具有逆断面的正则半群^[1]因具有相对集中的逆子半群的结构而备受关注, 断面的概念也在不断拓展^[2-4]. 1989年，SAITO^[5]给出了具有逆断面的正则半群的结构定理: 具有逆断面的正则半群S由3个构件(I、S^°和Λ)组成, 其中S^°是S的逆子半群. 1997年, TANG^[6]指出, 对于一般的具有逆断面的正则半群来说, I、Λ都是S的子半群, 而且I、Λ分别为左正则带、右正则带. 此后, I、Λ、S^°以及包含I和S^°的左逆子半群L、包含Λ和S^°的右逆子半群R成为了学者们比较关注的正则半群S的重要的子半群^[6-7].

格林关系在半群的结构中起着重要的作用, 在正则半群中更是如此, 如BLYTH和ALMEIDA SANTOS^[8]利用格林关系对具有逆断面的正则半群进行分类. 同余在一般半群或正则半群上也有类似的作用, 如：HOWIE和LALLEMENT^[9]证明了由格林关系$\mathcal{D}$生成的同余$\mathcal{D}$^*和由格林关系$\mathcal{J}$生成的同余$\mathcal{J}$^*是相等的, 且$\mathcal{D}$^*=$\mathcal{J}$^*是正则半群S上的最小半格同余; PASTIJN和PETRICH^[10]确定了格林关系$\mathcal{L}$、$\mathcal{R}$、$\mathcal{D}$所生成的同余$\mathcal{L}$^*、$\mathcal{R}$^*、$\mathcal{D}$^*和格林关系$\mathcal{L}$、$\mathcal{R}$、$\mathcal{D}$在幂等元集E上的限制所生成的同余($\mathcal{L}$|_E)^*、($\mathcal{R}$|_E)^*、($\mathcal{D}$|_E)^* 所对应的半群类, 从而刻画了由它们所生成的同余子格.

在一般的正则半群上, PASTIJN和PETRICH^[10]给出了由格林关系所生成的同余和由格林关系在幂等元集E上的限制所生成的同余的一般描述; 在特殊的正则半群上, 冯莹莹和汪立民^[11]更精细地刻画了由格林关系所生成的同余和由格林关系在幂等元集E上的限制所生成的同余. 幂等元集E是正则半群的重要子集, 而I、Λ、S^°、L、R是具有逆断面的正则半群的重要子半群. 本文研究在具有逆断面的正则半群上, 由格林关系所生成的同余和由格林关系在子半群I、S^°、Λ、L、R上的限制所生成的同余, 确定它们所对应的半群类, 从而刻画由它们所生成的同余子格.

1.   预备知识

设S是半群, 记S的幂等元集为E(S), 或简记为E. S上的恒等关系记为ε. S上的等价关系格和同余格分别记为$\mathcal{E}$(S)和$\mathcal{C}$(S). 设$\mathcal{P}$∈{$\mathcal{L}$,$\mathcal{R}$,$\mathcal{D}$}, ρ ∈$\mathcal{C}$(S), A是S的子集, 记Aρ={aρ|a∈A}, E(A)={e ∈A|e²=e}, 分别记由$\mathcal{P}$和$\mathcal{P}$|_A生成的同余为$\mathcal{P}$^*和($\mathcal{P}$|_A)^*. S和S/ρ上的格林关系$\mathcal{P}$分别记为$\mathcal{P}$和$\mathcal{P}$_S/ρ. 若A是S的子半群, 则记A上的$\mathcal{P}$-关系为$\mathcal{P}$^A. 设a∈S, 记V(a)={x∈S|axa=a, xax=x}为a的逆元集.

设S是正则半群, S^°是S的逆子半群, 如果对S中的任一个元x, x在S^°中有且仅有一个逆元, 即|V(x)∩S^°|=1, 则称S^°是S的逆断面. 如果S^°还是S的拟理想, 即S^°SS^°⊆S^°, 则称S^°为S的Q-逆断面. x在S^°中的唯一的逆元记为x^°. 记(x^°)^°为x^°°. 于是, x^°°°=x^°. 若x是S的子集, 记x^°={x^°∈S^°|x∈x}. 本文中, 如无特别声明, S均指具有逆断面S^°的正则半群.

下面给出具有逆断面的正则半群的运算和子半群方面已有的结论.

结论1^[7] 设S是具有逆断面的正则半群, 则对任意x, x∈S, 有

(1) (xy)^°=y^°(xyy^°)^°=(x^°xy)^°x^°=y^°(x^°xyy^°)^°x^°;

(2) (xy^°)^°=y^°°x^°.

结论2^[12] 设S是具有逆断面的正则半群, 则S是纯正的当且仅当对任意x, y∈S, (xy)^°=y^°x^°.

结论3^[6-7] 设S是具有逆断面的正则半群, 则

(1) I={x∈S|x=xx^°}={xx^°|x ∈S}是左正则带, Λ={x ∈S|x=x^°x}={x^°x|x ∈S}是右正则带; I、Λ具有公共逆断面E(S^°), 且I∩Λ=E(S^°);

(2) L={x ∈S|x=xx^°x^°°}={xx^°x^°°|x ∈S}是左逆半群, R={x∈S|x=x^°°x^°x}={x^°°x^°x|x∈S}是右逆半群; E(L)=I, E(R)=Λ; L、R具有公共逆断面S^°, 且L∩R=S^°, I∩R=L∩Λ=E(S^°).

具有逆断面的正则半群S的这几个子半群之间的关系可用图 1表示.

图  1  几个子半群之间的关系

Figure  1.  Relationship among the subsemigroups

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结论4^[13] 设S是具有逆断面S^°的正则半群, ρ是S上的同余, 则S^°/ρ^°≈S^°ρ是S/ρ的逆断面, 其中ρ^°=ρ|_S^°.

我们知道, 把握正则半群主要是在格林关系的框架下, 利用幂等元和逆元来确定元素及其乘积的位置. 利用格林关系, 可以定义如下几种半群类:

(1) 左正则带^[14]. 如果带S上$\mathcal{L}$=$\mathcal{D}$, 则称S为左正则带. 左正则带还有2种等价的定义方式: 一种是带S上$\mathcal{R}$=ε; 另一种是对任意a, x∈S, axa=ax.

(2) 右正则带^[14]. 如果带S上$\mathcal{R}$=$\mathcal{D}$, 则称S为右正则带. 等价地, 设S是带, 如果对任意a, x ∈S, axa=xa, 那么称S是右正则带.

(3) 正则带^[14]. 如果带S是一个左正则带和一个右正则带的次直积, 则称S是正则带. 等价地, 设S是带, 如果对任意a, x, y∈S, axya=axaya, 那么称S是正则带.

(4) 左逆半群^[10]. 如果S是纯正半群, 且幂等元集E(S)是左正则带, 则称S是左逆半群. 这类半群有时也称作R-unipotent的, 因为它的每个$\mathcal{R}$-类有且只有一个幂等元.

(5) 右逆半群^[10]. 如果S是纯正半群, 且幂等元集E(S)是右正则带, 则称S是右逆半群. 这类半群有时也称为L-unipotent的, 因为它的每个$\mathcal{L}$-类有且只有一个幂等元.

(6) 拟逆半群^[10]. 幂等元集是正则带的纯正半群称为拟逆半群. 半群S是拟逆半群当且仅当S是正则半群, 且是一个左逆半群和一个右逆半群的次直积.

一般地，常用$\mathscr{LRB}$表示左正则带，用$\mathscr{RRB}$表示右正则带，用$\mathscr{RB}$表示正则带，用$\mathscr{LI}$表示左逆半群，用$\mathscr{RI}$表示右逆半群，用$\mathscr{QI}$表示拟逆半群，用$\mathscr{S}$表示半格，用$\mathscr{I}$表示逆半群. 值得注意的是，上面所列举的半群均保持同态像^[14]，即若$\mathscr{A}$为上述所列举的其中一种半群类，ρ是$\mathscr{A}$- 半群S上的同余，则S/ρ仍为$\mathscr{A}$ -半群. 设$\mathscr{A}$是某半群类，ρ是半群S上的同余，如果ρ是使S/ρ∈$\mathscr{A}$的最小同余, 那么称ρ是最小$\mathscr{A}$- 同余.

PASTIJN和PETRICH^[10]确定了由格林关系和格林关系在幂等元集E上的限制所生成的同余所对应的半群类.

结论5^[10] 设S是正则半群, 则

(1)$\mathcal{L}$^*是最小右正则带同余;

(2)$\mathcal{D}$^*是最小半格同余;

(3) ($\mathcal{L}$|_E)^* 是最小右逆同余;

(4) ($\mathcal{D}$|_E)^*是最小Clifford同余.

2.   主要结果

首先, 给出具有逆断面的正则半群的一些性质; 然后, 考虑与格林关系有关的同余所对应的商半群所属的类型.

命题1 设S是具有逆断面S^°的正则半群, x, y∈S, 则x$\mathcal{R}$xy⇔xx^°yy^°，x$\mathcal{L}$y⇔x^°x=y^°y.

证明 设x$\mathcal{R}$y, 则xx^°$\mathcal{R}$x$\mathcal{R}$y$\mathcal{R}$yy^°. 由于xx^°, yy^°∈I, I是左正则带, 左正则带上$\mathcal{R}$=ε, 故xx^°=yy^°. 反之, 若xx^°=yy^°, 则x$\mathcal{R}$xx^°=yy^°$\mathcal{R}$y, 从而x$\mathcal{R}$y. 类似可证x$\mathcal{L}$y⇔x^°x=y^°y.证毕.

由这个命题立即可得：$\mathcal{R}$|_I=ε_I,$\mathcal{L}$|_Λ=ε_Λ, 从而$\mathcal{D}$|_I=$\mathcal{L}$|_I,$\mathcal{D}$|_Λ=$\mathcal{R}$|_Λ,$\mathcal{R}$|_E(S^°)=$\mathcal{L}$|_E(S^°)=$\mathcal{D}$|_E(S^°)=ε_E(S^°).

下面考虑商半群S/ρ的几个特殊子半群中元素的提升性. 为免符号混淆, 记S/ρ的子半群I、L分别为I(S/ρ)、L(S/ρ), 而S的子半群I、L仍记为I、L.

命题2 设ρ是具有逆断面的正则半群S上的同余, a∈S，有如下结论：

(1) 若aρ∈I(S/ρ), 则存在e∈I, 使得aρ=eρ;

(2) 若aρ∈(S/ρ)^°, 则存在x^°∈S^°, 使得aρ=x^°ρ;

(3) 若aρ∈E((S/ρ)^°), 则存在e^°∈E(S^°), 使得aρ=e^°ρ;

(4) 若aρ∈L(S/ρ), 则存在x∈L, 使得aρ=xρ.

证明 对任意a∈S, (aρ)^°=a^°ρ，可得

(1) 若aρ∈I(S/ρ), 则

aρ=(aρ)(aρ)^°=(aρ)(a^°ρ)=(aa^°)ρ.

于是，aa^°∈I, 且aρ=(aa^°)ρ.

(2) 若aρ∈(S/ρ)^°, 则aρ=(aρ)^°°=(a^°°)ρ. 故a^°°∈S^°, 且aρ=a^°°ρ.

(3) 若aρ∈E((S/ρ)^°)⊆I(S/ρ), 由(1)的证明过程知aρ=(aa^°)ρ. 又, aρ∈E((S/ρ)^°), 所以aρ=(aρ)^°=((aa^°)ρ)^°=(a^°°a^°)ρ. 故a^°°a^°∈E(S^°)且aρ=(a^°°a^°)ρ.

(4) 若aρ∈L(S/ρ), 则aρ=(aρ)(aρ)^°(aρ)^°°=(aρ)(a^°ρ)(a^°ρ)^°=(aρ)(a^°ρ)(a^°°ρ)=(aa^°a^°°)ρ. 于是aa^°a^°°∈L, 且aρ=(aa^°a^°°)ρ. 证毕.

下面考虑S的同态像中格林关系和^°-关系的提升性.

命题3 设S是具有逆断面S^°的正则半群, ρ是S上的同余, A, B∈S/ρ且A=B^°, 则存在a∈A, b∈B, 使得a=b^°.

证明 设B=bρ, 令a=b^°, 则aρ=b^°ρ=(bρ)^°=B^°=A, 故a ∈A, b ∈B且a=b^°. 证毕.

命题4 设S是具有逆断面S^°的正则半群, ρ ∈$\mathcal{C}$(S), 有如下结论:

(1) 若A₁, A₂ ∈I(S/ρ)且A₁$\mathcal{L}$ A₂, 则存在u₁ ∈A₁ ∩I, u₂ ∈A₂∩I, 使得u₁$\mathcal{L}$ u₂;

(2) 若A₁, A₂ ∈(S/ρ)^°且A₁$\mathcal{L}$A₂, 则存在u₁ ∈A₁ ∩S^°, u₂ ∈A₂∩S^°, 使得u₁$\mathcal{L}$u₂.

证明 (1)因为A₁, A₂∈I(S/ρ), 由命题2(1), 存在x₁, x₂∈I, 使得x₁ρ=A₁, x₂ρ=A₂. 令u₁ =x₁x₂^°, u₂=x₂x₁^°, 则u₁=(x₁x₂^°)u₂, u₂=(x₂x₁^°)u₁, 从而u₁$\mathcal{L}$ u₂.

因为A₁$\mathcal{L}$A₂, 由命题1, A₁^°A₁=A₂^°A₂. 而A₁, A₂ ∈ I(S/ρ), 故A₁^°=A₁^°A₁=A₂^°A₂=A₂^°, 于是u₁ ∈A₁A₂^°=A₁A₁^°=A₁, u₂ ∈A₂A₁^°=A₂A₂^°=A₂. 因为x₁, x₂ ∈I, 所以x₁^°, x₂^°∈E(S^°), 从而u₁=x₁x₂^°∈IE(S^°)⊆I, u₂=x₂x₁^° ∈IE(S^°)⊆I. 综上可知, u₁ ∈A₁∩I, u₂ ∈A₂∩I, 且u₁$\mathcal{L}$u₂.

(2) 因为A₁, A₂ ∈(S/ρ)^°, 由命题2(2), 存在x₁, x₂∈S^°, 使得x₁ρ=A₁, x₂ρ=A₂. 令u₁=x₁x₂^°x₂, u₂=x₂x₁^°x₁, 则u₁=(x₁x₂^°)u₂, u₂=(x₂x₁^°)u₁, 从而u₁$\mathcal{L}$u₂.

因为A₁$\mathcal{L}$ A₂, 所以A₁^°A₁=A₂^°A₂. 于是

u₁=x₁x₂^°x₂∈A₁A₂^°A₂=A₁A₁^°A₁=A₁,

u₂=x₂x₁^°x₁∈A₂A₁^°A₁=A₂A₂^°A₂=A₂.

因为x₁, x₂ ∈S^°, 所以u₁, u₂ ∈S^°. 综上, u₁ ∈A₁∩S^°, u₂ ∈A₂∩S^°, 且u₁$\mathcal{L}$u₂. 证毕.

对具有逆断面的正则半群, 右逆半群与右正则带有更简洁的刻画方式.

引理1 设S是具有逆断面的正则半群, 则下列各条件等价:

(1) S是右逆半群;

(2) I=E(S^°);

(3)$\mathcal{L}$|_I=ε_I.

证明 (1)、(2)等价在文献[8]中已证. 下证(2)⇔(3).

(2) ⇒(3). 因为I=E(S^°)是半格, 所以,$\mathcal{L}$|_I=$\mathcal{L}$|_E(S^°)=ε_E(S^°)=ε_I.

(3) ⇒(2). 对任意e ∈I, e$\mathcal{L}$e^°e=e^°; 又, e ∈I, e^°∈E(S^°)⊆I,$\mathcal{L}$|_I=ε_I, 所以e=e^°∈E(S^°), I⊆E(S^°), 从而I=E(S^°). 证毕.

引理2 设S是具有逆断面的正则半群, 则S是右正则带当且仅当L=E(S^°).

证明 若S是右正则带, 则对任意xx^°x^°°∈L, (xx^°)x^°°=(x^°xx^°)x^°°=x^°x^°°∈E(S^°), 于是L⊆E(S^°), 从而L=E(S^°). 若L=E(S^°), 则对任意s∈S, s =(ss^°s^°°)(s^°s)∈LΛ=E(S^°)Λ⊆Λ, 于是S⊆Λ, 从而S=Λ是右正则带. 证毕.

设S是具有逆断面S^°的正则半群, 如果S^°是半格, 则称S是具有半格断面的. 记这类半群为$\mathscr{ST}$. 下面考虑具有半格断面的正则半群与逆半群、右逆半群和拟逆半群类之间的关系.

引理3 在具有逆断面的正则半群类中,

(1)$\mathscr{I}$∩$\mathscr{ST}$=$\mathscr{S}$;

(2)$\mathscr{RI}$∩$\mathscr{ST}$=$\mathscr{RRB}$;

(3)$\mathscr{QI}$∩$\mathscr{ST}$=$\mathscr{RB}$.

证明 (1) 设S既是逆半群, 又是具有半格断面的正则半群. 因为S是逆半群, 所以S=S^°; 又, S具有半格断面, 由文献[15]的引理2.3可知S^°=E(S^°). 于是, S=E(S^°)是半格. 反之, 易证半格既是逆半群, 又是具有半格断面的正则半群.

(2) 若S既是右逆半群, 又是具有半格断面的正则半群, 则由引理1及文献[15]的引理2.3, 有I= E(S^°)=S^°. 因此, 对任意s∈S, s=(ss^°)s^°°(s^°s)∈IS^°Λ=E(S^°) E(S^°)Λ⊆ΛΛΛ=Λ, 从而S⊆Λ, 进而S=Λ是右正则带. 反之, 易证具有逆断面的右正则带既是右逆半群, 又是具有半格断面的正则半群.

(3) 设S是具有半格断面的拟逆半群, 则S^°=E(S^°). 于是, 对任意x∈S, 有

x=xx^°x=(xx^°)x^°x=(xx^°)(x^°x)x^°(xx^°)x=

(xx^°)(x^°x)(xx^°)x^°(xx^°)x=xx,

所以S是带. 又, S是拟逆半群, E(S)是正则带, 于是S=E(S)是正则带. 反之, 若S是具有逆断面的正则带, 则S是拟逆半群, 且S^°是带. 又, S^°是逆半群, 幂等元是交换的, 所以S^°是半格, 从而S是具有半格断面的拟逆半群. 证毕.

引理4 设T是半群S的子半群, 则(ε|_T)^*=ε.

证明 显然, ε|_T⊆ε, 从而(ε|_T)^*⊆ε, 于是, (ε|_T)^*=ε. 证毕.

下面给出本文的主要结论.

定理1 设S是具有逆断面S^°的正则半群, 则

(1) ($\mathcal{L}$|_I)^*=($\mathcal{D}$|_I)^*=($\mathcal{L}$|_E)^*是最小右逆同余;

(2) ($\mathcal{D}$|_S^°)^*=($\mathcal{L}$|_S^°)^*=($\mathcal{R}$|_S^°)^*=($\mathcal{R}$|_L)^*=($\mathcal{L}$|_R)^*是最小$\mathscr{ST}$-同余;

(3) ($\mathcal{L}$|L)^*=($\mathcal{D}$|L)^*=$\mathcal{L}$^*是最小右正则带同余;

(4) ($\mathcal{L}$|Λ)^*=($\mathcal{R}$|I)^*=($\mathcal{L}$|_E(S^°))^*=($\mathcal{R}$|_E(S^°))^*=($\mathcal{D}$|_E(S^°))^*=ε.

证明 首先作一个约定, 当讨论某一同余ξ时, 记S=S/ξ, I=I(S/ξ), S^°=(S/ξ)^°, Λ=Λ(S/ξ), R=R(S/ξ).

(1) 设x($\mathcal{L}$|_I)^*, y($\mathcal{L}$|_I)^*∈S/($\mathcal{L}$|_I)^*, 且(x($\mathcal{L}$|_I)^*)$\mathcal{L}$|I(y($\mathcal{L}$|_I)^*). 由命题4, 存在a, b∈I, 使得a($\mathcal{L}$|_I)^*x, b($\mathcal{L}$|_I)^*y, 且a$\mathcal{L}$|_Ib. 则x($\mathcal{L}$|_I)^*a$\mathcal{L}$|_I b($\mathcal{L}$|_I)^*y, 从而x($\mathcal{L}$|_I)^*= y($\mathcal{L}$|_I)^*. 由引理1, ($\mathcal{L}$|_I)^*是右逆同余. 设ρ是一右逆同余, e, f ∈I且e$\mathcal{L}$|_I f, 则(eρ)$\mathcal{L}$|_I(S/ρ)(fρ). 由引理1, eρ=fρ, 从而$\mathcal{L}$|_I⊆ρ, 进而($\mathcal{L}$|_I)^*⊆ρ. 于是, ($\mathcal{L}$|_I)^*是最小右逆同余. 再由命题1后的论述及文献[10]的定理1(iii)知, ($\mathcal{L}$|_I)^*=($\mathcal{D}$|_I)^*=($\mathcal{L}$|_E)^*是最小右逆同余.

(2) 对任意a($\mathcal{L}$|_S^°)^* ∈ ^°, 由命题2, 不妨设a ∈S^°, 则a, a^°a ∈S^°, 从而a$\mathcal{L}$|_S^°a^°a, 进而a($\mathcal{L}$|_S^°)^*=(a^°a)($\mathcal{L}$|_S^°)^*∈E(^°), 于是^°⊆E(^°), 所以^°=E(^°). 由文献[15]的引理2.3知, 具有半格断面, 从而($\mathcal{L}$|_S^°)^*是$\mathscr{ST}$ -同余. 因为$\mathcal{L}$|_S^°⊆$\mathcal{D}$|_S^°, 所以($\mathcal{L}$|_S^°)^* ⊆($\mathcal{D}$|_S^°)^*. 由文献[15]的命题2.4知, ($\mathcal{D}$|_S^°)^*也是$\mathscr{ST}$ -同余. 设ρ是一个$\mathscr{ST}$ -同余, a$\mathcal{D}$|_S^°b, 则(aρ)$\mathcal{D}$|_(S/ρ)^°(bρ). 由文献[16]的命题1.1.8知, (aρ)$\mathcal{D}$^(S/ρ)°(bρ). 又, aρ, bρ∈(S/ρ)^°=E((S/ρ)^°), 所以aρ=bρ. 于是$\mathcal{D}$|_S^°⊆ρ, 从而($\mathcal{D}$|_S^°)^*⊆ρ. 故($\mathcal{D}$|_S^°)^*是最小$\mathscr{ST}$ -同余. 又, ($\mathcal{L}$|_S^°)^*⊆($\mathcal{D}$|_S^°)^*, 且($\mathcal{L}$|_S^°)^*是$\mathscr{ST}$ -同余, 所以($\mathcal{L}$|_S^°)^*=($\mathcal{D}$|_S^°)^*是最小$\mathscr{ST}$ -同余.

因为$\mathcal{L}$|_S^°⊆$\mathcal{L}$|_R, 所以($\mathcal{L}$|_S^°)^*⊆($\mathcal{L}$|_R)^*, 从而($\mathcal{L}$|_R)^*也是$\mathscr{ST}$ -同余. 设ρ是一个$\mathscr{ST}$ -同余, a$\mathcal{L}$|_Rb, 则a, b∈R, 且a$\mathcal{L}$b, 于是(aρ)$\mathcal{L}$|_R(S/ρ)(bρ). 因为S/ρ具有半格断面, 由文献[15]的引理2.3知, R(S/ρ)=Λ(S/ρ), 有aρ, bρ∈R(S/ρ)=Λ(S/ρ), 所以(aρ)$\mathcal{L}$|_Λ(S/ρ)(bρ), 故aρ=bρ. 因此,$\mathcal{L}$|_R⊆ρ, 从而($\mathcal{L}$|_R)^*⊆ρ. 于是($\mathcal{L}$|_R)^*也是最小$\mathscr{ST}$ -同余. 类似可证($\mathcal{R}$|_S^°)^*=($\mathcal{R}$|_L)^*也是最小$\mathscr{ST}$ -同余. 综上可知, ($\mathcal{D}$|_S^°)^*=($\mathcal{L}$|_S^°)^*=($\mathcal{R}$|_S^°)^*=($\mathcal{L}$|_R)^*=($\mathcal{R}$|_L)^*是最小$\mathscr{ST}$ -同余.

(3) 注意到右逆半群和$\mathscr{ST}$ -半群均保持同态像. 因为($\mathcal{L}$|_I)^* ⊆ ($\mathcal{L}$|_L)^*, ($\mathcal{L}$|_S^°)^* ⊆($\mathcal{L}$|_L)^*, 由(1)、(2)可知S/($\mathcal{L}$|_L)^*既是右逆半群, 又是具有半格断面的正则半群, 从而由引理3知, S/($\mathcal{L}$|_L)^*是右正则带, 即($\mathcal{L}$|_L)^*是右正则带同余. 因为$\mathcal{L}$|_L⊆$\mathcal{D}$|_L, 所以($\mathcal{L}$|_L)^*⊆ ($\mathcal{D}$|_L)^*, 于是($\mathcal{D}$|_L)^*也是右正则带同余. 设ρ是右正则带同余, a, b ∈L且a$\mathcal{D}$|_Lb, 则aρ, bρ ∈L(S/ρ)= E((S/ρ)^°), 且(aρ)$\mathcal{D}$|_E((S/ρ)^°)(bρ). 由文献[16]的命题1.1.8知, (aρ)$\mathcal{D}$^(S/ρ)°(bρ), 从而(aρ)$\mathcal{D}$^L(S/ρ)(bρ). 因为L(S/ρ)是左逆半群, 所以(aρ)$\mathcal{L}$^L(S/ρ)(bρ), 从而(aρ)$\mathcal{L}$^S/ρ(bρ). 而S/ρ是右正则带,$\mathcal{L}$^S/ρ=ε, 故aρ=bρ, 即$\mathcal{D}$|_L⊆ρ, 从而($\mathcal{D}$|_L)^*⊆ρ, 即($\mathcal{D}$|_L)^*是最小右正则带同余. 又, ($\mathcal{L}$|_L)^*⊆ ($\mathcal{D}$|_L)^*, ($\mathcal{L}$|_L)^*也是右正则带同余, 所以($\mathcal{L}$|_L)^*=($\mathcal{D}$|_L)^* 是最小右正则带同余. 再由文献[10]的定理1(i)知, ($\mathcal{L}$|_L)^*= ($\mathcal{D}$|_L)^*=$\mathcal{L}$^*是最小右正则带同余.

(4) 由命题1后的论述及引理4可知, ($\mathcal{L}$|_Λ)^*= (ε_Λ) *=($\mathcal{R}$|_I)^*=(ε_I) *=($\mathcal{L}$|_E(S^°))^*=($\mathcal{R}$|_E(S^°))^*=($\mathcal{D}$|_E(S^°))^*=(ε_E(S^°))^*=ε. 证毕.