代数体函数的几个定理

谭洋

doi:10.6054/j.jscnun.2020015

代数体函数的几个定理

谭洋^,

北京师范大学珠海分校应用数学学院, 珠海 519085

基金项目:

国家自然科学基金项目 11871108

国家自然科学基金项目 11571362

北京师范大学珠海分校教师科研能力促进计划

详细信息

通讯作者:
谭洋, 讲师, Email:shutongtan@sina.com

中图分类号: O174.52
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出版历程
- 收稿日期: 2019-04-24
- 网络出版日期: 2021-03-21
- 刊出日期: 2020-02-24

Several Theorems of Algebroid Functions

TAN Yang^,

School of Applied Mathematics, Beijing Normal University, Zhuhai 519085, China

摘要

摘要: 应用Nevanlinna理论, 首先，研究了代数体函数的唯一性问题, 将亚纯函数五值强化定理推广到代数体函数, 得到了3v+1值强化定理; 其次，研究了当分担值较少时2个代数体函数特征函数之间的关系, 推广了亚纯函数四值定理.
- 代数体函数 /
- 唯一性 /
- 特征函数 /
- 分担值
Abstract: The Nevanlinna theory is used, firstly, to investigate the uniqueness of algebroid functions, extend the strengthening five-valued theorem of meromorphic function to algebroid function and obtain the strengthening 3v+1-valued theorem of algebroid function and, secondly, to study the relation between the characteristic functions of two algebroid functions when they share less shared values and extend the four-valued theorem of meromorphic function.
- algebroid function /
- uniqueness /
- characteristic function /
- shared value

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代数体函数的唯一性是值分布论中的一个重要研究课题, 已有一些研究成果^[1-11].如，VALIRON^[10]给出了著名的4v+1值定理; HE^[11]得到了改进的4v+1值定理; 何育赞^[1]研究了涉及重值的代数体函数的唯一性; 孙道椿和高宗升^[7]定义了代数体函数的运算并进一步研究了涉及重值的代数体函数的唯一性; 姜云波和高宗升^[3]研究了2个代数体函数记重数分担公共值的唯一性问题.我们知道, Nevanlinna开创了亚纯函数值分布理论并得到亚纯函数五值定理^[12]、四值定理^[13].之后，很多学者对亚纯函数值分布进行了深入研究.如强化了亚纯函数五值定理, 得到亚纯函数五值强化定理^[14].

在文献[13-14]的基础上, 本文研究了代数体函数的唯一性问题和分担值较少时2个代数体函数的特征函数之间的关系, 分别将亚纯函数五值强化定理和四值定理推广到代数体函数.

1. 基本概念和相关性质

关于代数体函数的一些基本性质和结果可参阅文献[-].本文的符号除特别说明外均采用Nevanlinna理论的常用符号^[14-16].本文中用 $\mathbb{C}$ 表示复平面, 用 ${\bar{\mathbb{C}}}$ 表示扩充复平面.

设 $A_{k}(z), A_{k-1}(z), \cdots, A_{0}(z)$ 是定义在复平面 $\mathbb{C}$ 上的一组没有公共零点的全纯函数, 则方程

$\mathit{\Phi }\left( {z,W} \right) = {A_k}\left( z \right){W^k} + {A_{k - 1}}\left( z \right){W^{k - 1}} + \cdots + {A_1}\left( z \right)W + {A_0}\left( z \right) = 0$

(1)

定义了 $\mathbb{C}$ 上的一个k值代数体函数.若方程Φ(z, W)=0是关于W的不可约方程, 则称相应的W(z)为k值不可约代数体函数.可约的k值代数体函数W(z)可能分裂成n个不可约代数体函数(包括W=c是常数的情况), 但分裂后的n个新值数 ${{k}_{1}}, \text{ }{{k}_{2}}, \cdots , {{k}_{n}}$ 的和等于原值数 $k=\sum\nolimits_{j=1}^{n}{{}}{{k}_{j}}$ .

类似地, 定义 $\mathbb{C}$ 上的s值代数体函数如下:

$\psi \left( {z,M} \right) = {B_s}\left( z \right){M^s} + {B_{s - 1}}\left( z \right){M^{s - 1}} + \cdots + {B_1}\left( z \right)M + {B_0}\left( z \right) = 0.$

设W(z)是由式(1)定义在复平面 $\mathbb{C}$ 上的k值代数体函数.称 $z_{0} \in \mathbb{C}$ 是W(z)的临界点, 当且仅当 $A_{k}\left(z_{0}\right)=0$ 或者Φ(z₀, W)与偏导数Φ_W(z₀, W)有公共根(即Φ(z₀, W)有重根, z₀为分支点).所有临界点之集称为临界集, 记为S_w, 称其补集 $T_{w}=\mathbb{C}-S_{w}$ 为正则集.每一个临界点 $z_{0} \in S_{w}$ 是孤立点, 在z₀附近|(z-z₀)^kW(z)|有界, 且是可去奇点或极点, 因此, 代数体函数W(z)在球面上是按球距连续的.本文研究的函数一般只在正则集T_w中讨论, 剩下的孤立临界点由连续性即可唯一确定.

不可约k值代数体函数W=W(z)的单值定义域是连通的Riemann曲面 $\tilde{T}_{z}$ , 其上面的点是正则函数元素和临界点函数元素.任意2个正则函数元素 $\left(w_{i}(z), a\right), \left(w_{j}(z), b\right)$ 可沿某路径 $\gamma \subset T_{w}$ 相互解析延拓. $\tilde{T}_{z}$ 是覆盖于 $\mathbb{C}$ 上的k叶开曲面.设 $\mathscr{L}$ 是 $\mathbb{C}$ 内连接w(z)的分支点的曲线, 则在 $\mathbb{C}$ \ $\mathscr{L}$ 内w(z)分离为k个单值分支 $w_{j}(z)(j=1, 2, \cdots, k)$ .记w(z)为 $w(z)=\left\{\left(w_{j}(z), a\right)\right\}_{j=1}^{k}$ .

设W(z)是k值代数体函数, $a \in \overline{\mathbb{C}}, \bar{E}(a, W)$ 表示所有W(z)-a的零点集合(不计重数)， $\bar{n}(r, 1 /(W-a))$ 表示在|z|≤r内W(z)-a的所有零点数(不计重数，但包含有分支点的零点), $\bar{n}_{0}(r, a)$ 表示在|z|≤r内W(z)-a和M(z)-的所有公共零点数(不计重数).相应的计数函数分别记为 $\bar{N}(r, 1 /(W-a))$ 及 $\bar{N}_{0}(r, a)$ , 称 $a\in \bar{\mathbb{C}}$ 是2个代数体函数W(z)和M(z)的IM公共值, 若 $\bar{E}(a, W)=\bar{E}(a, M)$ .

下面给出亚纯函数的五值强化定理和四值定理:

定理A ^[14] 设f(z)和g(z)为2个非常数亚纯函数, a_j (j=1, 2, 3, 4, 5)为判别的复数.如果 $\bar{E}\left(a_{j}, f\right) \subseteq \bar{E}\left(a_{j}, g\right)(j=1, 2, 3, 4, 5)$ , 且

$\mathop {\underline {\lim } }\limits_{r \to \infty } \frac{{\sum\limits_{j = 1}^5 {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{f - {a_j}}}} \right)}}{{\sum\limits_{j = 1}^5 {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{g - {a_j}}}} \right)}} > \frac{1}{2},$

则f(z)≡g(z).

定理B ^[13] 设f(z)和g(z)为2个非常数亚纯函数, 若对判别的复数a_j (j=1, 2, 3, 4), 有 $\bar{E}\left(a_{j}, f\right)=$ $\bar{E}\left( {{a}_{j}}, g \right)(j=1, 2, 3, 4)$ , 则当 $r \notin E$ 时, E为线性测度有穷的集合, 有

(ⅰ) $\mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \, \frac{T(r, f)}{T(r, g)}=1$ ;

(ⅱ)

$\mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \frac{{\sum\limits_{j = 1}^4 {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{f - {a_j}}}} \right)}}{{T\left( {r,f} \right)}} = 2,\mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \frac{{\sum\limits_{j = 1}^4 {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{g - {a_j}}}} \right)}}{{T\left( {r,g} \right)}} = 2;$

(ⅲ)对任意的 $a \neq a_{j}(j=1, 2, 3, 4)$ , 有

$\mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \frac{{\bar N\left( {r,\frac{1}{{f - a}}} \right)}}{{T\left( {r,f} \right)}} = 1,\mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \frac{{\bar N\left( {r,\frac{1}{{g - a}}} \right)}}{{T\left( {r,g} \right)}} = 1.$

引理1 ^[15] 设W(z)为方程(1)所定义的v值代数体函数, $a_{j} \in \overline{\mathbb{C}}(j=1, 2, \cdots, q)$ 是q个不同复数(有穷或否), 则

$(q - 2v)T(r,W) \le \sum\limits_{j = 1}^q {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{W - {a_j}}}} \right) + S(r,W).$

当W(z)为有穷级时, 有

$S(r,W) = O(\log r)\;\;\;\;(r \to \infty );$

当W(z)为无穷级时, 有

$S(r,W) = O(\log rT(r,W))\;\;\;\;(r \to \infty ,r \notin E),$

可能除去一个线性测度有穷的r值集E.

引理2 ^[15] 设W(z)和M(z)为2个v值代数体函数, 若W(z)≢M(z), 则

$\sum {{{\bar N}_0}} (r,a) \le v[T(r,W) + T(r,M)] + O(1).$

2. 主要定理及证明

本文将定理A推广到代数体函数, 得到:

定理1 设W(z)和M(z)为2个v值代数体函数, 若对复数 ${{a}_{j}}(j=1, 2, \cdots , 3v+1)$ , 有 $\bar{E}\left(a_{j}, W\right) \subseteq$ $\bar{E}\left(a_{j}, M\right)(j=1, 2, \cdots, 3 v+1)$ , 且

$\mathop {\underline {\lim } }\limits_{r \to \infty } \frac{{\sum\limits_{j = 1}^{3v + 1} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{W - {a_j}}}} \right)}}{{\sum\limits_{j = 1}^{3v + 1} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{M - {a_j}}}} \right)}} > v,$

则 $W(z) \equiv M(z)$ .

证明首先, 假设 $W(z) \equiv M(z)$ , 则由题设条件 $\bar{E}\left(a_{j}, W\right) \subseteq$ $\bar{E}\left(a_{j}, M\right)(j=1, 2, \cdots, 3 v+1)$ , 可知

$\sum\limits_{j = 1}^{3v + 1} {\bar n} \left( {r,\frac{1}{{W - {a_j}}}} \right) \le \sum {{{\bar n}_0}} (r,a).$

(2)

由式(2), 有

$\sum\limits_{j = 1}^{3v + 1} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{W - {a_j}}}} \right) \le \sum {{{\bar N}_0}} (r,a).$

再由引理2, 有

$\sum\limits_{j = 1}^{3v + 1} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{W - {a_j}}}} \right) \le v[T(r,W) + T(r,M)] + O(1).$

(3)

再结合引理1可得

$\begin{array}{l} \sum\limits_{j = 1}^{3v + 1} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{W - {a_j}}}} \right) \le vT(r,W) + vT(r,M) + O(1) \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\left[ {\frac{v}{{v + 1}} + o(1)} \right]\sum\limits_{j = 1}^{3v + 1} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{W - {a_j}}}} \right) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\left[ {\frac{v}{{v + 1}} + o(1)} \right]\sum\limits_{j = 1}^{3v + 1} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{M - {a_j}}}} \right). \end{array}$

(4)

整理式(4), 有

$\begin{array}{l} \left[ {\frac{1}{{v + 1}} + o(1)} \right]\sum\limits_{j = 1}^{3v + 1} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{W - {a_j}}}} \right) \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\left[ {\frac{v}{{v + 1}} + o(1)} \right]\sum\limits_{j = 1}^{3v + 1} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{M - {a_j}}}} \right). \end{array}$

所以

这与题设条件矛盾, 所以 $W(z) \equiv M(z)$ .证毕.

为研究分担值较少时, 2个代数体函数的特征函数之间的关系, 将定理B推广到代数体函数：

定理2 设W(z)和M(z)为2个v值代数体函数, 若对复数 ${{a}_{j}}(j=1, 2, \cdots , 4v)$ , 有 $\bar{E}\left( {{a}_{j}}, M \right)=\bar{E}\left( {{a}_{j}}, M \right)(j=1, 2, \cdots , 4v)$ , 则当 $r\notin E$ 时, 其中E为线性测度有穷的集合, 有

(ⅰ) $\mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \, \frac{T(r, W)}{T(r, M)}=1$ ;

(ⅱ)

$\mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \frac{{\sum\limits_{j = 1}^{4v} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{W - {a_j}}}} \right)}}{{T(r,W)}} = 2v,\mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \frac{{\sum\limits_{j = 1}^{4v} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{M - {a_j}}}} \right)}}{{T(r,M)}} = 2v;$

(ⅲ)对任意的 $a \neq a_{j}(j=1, 2, \cdots, 4 v)$ , 有

$\mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \frac{{\bar N\left( {r,\frac{1}{{W - a}}} \right)}}{{T(r,W)}} = 1,\mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \frac{{\bar N\left( {r,\frac{1}{{M - a}}} \right)}}{{T(r,M)}} = 1.$

证明 (ⅰ)由引理1, 有

$2vT(r,W) \le (1 + o(1))\sum\limits_{j = 1}^{4v} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{W - {a_j}}}} \right),$

$2vT(r,M) \le (1 + o(1))\sum\limits_{j = 1}^{4v} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{M - {a_j}}}} \right).$

此外, 由于

$\sum\limits_{j = 1}^{4v} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{W - {a_j}}}} \right) \le vT(r,W) + vT(r,M) + O(1),$

$\sum\limits_{j = 1}^{4v} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{M - {a_j}}}} \right) \le vT(r,W) + vT(r,M) + O(1),$

所以

$T(r,W) \le (1 + o(1))T(r,M),$

$T(r,M) \le (1 + o(1))T(r,W).$

从而得到(ⅰ)的结论.

(ⅱ)由(ⅰ)可知

$\begin{array}{l} 2vT(r,W) \le (1 + o(1))\sum\limits_{j = 1}^{4v} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{W - {a_j}}}} \right) \le \\ \;\;\;\;\;\;(1 + o(1))v[T(r,W) + T(r,M)] = \\ \;\;\;\;\;\;(2v + o(1))T(r,W), \end{array}$

则

$\mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \frac{{\sum\limits_{j = 1}^{4v} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{W - {a_j}}}} \right)}}{{T(r,W)}} = 2v.$

同理有

$\mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \frac{{\sum\limits_{j = 1}^{4v} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{M - {a_j}}}} \right)}}{{T(r,M)}} = 2v.$

从而得到(ⅱ)的结论.

(ⅲ)若 $a \neq a_{j}(j=1, 2, \cdots, 4 v)$ , 对W(z)、M(z)及 $\left\{ \bigcup\limits_{j=1}^{4v}{{{a}_{j}}} \right\}\cup \{a\}$ 应用引理1, 则有

$\begin{array}{l} (2v + 1)(1 + o(1))T(r,W) \le \\ \;\;\;\;\;\;\;(1 + o(1))\sum\limits_{j = 1}^{4v} {\bar N} \left( {r,\frac{1}{{W - {a_j}}}} \right) + \bar N\left( {r,\frac{1}{{W - a}}} \right) \le \\ \;\;\;\;\;\;\;(2v + o(1))T(r,W) + \bar N\left( {r,\frac{1}{{W - a}}} \right). \end{array}$

再由代数体函数第一基本定理有

$\bar N\left( {r,\frac{1}{{W - {a_j}}}} \right) \le N\left( {r,\frac{1}{{W - {a_j}}}} \right) \le T(r,W) + o(1).$

从而有

$\mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \frac{{\bar N\left( {r,\frac{1}{{W - a}}} \right)}}{{T(r,W)}} = 1.$

同样可以得到

$\mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \frac{{\bar N\left( {r,\frac{1}{{M - a}}} \right)}}{{T(r,M)}} = 1.$

证毕.

参考文献(16)

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