The On-Chip Solutions to Mode Separation and Crossing of Vertical Multi-Modes in Silicon Waveguide
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摘要: 为了解决硅纳米光子集成器件中纵向分布多模式波导的分离和交叉，提出了一种基于平面阶梯光栅和非对称定向耦合器的模式分离方案，并设计了一种带有曲面反射镜的器件，可实现多模式同时交叉.通过使用三维时域有限差分方法对器件进行仿真，结果表明：设计的平面阶梯光栅可同时分离不同的波长及模式(共9个通道)，并具有低于-30 dB的串扰；曲面反射模式交叉器件可同时让3个模式进行交叉，且对所有模式均具有接近-40 dB的低串扰.Abstract: Solutions to mode separation and crossing of vertically distributed multi-modes inside silicon nanophotonic integrated devices are investigated. Mode demultiplexers based on both echelle gratings and asymmetric directional couplers are demonstrated. A device with curved reflectors which allows multi-modes to cross simultaneously is also designed. The simulation results based on the 3D Finite-Difference Time-Domain methods show that the echelle grating allows altogether 9 channels of different modes and wavelengths to be separated with crosstalks no more than -30 dB. The curved reflectors works properly for crossings of three modes, and the crosstalks are merely around -40 dB.
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投资组合优化研究旨在解决如何科学配置金融资产的投资决策问题，具有重要的现实意义。1952年，MARKOWITZ[1]使用均值和方差描述投资组合的收益和风险，提出均值-方差模型，为投资组合的收益和风险提供了一个可行的量化思路，奠定了现代投资组合理论的基础。在均值-方差模型中，方差衡量了投资组合收益与预期收益的正偏差和负偏差，然而，投资者通常对低于均值的负偏差(即下行风险)更为关注。考虑投资者风险偏好，在研究投资组合优化问题时，学者们倾向于用下行风险代替方差。如：MARKOWITZ[2]使用下半方差度量投资组合的下行风险，提出了均值-下半方差模型；ZHANG和DANG[3]考虑交易费用、借贷约束和门槛约束，提出了可容许的均值-下半方差投资组合模型，并运用改进的旋转算法求解；张鹏等[4]考虑现实约束，提出了多阶段均值-标准下半方差模糊投资组合模型，并讨论了其时间一致性最优投资策略。
上述研究都是针对单目标投资组合问题展开的，但现实中投资者往往考虑多重目标。已有研究[5]表明，风险资产收益率并不完全对称，与正态分布相比，资产收益往往呈肥尾分布。一些学者把高阶矩纳入投资组合问题分析框架，研究包含高阶矩的多目标投资组合问题。如：ABID等[6]通过最大化收益和偏度、最小化方差和峰度来构建投资组合模型；考虑到高阶矩的非凸性和高维数的计算困难，ZHOU和PALOMAR[7]基于连续凸逼近算法框架求解高阶投资组合问题，且证明了该算法的收敛性和有效性；杨兴雨等[8]以最大化模糊投资组合净收益的期望与偏度、最小化其下半方差为目标函数，构建了带红利和税收的多目标模糊投资组合优化模型。此外，一些学者把流动性纳入投资组合模型，研究包含流动性目标的多目标投资组合优化问题。如：MORTEZA等[9]提出包含回报、流动性和风险的多目标投资组合模型，运用多目标优化方法PMP-WOA求解；JALOTA等[10]考虑收益、风险和流动性，构建了多目标可信性投资组合模型，并采用MIBEX-SM遗传算法和ECE方法求解；WU等[11]构建了包含公司财务、企业社会责任和股票市场表现的多目标投资组合模型。
近年来，机器学习技术在投资组合优化领域的应用日益增多，主要集中在以下4个方面：(1)运用机器学习模型预测股票收益率，构建股票池，并在此基础上进行投资组合优化。如：张鹏等[12]以沪深300指数成分股为样本进行实证研究，通过机器学习方法XGBoost、SVR和KNN选择具有较高预测收益率的股票，求解具有现实约束的均值-下半方差模型的最优投资组合，并进行样本内分析和样本外检验；DU[13]运用随机森林、SVR和LSTM等机器学习方法预测股票收益率，采用由协整股票构成的平稳投资组合，利用均值-方差模型研究投资组合优化问题；LEIPPOLD等[14]运用随机森林、支持向量机等机器学习方法预测股票收益率，以此选择股票构建投资组合。(2)运用机器学习模型预测股票价格，并在此基础上进行投资组合优化。如：CHEN等[15]采用结合了XGBoost方法和改进萤火虫算法的混合模型预测股票价格，通过求解均值-方差模型确定投资比例；ABOLMAKAREM等[16]运用LSTM方法预测股票价格，考虑财富、方差、偏度和峰度，建立多周期多目标投资组合优化模型，并运用目标规划方法对模型进行求解。(3)运用机器学习模型预测股票趋势，继而优化投资组合。如：MIN等[17]使用LSTM和XGBoost等机器学习方法推断风险资产趋势，构建混合鲁棒均值-方差和均值-VaR模型，研究鲁棒投资组合问题。(4)运用机器学习方法预测投资组合权重。如：李斌和屠雪永[18]使用基于机器学习方法和资产特征的投资组合选择框架，运用高维特征直接预测投资组合权重，进行投资组合优化。
本文首先运用随机森林、RBF神经网络和BP神经网络3种机器学习方法预测股票价格，使用历史数据和预测的收盘价计算投资组合的收益率均值、下半方差、偏度。然后，考虑交易成本、投资比例上下界约束和借贷约束，提出基于机器学习方法的均值-下半方差-偏度多目标投资组合模型(M-SV-S)。随后，为求解该模型，采用最大-最小归一化方法处理收益率均值、下半方差和偏度3个目标之间的量纲差异，并把M-SV-S模型转化为单目标优化模型。继而，由于该模型的优化目标包含高阶矩，其目标函数为非凸函数，对应的优化问题属于非凸优化问题，故运用元启发式算法中的差分进化算法[6-7]求解该单目标优化模型。最后，选取上证50指数成分股作为样本，采用“滑动窗口”的方式进行样本外分析，以每日净收益率、累计超额收益率、夏普比率和索提诺比率等作为评价指标，将M-SV-S模型与等比例投资组合模型进行对比，以检验M-SV-S模型的有效性。
1. 预测方法
机器学习方法在处理非线性问题上具有良好的性能，因而被广泛地应用于金融资产价格预测。本文使用随机森林、RBF神经网络和BP神经网络3种机器学习方法预测股票价格，并基于此股票价格进行投资组合优化。
1.1 随机森林
随机森林(Random Forest，RF)[19]结合了多个决策树的预测结果，通过对输出结果进行综合，提高了模型的准确性和稳定性，是一种集成学习方法。该模型由多个决策树组成，每个决策树都是在给定的训练集下，通过随机抽样选择不同样本和特征子集进行训练得到的，避免了过拟合问题。具体而言，随机森林接收到由给定的特征值组成的输入向量z时，对训练的数据采用随机采样的方法生成k个决策树{T1(z), T2(z), ⋯, Tk(z)}；在决策树的每个节点上，随机选择一部分特征子集，并基于这些特征进行最优划分；通过平均的方式对每棵决策树的预测结果进行综合，得到最终的预测结果[16]：
ˆyRF(z)=1kk∑i=1Ti(z)。 1.2 RBF神经网络
径向基函数(Radial Basis Function，RBF)神经网络[20]是单隐层前馈神经网络，包括输入层、隐层、输出层。RBF神经网络使用径向基函数作为隐层神经元激活函数，从输入层到隐层的变换是非线性的，而从隐层到输出层的变换是线性的。假定输入为l维向量z，则RBF神经网络的输出可表示为[21]
ˆyRBF(z)=q∑i=1ωiρ(z,εi), 其中：q为隐层神经元个数；εi、ωi分别为第i个隐层神经元所对应的中心、权重；ρ(z, εi)为径向基函数，是沿径向对称的标量函数，通常定义为样本z与数据中心εi之间的欧式距离的单调函数。常用的径向基函数包括高斯函数、多二次函数、逆二次函数和逆多二次函数等，本文使用高斯函数[21]作为径向基函数，具体公式如下：
ρ(z,εi)=e−ξi‖ 1.3 BP神经网络
反向传播(Back Propagation，BP)神经网络[22]利用梯度下降法调整神经网络的权值和阈值，以减少预测误差，是一种基于误差反向传播算法的多层前馈网络。BP神经网络包含输入层、隐藏层和输出层。假设有l个输入神经元，q个隐藏神经元，a个输出神经元，令l维实值向量\boldsymbol{z} \in \mathbb{R}^l 表示输入、a维实值向量\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^a 表示输出。输出层第j个神经元的输出[23]如下：
\hat{y}_j=f\left(\sum\limits_{h=1}^q w_{h, j} b_h\right), 其中，w_{h, j}(j \in 1, 2, \cdots, a ; h \in 1, 2, \cdots, q) 为隐藏层的第h个神经元与输出层的第j个神经元之间的连接权重值，bh为隐藏层第h个神经元的输出，f为激活函数[23]：
f(\boldsymbol{z})=\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-\boldsymbol{z}}}。 2. 多目标投资组合模型
假设投资者将初始财富W_0投资于1种无风险资产和n\left(n \in \mathbb{N}_{+}\right)种风险资产。令x_i表示风险资产i的投资比例；\boldsymbol{X}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)表示投资组合；x_i^0表示风险资产i的初始投资比例，且x_i^0=0(i=1, 2，\cdots, n) ; r_i表示风险资产i的随机收益率; \hat{r}_i表示收益率r_i的预测值；\hat{\sigma}_{i j}^{-}表示r_i和r_j的下协方差的预测值；\hat{\mathit{\pmb{\Sigma}}}^{-}表示n个风险资产的下协方差矩阵的预测值; r_{\mathrm{N}}表示投资组合\boldsymbol{X}的净收益率；l_i 、u_i分别表示x_i的下界、上界约束，其中u_i \geqslant l_i \geqslant 0 ; c_i \geqslant 0表示第i种风险资产的单位交易成本; r_\mathrm{f} \geqslant 0表示无风险资产收益率; x_{\mathrm{f}}^{\mathrm{b}} \leqslant 0表示无风险资产的最大借贷限制。
投资组合的净收益率可表示为：
r_{\mathrm{N}}=\sum\nolimits_{i=1}^n \hat{r}_i x_i-\sum\nolimits_{i=1}^n c_i\left|x_i-x_i^0\right|+\left(1-\sum\nolimits_{i=1}^n x_i\right) r_{\mathrm{f}}。 投资组合的下半方差可表示为：
\mathrm{SV}=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \hat{\mathit{\pmb{\Sigma}}}^{-} \boldsymbol{X}=\sum\nolimits_{i=1}^n \sum\nolimits_{j=1}^n \hat{\sigma}_{i j}^{-} x_i x_j, 其中，\hat{\mathit{\pmb{\Sigma}}}^{-}=\left[\hat{\sigma}_{i j}^{-}\right]_{n \times n}, \hat{\sigma}_{i j}^{-}=E\left[\left(r_i-\hat{r}_i\right)^{-}\left(r_j-\hat{r}_j\right)^{-}\right] ，\left(r_i-\hat{r}_i\right)^{-}=\min \left\{r_i-\hat{r}, 0\right\} 。投资组合的偏度可表示为：
S=\sum\nolimits_{i=1}^n \sum\nolimits_{j=1}^n \sum\nolimits_{q=1}^n \hat{s}_{i j q} x_i x_j x_q, 其中，\hat{s}_{i j q}=E\left[\left(r_i-\hat{r}_i\right)\left(r_j-\hat{r}_j\right)\left(r_q-\hat{r}_q\right)\right] 为ri、rj、rq的协偏度的预测值。
考虑交易成本、借贷约束和上下界约束，构建均值、下半方差和偏度多目标投资组合优化模型(M-SV-S)：
\begin{aligned} & \max \sum\nolimits_{i=1}^n \hat{r}_i x_i-\sum\nolimits_{i=1}^n c_i\left|x_i-x_i^0\right|+\left(1-\sum\nolimits_{i=1}^n x_i\right) r_{\mathrm{f}}, \\ & \min \sum\nolimits_{i=1}^n \sum\nolimits_{j=1}^n \hat{\sigma}_{i j}^{-} x_i x_j, \\ & \max \sum\nolimits_{i=1}^n \sum\nolimits_{j=1}^n \sum\nolimits_{q=1}^n \hat{s}_{i j q} x_i x_j x_q, \\ & \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} 1-\sum\nolimits_{i=1}^n x_i \geqslant x_{\mathrm{f}}^{\mathrm{b}}, \\ l_i \leqslant x_i \leqslant u_i \quad(i=1, 2, \cdots, n), \\ x_i \geqslant 0 \quad(i=1, 2, \cdots, n), \end{array}\right. \end{aligned} (1) 其中：第1个优化目标表示投资组合净收益率最大化，第2个优化目标表示投资组合下行风险最小化，第3个优化目标表示投资组合偏度最大化；第1个约束条件表示借贷约束，第2个约束条件表示每种风险资产投资比例的上下界约束，第3个约束条件表示卖空限制。
M-SV-S模型的求解实际包含2个步骤：首先，将M-SV-S模型转化为单目标优化模型；然后，运用差分进化算法求解该单目标优化模型。由于M-SV-S模型中的预期净收益率、下半方差和偏度3个优化目标之间存在量纲差异，故本文在将其转化为单目标投资组合模型时，采用最大-最小归一化方法对3个目标进行无量纲化处理。应用最大-最小归一化方法前，需求解预期净收益率、下半方差和偏度的最大值和最小值，具体操作如下：
(1) 预期净收益率最大化的投资组合模型为：
\begin{aligned} & \max \sum\nolimits_{i=1}^n \hat{r}_i x_i-\sum\nolimits_{i=1}^n c_i\left|x_i-x_i^0\right|+\left(1-\sum\nolimits_{i=1}^n x_i\right) r_{\mathrm{f}}, \\ & \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} 1-\sum\nolimits_{i=1}^n x_i \geqslant x_{\mathrm{f}}^{\mathrm{b}}, \\ l_i \leqslant x_i \leqslant u_i \quad(i=1, 2, \cdots, n), \\ x_i \geqslant 0 \quad(i=1, 2, \cdots, n) 。 \end{array}\right. \end{aligned} (2) 模型(2)取得最优解时的目标函数值为最大预期净收益率rmax。由于该模型的投资对象包含无风险资产，所以最小预期收益率rmin为无风险利率。
(2) 令投资组合下半方差的最大值、最小值分别为SVmax、SVmin。根据有效投资前沿：SVmax为投资组合净收益为rmax时的下半方差，SVmin为投资组合净收益为rmin时的下半方差。
(3) 偏度最大化的投资组合模型为：
\begin{aligned} & \max \sum\nolimits_{i=1}^n \sum\nolimits_{j=1}^n \sum\nolimits_{q=1}^n \hat{s}_{i j k} x_i x_j x_q, \\ & \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} 1-\sum\nolimits_{i=1}^n x_i \geqslant x_{\mathrm{f}}^{\mathrm{b}}, \\ l_i \leqslant x_i \leqslant u_i \quad(i=1, 2, \cdots, n), \\ x_i \geqslant 0 \quad(i=1, 2, \cdots, n) 。 \end{array}\right. \end{aligned} (3) 模型(3)取得最优解时的目标函数值为投资组合偏度最大值Smax。
偏度最小化的投资组合模型为：
\begin{aligned} & \min \quad \sum\nolimits_{i=1}^n \sum\nolimits_{j=1}^n \sum\nolimits_{q=1}^n \hat{s}_{i j k} x_i x_j x_q, \\ & \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} 1-\sum\nolimits_{i=1}^n x_i \geqslant x_{\mathrm{f}}^{\mathrm{b}}, \\ l_i \leqslant x_i \leqslant u_i \quad(i=1, 2, \cdots, n), \\ x_i \geqslant 0 \quad(i=1, 2, \cdots, n) 。 \end{array}\right. \end{aligned} (4) 模型(4)取得最优解时的目标函数值为投资组合偏度最小值Smin。
然后，采用最大-最小归一化方法消除M-SV-S模型的3个目标的量纲，并把多目标优化模型转化成为单目标优化模型：
\begin{array}{l} \min -\theta_1 \frac{\sum\nolimits_{i=1}^n \hat{r}_i x_i-\sum\nolimits_{i=1}^n c_i\left|x_i-x_i^0\right|+\left(1-\sum\nolimits_{i=1}^n x_i\right) r_{\mathrm{f}}-r_{\min }}{r_{\max }-r_{\min }}+ \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\theta_2 \frac{\sum\nolimits_{i=1}^n \sum\nolimits_{j=1}^n \hat{\sigma}_{i j}^{-} x_i x_j-\mathrm{SV}_{\text {min }}}{\mathrm{SV}_{\max }-\mathrm{SV}_{\text {min }}}- \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\left(1-\theta_1-\theta_2\right) \frac{\sum\nolimits_{i=1}^n \sum\nolimits_{j=1}^n \sum\nolimits_{q=1}^n \hat{s}_{i j q} x_i x_j x_q-S_{\text {min }}}{S_{\text {max }}-S_{\text {min }}}, \\ \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} 1-\sum\nolimits_{i=1}^n x_i \geqslant x_{\mathrm{f}}^{\mathrm{b}}, \\ l_i \leqslant x_i \leqslant u_i \quad(i=1, 2, \cdots, n), \\ x_i \geqslant 0 \quad(i=1, 2, \cdots, n) \end{array}\right. \end{array} (5) 其中，θ1、θ2和1-θ1-θ2分别表示投资者对收益、下行风险和偏度的重视程度。
3. 模型求解
差分进化算法[24] (Differential Evolution, DE)是一种随机的并行搜索算法，保留了基于种群的全局搜索策略，采用实数编码、基于差分的简单变异操作和一对一的竞争生存策略，降低了进化操作的复杂性。该算法具有较强的全局收敛性和鲁棒性，且由于其收敛速度快、精度高，常用于求解一些复杂环境中的优化问题。
为求解M-SV-S模型，本文首先将其转化为单目标优化模型(5)，然后使用差分进化算法求解。具体步骤如下：
步骤一：初始化种群。随机生成初始种群为p(t)，共有Q条染色体，每条染色体含有n个基因位。设染色体Xk=(x1, x2, ⋯, xn) (k=1, 2, ⋯, Q)为可行的投资组合，xi (i=1, 2, ⋯, n)为投资者在第i种股票上的投资比例，n=36，Q=15。其他参数设置如下：最大迭代次数为1 000，变异概率的取值范围为(0.5, 1)，交叉概率为0.7，进化代数t=1。
步骤二：个体评价。本文参考文献[25]，采用外点罚函数法构建适应度函数：
\begin{aligned} & \operatorname{fit}\left(X_k\right)= \\ & -\theta_1 \frac{\sum\nolimits_{i=1}^n \hat{r}_i x_i-\sum\nolimits_{i=1}^n c_i\left|x_i-x_i^0\right|+\left(1-\sum\nolimits_{i=1}^n x_i\right) r_{\mathrm{f}}-r_{\text {min }}}{r_{\text {max }}-r_{\text {min }}}+ \\ & \theta_2 \frac{\sum\nolimits_{i=1}^n \sum\nolimits_{j=1}^n \hat{\sigma}_{i j}^{-} x_i x_j-\mathrm{SV}_{\text {min }}}{\mathrm{SV}_{\max }-\mathrm{SV}_{\min }}- \\ & \left(1-\theta_1-\theta_2\right) \frac{\sum\nolimits_{i=1}^n \sum\nolimits_{j=1}^n \sum\nolimits_{q=1}^n \hat{s}_{i j q} x_i x_j x_q-S_{\text {min }}}{S_{\text {max }}-S_{\text {min }}}+P, \end{aligned} (6) 其中，P为罚函数。根据式(6)计算群体中每个染色体的适应度，适应度值越小，表示对应的解越优。
步骤三：变异操作。本文采用最优解加随机向量差分法(DE/best/1)构造差分进化算子，根据差分变异算子对初始种群进行变异操作，从而生成新个体。具体而言，在种群中除去当前个体外，随机选取2个互不相同的个体进行向量差分，然后乘以放大因子，并与当前种群的最优个体相加。对于当代第k个个体Xk(t) (k=1, 2, ⋯, Q)，经过差分变异新产生的子代Hk(t+1)可以表示为[24]
\boldsymbol{H}_k(t+1)=\boldsymbol{X}^{\text {best }}(t)+F \cdot\left[\boldsymbol{X}_j(t)-\boldsymbol{X}_m(t)\right], 其中，Xbest(t)为当前种群中的最优个体，Xj(t)、Xm(t) 分别为种群中除去当前个体外随机选取的互不相同的个体，F为放大因子。
步骤四：交叉操作。为了保持种群的多样性，父代个体Xk(t)与经过差分变异操作后产生的新个体Hk(t+1)进行交叉操作，从而生成新个体Vk(t+1)。引入基因位Irand，并强制该位的基因取自变异后的新个体Hk(t+1)。randik(0, 1)表示在第k个个体的第i(i=1, 2, ⋯, n)个基因位上产生的一个符合区间[0, 1]均匀分布的随机数，Pc为交叉概率，当randik(0, 1)≥ Pc或i=Irand时，有[24]
\boldsymbol{V}_i^k(t+1)=\boldsymbol{H}_i^k(t+1) ; 否则，
\boldsymbol{V}_i^k(t+1)=\boldsymbol{X}_i^k(t), 其中, \boldsymbol{X}_i^k(t)(k=1, 2, \cdots, Q ; i=1, 2, \cdots, n)为当前第k个个体的第i个基因位的取值。新个体\boldsymbol{V}_k(t+1)中至少有一位基因是由变异后产生的新个体\boldsymbol{H}_k(t+1)提供的，使得\boldsymbol{X}_k(t)和\boldsymbol{V}_k(t+1)不会完全相同，从而有效地提高种群多样性, 保证个体的进化。
步骤五: 选择操作。根据适应度函数(6), 经过变异、交叉操作后得到的子代个体\boldsymbol{V}_k(t+1)与原向量\boldsymbol{X}_k(t)进行适应度比较，只有当子代个体\boldsymbol{V}_k(t+1)的适应度小于原向量\boldsymbol{X}_k(t)时, 才会成为下一代的父代[24]。即当\mathrm{fit}\left(\boldsymbol{V}_k(t+1)\right) \leqslant \operatorname{fit}\left(\boldsymbol{X}_k(t)\right)时,
\boldsymbol{X}_k(t+1)=\boldsymbol{V}_k(t+1) ; 否则，
\boldsymbol{X}_k(t+1)=\boldsymbol{X}_k(t), 其中，Xk(t)为第t期的第k个个体，fit (Vk(t+1))、fit(Xk(t))分别为交叉操作产生个体的适应度值、当前个体的适应度值。
步骤六：重复迭代。进化代数t=t+1，返回步骤三。最终输出最大适应度的个体作为最优解，并终止计算。
4. 实证分析
4.1 数据选取
本文选取2024年上半年上证50指数的成分股，剔除存在交易数据缺失的股票，共选取36只股票，股票代码如下：600028、600030、600031、600036、600048、600050、600089、600104、600111、600276、600406、600436、600438、600519、600690、600887、600893、600900、601012、601088、601166、601225、601288、601318、601398、601601、601628、601633、601668、601669、601857、601888、601899、601919、601988、603799。本文所用数据集包含上述股票2018年1月2日至2024年2月20日的日频交易数据，共1 487组观测值，来源于同花顺iFinD金融数据终端(https://www.51ifind.com/)。
4.2 特征指标
特征指标的选择对股票价格的准确预测具有重要作用。为了处理股票价格的特征，参考文献[16]和文献[23]，选择了38个变量作为股票价格预测的输入变量，其中包括6个基础指标(表 1中的第1~6个指标)、18个滞后的收益指标(表 1中的第7~24个指标)和14个技术指标(表 1中的第25~38个指标)，输出变量是下一天的股票收盘价。
表 1 股票收益时间序列预测的输入变量Table 1. Input variables for stock return timeseries prediction序号 指标 指标说明 1 Openpricet 第t日的股票开盘价 2 Closepricet 第t日的股票收盘价 3 Highpricet 第t日的股票最高价 4 Lowpricet 第t日的股票最低价 5 Closepricet-1 第t-1日的股票收盘价 6 Volumnt 第t日的股票成交量 7 ln(Closepricet/Closepricet-1) 以股票收盘价计算的第t日的对数收益率 8 ln(Closepricet-1/Closepricet-2) 以股票收盘价计算的第t-1日的对数收益率 9 ln(Closepricet-2/Closepricet-3) 以股票收盘价计算的第t-2日的对数收益率 10 ln(Closepricet-3/Closepricet-4) 以股票收盘价计算的第t-3日的对数收益率 11 ln(Highpricet/Openpricet) 以第t日的股票最高价和第t日的股票开盘价计算的对数收益率 12 ln(Highpricet/Openpricet-1) 以第t日的股票最高价和第t-1日的股票开盘价计算的对数收益率 13 ln(Highpricet/Openpricet-2) 以第t日的股票最高价和第t-2日的股票开盘价计算的对数收益率 14 ln(Highpricet/Openpricet-3) 以第t日的股票最高价和第t-3日的股票开盘价计算的对数收益率 15 ln(Highpricet/Openpricet-4) 以第t日的股票最高价和第t-4日的股票开盘价计算的对数收益率 16 ln(Highpricet-1/Openpricet-1) 以股票最高价和股票开盘价计算的第t-1日的对数收益率 17 ln(Highpricet-2/Openpricet-2) 以股票最高价和股票开盘价计算的第t-2日的对数收益率 18 ln(Highpricet-3/Openpricet-3) 以股票最高价和股票开盘价计算的第t-3日的对数收益率 19 ln(Highpricet-4/Openpricet-4) 以股票最高价和股票开盘价计算的第t-4日的对数收益率 20 ln(Lowpricet/Openpricet) 以股票最低价和股票开盘价计算的第t日的对数收益率 21 ln(Lowpricet-1/Openpricet-1) 以股票最低价和股票开盘价计算的第t-1日的对数收益率 22 ln(Lowpricet-2/Openpricet-2) 以股票最低价和股票开盘价计算的第t-2日的对数收益率 23 ln(Lowpricet-3/Openpricet-3) 以股票最低价和股票开盘价计算的第t-3日的对数收益率 24 ln(Lowpricet-4/Openpricet-4) 以股票最低价和股票开盘价计算的第t-4日的对数收益率 25 RSIt 第t日的相对强弱指标 26 Momentumt 第t日的动量指标 27 TRt 第t日的真实波动幅度 28 ATRt 第t日的平均真实波动幅度 29 MFIt 第t日的资金流量指数 30 CCIt 第t日的顺势指标 31 SMAt 第t日的简单移动平均 32 WMAt 第t日的加权移动平均 33 HMAt 第t日的趋势指标 34 ADXt 第t日的平均趋向指数 35 WRt 第t日的威廉指标 36 Kt值 第t日的随机指标中的K值 37 Dt值 第t日的随机指标中的D值 38 SARt 第t日的抛物线转向指标 14个技术指标的计算公式[16]如下：
(1) 相对强弱指标为：
\begin{aligned} & \operatorname{RSI}_t(m)= \\ & \;\;\;\;\;\;\;100-\frac{100}{1+\left(\sum\nolimits_{i=0}^{m-1} \mathrm{Up}_{t-i} / m\right)\left(\sum\nolimits_{i=0}^{m-1} \mathrm{Dw}_{t-i} / m\right)}, \end{aligned} 其中，Upt=Highpricet－Highpricet－1为第t日价格向上波动的幅度, Dwt=Lowpricet－Lowpricet－1为第t日价格向下波动的幅度, 时间周期长度m=14。
(2) 动量指标为：
\operatorname{Momentum}_t(m)=\text {Closeprice}_t-\text {Closeprice}_{t-m}, 其中，Closepricet为第t日的股票收盘价，Closepricet-m为第t-m日的股票收盘价，时间周期长度m=10。
(3) 真实波动幅度为：
\begin{aligned} & \mathrm{TR}_t=\max \left\{\mid \text {Highprice}_t-\text {Lowprice}_t \mid, \right. \\ & \;\;\;\;\;\left.\mid \text {Closeprice}_{t-1}-\text {Highprice}_t \mid, \mid\text{Closeprice}_{t-1} \text {-Lowprice}_t \mid\right\} \text { 。 } \end{aligned} (4) 平均真实波动幅度为：
\operatorname{ATR}_t(m)=\sum\limits_{i=1}^m \frac{\mathrm{TR}_i}{m}, 其中，时间周期长度m=14。
(5) 顺势指标为：
\operatorname{CCI}_t(m)=\frac{M_t-\mathrm{SM}_t(m)}{0.015 B_t(m)}, 其中，
\begin{gathered} M_t=\left(\text {Highprice}_t+\text {Lowprice}_t+\text {Closeprice}_t\right) / 3, \\ \mathrm{SM}_t(m)=\left(\sum\limits_{i=1}^m M_{t-i+1}\right) / m , \\ B_t(m)=\sum\limits_{i=1}^m\left|M_{t-i+1}-\mathrm{SM}_t(m)\right|, \end{gathered} 时间周期长度m=20。
(6) 资金流量指数为：
\operatorname{MFI}_t(m)=100-\frac{100}{1+\mathrm{SMF}_{+, t}(m) / \mathrm{SMF}_{-, t}(m)}, 其中: \mathrm{SMF}_{+, t}(m)=\sum\limits_{i=1}^m\left(\mathrm{MF}_{+, t-i+1}\right), \mathrm{SMF}_{-, t}(m)=\sum\limits_{i=1}^m\left(\mathrm{MF}_{-, t-i+1}\right); \mathrm{MF}_t=M_t \times \text{Volumn}_t, 若\mathrm{MF}_t \geqslant 0则\mathrm{MF}_{+, t}=\mathrm{MF}_t和\mathrm{MF}_{-, t}= 0, 若\mathrm{MF}_t<0则\mathrm{MF}_{+, t}=0和\mathrm{MF}_{-, t}=\mathrm{MF}_t; 时间周期长度m=14。
(7) 简单移动平均为：
\operatorname{SMA}_t(m)=\sum\limits_{i=0}^m \text {Closeprice}_{t-m} / m, 其中，时间周期长度m=14。
(8) 加权移动平均为：
\begin{aligned} & \text {WMA}_t(m)= \\ & \frac{m \times \text {Closeprice}_t+(m-1) \times \text {Closeprice}_{t-1}+\cdots+\text{Closeprice}_{t-m}}{m+(m-1)+\cdots+1}, \end{aligned} 其中，时间周期长度m=16。
(9) 趋势指标为：
\operatorname{HMA}_t(m)=\frac{\sqrt{m} \times \alpha_t+(\sqrt{m}-1) \times \alpha_{t-1}+\cdots+\alpha_{t-\sqrt{m}}}{\sqrt{m}+(\sqrt{m}-1)+\cdots+1}, 其中，αt=2×WMAt (m/2)-WMAt (m)，时间周期长度m=16。
(10) 平均趋向指数为：
\begin{aligned} & \operatorname{ADX}_t(m)=100 \times \operatorname{EMA}_t\left(m, \left|\mathrm{DI}_{+, t}(m)+\mathrm{DI}_{-, t}(m)\right|\right) / \\ & \;\;\;\;\quad\left(\mathrm{DI}_{+, t}(m)+\mathrm{DI}_{-, t}(m)\right), \end{aligned} 其中：EMAt(m, β) 为β在过去m日内的指数移动平均；DI+, t(m) = 100×EMAt(m, DM+, t)/ATRt(m)，DI-, t(m)= 100×EMAt(m, DM-, t)/ATRt(m)；当Upt>Dwt且Upt>0时，DM+, t=Upt，否则DM+, t=0；当Dwt>Upt且Dwt>0时，DM-, t=Dwt，否则DM-, t=0；时间周期长度m=14。
(11) 威廉指标为：
\mathrm{WR}_t(m)=100 \times\left(\mathrm{HH}_{t, m}-\text {Closeprice}_t\right) /\left(\mathrm{HH}_{t, m}-\mathrm{LL}_{t, m}\right), 其中，LLt, m为第t-m+1日至第t日的最低价，HHt, m为第t-m+1日至第t日的最高价。
(12) 随机指标中的K值为：
K_t(m)=100 \times\left(\text {Closeprice}_t-\mathrm{LL}_{t, m}\right) /\left(\mathrm{HH}_{t, m}-\mathrm{LL}_{t, m}\right), 其中，时间周期长度m=14。
(13) 随机指标中的D值为：
D_t(m)=\sum\limits_{i=0}^{m-1} K_{t-i}(m) / m, 其中，时间周期长度m=14。
(14) 抛物线转向指标为：
\operatorname{SAR}_t(m+1)=\operatorname{SAR}_t(m)+\operatorname{AF}_t \times\left(\operatorname{EP}_t-\operatorname{SAR}_t(m)\right), 其中，时间周期长度m=14。
4.3 预测评价
为了评估随机森林(RF)、RBF神经网络和BP神经网络预测股票价格的性能，本文选择了平均绝对误差(MAE)、平均绝对百分比误差(MAPE)、均方误差(MSE)、均方根误差(RMSE)和拟合优度(R2)为衡量预测精度的评估指标，各指标具体定义[16]如下：
\begin{gathered} \text { MAE }=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N\left|y_i-\hat{y}_i\right|, \text { MAPE }=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N \frac{\left|y_i-\hat{y}_i\right|}{y_i}, \\ \text { MSE }=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N\left(y_i-\hat{y}_i\right)^2, \text { RMSE }=\sqrt{\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N\left(y_i-\hat{y}_i\right)^2}, \\ R^2=1-\frac{\sum\nolimits_{i=1}^N\left(y_i-\hat{y}_i\right)^2}{\sum\nolimits_{i=1}^N\left(y_i-\bar{y}_i\right)^2}, \end{gathered} 其中，N为样本总数，yi为原始收盘价，\hat{y}_i 为预测收盘价。参考文献[26]，将数据集的80%划分为训练集、20%划分为测试集，采用最小-最大标量对训练集数据归一化。基于各输入变量，运用3种机器学习方法(随机森林、RBF神经网络和BP神经网络)预测股票收盘价，3种方法预测的误差和拟合优度如表 2所示。本文采用3种方法预测收盘价的均值表示收盘价的预测值，并在此基础上进行投资组合优化。
表 2 股票收益时间序列预测的准确性表现Table 2. Accuracy performance of closing price timeseries prediction预测方法 MAE MAPE MSE RMSE R2 BP 0.081 468 0.000 070 0.140 335 0.124 171 0.999 557 RBF 0.008 070 0.000 007 0.000 586 0.010 733 0.999 851 RF 0.566 102 0.000 486 9.774 657 1.035 522 0.997 109 4.4 描述性统计
本文样本内数据为2018年1月2日至2023年12月29日的交易数据，共有1 457组观测值。由样本内数据中收益率的数字特征(表 3)可知：股票收益率的偏度主要集中在-2~2之间，且不为零，即股票收益率的分布是非对称的。因此，把偏度纳入投资组合问题分析框架，更能捕捉市场信息。
表 3 股票收益率的数字特征Table 3. Statistical characteristics of stock returns股票代码 收益率预测值 方差 下半方差 标准差 下半标准差 偏度 600028 -0.009 428 0.000 300 0.000 038 0.017 322 0.006 177 1.362 946 600030 -0.012 902 0.000 597 0.000 070 0.024 440 0.008 372 1.636 188 600031 -0.000 442 0.000 561 0.000 229 0.023 676 0.015 146 0.607 262 600036 -0.006 154 0.000 397 0.000 092 0.019 914 0.009 595 1.199 163 600048 -0.003 715 0.000 582 0.000 192 0.024 120 0.013 847 0.842 276 600050 -0.013 716 0.000 575 0.000 057 0.023 976 0.007 540 1.804 591 600089 -0.007 532 0.000 624 0.000 134 0.024 979 0.011 582 1.489 685 600104 0.003 464 0.000 854 0.000 426 0.029 227 0.020 638 0.274 123 600111 0.017 899 0.000 682 0.000 624 0.026 111 0.024 978 -1.260 343 600276 -0.023 495 0.001 076 0.000 046 0.032 807 0.006 760 1.443 831 600406 -0.011 155 0.000 686 0.000 112 0.026 199 0.010 562 1.435 931 600436 -0.009 965 0.000 698 0.000 144 0.026 423 0.012 014 1.106 290 600438 -0.015 258 0.001 259 0.000 183 0.035 485 0.013 527 1.440 373 600519 -0.020 422 0.000 837 0.000 037 0.028 928 0.006 054 1.427 244 600690 -0.005 624 0.000 520 0.000 139 0.022 814 0.011 791 1.054 374 600887 -0.016 251 0.000 668 0.000 061 0.025 854 0.007 831 1.414 843 600893 -0.003 701 0.000 721 0.000 248 0.026 855 0.015 740 0.831 947 600900 0.012 724 0.000 287 0.000 268 0.016 927 0.016 370 -1.275 742 601012 -0.018 856 0.001 258 0.000 128 0.035 471 0.011 295 1.484 314 601088 0.024 541 0.000 948 0.000 905 0.030 790 0.030 080 -1.316 705 601166 -0.074 490 0.005 871 0.000 000 0.076 620 0.000 309 1.074 900 601225 0.013 120 0.000 655 0.000 527 0.025 600 0.022 955 -1.058 316 601288 0.004 434 0.000 120 0.000 086 0.010 964 0.009 286 -0.483 883 601318 -0.007 084 0.000 365 0.000 069 0.019 110 0.008 309 1.456 138 601398 0.000 699 0.000 119 0.000 058 0.010 915 0.007 631 0.572 223 601601 -0.005 571 0.000 514 0.000 139 0.022 675 0.011 803 1.116 795 601633 -0.009 469 0.000 602 0.000 101 0.024 532 0.010 036 1.623 930 601628 -0.018 478 0.001 284 0.000 118 0.035 826 0.010 861 1.663 702 601668 -0.009 893 0.000 375 0.000 042 0.019 363 0.006 469 1.674 223 601669 0.004 473 0.000 497 0.000 267 0.022 294 0.016 341 0.247 740 601857 -0.001 272 0.000 267 0.000 107 0.016 337 0.010 332 0.554 793 601888 -0.025 014 0.001 501 0.000 088 0.038 740 0.009 386 1.509 553 601899 -0.008 797 0.000 731 0.000 155 0.027 040 0.012 444 1.235 269 601919 0.011 570 0.000 904 0.000 636 0.030 068 0.025 210 -0.727 711 601988 0.004 224 0.001 534 0.000 274 0.039 170 0.016 541 1.246 928 603799 -0.016 421 0.000 300 0.000 038 0.017 322 0.006 177 1.362 946 4.5 样本外分析
本文采用滑动窗口的方法进行数值模拟，以验证M-SV-S模型的有效性。数据共1 487组观测值，其中，前1 457组数据用作样本内数据，后30组(2024年1月2日至2月20日)数据用作样本外数据[22]。为了评价M-SV-S模型的性能，将对比M-SV-S模型与等比例投资组合模型(1/N)[23]的样本外每日净收益率[27]、超额收益率[26]、累计收益率[27]、累计超额收益率[28]、夏普比率[27]和索提诺比率[27]。
由M-SV-S模型与1/N模型的样本外每日净收益率和累计收益率(图 1、图 2)可知：(1)在该样本外窗口内，M-SV-S模型的每日净收益率在1%~4%之间；1/N模型的每日净收益率在零上下波动，主要在-1%-2%之间，在部分日期发生了亏损。显然，M-SV-S模型的每日净收益率高于1/N模型的每日净收益率。(2)虽然1/N模型总体也获得了正向收益，但M-SV-S模型的累计收益率大于1/N模型。
由M-SV-S模型与1/N模型的样本外超额收益率和累计超额收益率(图 3、图 4)可知：(1)M-SV-S模型的超额收益率大于零，表明投资者使用M-SV-S投资策略实现了比预期更高的收益；而1/N模型在部分日期的超额收益率为负，表明使用1/N策略在这些日期没有达到投资者的预期收益。这里的超额收益率是指每日的投资收益率中超过投资者最小可接受收益率的部分。(2)M-SV-S模型30天的累计超额收益率超过50%，优于1/N模型。这表明投资者运用M-SV-S模型进行投资取得了远超预期的累计收益，且该策略优于等比例投资策略。
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图 4 M-SV-S模型与1/N模型的累计超额收益率Figure 4. Cumulative abnormal return of M-SV-S model and 1/N model由M-SV-S模型与1/N模型的样本外夏普比率和索提诺比率(图 5、图 6)可知：(1)M-SV-S模型的夏普比率与索提诺比率皆为正，且接近1，表明该投资策略带来了正向收益；1/N模型的夏普比率与索提诺比率波动较大，且在部分日期为负，表明该策略的收益不稳定且有时发生亏损。(2)M-SV-S模型的夏普比率与索提诺比率明显高于1/N模型，表示M-SV-S模型的投资策略的表现优于1/N模型。
5. 结论
本文把偏度纳入优化目标，基于机器学习方法研究了多目标投资组合优化问题。本文首先采用基础指标、滞后的收益指标和技术指标作为特征因子，运用随机森林、RBF神经网络和BP神经网络3种机器学习方法预测股票价格。然后，使用历史数据和预测的收盘价计算投资组合收益率均值、下半方差和偏度，考虑交易成本、投资比例上下界约束和借贷约束，构建了均值-下半方差-偏度多目标投资组合模型(M-SV-S)。随后，为求解M-SV-S模型，使用最大-最小归一化方法对3个目标进行无量纲化处理，并将多目标优化模型转化为单目标优化模型。接着，由于该模型的优化目标包含高阶矩，对应的优化问题属于非凸优化问题且目标函数梯度计算复杂，故运用差分进化算法求解该目标优化模型。最后，选取上证50指数成分股作为样本，运用“滑动窗口”的方式进行样本外分析，将M-SV-S模型与等比例投资组合模型(1/N)的收益与风险指标进行对比。样本外分析结果表明：M-SV-S模型的每日净收益率、累计收益率、超额收益率、累计超额收益率、夏普比率和索提诺比率均优于等比例投资组合模型(1/N)。
M-SV-S模型不仅考虑了传统的收益和下行风险，还引入了偏度刻画高阶风险，提供了更全面的风险评估框架。此外，通过对机器学习技术的运用，提高了股价预测的准确性和投资组合策略的有效性。后续可在如下两方面拓展研究：第一，在投资组合构建的过程中，进一步考虑峰度等高阶矩，提升模型对市场复杂动态的适应能力; 第二，除了基础指标、收益指标和技术指标，可尝试将文本信息、基本面信息等作为机器学习模型的输入变量，以提高价格趋势预测的精度。
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图 1 在Si横向、纵向多模波导中前3个准TE模式在波长1 550 nm处的横向电场振幅分布
注：2个多模波导的尺寸均为400 nm×1 500 nm(波导放置方向不同)，其结构的轮廓用白色实线标记.
Figure 1. The electrical field amplitudes of the first three quasi-TE modes at the wavelength of 1 550 nm in the Si horizontal and vertical multi-mode waveguide
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图 2 应用于WDM的阶梯光栅解复用器的原理
Figure 2. The principle of the echelle grating demultiplexer for WDM applications
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图 3 前3个纵向TE模式的模拟输出光谱
Figure 3. The simulated output spectra of the first three vertical TE modes under investigation
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图 5 所有3×3通道的模拟输出光谱
注：“w” “m”后的数字分别代表波长、模式的数目.
Figure 5. The simulated output spectra of all 3×3 channels
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图 6 ADC模式解复用器/转换器的横截面示意图
Figure 6. The schema of the cross-section of the proposed ADC mode demultiplexer/converter
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图 7 从脊形波导中的基模转换为条形波导中基模和一阶模时器件横截面中的主要电场轮廓图
Figure 7. The field profiles in the cross-section of the device when converting from the mode in the ridge waveguide to the fundamental mode and 1st mode in the channel waveguide
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图 8 椭圆形反射器的波导交叉结构示意图
注：O1、O2、O3和O4是4个椭圆形反射镜的焦点，而O是共同焦点.带有箭头的实线表示光束传播的方向.
Figure 8. The schematic diagram of a waveguide crossing device using elliptical reflectors
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图 9 器件的FDTD模拟以及输入/输出波导的场分布
注：B图中输入和输出波导的宽度均为1.0 μm.
Figure 9. The field profiles of the proposed device simulated with FDTD and the input/output waveguides
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