Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

基于硝化反硝化的膜生物反应器烟气脱硝研究

黄倩茹, 陈洲洋, 黄振山, 王剑斌, 张再利, 樊青娟, 魏在山

黄倩茹, 陈洲洋, 黄振山, 王剑斌, 张再利, 樊青娟, 魏在山. 基于硝化反硝化的膜生物反应器烟气脱硝研究[J]. 华南师范大学学报(自然科学版), 2016, 48(2): 13-18. DOI: 10.6054/j.jscnun.2015.12.021
引用本文: 黄倩茹, 陈洲洋, 黄振山, 王剑斌, 张再利, 樊青娟, 魏在山. 基于硝化反硝化的膜生物反应器烟气脱硝研究[J]. 华南师范大学学报(自然科学版), 2016, 48(2): 13-18. DOI: 10.6054/j.jscnun.2015.12.021
HUANG Qianru, CHEN Zhouyang, HUANG Zhenshan, WANG Jianbin, ZHANG Zaili, FAN Qingjuan, WEI Zaishan*. Membrane Biofilm Reactor Based on Nitrification/Denitrification for Nitrogen Oxides Removal[J]. Journal of South China Normal University (Natural Science Edition), 2016, 48(2): 13-18. DOI: 10.6054/j.jscnun.2015.12.021
Citation: HUANG Qianru, CHEN Zhouyang, HUANG Zhenshan, WANG Jianbin, ZHANG Zaili, FAN Qingjuan, WEI Zaishan*. Membrane Biofilm Reactor Based on Nitrification/Denitrification for Nitrogen Oxides Removal[J]. Journal of South China Normal University (Natural Science Edition), 2016, 48(2): 13-18. DOI: 10.6054/j.jscnun.2015.12.021

基于硝化反硝化的膜生物反应器烟气脱硝研究

基金项目: 

国家自然科学基金项目(21377171)

详细信息
    作者简介:

    魏在山,教授, Email:eseswzs@mail.sysu.edu.cn.

    通讯作者:

    魏在山,教授, Email:eseswzs@mail.sysu.edu.cn.

  • 中图分类号: X701

Membrane Biofilm Reactor Based on Nitrification/Denitrification for Nitrogen Oxides Removal

  • 摘要: 氮氧化物是形成酸雨、光化学烟雾污染、臭氧层破坏和城市灰霾天气等一系列环境问题的重要根源.文章结合课题组研究结果,介绍了空气介质下膜生物反应器烟气脱硝的性能、微生物群落、硝化反硝化烟气脱硝作用,建立了膜生物反应器传质与硝化反硝化耦合作用动力学模型;基于硝化反硝化的复合催化膜生物反应器处理模拟烟气的性能和含氧量的影响,为建立基于硝化反硝化的膜生物反应器烟气脱硝的污染控制策略提供科学依据,具有潜在的应用价值.
    Abstract: Nitrogen oxides (NOx) contribute a lot to photochemical smog, acid rain, ozone depletion and urban grey haze weather. In this paper, nitrification/denitrification mechanism and the progress of membrane biofilm reactor (MBfR) on NOx removal were introduced. A polysulfone hollow-membrane biofilm reactor (MBfR) for gaseous NO removal was investigated in air medium condition. Bacterial community composition and function of nitrification/denitrification were analyzed. The kinetic model between mass transfer and NO biodegradation of MBfR were elicited. The N-TiO2/PSF hybrid catalytic membrane biofilm reactor based on nitrification/denitrification was operated for the treatment of simulated flue gas under nature light or UV irradiation, inlet O2 concentration on NO removal was evaluated. This provides a new way of flue gas denitration using a membrane biofilm reactor (MBfR) and scientific basis for potential application value.
  • Sobolev空间[1]是刻画偏微分方程解存在唯一性、光滑性和正则性等特征的重要函数空间,Dirichlet空间是实数域上Sobolev空间在复数域上的推广,在调和分析、偏微分方程和控制论等诸多领域中有着重要应用。

    对于Dirichlet空间的乘子代数问题, 学者们主要是通过研究各种加权Dirichlet空间的乘子来找到它们之间的一些共性特征。1980年,STEGENGA[2]利用Carleson测度和势与容量的工具,研究了权为(1-|z|2)α的Hilbert类Dirichlet型空间的乘子;1999年,WU[3]将Dirichlet型空间的乘子研究推广到Banach类Dirichlet型空间。2015年,BAO等[4]初步研究了一般K权的Hilbert类Dirichlet型空间乘子的问题,但关于不带权的经典Dirichlet空间的乘子刻画只是等价转化成别的问题,仍未获得令人满意的结果。

    研究具有Banach代数特征类型的函数空间常用的办法是利用通常的乘法运算对函数空间中的函数进行分解。受复数的指数形式z=reiθ的启发,将一个解析函数表示成内函数与外函数的乘积,其中,外函数类似于复数的模r,内函数类似于eiθ。学者们将Hardy空间中内外函数分解的定理推广到其他的函数空间中。如:研究了亚纯Qp空间的外函数特征和亚纯Qp空间中的函数与QpH之间的商分解关系[5-6];对解析QK空间乘子代数的内函数乘子做了相应的刻画且研究了该乘子代数上的Corona定理,对K权Dirichlet空间系数乘子问题做了一些充分条件的刻画[7-8];利用Carleson测度和容量的工具,对Dirichlet空间乘子问题的必要条件做了相应的刻画[9-10]

    基于文献[5-8]的研究,本文首先探讨Dirichlet空间的乘子代数与交集代数、Dα代数之间的包含关系,发现乘子代数介于Dα代数与交集代数之间;然后,从内函数和外函数的分解方面去研究Dα代数、乘子代数和交集代数三者的区别;最后,发现乘子代数的外函数可以分解为2个无界Dirichlet函数的商,并且深入探讨了乘子代数的外函数分解中分子和分母所具有的特征。

    本文设D为复平面的单位开圆盘,Hol(D)为单位圆盘D上的所有解析函数的全体。

    定义1[9]   Dirichlet空间是由满足D(f)=D|f(z)|2 dA(z)<+的单位圆盘D上的解析函数f(z)构成,其中dA(z)=dxdyπ=rdr dθπD上的单位面积测度。

    易知,Dirichlet空间在范数下可形成Hilbert空间。如果将解析函数f视作从单位圆盘D到区域f(D)的映射,则其Jacobian行列式为|f′(z)|2。利用二重积分换元公式可得,D(f)的几何意义为在重数意义下函数f在单位圆盘D下的象f(D)的面积。

    定义2[11]   设X为Banach空间,若在空间X中定义一种新的乘法运算,使得其在原有的范数下满足‖f·g‖≤‖f‖·‖g‖,则称带有这种乘法代数结构的Banach空间为Banach代数。

    记单位圆盘D上的所有有界解析函数的全体为HH在通常的函数乘法运算下可以做成Banach代数[12]。由于Dirichlet空间中一部分函数无界,从而本身不成为Banach代数,但其与H的交集会形成Banach代数。给定参数α∈[0, 1),考虑一类加权Dirichlet空间

    \begin{aligned} & D_\alpha= \\ & \qquad\left\{f \in \operatorname{Hol}(D): D_\alpha(f)=\int_D \frac{\left|f^{\prime}(z)\right|^2}{\left(1-|z|^2\right)^\alpha} \mathrm{d} A(z)<+\infty\right\} 。 \end{aligned}

    易知,当α=0时,Dα就是Dirichlet空间。因此, 本文把Dirichlet空间记为D0

    WU[3]证明,当α∈(0, 1)时,Dα为Banach代数,此时DαH。由D0的定义,当α∈(0, 1)时,DαD0。进一步地,有DαD0H。于是,在DαD0H之间应该有很多Banach代数。下面给出D0的乘子代数的定义:

    M\left(D_0\right)=\left\{g \in \operatorname{Hol}(D): \forall f \in D_0, f g \in D_0\right\} 。

    对于给定的任意一个复数z,都可以将其分解为对应向量模的长度r和eiθ的乘积。据此,定义在单位圆盘D上的内函数|I(z)|为:当zD时,|I(z)|≤1,而|I(eiθ)|几乎处处为1。称O_\psi(z)=\exp \left\{\int_0^{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+z}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-z} \times\log \psi\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}\right\}为外函数,其中ψ(eiθ)在单位圆∂D上几乎处处大于或等于0且log ψL1(∂D)。

    若令

    \varPsi(z)=\exp \left\{\int_0^{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}} \frac{1-|z|^2}{\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-z\right|^2} \log \psi\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}\right\},

    易知|\varPsi(z)|=\left|O_\psi(z)\right|, \left|O_\psi\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)\right|=\psi\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)

    下面介绍定理证明中需用的重要估计。

    引理1[13]   设α>-1,当|a|→1时,有

    \int_D \frac{\left(1-|z|^2\right)^\alpha}{|1-\bar{a} z|^\lambda} \mathrm{d} A(z)=\left\{\begin{array}{l} O(1) \quad(\lambda<\alpha+2), \\ O\left(\log \frac{2}{1-|a|^2}\right) \quad(\lambda=\alpha+2), \\ O\left(\left(1-|a|^2\right)^{\alpha+2-\lambda}\right) \quad(\lambda>\alpha+2) 。 \end{array}\right.

    定理1   当α∈(0, 1)时, DαM(D0)⊆D0H

    证明   M(D0)⊂H显然成立。下面首先证明M(D0)⊂D0。设gM(D0),由闭图像定理[14], 对任意的fD0,有fgD0,即D(fg) < +∞。于是有

    \begin{aligned} & \int_D\left|f g^{\prime}\right|^2 \mathrm{~d} A=\int_D\left|(f g)^{\prime}-f^{\prime} g\right|^2 \mathrm{~d} A \leqslant \\ & \quad 2 \int_D\left(\left|(f g)^{\prime}\right|^2+\left|f^{\prime} g\right|^2\right) \mathrm{d} A \leqslant 2 D(f g)+2\|g\|_{\infty} D(f)<+\infty \text { 。 } \end{aligned}

    f的任意性,有D(g)=\int_D\left|g^{\prime}\right|^2 \mathrm{~d} A<+\infty, 即gD0

    然后证明DαM(D0)。设gDα, α∈(0, 1), 则由乘子代数的定义可知只需证明:对任意的fD0,有fgD0

    对于任意的fD0,由Dirichlet空间上的再生核估计[9],有

    |f(z)-f(0)|^2 \leqslant D(f) \log \frac{1}{1-|z|^2} 。

    于是,对于α∈(0, 1),有

    \begin{aligned} & |f|^2\left(1-|z|^2\right)^\alpha \leqslant 2|f(0)|^2\left(1-|z|^2\right)^\alpha+ \\ & \quad|f(z)-f(0)|^2\left(1-|z|^2\right)^\alpha \leqslant \\ & \quad 2|f(0)|^2+D(f)\left(1-|z|^2\right)^\alpha \log \frac{1}{1-|z|^2}。 \end{aligned}

    利用L'Hospital法则,有

    \lim\limits_{|z| \rightarrow 1}\left(1-|z|^2\right)^\alpha \log \frac{1}{1-|z|^2}=\lim\limits_{t \rightarrow 0} t^\alpha \log \frac{1}{t}=0,

    则当fD0α∈(0, 1)时,\sup\limits_{z \in D}\left(|f|^2\left(1-|z|^2\right)^\alpha\right)<+\infty

    因此,

    \begin{gathered} \int_D\left|(f g)^{\prime}\right|^2 \mathrm{~d} A=\int_D\left|f g^{\prime}+f^{\prime} g\right|^2 \mathrm{d} A \leqslant \int_D\left(\left|f g^{\prime}\right|^2+\left|f^{\prime} g\right|^2\right) \mathrm{d} A \leqslant \\ \sup\limits_{z \in \mathrm{D}}\left(|f|^2\left(1-|z|^2\right)^\alpha\right) D_\alpha(g)+\|g\|_{\infty} D(f)<+\infty, \end{gathered}

    fgD0。证毕。

    接下来探讨3类代数的内-外函数分解关系。

    Dirichlet空间作为Hardy空间[15]的子空间,由Dirichlet空间中函数的几何意义可知Dirichlet空间中内函数只能为有限Blaschke乘积B(z), 其中B(z)为零点{an}⊆D生成的Blaschke乘积函数[16]。于是,任意的函数f(z)∈D0可分解为f(z)=B(z)O(z),其中O(z)为外函数。据此,D0H中的函数结构分解中内函数只能为有限Blaschke乘积,外函数只能由单位圆上的有界函数生成。而在Dirichlet空间中,函数的有界与否由其分解中的外函数决定。下面给出DαM(D0)2类代数的内函数结构。

    定理2   (1)当α∈(0, 1)时,Dα中的内函数只能为单项式族{zk}(k=0, 1, …);

    (2) M(D0)中的内函数为有限Blaschke乘积。

    证明   (1)容易验证函数f1(z)=1与f2(z)=z都在Dα中,由于Dα为Banach代数,则所有多项式都在Dα空间中。

    对于单位圆盘D上的解析自同构Möbius变换函数\varphi_a(z)=(a-z) /(1-\bar{a} z) \quad(a \in D \backslash\{0\}),有

    \int_D \frac{\left|\varphi_a^{\prime}(z)\right|^2}{\left(1-|z|^2\right)^\alpha} \mathrm{d} A(z)=\left(1-|a|^2\right)^2 \int_D \frac{\left(1-|z|^2\right)^{-\alpha}}{|1-\bar{a} z|^4} \mathrm{~d} A(z) 。

    由引理1的估计,当α∈(0, 1)时,积分\int_D \frac{\left(1-|z|^2\right)^{-\alpha}}{|1-\bar{a} z|^4} \mathrm{~d} A(z)发散。因此,易得在Banach代数Dα中,内函数只能为\left\{z^k\right\}(k \in \mathbb{N})

    (2) 容易验证函数f1(z)=1与f2(z)=z都在M(D0)中。由于M(D0)也为Banach代数,所以所有多项式都在M(D0)空间中。注意到,令w=\varphi_a(z)=(a-z) /(1-\bar{a} z),则z=φa(w)。于是,对任意的fD0,有

    \begin{aligned} & \int_D\left|\left(f(z) \varphi_a(z)\right)^{\prime}\right|^2 \mathrm{~d} A(z)= \\ & \quad \int_D\left|f^{\prime}(z) \varphi_a(z)+f(z) \varphi_a^{\prime}(z)\right|^2 \mathrm{~d} A(z) \leqslant \\ & \quad 2 \int_D\left|f^{\prime}(z)\right|^2 \mathrm{~d} A(z)+2 \int_D\left|f(z) \varphi_a^{\prime}(z)\right|^2 \mathrm{~d} A(z) 。 \end{aligned}

    fD0H时,显然有

    \int_D\left|f(z) \varphi_a^{\prime}(z)\right|^2 \mathrm{~d} A(z)<+\infty \text { 。 }

    f(z) \in D_0 \backslash H^{\infty}时,由于Dirichlet空间包含在Bergman空间内,则有

    \begin{aligned} &2 \int_D\left|f(z) \varphi_a^{\prime}(z)\right|^2 \mathrm{~d} A(z)=2 \int_D|f(z)|^2 \mathrm{~d} A\left(\varphi_a(z)\right)= \\ & \quad 2 \int_D\left|f\left(\varphi_a(z)\right)\right|^2 \mathrm{~d} A(z)<+\infty。 \end{aligned}

    由于φa在Banach代数M(D0)中,从而由乘子代数的Banach代数性质知M(D0)中内函数为有限Blaschke乘积集合。证毕。

    由此看来,M(D0)与D0H的内函数结构相对简单,主要区别还是在外函数。外函数一般由其边界函数决定,DαD0都为Hilbert空间,因此,DαD0的边界函数完全可由其幂级数系数特征所确定。下面讨论M(D0)与D0H的边界函数特征。

    Dα(α∈[0, 1))的定义有:f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k \in D_\alpha当且仅当\sum_{k=1}^{\infty} k^{1+\alpha}\left|a_k\right|^2<+\infty。那么, 由幂级数延拓到边界的性质[9]可知,Dα的边界函数f\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k \mathrm{e}^{\mathrm{i} k \theta}的Fourier系数特征也为\sum_{k=1}^{\infty} k^{1+\alpha}\left|a_k\right|^2<+\infty。从而可以验证Dα的边界函数的积分特征[9]

    \int_0^{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}} \int_0^{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}} \frac{\left|f\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)-f\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi}\right)\right|^2 \mathrm{~d} \theta \mathrm{d} \varphi}{\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-\mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi}\right|^{2+\alpha}} \frac{2 {\rm{ \mathsf{ π} }} 2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}<+\infty 。

    Dα(α∈(0, 1))的边界函数一定是有界的,而D0的边界函数可能无界。因此,D0H的边界函数f\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k \mathrm{e}^{\mathrm{i} k \theta}既满足\sup\limits_{\theta \in[0, 2 {\rm{ \mathsf{ π} }})}\left|f\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)\right|<+\infty, 又满足\int_0^{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}} \int_0^{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}\left|\frac{f\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)-f\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi}\right)}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-\mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi}}\right|^2 \frac{\mathrm{d} \theta}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}} \frac{\mathrm{d} \varphi}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}<+\infty \left( 或\sum_{k=1}^{\infty} k\left|a_k\right|^2<+\infty\right)。更进一步,在研究M(D0)中外函数时,由于M(D0)中函数的边界函数特征很难获得,故借助M(D0)⊆D0H来研究M(D0)中的外函数与D0H中的外函数的区别。

    定理3   设外函数O(z)∈D0H,如果O(z)∈M(D0),则对于外函数f(z)∈D0\H,有O(z)f(z)∈D0\H

    证明   设gD0HgM(D0)。由于D0H为Banach代数,因此,对任意的fD0H,有gfD0H。又因为gM(D0),则至少存在一个f0D0\H,使得gf0D0。因为D0空间的内函数全为有限Blaschke乘积,从而对任意的g(z)∈D0H, 有g(z)=B(z)O(z),其中B(z)为有限Blaschke乘积,O(z)为D0中有界外函数。于是,B(z)是D0空间的乘子且O(z)是M(D0)的外乘子当且仅当对任意的f(z)∈D0\H, 有

    f(z) O(z) \in D_0 \backslash H^{\infty} 。

    因此,O(z)∈D0HM(D0)中的外函数当且仅当对任意的D0\H中的外函数f(z),O(z)f(z)为D0\H中的外函数。证毕。

    由定理3可知M(D0)中的外函数与集合D0\H相关。基于此,下面需要讨论无界的Dirichlet函数。首先给出一类无界Dirichlet函数的范例。

    例1   因为级数\sum_{n=1}^{\infty} n^{-\lambda}λ>1时收敛,由Dα空间幂级数系数特征得,当λ>1+α/2时,f(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^\lambda} \in D_\alpha。易知级数\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\log n)^\alpha}(0 \leqslant \alpha \leqslant 1)是发散的,则当0≤α≤1时,f(z)=\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{z^n}{n(\log n)^\alpha}为单位圆盘D上的无界解析函数。由Dirichlet空间的系数特征可知,若\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{z^n}{n(\log n)^\alpha} \in D_0,则

    \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^2(\log n)^{2 \alpha}}=\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\log n)^{2 \alpha}}<+\infty,

    解得2α>1。设f(z)=\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{z^n}{n(\log n)^\alpha},则当1/2 < α≤1时,f(z) \in D_0 \backslash H^{\infty};当α>1时,f(z) \in D_0 \cap H^{\infty}

    f(z)=\sum\limits_{n=3}^{\infty} \frac{z^n}{n \log n(\log \log n)^\alpha},同理可得:当0≤α≤1时,f(z) \in D_0 \backslash H^{\infty};当α>1时,f(z) \in D_0 \cap H^{\infty}

    类似地,当1/2 < α < ∞时,有

    f(z)=\sum\limits_{n=3}^{\infty} \frac{z^n}{n \sqrt{\log n}(\log \log n)^\alpha} \in D_0 \backslash H^{\infty} ;

    当1/2 < λ < 1时,对任意α≥0,有

    f(z)=\sum\limits_{n=3}^{\infty} \frac{z^n}{n(\log n)^\lambda(\log \log n)^\alpha} \in D_0 \backslash H^{\infty} 。

    易知,当λ>1时,\sum\limits_{n=3}^{\infty} \frac{z^n}{n \log n(\log \log n)^\lambda}\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{z^n}{n(\log n)^\lambda}都属于D0H,但都不属于Dα(0 < α < 1)。

    命题1[17]   对于任意的外函数O(z),有O(z)=O+(z)O(z),其中

    \begin{aligned} & O_{+}(z)=\exp \left\{\int_0^{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+z}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-z} \log \left(\max \left\{\psi\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right), 1\right\}\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}\right\}, \\ & O_{-}(z)=\exp \left\{\int_0^{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+z}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-z} \log \left(\min \left\{\psi\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right), 1\right\}\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}\right\}, \end{aligned} (1)

    而且1/O+(z)与O(z)都属于H

    下面研究M(D0)中外函数所具有的分解特征。

    定理4   M(D0)中的外函数O(z)可分解为O(z)=O1(z)/O2(z),其中, O1(z), O2(z)∈D0\H且满足如下性质:

    (1)|O1(z)O2(z)|+1≥|O1(z)|;

    (2) 在单位圆∂D上至少存在一点ζ,使得zζ, O(z)→0;

    (3) O1(z)的爆破点个数少于O2(z)的爆破点个数,而且它们至少有1个公共爆破点。

    证明   由命题1可知,D0H中的外函数分解中O+(z) 仍为有界函数,而D0\H中的外函数分解中O+(z)为无界函数。结合定理3可知M(D0)中的外函数O(z)可以写成D0\H中2个外函数的商:

    O(z)=\frac{O_1(z)}{O_2(z)}=\frac{O_{1+}(z) O_{1-}(z)}{O_{2+}(z) O_{2-}(z)},

    其中,O1(z), O2(z)∈D0\H。将式(1)代入\frac{O_{1+}(z)}{O_{2+}(z)}\frac{O_{1-}(z)}{O_{2-}(z)},可得

    \begin{aligned} & \frac{O_{1+}(z)}{O_{2+}(z)}=\exp \left\{\int_0^{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+z}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-z} \log \left(\frac{\max \left\{\psi_1\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right), 1\right\}}{\max \left\{\psi_2\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right), 1\right\}}\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}\right\}, \\ & \frac{O_{1-}(z)}{O_{2-}(z)}=\exp \left\{\int_0^{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+z}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-z} \log \left(\frac{\min \left\{\psi_1\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right), 1\right\}}{\min \left\{\psi_2\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right), 1\right\}}\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}\right\}, \end{aligned}

    其中,ψ1ψ2均为无界函数。

    另一方面,O(z)的边界函数为

    \begin{aligned} \psi =&\frac{\max \left\{\psi_1, 1\right\}}{\max \left\{\psi_2, 1\right\}}+\frac{\min \left\{\psi_1, 1\right\}}{\min \left\{\psi_2, 1\right\}}= \\ & \frac{\psi_1+1+\left|\psi_1-1\right|}{\psi_2+1+\left|\psi_2-1\right|}+\frac{\psi_1+1-\left|\psi_1-1\right|}{\psi_2+1-\left|\psi_2-1\right|}= \\ & \frac{\left(\psi_1+1\right)\left(\psi_2+1\right)-\left|\left(\psi_1-1\right)\left(\psi_2-1\right)\right|}{2 \psi_2} 。 \end{aligned}

    若去掉绝对值,则ψ可以写成分段函数

    \psi=\left\{\begin{array}{l} 1+\psi_1 / \psi_2, \\ \psi_1+1 / \psi_2 。 \end{array}\right.

    由于ψ有界,ψ1ψ2均为无界函数,则有如下条件:

    a) 当ψ1按某个路径趋于无界时,ψ2按同一路径必须无界,并且ψ1/ψ2沿着该路径有极限;

    b) 当ψ2按某个路径趋于无界时,ψ1按同一路径不能无界。

    换句话讲,ψ1的爆破点个数必须不多于ψ2,而且若两者在同一点爆破,则ψ1的爆破速度不得高于ψ2。从形式上看,条件a)可单独成立,此时两者趋于无界的点相同,ψ=1+ψ1/ψ2不分段,即函数(ψ1-1)(ψ2-1)≥0。但又因为

    \frac{O_1(z)}{O_2(z)}=\exp \left\{\int_0^{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+z}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-z} \log \left(\frac{\psi_1\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)}{\psi_2\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)}\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}\right\},

    所以条件a)不能单独出现。条件b)显然不可以单独成立。因此, 在外函数分解中,条件a)、b)必须同时成立。故ψ1趋于无界的点的个数一定少于ψ2趋于无界的点的个数,而且,若ψ2单独在某点趋于无穷,则对应的函数ψ1/ψ2在该点趋于0。设存在单位圆盘的子集I∂D,使得(ψ1-1)(ψ2-1)≥0,从而有

    \begin{gathered} \int_0^{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+z}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-z} \log \left(\frac{\psi_1\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)}{\psi_2\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)}\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}=\int_I \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+z}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-z} \log \left(1+\frac{\psi_1\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)}{\psi_2\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)}\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}+ \\ \int_{\partial D \backslash I} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+z}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-z} \log \left(\psi_1\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)+\frac{1}{\psi_2\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)}\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}{ }。 \end{gathered}

    利用定积分的性质,有

    \begin{aligned} \int_I &\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+z}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-z} \log \left(\frac{\psi_1\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)+\psi_2\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)}{\psi_1\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)}\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}+ \\ &\int_{\partial D \backslash I} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+z}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-z} \log \left(\frac{\psi_1\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right) \psi_2\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)+1}{\psi_1\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)}\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}=0 , \\ \end{aligned}
    \begin{aligned} \int_I &\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+z}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-z} \log \left(\psi_1\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)+\psi_2\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}+ \\ &\int_{\partial D \backslash I} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+z}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-z} \log \left(\psi_1\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right) \psi_2\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)+1\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}= \\ &\log \left(\left|O_1(z)\right|\right) \log \left(\left|O_1(z) O_2(z)\right|+1\right)= \\ &\int_{\partial D} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+z}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-z} \log \left(\psi_1\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right) \psi_2\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)+1\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}} \geqslant \log \left(\left|O_1(z)\right|\right) 。 \end{aligned}

    证毕。

  • 期刊类型引用(4)

    1. 王文庆,孙柯,黄世奇,卢莹. 改进的暗通道先验图像去雾霾算法. 西安邮电大学学报. 2023(02): 65-71 . 百度学术
    2. 杜渺勇,于祥雨,周浩,韩丹夫. 基于自编码卷积神经网络的图像去噪算法. 杭州师范大学学报(自然科学版). 2021(01): 95-101 . 百度学术
    3. 李树平,张辽,刘俊利. 基于天空区域分割和条件约束优化的图像去雾研究. 河南理工大学学报(自然科学版). 2021(05): 132-138 . 百度学术
    4. 杨昊岩,栾涛,韩仲志,倪建功,高霁月. 基于深度学习声谱图分类的“听声识风”. 华南师范大学学报(自然科学版). 2021(05): 10-16 . 百度学术

    其他类型引用(10)

计量
  • 文章访问数:  1229
  • HTML全文浏览量:  90
  • PDF下载量:  263
  • 被引次数: 14
出版历程
  • 收稿日期:  2015-11-11
  • 刊出日期:  2016-03-24

目录

/

返回文章
返回