 网络出版日期: 2022-05-11
- 刊出日期: 2022-04-24

The Dynamical Property of G-Strong Chain Recurrent Point Set in Metric G-space

JI Zhanjiang^,

School of Data Science and Software Engineering/Guangxi Colleges and Universities Key Laboratory of Image Processing and Intelligent Information System/Guangxi Colleges and Universities Key Laboratory of Professional Software Technology, Wuzhou University, Wuzhou 543002, China

摘要

摘要: 在拓扑群作用下的度量空间中研究了G-强链回归点集的拓扑结构和特征，得到G-强链回归点集的若干结论：(1)设(X, d)是紧致度量G-空间，G是紧致的拓扑群，f: X→X连续，则SCR_G(f)是闭集; (2)设(X, d)是紧致度量G-空间，G是紧致的拓扑群，f: X→X同胚伪等价，则f(SCR_G(f))=SCR_G(f); (3)设(X, d)是紧致度量G-空间，f: X→X同胚伪等价且度量d对群G不变，则SCR_G(f)=SCR_G(f^-1)。
- 度量G-空间 /
- 伪等价映射 /
- G-强链回归点
Abstract: The topological structure and characteristics of G-strong chain regression point set are studied in the metric space under topological group action and some conclusions of G-strong chain regression point set are obtained: (1) Let (X, d) be a compact metric G-space, G be a compact topological group, and f: X→X be a continuous map; then the set SCR_G(f) is a closed set; (2) Let (X, d) be a compact metric G-space, G be a compact topological group, and f: X→X be an homeomorphic pseudoequivalent map; then f(SCR_G(f))=SCR_G(f); (3) Let(X, d)be a compact metric G-space, f: X→X be an homeomorphic pseudoequivalent map and the metric d be invariant to group G; then SCR_G(f)=SCR_G(f^-1).
- metric G-space /
- pseudo equivalent map /
- G-strong chain recurrent point

HTML全文

跟踪性是拓扑动力系统中非常重要的定义，不仅在计算数学和生物数学方面有着广泛的应用前景，而且已经成为计算机学科某个领域中的一种重要技术工具。

很多学者对跟踪性的动力学性质进行了研究^[1-10]，如：在动力系统中讨论了平均跟踪性质与q-平均跟踪性质的关系^[5]；在群作用下的逆极限空间中证明了自映射具有G-跟踪性的充分必要条件是移位映射具有G-跟踪性^[6]；在非自治离散动力系统中证明了序列映射{f_k}_k=0^∞具有强跟踪性的充分必要条件是序列映射{g_k}_k=0^∞具有强跟踪性^[7]。

另外，强链回归点集是拓扑动力系统研究的重要内容^[11-14]。如：文献[11]证明了强链回归点集是闭集，文献[12]证明了强链回归点集对同胚映射f是强不变的。但是，文献[11-12]只是在度量空间中研究了强链回归点集的动力学性质和拓扑结构，并未涉及拓扑群作用下的度量空间中强链回点集的性质和结构。基于此，本文在拓扑群作用下的度量空间中研究G-强链回点集的动力学性质，得到了G-强链回点集的若干结论。

1. 预备知识

定义1 ^[15] 设(X, d)是度量空间，G是拓扑群，称(X, d)是度量G-空间，如果映射φ: G×X→X满足

(1) ∀x∈X，有φ(e, x)=x，其中e为G的单位元；

(2) ∀g₁, g₂∈G和∀x∈X，有φ(g₁, φ(g₂, x))=φ(g₁g₂, x)。

为了书写方便，通常将φ(g, x)简写为gx。若(X, d)是紧致度量空间，则称(X, d)是紧致度量G-空间。

定义2 ^[15] 设(X, d)是度量G-空间，f: X→X连续，称f是伪等价映射，如果∀g ∈G，∀x ∈X，∃h ∈G，使得f(gx)=hf(x)成立。

定义3 ^[16] 设(X, d)是度量G-空间，若∀x, y ∈X，∀g ∈G，有d(gx, gy)=d(x, y)，则称度量d对拓扑群G不变。

定义4 ^[6] 设(X, d)是度量G-空间，f: X→X连续，δ>0，称{x_i}_i=0ⁿ是f作用下从x₀到x_n的强(G, δ)-链，如果存在g_i ∈G，使得 $\sum\limits_{i=0}^{n-1}$ d(g_if(x_i), x_i+1) < δ成立。

定义5 ^[6] 设(X, d)是度量G-空间，f: X→X连续，称x是f的G-强链回归点，如果对任意的ε>0，存在f作用下从x到x的强(G, ε)-链。f的G-强链回归点集记为SCR_G(f)。

引理1 ^[16] 设(X, d)是紧致度量G-空间，G是紧致的拓扑群，则∀η>0，∃0 < η₀ < η，当d(u, v) < η₀时，∀s ∈G，有d(su, sv) < η。

2. 主要结果

定理1 设(X, d)是紧致度量G-空间，G是紧致的拓扑群，f: X→X连续，则SCR_G(f)是闭集。

证明设z ∉SCR_G(f)，则存在ε₀>0满足以下条件：不存在z到z的强(G, ε₀)-链。由引理1，可得：∃0 < δ₁ < ε₀/6，当d(u, v) < δ₁时，∀g ∈G，有

$d(g u, g v)<\frac{\varepsilon_{0}}{6} 。$

(1)

结合f: X→X一致连续可以得到，对δ₁>0，∃0 < δ₂ < δ₁，当d(u, v) < δ₂时，有

$d(f(u), f(v))<\delta_{1}。$

(2)

下证B(z, δ₂)∩SCR_G(f)= $\varnothing$ 。取x∈B(z, δ₂)，假设存在x到x的强(G, ε₀/6)-链{x_i }_i=0^m (x₀=x_m=x)，则∀0≤i≤m，∃g_i ∈G，使得

$\sum\limits_{i=0}^{m-1} d\left(g_{i} f\left(x_{i}\right), x_{i+1}\right)<\frac{\varepsilon_{0}}{6} 。$

特别地，

$d\left(g_{0} f(x), x_{1}\right)<\frac{\varepsilon_{0}}{6}, d\left(g_{m-1} f\left(x_{m-1}\right), x\right)<\frac{\varepsilon_{0}}{6} 。$

由x ∈B(z, δ₂)和式(1)、(2)，可得：

$d\left(g_{0} f(x), g_{0} f(z)\right)<\frac{\varepsilon_{0}}{6},$

则

$d\left(g_{0} f(z), x_{1}\right)<d\left(g_{0} f(z), g_{0} f(x)\right)+d\left(g_{0} f(x), x_{1}\right)<\frac{\varepsilon_{0}}{3},$

$d\left(g_{m-1} f\left(x_{m-1}\right), z\right)<d\left(g_{m-1} f\left(x_{m-1}\right), x\right)+d(x, z)<\frac{\varepsilon_{0}}{3} 。$

从而有

$\begin{aligned} &d\left(g_{0} f(z), x_{1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{m-2} d\left(g_{i} f\left(x_{i}\right), x_{i+1}\right)+d\left(g_{m-1} f\left(x_{m-1}\right), z\right)< \\ &\ \ \ \ \ \ \frac{\varepsilon_{0}}{3}+\frac{\varepsilon_{0}}{3}+\frac{\varepsilon_{0}}{6}<\varepsilon_{0} 。 \end{aligned}$

所以，{z, x₁, x₂, …, x_m-1, z}是强(G, ε₀)-链，这与前面的不存在z到z的强(G, ε₀)-链矛盾，故不存在x到x的强(G, ε₀/6)-链，则有

$x \notin \mathrm{SCR}_{G}(f), B\left(z, \delta_{2}\right) \cap \operatorname{SCR}_{G}(f)=\varnothing, z \notin \overline{\operatorname{SCR}_{G}(f)} 。$

所以， $\overline{\operatorname{SCR}_{G}(f)}$ ⊂SCR_G(f)，SCR_G(f)是闭集。证毕。

定理2 设(X, d)是紧致度量G-空间，G是紧致的拓扑群，f: X→X同胚伪等价，则

$f\left(\operatorname{SCR}_{G}(f)\right)=\operatorname{SCR}_{G}(f)。$

证明设z ∈SCR_G(f)，由引理1可得：∀ε>0，∃0 < δ₁ < ε/9，当d(u, v) < δ₁时，∀g ∈G，有

$d(g u, g v)<\frac{\varepsilon}{9} 。$

(3)

结合f: X→X一致连续，可得：∃0 < δ₂ < δ₁，当d(u, v) < δ₂时，有

$d(f(u), f(v))<\delta_{1}。$

(4)

由z ∈SCR_G(f)可得：存在f作用下的强(G, δ₂)- 链{z_i }_i=0ⁿ (z₀=z_n=z)。因此，∀0≤i≤n，∃g_i ∈G，使得

$\sum\limits_{i=0}^{n-1} d\left(g_{i} f\left(z_{i}\right), z_{i+1}\right)<\delta_{2},$

故

$d\left(g_{0} f(z), z_{1}\right)<\delta_{2}, d\left(g_{1} f\left(z_{1}\right), z_{2}\right)<\delta_{2}。$

由f伪等价和式(4)知，∃t₀ ∈G，使得

$d\left(t_{0} f^{2}(z), f\left(z_{1}\right)\right)<\delta_{1},$

再结合式(3)，可得

$d\left(g_{1} t_{0} f^{2}(z), g_{1} f\left(z_{1}\right)\right)<\frac{\varepsilon}{9} 。$

则

$\begin{aligned} &d\left(g_{1} t_{0} f^{2}(z), z_{2}\right)<d\left(g_{1} t_{0} f^{2}(z), g_{1} f\left(z_{1}\right)\right)+ \\ &\ \ \ \ \ \ d\left(g_{1} f\left(z_{1}\right), z_{2}\right)<\frac{2}{9} \varepsilon, \end{aligned}$

故

$\begin{gathered} d\left(g_{1} t_{0} f^{2}(z), z_{2}\right)+\sum\limits_{i=2}^{n-1} d\left(g_{i} f\left(z_{i}\right), z_{i+1}\right)+ \\ d(e f(z), f(z))<\frac{2}{9} \varepsilon+\frac{1}{9} \varepsilon<\varepsilon。 \end{gathered}$

因此，{f(z), z₂, z₃, …, z_n-1, z, f(z)}是f作用下的强(G, ε)-链，从而有f(z)∈SCR_G(f)，f(SCR_G(f))⊂SCR_G(f)。

设x ∈SCR_G(f)，由引理1有：∃0 < δ₃ < ε/4，当d(u, v) < δ₃时，∀g ∈G，有

$d(g u, g v)<\frac{\varepsilon}{4} 。$

(5)

因为f^-1一致连续，所以对δ₃>0，∃0 < δ₄ < δ₃，当d(u, v) < δ₄时，有

$d\left(f^{-1}(u), f^{-1}(v)\right)<\delta_{3}。$

(6)

由x ∈SCR_G(f)可得：存在强(G, δ₄)-链{x_i }_i=0^p (x₀=x_p=x)。则∀0≤i≤p，∃l_i ∈G，使得

$\sum\limits_{i=0}^{p-1} d\left(l_{i} f\left(x_{i}\right), x_{i+1}\right)<\delta_{4}。$

特别地，

$d\left(l_{p-1} f\left(x_{p-1}\right), x\right)<\delta_{4}, d\left(l_{p-2} f\left(x_{p-2}\right), x_{p-1}\right)<\delta_{4} 。$

由f伪等价和式(6), 可得: ∃l′_p-1∈G，使得

$d\left(f^{-1}(x), l_{p-1}^{\prime} x_{p-1}\right)<\delta_{3} \text { 。 }$

由式(5)有

$d\left(l_{p-1}^{\prime} l_{p-2} f\left(x_{p-2}\right), l_{p-1}^{\prime} x_{p-1}\right)<\frac{\varepsilon}{4},$

则

$\begin{aligned} &d\left(l_{p-1}^{\prime} l_{p-2} f\left(x_{p-2}\right), f^{-1}(x)\right) \leqslant \\ &\ \ \ \ d\left(l_{p-1}^{\prime} l_{p-2} f\left(x_{p-2}\right), l_{p-1}^{\prime} x_{p-1}\right)+d\left(l_{p-1}^{\prime} x_{p-1}, f^{-1}(x)\right)<\frac{\varepsilon}{2}, \end{aligned}$

故

$\begin{gathered} d\left(e f\left(f^{-1}(x)\right), x\right)+\sum\limits_{i=0}^{p-3} d\left(l_{i} f\left(x_{i}\right), x_{i+1}\right)+ \\ d\left(l_{p-1}^{\prime} l_{p-2} f\left(x_{p-2}\right), f^{-1}(x)\right)<\varepsilon。 \end{gathered}$

因此，{f^-1(x), x, x₁, …, x_p-2, f^-1(x)}是f作用下的强(G, ε)-链，从而有f^-1(x)∈SCR_G(f)，SCR_G(f)⊂f(SCR_G(f))。证毕。

定理3 设(X, d)是紧致度量G-空间，f: X→X同胚伪等价且度量d对G不变，则

$\operatorname{SCR}_{G}(f)=\operatorname{SCR}_{G}\left(f^{-1}\right)。$

证明设z ∈SCR_G(f)。由f^-1的一致连续性, 可得：∀ε>0，∃0 < δ₁ < ε/3，当d(u, v) < δ₁时，有

$d\left(f^{-1}(u), f^{-1}(v)\right)<\frac{\varepsilon}{3} 。$

(7)

由z ∈SCR_G(f)可得：存在强(G, δ₁)-链{z_i }_i=0^m (z₀=z_m=z)。则∀0≤i≤m，∃g_i ∈G，使得

$\sum\limits_{i=0}^{m-1} d\left(g_{i} f\left(z_{i}\right), z_{i+1}\right)<\delta_{1},$

(8)

则有

$d\left(g_{m-1} f\left(z_{m-1}\right), z\right)<\delta_{1}, d\left(g_{m-2} f\left(z_{m-2}\right), z_{m-1}\right)<\delta_{1} 。$

由式(7)和f伪等价, 可得：∃t_m-1∈G，使得

$d\left(f^{-1}(z), t_{m-1} z_{m-1}\right)<\frac{\varepsilon}{3} 。$

由度量d对G不变, 可得：

$d\left(t_{m-1} g_{m-2} f\left(z_{m-2}\right), t_{m-1} z_{m-1}\right)=d\left(g_{m-2} f\left(z_{m-2}\right), z_{m-1}\right)<\delta_{1}。$

由三角不等式可得

$\begin{gathered} d\left(f^{-1}(z), t_{m-1} g_{m-2} f\left(z_{m-2}\right)\right)<d\left(f^{-1}(z), t_{m-1} z_{m-1}\right)+ \\ d\left(t_{m-1} z_{m-1}, t_{m-1} g_{m-2} f\left(z_{m-2}\right)\right)<\frac{\varepsilon}{3}+\delta_{1}<\frac{2 \varepsilon}{3}。 \end{gathered}$

由度量d对G不变，有

$\begin{aligned} &d\left(\left(t_{m-1} g_{m-2}\right)^{-1} f^{-1}(z), f\left(z_{m-2}\right)\right)= \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ d\left(f^{-1}(z), t_{m-1} g_{m-2} f\left(z_{m-2}\right)\right)<\frac{2}{3} \varepsilon。 \end{aligned}$

由式(8)，有

$\sum\limits_{i=0}^{m-3} d\left(g_{i} f\left(z_{i}\right), f^{-1}\left(f\left(z_{i+1}\right)\right)\right)<\delta_{1}。$

由度量d对G不变, 有

$\sum\limits_{i=0}^{m-3} d\left(\left(g_{i}\right)^{-1} f^{-1}\left(f\left(z_{i+1}\right)\right), f\left(z_{i}\right)\right)<\delta_{1},$

则有

$\begin{aligned} &d\left(\left(t_{m-1} g_{m-2}\right)^{-1} f^{-1}(z), f\left(z_{m-2}\right)\right)+ \\ &\ \ \ \ \sum\limits_{i=0}^{m-3} d\left(\left(g_{i}\right)^{-1} f^{-1}\left(f\left(z_{i+1}\right)\right), f\left(z_{i}\right)\right)+ \\ &\ \ \ \ d\left(e f^{-1}\left(f\left(z_{0}\right)\right), z\right)<\frac{2}{3} \varepsilon+\delta<\varepsilon。 \end{aligned}$

故{z, f(z_m-2), f(z_m-3), …, f(z₂), f(z₁), f(z₀), z}是f^-1作用下的强(G, ε)-链，因此z ∈SCR_G(f^-1)，故SCR_G(f)⊂SCR_G(f^-1)。

设y ∈SCR_G(f^-1)。由于f一致连续，故对∀η>0，∃0 < δ₂ < η/4，当d(u, v) < δ₂时，有

$d(f(u), f(v))<\frac{\eta}{4}。$

(9)

由y ∈SCR_G(f^-1)可得：存在f^-1作用下的强(G, δ₂)-链{y_i }_i=0ⁿ (y₀=y_n=y)。故∀0≤i≤n，∃p_i ∈G，使得

$\sum\limits_{i=0}^{n-1} d\left(p_{i} f^{-1}\left(y_{i}\right), y_{i+1}\right)<\delta_{2},$

(10)

则有

$d\left(p_{n-1} f^{-1}\left(y_{n-1}\right), y\right)<\delta_{2}, d\left(p_{n-2} f^{-1}\left(y_{n-2}\right), y_{n-1}\right)<\delta_{2} 。$

由式(9)和f伪等价, 有：∃l_n-1∈G，使得

$d\left(f(y), l_{n-1} y_{n-1}\right)<\frac{\eta}{4} 。$

由度量d对G不变，有

$\begin{gathered} d\left(l_{n-1} p_{n-2} f^{-1}\left(y_{n-2}\right), l_{n-1} y_{n-1}\right)= \\ d\left(p_{n-2} f^{-1}\left(y_{n-2}\right), y_{n-1}\right)<\delta_{2}, \end{gathered}$

由三角不等式，可得

$\begin{gathered} d\left(f(y), l_{n-1} p_{n-2} f^{-1}\left(y_{n-2}\right)\right)<d\left(f(y), l_{n-1} y_{n-1}\right)+ \\ d\left(l_{n-1} y_{n-1}, l_{n-1} p_{n-2} f^{-1}\left(y_{n-2}\right)\right)<\frac{\eta}{4}+\delta_{2}<\frac{\eta}{2} 。 \end{gathered}$

再由度量d对G不变，有

$\begin{gathered} d\left(\left(l_{n-1} p_{n-2}\right)^{-1} f(y), f^{-1}\left(y_{n-2}\right)\right)= \\ d\left(f(y), l_{n-1} p_{n-2} f^{-1}\left(y_{n-2}\right)\right)<\frac{\eta}{2} 。 \end{gathered}$

由式(10)可得

$\begin{gathered} \sum\limits_{i=0}^{n-3} d\left(f\left(f^{-1}\left(y_{i+1}\right)\right), p_{i} f^{-1}\left(y_{i}\right)\right)= \\ \sum\limits_{i=0}^{n-3} d\left(p_{i} f^{-1}\left(y_{i}\right), y_{i+1}\right)<\delta_{2}。 \end{gathered}$

再由度量d对G不变, 可得

$\sum\limits_{i=0}^{n-3} d\left(\left(p_{i}\right)^{-1} f\left(f^{-1}\left(y_{i+1}\right)\right), f^{-1}\left(y_{i}\right)\right)<\delta_{2}。$

故

$\begin{aligned} &d\left(\left(l_{n-1} p_{n-2}\right)^{-1} f(y), f^{-1}\left(y_{n-2}\right)\right)+ \\ &\ \ \ \ \sum\limits_{i=0}^{n-3} d\left(\left(p_{i}\right)^{-1} f\left(f^{-1}\left(y_{i+1}\right)\right), f^{-1}\left(y_{i}\right)\right)+ \\ &\ \ \ \ d\left(e f\left(f^{-1}\left(y_{0}\right)\right), y\right)<\frac{\varepsilon}{2} \eta+\delta_{2}<\eta。 \end{aligned}$

则{y, f^-1(y_n-2), …, f^-1(y₂), f^-1(y₁), f^-1(y), y}是f作用下的强(G, η)-链，故y ∈SCR_G(f)，因此SCR_G(f^-1) ⊂SCR_G(f)。证毕。

3. 总结

本文引入G-强链回归点集的概念，在度量G-空间中研究G-强链回归点集的动力学特征。主要结论如下：(1)SCR_G(f)是闭集且对同胚映射f强不变；(2)SCR_G(f)=SCR_G(f^-1)。所得的结论推广文献[6-7]中强链回归点集的结果，为其在实际中的应用提供了理论依据。

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