单层含硫空位MoS<sub>2</sub>光伏效应的第一性原理研究

罗文铭; 邵志刚; 杨谋

doi:10.6054/j.jscnun.2019057

单层含硫空位MoS₂光伏效应的第一性原理研究

华南师范大学物理与电信工程学院//广东省量子调控工程与材料重点实验室//物理国家级实验教学示范中心，广州 510006

基金项目:

国家自然科学基金项目 11774100

广东省科技计划项目 2018A030313322

详细信息

通讯作者:
邵志刚，教授，Email:zgshao@scnu.edu.cn

中图分类号: O469
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出版历程
- 收稿日期: 2019-03-24
- 网络出版日期: 2021-03-21
- 刊出日期: 2019-08-24

A First Principle Study of the Photogalvanic Effect of Monolayer MoS₂ with Sulfur Vacancies

School of Physics and Telecommunication Engineering, South China Normal University//Guangdong Provincial Key Laboratory of Quantum Engineering and Quantum Materials//National Demonstration Center for Experimental Physics Education, Guangzhou 510006, China

摘要

摘要: 基于非平衡态格林函数——密度泛函理论，采用第一性原理研究方法，对单层含硫空位MoS₂的光伏效应进行了研究.利用能带图和联合态密度分析单层含硫空位MoS₂的光响应函数.结果表明：对于单层含硫空位的MoS₂，线偏光电流效应不明显，而圆偏光电流效应比较明显.计算模拟了随偏振角(相位角)变化的光响应函数，计算结果符合唯象理论.单层含硫空位的MoS₂可被应用于新型电子和光电子器件中，为进一步认识单层硫空位MoS₂的光电流效应提供了新的理论基础.
- 硫空位 /
- 单层MoS₂ /
- 光伏效应 /
- 非平衡态格林函数
Abstract: The photogalvanic effect of monolayer molybdenum disulfide (MoS₂) with sulfur vacancies is investigated with first-principle calculations based on the density functional theory within the nonequilibrium Green's function formalism. A detailed analysis of the behavior of photoresponse is given based on the band structure and joint density of states. The results reveal that the linear photovoltaic effect (LPGE) is unconspicuous and the circular photogalvanic effect (CPGE) is obvious. The variation of photoresponse function with polarization angle (phase angle) is simulated and the calculation results are consistent with the phenomenological theory. The monolayer MoS₂ with sulfur vacancies can be applied to novel electronic and optoelectronic devices, which provides a new theoretical basis for further understanding the photogalvanic effect of the monolayer MoS₂ with sulfur vacancies.
- sulfur vacancies /
- monolayer MoS₂ /
- photogalvanic effect /
- nonequilibrium Green's function

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素数在公钥密码算法中广泛使用，公钥密码算法是基于难解性问题设计的，因此不需要像对称密码算法一样需要安全的信道传输密钥，但是公钥密码算法的计算量和大素数生成的资源开销较大。如：RSA算法^[1]需要生成2个相同比特长度的素数p和q, 然后计算公钥(n, e) (n=p·q)，以及计算私钥d=e^-1 mod φ(n)，其中e为随机数并与φ(n)互素。因为素数具有分布不均匀性，导致素数生成算法依赖于增量算法来寻找随机数的邻近素数，所以大素数的生成开销较大。

最原始生成素数的方法是选取一个随机奇数进行素性测试，如果不是素数则重新选取一个随机奇数，直到找到一个素数^[2]。1980年，RABIN^[3]提出了Miller-Rabin概率素性测试算法，该算法可以概率性检测输入的整数是否为合数。1988年，BEAUCHEMIN等^[4]将Miller-Rabin概率素性测试算法用于检验随机整数是否是素数的可靠性问题。1991年，BRANDT等^[5]对原始素数生成算法进行改进，提出了增量算法：在素性测试失败后，通过加2的方式寻找邻近的素数，从而提高算法效率。1992年，BRANDT和DAMGARD^[6]对文献[5]的增量算法进行了详细的性能分析。2000年，JOYE等^[7]改进了文献[5]的增量算法，降低了素性测试的次数，提出了M-J素数生成算法。2006年，JOYE和PALIIER^[8]对文献[]提出的M-J素数生成算法的参数选取进行了优化，提出了M-J特例素数生成算法。2011年，雷文等^[9]改进了Miller-Rabin素性测试方法，增加了预测试环节，设计了快速大素数算法；汤鹏志和李彪^[10]基于概率论的方法，改进了Era-tosthenes筛法并构建素数库，通过分析素数库中素数尾数的分类频数和表达式下素数频率，使用Miller-Rabin算法对形如 $\prod P_i^m \times n+1$ (P_i为小素数)的整数进行校验，设计了快速大素数生成算法。2017年，郑朝霞等^[11]在素性测试阶段，通过并行实现小素数擦拭和Miller-Rabin素性测试，从而减少了小素数单独运算消耗时间。2018年，李峰等^[2]归纳并总结了原生素数生成算法、现代素数生成算法，并进行了性能比较分析。2019年，刘彦鑫^[12]基于中国剩余定理实现素数搜索的算法，研究了素数在多维空间的分布规律，减少在某个区间搜索的整数数量，从而提高了素数搜索的效率。

本文是对改进的增量素数生成算法^[2]进行改进，改进的增量素数生成算法中，起始状态是选取一个与小素数乘积互素的奇数，每次素性测试失败后，重新随机选取奇数，并将其与小素数的乘积求和。改进的增量素数生成算法在生成较短长度(512 bit)的素数时有更好的性能，但是在生成1 024 bit以上长度的素数时的性能较弱。为了得到一个可拓展长度的快速素数生成算法，本文基于中国剩余定理与门限的理念，设计了基于中国剩余定理的门限素数生成算法(TCPG)。具体地说，TCPG算法通过中国剩余定理求解小素数数组的同余方程组，从而获得初始状态；然后，在素性测试失败后，采用门限思想生成门限值个随机数，再求解同余方程组，从而提高素数生成的效率。

1. TCPG算法

1.1 改进的增量素数生成算法

增量素数生成算法由BRANDT等^[5]提出，后来被抽象成算法1^[2]的形式。两者的区别是：(1)算法1的初始化变量p与小素数乘积μ互素，小素数乘积通常为2×3×5×…×…≤p，其中p表示p的比特长度；(2)增量过程从p=p+2变成了p=p+μ。

表算法1 改进的增量素数生成算法^[2]

Input：所需素数的比特位数n和小素数乘积 $\mu=\prod_{i=1}^{r(n)} p_i$
Output：素数pend while
取与μ互素、长度为n bit的随机奇数p
while T(p)==false do
p=p+μ
返回p

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1.2 中国剩余定理素数生成算法

中国剩余定理又称为“孙子定理”，是求解一次同余方程组的方法。设m₁, m₂, …, m_n是两两互素的正整数，有 $M=\prod_{i=1}^n m_i$ ，则同余方程组可表示为:

$\left\{\begin{array}{l} x \equiv r_1\left(\bmod m_1\right)\ \ , \\ \cdots \\ x \equiv r_n\left(\bmod m_n\right) \ \ 。 \end{array}\right.$

此方程有唯一解：

$x=\sum\limits_{i=1}^n r_i M_i M_i^{-1}\ \ ,$

(1)

其中，M_i=M/m_i, M_i^-1M_i≡1 mod m_i。

中国剩余定理提供了求解同余方程组的方法^[12]，同时还提供了一种数值映射的方法：选取n个两两互素的正整数m₁, m₂, …, m_n，然后求解同余方程组，得到1个与n个小素数互素的准素数。中国剩余定理素数生成算法(算法2)的核心思想是利用这种数值映射方法寻找素数。

表算法2 中国剩余定理素数生成算法

Input：所需素数比特位数n和小素数乘数 $\mu=\prod_{i=1}^{r(n)} p_i$
Output：素数p
预计算:
for i=1 to r(n)do
$\theta_i=\left(\frac{\mu}{p_i}\right)\left[\left(\frac{\mu}{p_i}\right)^{-1} \bmod p_i\right]$
end
主运算: p=0
while T(p)==false do
for i=0 to r(n)do

p=p+x×θ_i
end end 返回p

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1.3 TCPG算法

中国剩余定理素数生成算法在素性测试失败后，需要更新全部随机数后才求解同余方程，导致消耗过多的时间。为了解决此问题，TCPG算法根据素数比特长度选取合适的小素数数组，然后寻找该数组中最优的门限值k(门限值k代表需要更新随机数的个数)；在素性测试失败后仅更新k个随机数，降低随机数的生成个数，从而提高素数生成效率。由于随机数是通过中国剩余定理在小素数数组中计算得到的，因此在素性测试中可以减少小素数擦拭次数，提高素性测试执行效率。为了生成给定区间[q_min, q_max]或其间隔中均匀分布的素数p，由式(1)可知 $x=\sum_{i=1}^n r_i M_i M_i^{-1}$ 。当r_i=1时， $x=\sum_{i=1}^n M_i M_i^{-1}$ , 为最小值；当r_i=p_i时， $x=\sum_{i=1}^n p_i M_i M_i^{-1}$ ，为最大值。则x∈ $\left[\sum_{i=1}^n M_i M_i^{-1}, \sum_{i=1}^n p_i M_i M_i^{-1}\right] \in\left[q_{\min }, q_{\max }\right]$ (如图 1所示)，其中r(n)是一个关于n的整数函数，满足2×p₂×…×p_r(n)+1≥n。

图 1 x的值域

Figure 1. Range of x

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TCPG算法可以先通过预计算同余方程中的M_iM_i^-1来减少每轮的计算量，然后通过更新门限个随机数来重构素数p，具体如算法3所示。

表算法3 TCPG算法

Input：所需素数比特位数n、Π、门限值t
Output：素数p
预计算:
for i=1 to r(n)do
$\theta_i=\left(\frac{\Pi}{p_i}\right)\left[\left(\frac{\Pi}{p_i}\right)^{-1} \bmod p_i\right]$
end
主运算:
c=0, p=0
for i=1 to r(n)-t do
c=c+x×θ_i

end
while T(p)==false do
p←c
for i=r(n)-t to r(n)do

p=p+x×θ_i
end
end
返回p

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2. 实验结果与性能分析

本节将首先探究TCPG算法的门限值k对素数生成平均时长的影响，然后基于Miller-Rabin概率素性测试算法^[3]，将TCPG算法与原生素数生成算法、增量素数生成算法^[5]、改进的增量算法^[2]、M-J特例算法^[7]、改进的M-J算法^[8]和中国剩余定理素数生成算法^[12](简称CRT)进行对比实验。

2.1 门限值对TCPG算法的性能影响

首先，分析不同门限值k对TCPG算法的性能影响。为了寻找小素数数组中的最优门限值k，研究当TCPG算法生成不同长度的素数时，不同门限值对素数生成平均时长的影响。实验环境为Go语言编程，运行在Intel i3-8350K@4.00 GHz处理器上，对每个k进行10 000次实验。

由图 2可知随机数的更新个数和素数生成平均时长没有明显的线性关系，因此，不同小素数的组合都需要通过实验来确定该数组的最优门限值k。本文采用的小素数数组在TCPG算法中生成1个长度为512 bit的素数的最优门限值k为6，所需平均时长为7.80 ms；生成1个长度为1 024 bit的素数的最优门限值k为3，所需平均时长为53.30 ms；生成1个长度为2 048 bit的素数的最优门限值k为18，所需平均时长为505.78 ms。

图 2 TCPG算法的不同k值性能分析图

Figure 2. Performance analysis diagram of different k values of TCPG algorithm

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2.2 素数生成算法性能分析

测试环境为Go语言编程, 运行在Intel i3-8350K@4.00 GHz处理器上；TCPG算法在生成长度分别为512、1 024、2 048 bit的素数的门限值均为2.1节得到的最优门限值。

由平均时长和平均素性判定次数(表 1)可知TCPG算法生成1个长度为512 bit的素数的平均时长略多于改进的增量算法所需时长，但是，在生成长度为1 024 bit和2 048 bit的素数的平均时长最短：TCPG算法生成1个长度为512 bit的素数的平均时长为7.80 ms，比CRT算法降低了18.6%；生成1个长度为1 024 bit的素数的平均时长为53.30 ms, 比CRT素数降低了7%；生成1个长度为2 048 bit的素数的平均时长为505.78 ms, 比CRT算法降低了5%。

表 1 素数生成算法性能分析

Table 1. Performance analysis of prime number generation algorithm

素数长度	平均时长/ms
素数长度	原生素数生成算法	增量素数生成算法	改进的增量算法	M-J特例算法	改进的M-J算法	CRT算法	TCPG算法
512	9.64	9.57	7.73	18.70	9.97	9.26	7.80
1 024	76.78	75.97	58.80	996.72	56.00	57.33	53.30
2 048	827.12	830.57	611.81	4 028.00	560.32	532.20	505.78
素数长度	平均素数判定次数
素数长度	原生素数生成算法	增量素数生成算法	改进的增量算法	M-J特例算法	改进的M-J算法	CRT算法	TCPG算法
512	176	174	32	190	112	49	50
1 024	354	351	66	709	120	59	58
2 048	705	710	134	1 062	240	108	109

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另外，实验算法统一进行30次Miller-Rabin概率素性测试，每个算法生成的素数可信度为(1-(1/4)³⁰)*100%≈100%，也就是说，实验在生成十万个大素数的情况下，最多只有0个假素数，因此实验的结果是可信的。

3. 结论

为了提高大素数生成的效率，本文基于中国剩余定理对改进的增量素数生成算法进行了改进，设计了基于中国剩余定理的门限素数生成算法(TCPG)。然后基于Miller-Rabin素性测试算法，将TCPG算法与原生素数生成算法、增量素数生成算法、改进的增量算法、M-J特例算法、改进的M-J算法和中国剩余定理素数生成算法(简称CRT)进行对比实验。实验结果表明TCPG算法生成1个长度为512 bit的素数的平均时长(7.80 ms)略多于改进的增量算法所需时长(7.73 ms)，但是，生成长度为1 024 bit和2 048 bit的素数的平均时长最短：TCPG算法在Miller-Rabin素性测试算法下生成1个长度为512 bit的素数的平均时长为7.80 ms，比CRT算法减少1.46 ms；生成1个长度为1 024 bit的素数用时需53.30 ms，比改进的增量素数生成算法、CRT算法分别减少5.50、4.30 ms；生成1个长度为2 048 bit的素数用时需505.78 ms，比改进的增量素数生成算法、CRT算法分别减少106.03、54.54 ms。

本文仅给出了TCPG算法的实现和性能分析，实际应用时需考虑侧信道信息的泄露^[13]和算法的安全性问题^[14]；若要用于RSA方案，则还需要保证使用的是强素数^[15]。

图 1 单层含硫空位MoS₂的两端口器件结构

Figure 1. The two-probe device structures of monolayer MoS₂ with sulfur vacancies

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图 2 单层MoS₂、单层含硫空位MoS₂的能带图

Figure 2. The band structure of monolayer MoS₂ and monolayer MoS₂ with sulfur vacancies

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图 3 单层含硫空位MoS₂的光响应函数随能量的变化

Figure 3. The photoresponse function with the energy of monolayer MoS₂ with sulfur vacancies

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图 4 单层含硫空位MoS₂的联合态密度图

Figure 4. The JDOS of monolayer MoS₂ with sulfur vacancies

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图 5 用线偏光垂直照射单层含硫空位的MoS₂随θ变化的光响应函数

Figure 5. The variation of photoresponse function with θ when monolayer MoS₂ with sulfur vacancies is vertically irradiated by the linearly polarized light

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图 6 用椭偏光垂直照射单层含硫缺陷的MoS₂随φ变化的光响应函数

Figure 6. The variation of photoresponse function with φ when monolayer MoS₂ with sulfur vacancies is vertically irradiated by the elliptically polarized light

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1. TCPG算法
1.1 改进的增量素数生成算法
1.2 中国剩余定理素数生成算法
1.3 TCPG算法
2. 实验结果与性能分析
2.1 门限值对TCPG算法的性能影响
2.2 素数生成算法性能分析
3. 结论

单层含硫空位MoS2光伏效应的第一性原理研究

通讯作者: 邵志刚，教授，Email:zgshao@scnu.edu.cn

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