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入侵植物南美蟛蜞菊对NH+4-N和NO-3-N的响应

陈静瑜, 谷妍蓉, 田兴山, 李伟华

陈静瑜, 谷妍蓉, 田兴山, 李伟华. 入侵植物南美蟛蜞菊对NH+4-N和NO-3-N的响应[J]. 华南师范大学学报(自然科学版), 2015, 47(5): 84-90. DOI: 10.6054/j.jscnun.2015.04.003
引用本文: 陈静瑜, 谷妍蓉, 田兴山, 李伟华. 入侵植物南美蟛蜞菊对NH+4-N和NO-3-N的响应[J]. 华南师范大学学报(自然科学版), 2015, 47(5): 84-90. DOI: 10.6054/j.jscnun.2015.04.003
Chen Jingyu, Gu Yanrong, Tian Xingshan, Li Weihua. Responses of the Invasive Plant Wedelia Trilobata to NH+4-N and NO-3-N[J]. Journal of South China Normal University (Natural Science Edition), 2015, 47(5): 84-90. DOI: 10.6054/j.jscnun.2015.04.003
Citation: Chen Jingyu, Gu Yanrong, Tian Xingshan, Li Weihua. Responses of the Invasive Plant Wedelia Trilobata to NH+4-N and NO-3-N[J]. Journal of South China Normal University (Natural Science Edition), 2015, 47(5): 84-90. DOI: 10.6054/j.jscnun.2015.04.003

入侵植物南美蟛蜞菊对NH+4-N和NO-3-N的响应

基金项目: 

教育部博士点基金项目(20104407120007);科技部国际合作与交流专项项目(2011DFB30040)

详细信息
    作者简介:

    李伟华,教授,Email: whli@scnu.edu.cn.

    通讯作者:

    李伟华,教授,Email: whli@scnu.edu.cn.

  • 中图分类号: Q945.13

Responses of the Invasive Plant Wedelia Trilobata to NH+4-N and NO-3-N

  • 摘要: 为了阐明外来入侵植物是否对不同形态氮源具有偏向选择性,研究了外来入侵植物南美蟛蜞菊(Wedelia trilobata)对2种不同形态氮源(NH+4/NO-3)的响应. 结果表明:(1)南美蟛蜞菊在全铵营养条件下的生物量显著高于全硝营养条件;(2)南美蟛蜞菊在全铵营养和全硝营养条件下总生物量和叶绿素含量(SPAD)均显著高于本地种蟛蜞菊(Wedelia chinensis);(3)在全铵营养条件下,南美蟛蜞菊根部游离氨基酸含量显著高于蟛蜞菊;与蟛蜞菊相比,在全硝营养条件下南美蟛蜞菊根部和叶部的硝酸还原酶活性显著升高,硝态氮累积显著减少. 结果表明南美蟛蜞菊为喜铵植物,具有较强的铵态氮同化能力和硝态氮还原能力,对全铵或全硝的极端环境有较强的调节能力,这可能是南美蟛蜞菊入侵成功的重要机制之一,也说明NH+4-N占优势的土壤生境更易遭受南美蟛蜞菊入侵,可能是南美蟛蜞菊在定居和扩散进程中的一个重要变化.
    Abstract: The response of invasive plant Wedelia trilobata to two different nitrogen forms (NH+4/NO-3) were investigated. The results showed that (1) W.trilobata had significantly larger biomass under the condition of the whole ammonium nutrition than under the condition of the whole nitrate nutrition; (2) Whether W.trilobata under the condition of the whole ammonium nutrition or nitrate nutrition, its total biomass and chlorophyll content (SPAD) was significantly higher than the native plant species Wedelia chinensis; (3) Under the condition of whole ammonium nutrition, free amino acid in roots of W.trilobata increased significantly compared to W.chinensis, whereas under the condition of the whole nitrate nutrition the activity of nitrate reductase in both roots and leaves of W.trilobata also increased significantly but its nitrate accumulation decreased significantly compared to W.chinensis. It was concluded that W.trilobata might be of a plant absorbing NH+4-N preferentially. Compared to the native species, W.trilobata had higher ability of ammonium assimilation and tolerance, and nitrate deoxidization, and also had stronger ability of adaptation to the extreme environment, which might be one of the important mechanisms why W.trilobata became invasive. It was implied that the soil habitats where NH+4-N was dominant might be vulnerable to be invaded by invasive species. This might be a crucial change of invasive plants during the process of settlement and spread.
  • 在量子力学中, 能量算符是某一空间上的一个自伴算子, 其特征值对应着该系统束缚态的能级,而振动的频率、判断系统的稳定性以及光谱等均涉及算子的特征值,诸多问题的研究表明对量子力学的研究离不开对算子谱理论的研究。谱理论是量子力学研究的一个很重要的工具, 从谱理论的角度来解决量子信息论和量子力学研究中遇到的许多问题, 将为量子信息论和量子力学的快速发展提供有力的保障。

    1909年, WEYL[1]在检查Hilbert空间上的hermitian算子T的谱时发现T的Weyl谱恰好等于T的谱除去有限重的孤立特征值, 这一结论被学者们称为Weyl定理。近些年来, 学者们不断对Weyl定理进行变形和推广[2-6], 其中有界线性算子的a-Weyl定理和(R)性质一直备受关注, 如YANG和CAO[7]、JIA和FENG[8]研究了(R)性质的摄动理论, DONG和CAO[9]讨论了3×3阶矩阵的Weyl型定理等。

    本文将继续研究有界线性算子的a-Weyl定理和(R)性质:利用新的谱集, 首先研究了有界线性算子分别以及同时满足a-Weyl定理和(R)性质的充要条件;然后,讨论了算子函数分别以及同时满足a-Weyl定理和(R)性质的充要条件。

    在本文中, 用CN分别表示复数集、非负整数集,H表示无限维的复Hilbert空间, B(H)表示H上有界线性算子的全体。设TB(H), N(T)、R(T)分别表示T的零空间、值域, 令n(T)=dimN(T), d(T)=dim(H/R(T))。若n(T)<∞且R(T)是闭集,则称TB(H)是上半Fredholm算子; 特殊地, 当n(T)=0且R(T)是闭集时, 称TB(H)为下有界算子。若d(T)<∞,则称T为下半Fredholm算子。若T既为上半Fredholm算子又为下半Fredholm算子, 则称T为Fredholm算子。若TB(H)为上半(或者下半)Fredholm算子, 则定义T的指标ind(T)=n(T)-d(T)。称ind(T)=0的Fredholm算子为Weyl算子。定义算子TB(H)的升降标为: asc(T)=inf{nN: N(Tn)=N(Tn+1)}, 若此下确界不存在, 则记asc(T)=+∞; des(T)=inf{nN: R(Tn)=R(Tn+1)}, 若此下确界不存在, 则记des(T)=+∞。若T为升降标有限的Fredholm算子,则称T为Browder算子。对算子TB(H), 称ρ(T)={λC: T-λI可逆}为T的预解集, 称σ(T)=C\ρ(T)为T的谱集。T的上半Fredholm谱、逼近点谱、本质逼近点谱、Browder本质逼近点谱、Weyl谱、Browder谱分别定义为:

    σSF+(T)={λC: T-λI不是上半Fredholm算子},

    σSF+-(T)={λC: T-λI不是ind(T-λI)≥0的上半Fredholm算子},

    σa(T)={λC: T-λI不是下有界算子},

    σea(T)={λC: T-λI不是ind(T-λI)≤0的上半Fredholm算子},

    σab(T)={λC: T-λI不是升标有限的上半Fredholm算子},

    σw(T)={λC: T-λI不是Weyl算子},

    σb(T)={λC: T-λI不是Browder算子}。

    记其对应的预解集为ρSF+(T)=C\σSF+(T), ρSF+-(T)=C\σSF+-(T), ρa(T)=C\σa(T), ρea(T)=C\σea(T), ρab(T)=C\σab(T), ρw(T)=C\σw(T), ρb(T)=C\σb(T)。另外, 对任意集合EC, 用iso E表示E中所有孤立点的集合, acc E表示E的所有聚点的集合。

    TB(H),σσ(T)的闭开子集,则存在一个解析的柯西域Ω,使得σΩ,并且有[σ(T)\σ]∩=Ø。设E(σ; T)表示算子T对于σ的Riesz幂等分解,即

    E(σ;T)=12πiΓ(λT)1 dλ,

    其中,Γ=∂Ω是取正向的曲线。用H(σ; T)表示R(E(σ; T))。

    σa(T)\σea(T)=π00a(T), 则称有界线性算子TB(H)满足a-Weyl定理; 若σa(T)\σab(T)=π00(T), 其中π00a(T)={λ∈iso σa(T): 0<dim N(T-λI)<∞}, π00(T)={λ∈iso σ(T): 0<dim N(T-λI)<∞}, 则称算子TB(H)满足(R)性质, 记作T∈(R)。

    为了研究有界线性算子的a-Weyl定理和(R)性质, 本文首先利用Weyl谱定义一个新的集合工具。令

    ρ1(T)={λC:n(TλI)<, 且存在 ε>0, 使得当 0<|μλ|<ε 时, μρw(T) 且 N(TμI)n=1R[(TμI)n]},

    并令σ1(T)=C\ρ1(T), 显然σ1(T)⊆σw(T)⊆σb(T)⊆σ(T)。下面令σc(T)={λC: R(T-λI)不是闭集}, 利用新谱集给出有界线性算子分别满足a-Weyl定理和(R)性质的充要条件。

    定理1   设TB(H), 则有:

    (1) T满足a-Weyl定理当且仅当σab(T)=[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσa(T): n(T-λI)=0};

    (2) T∈(R)当且仅当σb(T)=[σ1(T)∩σc(T)]∪acc σa(T)∪{λσ(T): n(T-λI)=0}∪{λC: n(T-λI)=∞}。

    证明   (1)必要性。σab(T)⊇[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσa(T): n(T-λI)=0}显然成立。下面证明反包含关系也成立。设λ0∉[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσa(T): n(T-λI)=0}, 不妨设λ0σa(T), 则n(T-λ0I)>0。由于λ0σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}, 则下面分2种情形讨论:

    情况1:λ0σ1(T)。此时根据ρ1(T)的定义, 有0<n(T-λ0I)<∞。因为T满足a-Weyl定理且a-Weyl定理蕴涵Browder定理, 则ρ1(T)⊆iso σ(T)∪ρ(T),从而有λ0σa(T), 所以λ0∈iso σ(T)。结合0<n(T-λ0I)<∞, 有λ0π00(T)⊆π00a(T)。而由于T满足a-Weyl定理, 故σea(T)=σab(T), 从而λ0σab(T)。

    情况2:λ0∉{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}。此时有n(T-λ0I)<d(T-λ0I), 从而0<n(T-λ0I)<∞。若λ0∉acc σa(T), 结合λ0σa(T)可知λ0∈iso σa(T), 则λ0π00a(T), 从而由T满足a-Weyl定理知λ0σab(T)。若λ0σc(T), 则结合0<n(T-λ0I)<d(T-λ0I)可知λ0σa(T)\σea(T)。同理, 由T满足a-Weyl定理可得λ0σab(T)。

    充分性。由于[σa(T)\σea(T)]∩{[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσa(T): n(T-λI)=0}}=Ø, 故[σa(T)\σea(T)]⊆ρab(T)。下面设λ0π00a(T), 断言n(T-λ0I)≤d(T-λ0I)。若n(T-λ0I)>d(T-λ0I), 则T-λ0I为Fredholm算子。又由于λ0∈iso σa(T), 可知Tλ0处有单值延拓性质。根据文献[10]的定理1.3可知asc(T-λ0I)<∞。而结合文献[11]的定理4.2可知n(T-λ0I)≤d(T-λ0I), 矛盾, 断言得证。由断言, 若n(T-λ0I)<d(T-λ0I), 则λ0∉{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}, 从而λ0∉[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσ(T): n(T-λI)=0}, 即λ0σab(T)。若n(T-λ0I)=d(T-λ0I), 则λ0σ1(T), 从而有λ0σab(T)。综上所述, 有[σa(T)\σea(T)∪π00a(T)]⊆ρab(T), 即T满足a-Weyl定理。

    (2) 必要性。σb(T)⊇[σ1(T)∩σc(T)]∪acc σa(T)∪{λσ(T): n(T-λI)=0}∪{λC: n(T-λI)=∞}显然成立。反之,设λ0∉[σ1(T)∩σc(T)]∪acc σa(T)∪{λσ(T): n(T-λI)=0}∪{λC: n(T-λI)=∞}, 不妨设λ0σ(T), 则0<n(T-λ0I)<∞。由于λ0σ1(T)∩σc(T), 下面分2种情况讨论:

    情况1:λ0σ1(T)。由ρ1(T)的定义可知: 存在ε>0, 使得当0<|λ-λ0|<ε时, λρw(T)。又由于λ0∉acc σa(T), 则存在ε′>0(ε′<ε), 使得当0<|λ-λ0|<ε′时, λρw(T)∩ρa(T), 即λρ(T), 从而λ0∈ iso σ(T)。由0<n(T-λ0I)<∞知λ0π00(T)。结合T∈(R)及文献[12]第十一章的命题6.9可知T-λ0I为Browder算子。

    情况2: λ0σc(T)。此时由0<n(T-λ0I)<∞知T-λ0I为上半Fredholm算子。又由λ0∉acc σa(T)可得λ0∈iso σa(T), 由此可知Tλ0处有单值延拓性质。根据文献[10]的定理1.3可知asc(T-λ0I)<∞。结合T-λ0I是上半Fredholm算子可知λ0ρab(T)。又由于0<n(T-λ0I)<∞, 则λ0σa(T)\σab(T)。再次结合T∈(R)及文献[12]第十一章的命题6.9可知T-λ0I为Browder算子。

    充分性。由于[σa(T)\σab(T)∪π00(T)]∩{[σ1(T)∩σc(T)]∪acc σa(T)∪{λσ(T): n(T-λI)=0}∪{λC: n(T-λI)=∞}}=Ø, 故[σa(T)\σab(T)∪π00(T)]⊆ρb(T), 于是T∈(R)。证毕。

    下面将进一步讨论有界线性算子同时满足a-Weyl定理和(R)性质的充要条件。我们发现有界线性算子的a-Weyl定理和(R)性质之间没有必然的关系, 并且存在算子TB(H)既不满足a-Weyl定理也无(R)性质。例如, 令T(x1, x2, x3, …)=(0, 0, x22,x33, …)∈B(l2), 其中l2={x={xk}|k=1|xk|2<}T既满足a-Weyl定理又有(R)性质时, 有π00(T)=π00a(T)且[σa(T)\σea(T)∪π00(T)]⊆ρb(T)。再结合定理1的证明可得σb(T)=[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσ(T): n(T-λI)=0}。σb(T)⊆[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσ(T): n(T-λI)=0}显然成立。下面证明反包含关系也成立。设λ0∉[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσ(T): n(T-λI)=0}, 不妨设λ0σ(T), 则0<n(T-λ0I)<∞。由于此时π00(T)=π00a(T)且π00(T)⊆ρb(T), 则不失一般性, 设λ0∈acc σa(T), 断言λ0σ1(T), 否则λ0∉{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}。又由于λ0σc(T), 可得λ0σa(T)\σea(T), 即T-λ0I为Browder算子, 矛盾。由断言λ0σ1(T), 类似定理1中(1)的证明, 有λ0π00(T)⊆ρb(T)。从而有以下结论:

    定理2   设TB(H), 则T满足a-Weyl定理且T∈(R)当且仅当σb(T)=[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσ(T): n(T-λI)=0}。

    证明   必要性显然成立, 只需要证明充分性。由于[σa(T)\σea(T)]∩{[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσ(T): n(T-λI)=0}}=Ø, 故[σa(T)\σab(T)]⊆[σa(T)\σea(T)]⊆ρb(T)。设λ0π00a(T), 断言n(T-λI)=d(T-λI)。否则, 若n(T-λI)<d(T-λI), 则λ0∉[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσ(T): n(T-λI)=0}, 即T-λ0I为Browder算子, 矛盾。若n(T-λI)>d(T-λI), 则T-λ0I为Fredholm算子, 又由λ0∈iso σa(T)可知Tλ0处有单值延拓性质。根据文献[10]的定理1.3可知asc(T-λ0I)<∞。而结合文献[11]的定理4.2可知n(T-λI)≤d(T-λI), 矛盾。断言得证。由断言可得λ0π00a(T)⊆ρb(T), 从而π00(T)⊆π00a(T)⊆ρb(T)。综上所述,T满足a-Weyl定理且T∈(R)。证毕。

    TB(H), 令H(T)表示在σ(T)的邻域上解析但在σ(T)的任意一个分支上不为常值的函数的全体。下面讨论算子函数分别满足a-Weyl定理和(R)性质的充要条件。

    定理3   设TB(H), 则任给fH(T), f(T)满足a-Weyl定理当且仅当任意λ, μρSF+(T), ind(T-λI)ind(T-μI)≥0且下列条件之一成立:

    (1) σa(T)=[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσa(T): n(T-λI)=0};

    (2) σab(T)=[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]。

    证明   必要性。首先证明对任意λ, μρSF+(T), 有ind(T-λI)ind(T-μI)≥0。假设λ0, μ0ρSF+(T)且ind(T-λ0I)=m, ind(T-μ0I)<0, 其中m为正整数。若ind(T-μ0I)=-n, 其中n为正整数, 则令f0(z)=(z-λ0)n(z-μ0)m(zC)。若ind(T-μ0I)=-∞, 则令f0(z)=(z-λ0)(z-μ0)(zC)。在以上2种情形下均可得到0∈σa(f0(T))\σea(f0(T)), 则由f0(T)满足a-Weyl定理可知asc(f0(T))<∞, 从而asc(T-λ0I)<∞。结合文献[11]的定理4.2可知ind(T-λ0I)≤0, 这与ind(T-λ0I)=m>0矛盾。

    下面设Pab(T)=σa(T)\σab(T), 分2种情形讨论:

    情形1:Pab(T)=Ø。结合定理1知, σa(T)=σab(T)=[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσa(T): n(T-λI)=0}, 则条件(1)得证。

    情形2:Pab(T)≠Ø。此时断言{λ∈isoσ a(T): n(T-λI)<∞}⊆Pab(T)。事实上, 任取λ1Pab(T), λ2∈iso σa(T)且n(T-λ2I)<∞, 则存在δ1>0, δ2>0, 使得当0<|λ-λi|<δi(i=1,2)时, T-λI为下有界算子。令f1(T)=(T-λ1I)(T-λ2I)且δ=δ1δ2, 显然0<n(f1(T))<∞。下面证明0∈π00a(f1(T))。当0<|μ|<δ时, 令f1(T)-μI=(T-μ1I)(T-μ2I), 则对于μi(i=1,2), 有0<|μi-λ1|<δ1或者0<|μi-λ2|<δ2。否则,对于μi(i=1, 2), 有|μi-λ1|>δ1, |μi-λ2|>δ2, 则|μ|=|f1(T)|=|μi-λ1|·|μi-λ2|>δ1δ2=δ, 与0<|μ|<δ矛盾。因此, 0<|μi-λ1|<δ1(i=1, 2)和0<|μi-λ2|<δ2(i=1, 2)至少有一个成立, 则T-μiI为下有界算子, 从而f1(T)-μI也为下有界算子, 结合0<n(f1(T))<∞可得0∈π00a(f1(T))。因f1(T)满足a-Weyl定理, 故0∈Pab(f1(T)), 从而λ2Pab(T), 断言得证。

    下证条件(2)成立。只需证σab(T)⊆[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]。设λ0∉[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)], 当λ0σ1(T)时, 由T满足a-Weyl定理及ρ1(T)的定义可得λ0ρ(T)∪{λ∈iso σ(T): n(T-λI)<∞}。由情形2的断言可知λ0ρ(T)∪Pab(T), 故λ0σab(T)。当λ0∉{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}时, 有n(T-λI)<d(T-λI)。由λ0∉acc σa(T)∩σc(T)可推出λ0ρea(T)或λ0∈{λ∈iso σa(T): n(T-λI)<∞}。结合情形2的断言和T满足a-Weyl定理,同样可得到λ0σab(T),则条件(2)得证。

    充分性。设条件(1)成立。此时由σa(T)=[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσa(T): n(T-λI)=0}可推出σea(T)=σa(T), π00a(T)=Ø。由文献[13]可知,对任意λ, μρSF+, ind(T-λI)ind(T-μI)≥0,则σea(T)满足谱映射定理, 而且σa(T)也满足谱映射定理。所以,对任意fH(T), 有σa(f(T))=f(σa(T))=f(σea(T))=σea(f(T))。而由π00a(f(T))⊆f(π00a(T))可得π00a(f(T))=Ø。故σa(f(T))\σea(f(T))=π00a(f(T)), 即f(T)满足a-Weyl定理。

    设条件(2)成立。此时由σab(T)=[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]且{λσa(T): n(T-λI)=0}⊆σab(T), 有σab(T)=[σ1(T)∩{λC: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσa(T): n(T-λI)=0}。结合定理1中的证明, 可得{λ∈iso σa(T):n(T-λI)<∞}⊆Pab(T)。对于任意fH(T), 下面设μ0σa(f(T))\σea(f(T)), 令f(T)-μ0I=(T-λ1I)1n…(T-λtI)ntg(T), 其中, λiλj, g(T)可逆。不失一般性, 不妨设λiσa(T)(1≤it)。由条件“任意λ, μρSF+, ind(T-λI)ind(T-μI)≥0”可知ind(T-λiI)≤0, 从而可得λiσa(T)\σea(T)(1≤it)。结合T满足a-Weyl定理知λiρab(T)(1≤it), 故μ0ρab(f(T)), 即μ0π00a(f(T))。

    反之, 设μ0π00a(f(T)), 令f(T)-μ0I有如上分解形式。不妨设λiσa(T), 结合上述证明有λi∈{λ∈iso σa(T):n(T-λI)<∞}⊆Pab(T)(1≤it), 故μ0Pab(f(T))⊆σa(f(T))\σea(f(T))。

    综上可知, 任意fH(T), σa(f(T))\σea(f(T))=π00a(f(T))。证毕。

    下面令σ0(T)为T的正规特征值之集, 即σ0(T)=σ(T)\σb(T), 给出算子函数满足(R)性质的充分必要条件。

    定理4   设TB(H), 则任给fH(T), f(T)∈(R)当且仅当下列条件之一成立:

    (1) σ(T)=[σ1(T)∩σc(T)]∪acc σa(T)∪{λσ(T): n(T-λI)=0}∪{λC: n(T-λI)=∞};

    (2) σb(T)=acc σa(T)∪{λC: n(T-λI)=∞}。

    证明   必要性。若σ0(T)=Ø, 则σ(T)=σb(T), 结合定理1知条件(1)成立。

    σ0(T)≠Ø, 断言σ(T)=σa(T)且{λ∈iso σ(T):n(T-λI)<∞}⊆σ0(T)。事实上, 任取λ1σ0(T), λ2σa(T)。令f0(T)=(T-λ1I)(T-λ2I), 则0∈σa(f0(T))\σab(f0(T))。由f0(T)满足(R)性质知f0(T)为Browder算子, 故T-λ2I为Browder算子。结合λ2σa(T)可知T-λ2I可逆, 故σ(T)=σa(T)。

    再取λ3∈{λ∈iso σ(T):n(T-λI)<∞}, 令σ1={λ1}, σ2={λ3}, σ3=σ(T)\{λ1, λ3},σi(1≤i≤3)均为σ(T)的闭开子集,故H(σ1; T)⊕H(σ2; T)⊕H(σ3; T)=H。由文献[14]的定理2.10可知T可表示为

    T=(T1000T2000T3):(H(σ1;T)H(σ2;T)H(σ3;T))(H(σ1;T)H(σ2;T)H(σ3;T)),

    其中σ(Ti)=σi(i=1, 2, 3)。令f1(z)=(zλ1)(zλ3)(zC),则

    f1(T)=(f1(T1)000f1(T2)000f1(T3)):(H(σ1;T)H(σ2;T)H(σ3;T))(H(σ1;T)H(σ2;T)H(σ3;T))

    由谱映射定理可知σ(f1(T1))=σ(f1(T2))={0}且0∉σ(f1(T3)), 显然0∈iso σ(f1(T))。又由n(f1(T))=n((T)-λ1I)+n(T-λ3I)知0<n(f1(T))<∞, 即0∈π00(f1(T))。由f1(T)满足(R)性质知f1(T)为Browder算子, 故T-λ3I为Browder算子, 则{λ∈iso σ(T):n(T-λI)<∞}⊆σ0(T)。由以上断言易证: σ0(T)≠Ø时条件(2)成立。

    充分性。若条件(1)成立, 由于[σa(T)\σab(T)∪π00(T)]∩{[σ1(T)∩σc(T)]∪acc σa(T)∪{λσ(T): n(T-λI)=0}∪{λC: n(T-λI)=∞}}=Ø, 则有σa(T)=σab(T)且π00(T)=Ø。由于σa(·)与σab(·)均满足谱映射定理, 则任意fH(T), 有σa(f(T))=f(σa(T))=f(σab(T))=σab(f(T))。而由π00a(f(T))⊆f(π00a(T))可知π00a(f(T))=Ø。故σa(f(T))\σab(f(T))=π00a(f(T)), 即f(T)∈(R)。

    若条件(2)成立, 则由[σ(T)\σa(T)∪{λ∈iso σ(T): n(T-λI)<∞}]∩{acc σa(T)∪{λC: n(T-λI)=∞}}=Ø, 有σa(T)=σ(T), {λ∈iso σ(T): n(T-λI)<∞}⊆σ0(T)。同理易证T∈(R)。对于任意fH(T), 设μ0σa(f(T))\σab(f(T)), 令f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1…(T-λtI)ntg(T), 其中λiλj, g(T)可逆, 则λiρa(T)或λiσa(T)\σab(T)(1≤it)。由σa(T)=σ(T)且T∈(R)知λiρb(T), 故f(T)-μ0I为Browder算子, 则有μ0π00(f(T))。反之, 设μ0π00(f(T)), 令f(T)-μ0I有如上分解形式,则λiρ(T)或λi∈{λ∈iso σ(T):n(T-λI)<∞}, 从而有λiρb(T)(1≤it)。故f(T)-μ0I也为Browder算子, 则μ0σa(f(T))\σab(f(T))。

    综上, 任给fH(T), 有σa(f(T))\σab(f(T))=π00(f(T)), 即f(T)∈(R)。证毕。

    上面分别讨论了算子函数满足a-Weyl定理和(R)性质的判定。下面继续研究算子函数同时满足a-Weyl定理和(R)性质的充要条件, 并给出算子函数的这2种性质之间的关系。为此, 先给出3个注解。

    注解1   设TB(H), 则T满足a-Weyl定理且T∈(R)任给fH(T), f(T)满足a-Weyl定理且f(T)∈(\mathcal{R} )。

    例1   设A, B, CB(l2)定义为: A(x1, x2, x3, …)=(0, x1, x2, …); B(x1, x2, x3, …)=(x2, x3, x4, …); C(x1, x2, x3, …)=(x1, 0, 0, …)。令T1=\left(\begin{array}{cc} A+I & 0 \\ 0 & B-I \end{array}\right) , \boldsymbol{T}_2=\left(\begin{array}{cc} A-3 \mathrm{i} I & 0 \\ 0 & 3 \mathrm{i} C \end{array}\right), \boldsymbol{T}=\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{T}_1 & 0 \\ 0 & \boldsymbol{T}_2 \end{array}\right) 。通过计算有σa(T)={λ\mathbb{C}: |λ+1|≤1}∪{λ\mathbb{C}: |λ-1|=1}∪{λ\mathbb{C}: |λ+3i|=1}∪{3i}, σea(T)=σab(T)={λ\mathbb{C}: |λ+1|≤1}∪{λ\mathbb{C}: |λ-1|=1}∪{λ\mathbb{C}: |λ+3i|=1}且π00(T)=π00a(T)={3i}, 则σa(T)\σea(T)=σa(T)\σab(T)=π00(T)=π00a(T)={3i}, 因此可知T满足a-Weyl定理且T∈(\mathcal{R} )。令f0(z)=z2(z\mathbb{C}), 由1∈σa(f0(T))且1∉σea(f0(T)), 有1∈σa(f0(T))\σea(f0(T)), 但1∉π00a(f0(T)), 因此f0(T)不满足a-Weyl定理。又由f0(T)+9=(T+3iI)(T-3iI)知, -9∈σa(f0(T))\σab(f0(T))。但由于T+3iI不为Browder算子, 故-9∉π00a(f0(T)), 从而f0(T)∉(\mathcal{R} )。

    注解2   (2)设TB(H), 则任给fH(T), f(T)满足a-Weyl定理 \nRightarrow 任给fH(T), f(T)∈(\mathcal{R} )。

    例2   设A, BB(l2)定义为: A(x1, x2, x3, …)=(0, x1, x2, x3, …), B(x1, x2, x3, …)=(0, x2, x3, x4, …), 令TB(l2l2)为 \boldsymbol{T}=\left(\begin{array}{ll} A & 0 \\ 0 & B \end{array}\right)。由定理3知对任意的fH(T), f(T)满足a-Weyl定理。但是由于σa(T)\σab(T)={0}, π00(T)=Ø, 知T∉(\mathcal{R} )。

    注解3   设TB(H), 则任给fH(T), f(T)∈(\mathcal{R} ) \nRightarrow 任给fH(T), f(T)满足a-Weyl定理。

    例3   设A, BB(l2)定义为: A(x1, x2, x3, …)=(0, x1, x2, …), B(x1, x2, x3, …)=(x2, x3, x4, …)。令\boldsymbol{T}=\left(\begin{array}{cc} A+I & 0 \\ 0 & B-I \end{array}\right) , 由定理4知任给fH(T), 有f(T)∈(\mathcal{R} )。令f1(z)=(z+1)(z-1)(z \mathbb{C}),则f1(T)=(T+I)(T-I)为Weyl算子, 但不为Browder算子, 故f1(T)不满足a-Weyl定理。

    由注解1至注解3可知, 算子函数满足(\mathcal{R} )性质和满足a-Weyl定理之间没有必然的关系。下面给出算子函数同时满足a-Weyl定理和(\mathcal{R} )性质的充要条件。

    定理5   设TB(H), 则任给fH(T), f(T)满足a-Weyl定理且f(T)∈(\mathcal{R} )当且仅当下列条件之一成立:

    (1) σ(T)=[σ1(T)∩{λ\mathbb{C}: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσ(T): n(T-λI)=0}且任意λ, μρSF+(T), ind(T-λI)ind(T-μI)≥0;

    (2) σb(T)=[σ1(T)∩{λ\mathbb{C}: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]。

    证明   必要性。由定理3的证明过程知, 任意λ, μρSF+, 有ind(T-λI)ind(T-μI)≥0。下面根据σ0(T)分2种情况讨论:

    情况1:σ0(T)=Ø。此时σb(T)=σ(T), T满足a-Weyl定理且T∈(\mathcal{R} ), 则由定理2知条件(1)成立。

    情况2:σ0(T)≠Ø。此时Pab(T)≠Ø, 由定理3的证明可知σa(T)=σ(T), σab(T)=σb(T)且{λ∈iso σ(T): n(T-λI)<∞}⊆σ0(T)。类似于定理3的证明易证条件(2)成立。

    充分性。设条件(1)成立。由{λσ(T): n(T-λI)=0}={λσa(T): n(T-λI)=0}∪[σ(T)∩ρa(T)], 知σ(T)=[σ1(T)∩{λ\mathbb{C}: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσa(T): n(T-λI)=0}∪[σ(T)∩ρa(T)]。又由于σ(T)=σa(T)∪[σ(T)∩ρa(T)], 故σa(T)=[σ1(T)∩{λ\mathbb{C}: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσa(T): n(T-λI)=0}。于是, 由定理3知任意fH(T), f(T)满足a-Weyl定理。下面只需证明任给fH(T), f(T)∈(\mathcal{R} )。由ρ1(T)的定义知{λ\mathbb{C}: n(T-λI)=∞}⊆σ1(T)且σ1(T)∩{λ\mathbb{C}: d(T-λI)≤n(T-λI)<∞}⊆{λ\mathbb{C}: d(T-λI)<n(T-λI)<∞}]⊆acc σa(T), 故[σ1(T)∩{λ\mathbb{C}: n(T-λI)≥d(T-λI)}]⊆[σ1(T)∩{λ\mathbb{C}: n(T-λI)=∞}]∪[σ1(T)∩{λ\mathbb{C}: d(T-λI)<n(T-λI)<∞)}]⊆acc σa(T)∪{λ\mathbb{C}: n(T-λI)=∞}。结合条件(1)知σ(T)⊆acc σa(T)∪{λσ(T): n(T-λI)=0}∪{λ\mathbb{C}: n(T-λI)=∞}, 由此可推出定理4中条件(1)成立。从而由定理4可得:任给fH(T), f(T)∈(\mathcal{R} )。

    设条件(2)成立。由条件(2)易得σab(T)=σb(T), {λ∈iso σa(T): n(T-λI)<∞}⊆σ0(T)且任意λρSF+(T), ind(T-λI)≥0, 从而有σab(T)=[σ1(T)∩{λ\mathbb{C}: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]。结合定理3知: 任给fH(T), f(T)满足a-Weyl定理。而由于{λ∈iso σa(T):n(T-λI)<∞}⊆σ0(T), 则σb(T)=acc σa(T)∪{λ\mathbb{C}: n(T-λI)=∞}, 故定理4中条件(2)成立, 从而根据定理4任给fH(T), f(T)∈(\mathcal{R} )。证毕。

    事实上, 假设存在λ1∈{λρSF+(T): n(T-λI)>d(T-λI)}, 则T-λ1I为Fredholm算子。因为ind(T-λ1I)=n(T-λ1I)-d(T-λ1I)>0, 则设ind(T-λ1I)=n(n\mathbb{Z}_{+} )为正整数。取λ2ρSF+-(T), 设ind(T-λ1I)=-m, 其中m为正整数或者+∞。当m有限时,设f0(T)=(T-λ1I)m(T-λ2I)n。否则,设f0(T)=(T-λ1I)(T-λ2I)。于是,0∈σa(f0(T))\∈σea(f0(T)), 由f0(T)满足a-Weyl定理且f0(T)∈(\mathcal{R} )知f0(T)为Browder算子, 故T-λ1I为Browder算子, 这与n(T-λ1I)>d(T-λ1I)矛盾, 断言得证。从而可得以下结论:

    推论1   设TB(H), 则任给fH(T), f(T)满足a-Weyl定理且f(T)∈(\mathcal{R} )当且仅当下列条件成立:

    (1) T满足a-Weyl定理且T∈(\mathcal{R} );

    (2) 若ρSF+-(T)≠Ø, 则σ0(T)=Ø, 且不存在λρSF+(T), 使得0<ind(T-λI)<∞;

    (3) 若σp(T)∩[ρSF+-(T)∪ρw(T)]≠Ø, 则σb(T)=σ1(T)。

    证明   必要性。只需证明条件(3)成立。若σp(T)∩[ρSF+-(T)∪ρw(T)]≠Ø, 取λ0σp(T)∩[ρSF+-(T)∪ρw(T)], 则有λ0σa(T)\σea(T)。结合条件(1)可知λ0σ0(T), 即σ0(T)≠Ø。类似定理5的证明,有σb(T)=[σ1(T)∩{λ\mathbb{C}: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)], 从而{λ∈iso σ(T):n(T-λI)<∞}⊆σ0(T)。下面证明σb(T)=σ1(T)。σb(T)⊇σ1(T)显然成立, 反之, 设λ0σ1(T), 由T满足a-Weyl定理知λ0ρ(T)∪{λ∈iso σ(T):n(T-λI)<∞}。结合{λ∈iso σ(T): n(T-λI)<∞}⊆σ0(T),有λ0σb(T)。因此,σb(T)=σ1(T)。

    充分性。下面分2种情况讨论:

    情况1:ρSF+-(T)≠Ø。此时由条件(2)知σ0(T)=Ø且任意λρSF+(T), ind(T-λI)≤0。由T满足a-Weyl定理且T∈(\mathcal{R} ), 结合定理2可得到σ(T)=σb(T)=[σ1(T)∩{λ\mathbb{C}: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)]∪{λσ(T): n(T-λI)=0}, 即定理5中条件(1)成立, 故任给fH(T), f(T)满足a-Weyl定理且f(T)∈(\mathcal{R} )。

    情况2:ρSF+-(T)=Ø。此时任意λρSF+(T), 有ind(T-λI)≥0。从而σa(T)=σ(T), σw(T)=σea(T)。若σ0(T)=Ø, 类似情况1的证明可推出任给fH(T), f(T)满足a-Weyl定理且f(T)∈(\mathcal{R} )。若σ0(T)≠Ø, 则σp(T)∩[ρSF+-(T)∪ρw(T)]≠Ø。于是,由条件(3)知σb(T)=σ1(T), 故{λ∈iso σ(T):n(T-λI)<∞}⊆σ0(T)。显然有σb(T)=σ1(T)=[σ1(T)∩{λ\mathbb{C}: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[σ1(T)∩{λ\mathbb{C}: n(T-λI)<d(T-λI)}]。由于σw(T)=σea(T), 则有σ1(T)∩{λ\mathbb{C}: n(T-λI)<d(T-λI)}⊆acc σa(T)∩σc(T), 故σb(T)⊆[σ1(T)∩{λ\mathbb{C}: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)], 反包含显然成立。因此,σb(T)=[σ1(T)∩{λ\mathbb{C}: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σa(T)∩σc(T)], 即定理5中条件(2)成立, 故任给fH(T), f(T)满足a-Weyl定理且f(T)∈(\mathcal{R} )。证毕。

    ρSF+-(T)≠Ø且任给fH(T), f(T)∈(\mathcal{R} )和f(T)满足a-Weyl定理时, 类似定理5的证明,有σ0(T)=Ø且任意λρSF+(T), ind(T-λI)≤0, 从而σSF+(T)=σea(T)。于是可证明σ(T)=[σ1(T)∩σSF+(T)]∪{λσ(T): n(T-λI)=0}。事实上, 只需证σ(T)⊆[σ1(T)∩σSF+(T)]∪{λσ(T): n(T-λI)=0}。设λ0∉[σ1(T)∩σSF+(T)]∪{λσ(T): n(T-λI)=0}, 此时断言λ0σ(T)。若不然,设λ0σ(T), 则n(T-λ0I)>0。若λ0σ1(T), 则由ρ1(T)的定义, 有0<n(T-λ0I)<∞。因为T满足a-Weyl定理且T∈(\mathcal{R} ), 所以ρ1(T)⊆iso σ(T)∪ρ(T)。进而可得λ0π00(T), 则λ0σ0(T), 与σ0(T)=Ø矛盾。若λ0σSF+(T), 由于σSF+(T)=σea(T), 则λ0σa(T)\σea(T), 从而有λ0σ0(T), 与σ0(T)=Ø矛盾。

    反过来, 当ρSF+-(T)≠Ø且σ(T)=[σ1(T)∩σSF+(T)]∪{λσ(T): n(T-λI)=0}时, 类似推论1的证明可得到σ0(T)=Ø且任意λρSF+(T), ind(T-λI)≤0。于是有下面结论:

    推论2   设TB(H), 则任给fH(T), f(T)满足a-Weyl定理且f(T)∈(\mathcal{R} )当且仅当下列条件成立:

    (1) T满足a-Weyl定理且T∈(\mathcal{R} );

    (2) 若ρSF+-(T)≠Ø, 则σ(T)=[σ1(T)∩σSF+(T)]∪{λσ(T): n(T-λI)=0};

    (3) 若σp(T)∩[ρSF+-(T)∪ρw(T)]≠Ø, 则σb(T)=σ1(T)。

    推论3   设TB(H)且任给fH(T), f(T)满足a-Weyl定理, 则任给fH(T), f(T)∈(\mathcal{R} )当且仅当σp(T)∩[ρSF+-(T)∪ρw(T)]≠Ø, 从而有σea(T)=σ1(T)。

    证明   充分性。下面分2种情况讨论:

    情况1:ρSF+-(T)=Ø。显然有σab(T)=σb(T), 进而σa(T)=σ(T)。又由于T满足a-Weyl定理, 可得π00(T)=π00a(T)⊆σa(T)\σab(T), 故T∈(\mathcal{R} )且T满足a-Weyl定理。不妨设σp(T)∩[ρSF+-(T)∪ρw(T)]≠Ø, 由推论2的条件(3)可知σea(T)=σ1(T), 再结合T∈(\mathcal{R} )且T满足a-Weyl定理知σb(T)=σ1(T)。由推论2, 任给fH(T), f(T)满足a-Weyl定理且f(T)∈(\mathcal{R} )。

    情况2:ρSF+-(T)≠Ø。由定理3知: λ, μρSF+(T), ind(T-λI)ind(T-μI)≥0。结合ρSF+-(T)≠Ø,可得任意λρSF+(T), ind(T-λI)≤0。断言σ0(T)=Ø。事实上, 若σ0(T)≠Ø, 则σp(T)∩[ρSF+-(T)∪ρw(T)]≠Ø, 由条件知σea(T)=σ1(T), 从而由半Fredholm算子摄动定理[15]ρSF+-(T)=ρw(T), 矛盾。由σ0(T)=Ø且T满足a-Weyl定理知π00(T)=Ø。断言σab(T)=σa(T)。事实上, 若存在λ0σa(T)\σab(T), 由σ0(T)=Ø知ind(T-λ0I)<0, 故λ0σp(T)∩[ρSF+-(T)∪ρw(T)], 即σp(T)∩[ρSF+-(T)∪ρw(T)]≠Ø, 从而σea(T)=σ1(T)。于是,由半Fredholm算子摄动定理知T-λ0I为Weyl算子, 这与ind(T-λ0I)<0矛盾。由上述证明可得到T∈(\mathcal{R} )且T满足a-Weyl定理。此时类似情况1的证明, 任给fH(T), f(T)满足a-Weyl定理且f(T)∈(\mathcal{R} )得证。

    必要性。若σp(T)∩[ρSF+-(T)∪ρw(T)]≠Ø, 则由推论2, 有σb(T)=σ1(T), 故只需证明σea(T)=σb(T)。又由T满足a-Weyl定理知σea(T)=σab(T), 故只需证明σab(T)=σb(T)。取λ1σab(T), λ2σp(T)∩[ρSF+-(T)∪ρw(T)], 则λ2σ0(T)。设f0(T)=(T-λ1I)(T-λ2I), 则0∈σa(f0(T))\σab(f0(T)), 由f0(T)∈(\mathcal{R} )知f0(T)为Browder算子, 故T-λ1I为Browder算子。证毕。

    推论4   设TB(H), 且任给fH(T), f(T)∈(\mathcal{R} ), 则任给fH(T), f(T)满足a-Weyl定理当且仅当下列条件成立:

    (1) T满足a-Weyl定理;

    (2) 任意λ, μρSF+(T), ind(T-λI)ind(T-μI)≥0。

    证明   只需证明充分性, 下面分2种情况进行讨论。

    情况1:ρSF+-(T)=Ø。此时任意λρSF+(T), 有ind(T-λI)≥0。由推论2, 不妨设σp(T)∩[ρSF+-(T)∪ρw(T)]≠Ø, 取λ0σp(T)∩[ρSF+-(T)∪ρw(T)], 则λ0σp(T)∩ρw(T)。由T满足a-Weyl定理知此时λ0σ0(T), 即σ0(T)≠Ø。由条件“任给fH(T), f(T)∈(\mathcal{R} )”以及定理4知σb(T)=acc σa(T)∪{λ\mathbb{C}: n(T-λI)=∞}。由定理4的证明, 有{λ∈iso σ(T):n(T-λI)<∞}⊆σ0(T)。结合T满足a-Weyl定理, 可得ρ1(T)=ρ(T)∪{λ∈iso σ(T):n(T-λI)<∞}⊆ρb(T), 则有σb(T)⊆σ1(T)。反包含关系σb(T)⊇σ1(T)显然成立, 故σb(T)=σ1(T)。由推论2, 任给fH(T), f(T)满足a-Weyl定理。

    情况2:ρSF+-(T)≠Ø。此时任意λρSF+(T), 有ind(T-λ0I)≤0。断言σ0(T)=Ø。若不然, 任取λ1σ0(T), λ2ρSF+-(T), 由T同时满足(\mathcal{R} )性质和a-Weyl定理可知, 若λρSF+(T), 有λσ0(T)∪ρa(T), 则有λ2ρSF+-(T)=ρa(T)。令f0(T)=(T-λ1I)(T-λ2I), 则0∈σa(f0(T))\σab(f0(T))。由f0(T)∈(\mathcal{R} )知f0(T)为Browder算子, 从而T-λ2I为Browder算子, 这与λ2ρSF+-(T)矛盾, 断言得证。由σ0(T)=Ø及ρSF+-(T)=ρa(T)可得:σp(T)∩[ρSF+-(T)∪ρw(T)]⊆σa(T)\σea(T), 从而σp(T)∩[ρSF+-(T)∪ρw(T)]⊆σ0(T)结合σ0(T)=Ø,可知σp(T)∩[ρSF+-(T)∪ρw(T)]=Ø。由推论2, 任给fH(T), f(T)满足a-Weyl定理。证毕。

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  • 收稿日期:  2015-02-11
  • 刊出日期:  2015-09-24

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