在量子力学中, 能量算符是某一空间上的一个自伴算子, 其特征值对应着该系统束缚态的能级，而振动的频率、判断系统的稳定性以及光谱等均涉及算子的特征值，诸多问题的研究表明对量子力学的研究离不开对算子谱理论的研究。谱理论是量子力学研究的一个很重要的工具, 从谱理论的角度来解决量子信息论和量子力学研究中遇到的许多问题, 将为量子信息论和量子力学的快速发展提供有力的保障。

1909年, WEYL^[1]在检查Hilbert空间上的hermitian算子T的谱时发现T的Weyl谱恰好等于T的谱除去有限重的孤立特征值, 这一结论被学者们称为Weyl定理。近些年来, 学者们不断对Weyl定理进行变形和推广^[2-6], 其中有界线性算子的a-Weyl定理和($\mathcal{R}$)性质一直备受关注, 如YANG和CAO^[7]、JIA和FENG^[8]研究了($\mathcal{R}$)性质的摄动理论, DONG和CAO^[9]讨论了3×3阶矩阵的Weyl型定理等。

本文将继续研究有界线性算子的a-Weyl定理和($\mathcal{R}$)性质：利用新的谱集, 首先研究了有界线性算子分别以及同时满足a-Weyl定理和($\mathcal{R}$)性质的充要条件；然后，讨论了算子函数分别以及同时满足a-Weyl定理和($\mathcal{R}$)性质的充要条件。

1.   预备知识

在本文中, 用$\mathbb{C}$、$\mathbb{N}$分别表示复数集、非负整数集，H表示无限维的复Hilbert空间, B(H)表示H上有界线性算子的全体。设T∈B(H), N(T)、R(T)分别表示T的零空间、值域, 令n(T)=dimN(T), d(T)=dim(H/R(T))。若n(T)＜∞且R(T)是闭集，则称T∈B(H)是上半Fredholm算子; 特殊地, 当n(T)=0且R(T)是闭集时, 称T∈B(H)为下有界算子。若d(T)＜∞，则称T为下半Fredholm算子。若T既为上半Fredholm算子又为下半Fredholm算子, 则称T为Fredholm算子。若T∈B(H)为上半(或者下半)Fredholm算子, 则定义T的指标ind(T)=n(T)-d(T)。称ind(T)=0的Fredholm算子为Weyl算子。定义算子T∈B(H)的升降标为: asc(T)=inf{n∈$\mathbb{N}$: N(Tⁿ)=N(Tⁿ⁺¹)}, 若此下确界不存在, 则记asc(T)=+∞; des(T)=inf{n∈$\mathbb{N}$: R(Tⁿ)=R(Tⁿ⁺¹)}, 若此下确界不存在, 则记des(T)=+∞。若T为升降标有限的Fredholm算子，则称T为Browder算子。对算子T∈B(H), 称ρ(T)={λ∈$\mathbb{C}$: T-λI可逆}为T的预解集, 称σ(T)=$\mathbb{C}$\ρ(T)为T的谱集。T的上半Fredholm谱、逼近点谱、本质逼近点谱、Browder本质逼近点谱、Weyl谱、Browder谱分别定义为:

σ_SF+(T)={λ∈$\mathbb{C}$: T-λI不是上半Fredholm算子},

σ_SF+^-(T)={λ∈$\mathbb{C}$: T-λI不是ind(T-λI)≥0的上半Fredholm算子},

σ_a(T)={λ∈$\mathbb{C}$: T-λI不是下有界算子},

σ_ea(T)={λ∈$\mathbb{C}$: T-λI不是ind(T-λI)≤0的上半Fredholm算子},

σ_ab(T)={λ∈$\mathbb{C}$: T-λI不是升标有限的上半Fredholm算子},

σ_w(T)={λ∈$\mathbb{C}$: T-λI不是Weyl算子},

σ_b(T)={λ∈$\mathbb{C}$: T-λI不是Browder算子}。

记其对应的预解集为ρ_SF+(T)=$\mathbb{C}$\σ_SF+(T), ρ_SF+^-(T)=$\mathbb{C}$\σ_SF+^-(T), ρ_a(T)=$\mathbb{C}$\σ_a(T), ρ_ea(T)=$\mathbb{C}$\σ_ea(T), ρ_ab(T)=$\mathbb{C}$\σ_ab(T), ρ_w(T)=$\mathbb{C}$\σ_w(T), ρ_b(T)=$\mathbb{C}$\σ_b(T)。另外, 对任意集合E⊆C, 用iso E表示E中所有孤立点的集合, acc E表示E的所有聚点的集合。

设T∈B(H)，σ是σ(T)的闭开子集，则存在一个解析的柯西域Ω，使得σ⊆Ω，并且有[σ(T)\σ]∩=Ø。设E(σ; T)表示算子T对于σ的Riesz幂等分解，即

其中，Γ=∂Ω是取正向的曲线。用H(σ; T)表示R(E(σ; T))。

若σ_a(T)\σ_ea(T)=π₀₀^a(T), 则称有界线性算子T∈B(H)满足a-Weyl定理; 若σ_a(T)\σ_ab(T)=π₀₀(T), 其中π₀₀^a(T)={λ∈iso σ_a(T): 0＜dim N(T-λI)＜∞}, π₀₀(T)={λ∈iso σ(T): 0＜dim N(T-λI)＜∞}, 则称算子T∈B(H)满足($\mathcal{R}$)性质, 记作T∈($\mathcal{R}$)。

2.   主要结果

为了研究有界线性算子的a-Weyl定理和($\mathcal{R}$)性质, 本文首先利用Weyl谱定义一个新的集合工具。令

并令σ₁(T)=C\ρ₁(T), 显然σ₁(T)⊆σ_w(T)⊆σ_b(T)⊆σ(T)。下面令σ_c(T)={λ∈$\mathbb{C}$: R(T-λI)不是闭集}, 利用新谱集给出有界线性算子分别满足a-Weyl定理和($\mathcal{R}$)性质的充要条件。

定理1   设T∈B(H), 则有:

(1) T满足a-Weyl定理当且仅当σ_ab(T)=[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ_a(T): n(T-λI)=0};

(2) T∈($\mathcal{R}$)当且仅当σ_b(T)=[σ₁(T)∩σ_c(T)]∪acc σ_a(T)∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}∪{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)=∞}。

证明   (1)必要性。σ_ab(T)⊇[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ_a(T): n(T-λI)=0}显然成立。下面证明反包含关系也成立。设λ₀∉[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ_a(T): n(T-λI)=0}, 不妨设λ₀∈σ_a(T), 则n(T-λ₀I)>0。由于λ₀∉σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}, 则下面分2种情形讨论：

情况1:λ₀∉σ₁(T)。此时根据ρ₁(T)的定义, 有0＜n(T-λ₀I)＜∞。因为T满足a-Weyl定理且a-Weyl定理蕴涵Browder定理, 则ρ₁(T)⊆iso σ(T)∪ρ(T)，从而有λ₀∈σ_a(T), 所以λ₀∈iso σ(T)。结合0＜n(T-λ₀I)＜∞, 有λ₀∈π₀₀(T)⊆π₀₀^a(T)。而由于T满足a-Weyl定理, 故σ_ea(T)=σ_ab(T), 从而λ₀∉σ_ab(T)。

情况2:λ₀∉{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}。此时有n(T-λ₀I)＜d(T-λ₀I), 从而0＜n(T-λ₀I)＜∞。若λ₀∉acc σ_a(T), 结合λ₀∈σ_a(T)可知λ₀∈iso σ_a(T), 则λ₀∈π₀₀^a(T), 从而由T满足a-Weyl定理知λ₀∉σ_ab(T)。若λ₀∉σ_c(T), 则结合0＜n(T-λ₀I)＜d(T-λ₀I)可知λ₀∈σ_a(T)\σ_ea(T)。同理, 由T满足a-Weyl定理可得λ₀∉σ_ab(T)。

充分性。由于[σ_a(T)\σ_ea(T)]∩{[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ_a(T): n(T-λI)=0}}=Ø, 故[σ_a(T)\σ_ea(T)]⊆ρ_ab(T)。下面设λ₀∈π₀₀^a(T), 断言n(T-λ₀I)≤d(T-λ₀I)。若n(T-λ₀I)>d(T-λ₀I), 则T-λ₀I为Fredholm算子。又由于λ₀∈iso σ_a(T), 可知T在λ₀处有单值延拓性质。根据文献[10]的定理1.3可知asc(T-λ₀I)＜∞。而结合文献[11]的定理4.2可知n(T-λ₀I)≤d(T-λ₀I), 矛盾, 断言得证。由断言, 若n(T-λ₀I)＜d(T-λ₀I), 则λ₀∉{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}, 从而λ₀∉[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}, 即λ₀∉σ_ab(T)。若n(T-λ₀I)=d(T-λ₀I), 则λ₀∉σ₁(T), 从而有λ₀∉σ_ab(T)。综上所述, 有[σ_a(T)\σ_ea(T)∪π₀₀^a(T)]⊆ρ_ab(T), 即T满足a-Weyl定理。

(2) 必要性。σ_b(T)⊇[σ₁(T)∩σ_c(T)]∪acc σ_a(T)∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}∪{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)=∞}显然成立。反之，设λ₀∉[σ₁(T)∩σ_c(T)]∪acc σ_a(T)∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}∪{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)=∞}, 不妨设λ₀∈σ(T), 则0＜n(T-λ₀I)＜∞。由于λ₀∉σ₁(T)∩σ_c(T), 下面分2种情况讨论：

情况1:λ₀∉σ₁(T)。由ρ₁(T)的定义可知: 存在ε>0, 使得当0＜|λ-λ₀|＜ε时, λ∈ρ_w(T)。又由于λ₀∉acc σ_a(T), 则存在ε′>0(ε′＜ε), 使得当0＜|λ-λ₀|＜ε′时, λ∈ρ_w(T)∩ρ_a(T), 即λ∈ρ(T), 从而λ₀∈ iso σ(T)。由0＜n(T-λ₀I)＜∞知λ₀∈π₀₀(T)。结合T∈($\mathcal{R}$)及文献[12]第十一章的命题6.9可知T-λ₀I为Browder算子。

情况2: λ₀∉σ_c(T)。此时由0＜n(T-λ₀I)＜∞知T-λ₀I为上半Fredholm算子。又由λ₀∉acc σ_a(T)可得λ₀∈iso σ_a(T), 由此可知T在λ₀处有单值延拓性质。根据文献[10]的定理1.3可知asc(T-λ₀I)＜∞。结合T-λ₀I是上半Fredholm算子可知λ₀∈ρ_ab(T)。又由于0＜n(T-λ₀I)＜∞, 则λ₀∈σ_a(T)\σ_ab(T)。再次结合T∈($\mathcal{R}$)及文献[12]第十一章的命题6.9可知T-λ₀I为Browder算子。

充分性。由于[σ_a(T)\σ_ab(T)∪π₀₀(T)]∩{[σ₁(T)∩σ_c(T)]∪acc σ_a(T)∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}∪{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)=∞}}=Ø, 故[σ_a(T)\σ_ab(T)∪π₀₀(T)]⊆ρ_b(T), 于是T∈($\mathcal{R}$)。证毕。

下面将进一步讨论有界线性算子同时满足a-Weyl定理和($\mathcal{R}$)性质的充要条件。我们发现有界线性算子的a-Weyl定理和($\mathcal{R}$)性质之间没有必然的关系, 并且存在算子T∈B(H)既不满足a-Weyl定理也无($\mathcal{R}$)性质。例如, 令T(x₁, x₂, x₃, …)=(0, 0, $\frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3}$, …)∈B(l²), 其中$l^2=\left\{x=\left.\left\{x_k\right\}\left|\sum_{k=1}^{\infty}\right| x_k\right|^2 < \infty \right\}$当T既满足a-Weyl定理又有($\mathcal{R}$)性质时, 有π₀₀(T)=π₀₀^a(T)且[σ_a(T)\σ_ea(T)∪π₀₀(T)]⊆ρ_b(T)。再结合定理1的证明可得σ_b(T)=[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}。σ_b(T)⊆[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}显然成立。下面证明反包含关系也成立。设λ₀∉[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}, 不妨设λ₀∈σ(T), 则0＜n(T-λ₀I)＜∞。由于此时π₀₀(T)=π₀₀^a(T)且π₀₀(T)⊆ρ_b(T), 则不失一般性, 设λ₀∈acc σ_a(T), 断言λ₀∉σ₁(T), 否则λ₀∉{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}。又由于λ₀∉σ_c(T), 可得λ₀∈σ_a(T)\σ_ea(T), 即T-λ₀I为Browder算子, 矛盾。由断言λ₀∉σ₁(T), 类似定理1中(1)的证明, 有λ₀∈π₀₀(T)⊆ρ_b(T)。从而有以下结论：

定理2   设T∈B(H), 则T满足a-Weyl定理且T∈($\mathcal{R}$)当且仅当σ_b(T)=[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}。

证明   必要性显然成立, 只需要证明充分性。由于[σ_a(T)\σ_ea(T)]∩{[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}}=Ø, 故[σ_a(T)\σ_ab(T)]⊆[σ_a(T)\σ_ea(T)]⊆ρ_b(T)。设λ₀∈π₀₀^a(T), 断言n(T-λI)=d(T-λI)。否则, 若n(T-λI)＜d(T-λI), 则λ₀∉[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}, 即T-λ₀I为Browder算子, 矛盾。若n(T-λI)>d(T-λI), 则T-λ₀I为Fredholm算子, 又由λ₀∈iso σ_a(T)可知T在λ₀处有单值延拓性质。根据文献[10]的定理1.3可知asc(T-λ₀I)＜∞。而结合文献[11]的定理4.2可知n(T-λI)≤d(T-λI), 矛盾。断言得证。由断言可得λ₀∈π₀₀^a(T)⊆ρ_b(T), 从而π₀₀(T)⊆π₀₀^a(T)⊆ρ_b(T)。综上所述，T满足a-Weyl定理且T∈($\mathcal{R}$)。证毕。

设T∈B(H), 令H(T)表示在σ(T)的邻域上解析但在σ(T)的任意一个分支上不为常值的函数的全体。下面讨论算子函数分别满足a-Weyl定理和($\mathcal{R}$)性质的充要条件。

定理3   设T∈B(H), 则任给f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理当且仅当任意λ, μ∈ρ_SF+(T), ind(T-λI)ind(T-μI)≥0且下列条件之一成立:

(1) σ_a(T)=[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ_a(T): n(T-λI)=0};

(2) σ_ab(T)=[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]。

证明   必要性。首先证明对任意λ, μ∈ρ_SF+(T), 有ind(T-λI)ind(T-μI)≥0。假设λ₀, μ₀∈ρ_SF+(T)且ind(T-λ₀I)=m, ind(T-μ₀I)＜0, 其中m为正整数。若ind(T-μ₀I)=-n, 其中n为正整数, 则令f₀(z)=(z-λ₀)ⁿ(z-μ₀)^m(z∈$\mathbb{C}$)。若ind(T-μ₀I)=-∞, 则令f₀(z)=(z-λ₀)(z-μ₀)(z∈$\mathbb{C}$)。在以上2种情形下均可得到0∈σ_a(f₀(T))\σ_ea(f₀(T)), 则由f₀(T)满足a-Weyl定理可知asc(f₀(T))＜∞, 从而asc(T-λ₀I)＜∞。结合文献[11]的定理4.2可知ind(T-λ₀I)≤0, 这与ind(T-λ₀I)=m>0矛盾。

下面设P_ab(T)=σ_a(T)\σ_ab(T), 分2种情形讨论:

情形1:P_ab(T)=Ø。结合定理1知, σ_a(T)=σ_ab(T)=[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ_a(T): n(T-λI)=0}, 则条件(1)得证。

情形2:P_ab(T)≠Ø。此时断言{λ∈isoσ _a(T): n(T-λI)＜∞}⊆P_ab(T)。事实上, 任取λ₁∈P_ab(T), λ₂∈iso σ_a(T)且n(T-λ₂I)＜∞, 则存在δ₁>0, δ₂>0, 使得当0＜|λ-λ_i|＜δ_i(i=1，2)时, T-λI为下有界算子。令f₁(T)=(T-λ₁I)(T-λ₂I)且δ=δ₁δ₂, 显然0＜n(f₁(T))＜∞。下面证明0∈π₀₀^a(f₁(T))。当0＜|μ|＜δ时, 令f₁(T)-μI=(T-μ₁I)(T-μ₂I), 则对于μ_i(i=1，2), 有0＜|μ_i-λ₁|＜δ₁或者0＜|μ_i-λ₂|＜δ₂。否则，对于μ_i(i=1, 2), 有|μ_i-λ₁|>δ₁, |μ_i-λ₂|>δ₂, 则|μ|=|f₁(T)|=|μ_i-λ₁|·|μ_i-λ₂|>δ₁δ₂=δ, 与0＜|μ|＜δ矛盾。因此, 0＜|μ_i-λ₁|＜δ₁(i=1, 2)和0＜|μ_i-λ₂|＜δ₂(i=1, 2)至少有一个成立, 则T-μ_iI为下有界算子, 从而f₁(T)-μI也为下有界算子, 结合0＜n(f₁(T))＜∞可得0∈π₀₀^a(f₁(T))。因f₁(T)满足a-Weyl定理, 故0∈P_ab(f₁(T)), 从而λ₂∈P_ab(T), 断言得证。

下证条件(2)成立。只需证σ_ab(T)⊆[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]。设λ₀∉[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)], 当λ₀∉σ₁(T)时, 由T满足a-Weyl定理及ρ₁(T)的定义可得λ₀∈ρ(T)∪{λ∈iso σ(T): n(T-λI)＜∞}。由情形2的断言可知λ₀∈ρ(T)∪P_ab(T), 故λ₀∉σ_ab(T)。当λ₀∉{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}时, 有n(T-λI)＜d(T-λI)。由λ₀∉acc σ_a(T)∩σ_c(T)可推出λ₀∈ρ_ea(T)或λ₀∈{λ∈iso σ_a(T): n(T-λI)＜∞}。结合情形2的断言和T满足a-Weyl定理，同样可得到λ₀∉σ_ab(T)，则条件(2)得证。

充分性。设条件(1)成立。此时由σ_a(T)=[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ_a(T): n(T-λI)=0}可推出σ_ea(T)=σ_a(T), π₀₀^a(T)=Ø。由文献[13]可知，对任意λ, μ∈ρ_SF+, ind(T-λI)ind(T-μI)≥0，则σ_ea(T)满足谱映射定理, 而且σ_a(T)也满足谱映射定理。所以，对任意f∈H(T), 有σ_a(f(T))=f(σ_a(T))=f(σ_ea(T))=σ_ea(f(T))。而由π₀₀^a(f(T))⊆f(π₀₀^a(T))可得π₀₀^a(f(T))=Ø。故σ_a(f(T))\σ_ea(f(T))=π₀₀^a(f(T)), 即f(T)满足a-Weyl定理。

设条件(2)成立。此时由σ_ab(T)=[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]且{λ∈σ_a(T): n(T-λI)=0}⊆σ_ab(T), 有σ_ab(T)=[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ_a(T): n(T-λI)=0}。结合定理1中的证明, 可得{λ∈iso σ_a(T)：n(T-λI)＜∞}⊆P_ab(T)。对于任意f∈H(T), 下面设μ₀∈σ_a(f(T))\σ_ea(f(T)), 令f(T)-μ₀I=(T-λ₁I)₁ⁿ…(T-λ_tI)^n_tg(T), 其中, λ_i≠λ_j, g(T)可逆。不失一般性, 不妨设λ_i∈σ_a(T)(1≤i≤t)。由条件“任意λ, μ∈ρ_SF+, ind(T-λI)ind(T-μI)≥0”可知ind(T-λ_iI)≤0, 从而可得λ_i∈σ_a(T)\σ_ea(T)(1≤i≤t)。结合T满足a-Weyl定理知λ_i∈ρ_ab(T)(1≤i≤t), 故μ₀∈ρ_ab(f(T)), 即μ₀∈π₀₀^a(f(T))。

反之, 设μ₀∈π₀₀^a(f(T)), 令f(T)-μ₀I有如上分解形式。不妨设λ_i∈σ_a(T), 结合上述证明有λ_i∈{λ∈iso σ_a(T)：n(T-λI)＜∞}⊆P_ab(T)(1≤i≤t), 故μ₀∈P_ab(f(T))⊆σ_a(f(T))\σ_ea(f(T))。

综上可知, 任意f∈H(T), σ_a(f(T))\σ_ea(f(T))=π₀₀^a(f(T))。证毕。

下面令σ₀(T)为T的正规特征值之集, 即σ₀(T)=σ(T)\σ_b(T), 给出算子函数满足($\mathcal{R}$)性质的充分必要条件。

定理4   设T∈B(H), 则任给f∈H(T), f(T)∈($\mathcal{R}$)当且仅当下列条件之一成立:

(1) σ(T)=[σ₁(T)∩σ_c(T)]∪acc σ_a(T)∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}∪{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)=∞};

(2) σ_b(T)=acc σ_a(T)∪{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)=∞}。

证明   必要性。若σ₀(T)=Ø, 则σ(T)=σ_b(T), 结合定理1知条件(1)成立。

若σ₀(T)≠Ø, 断言σ(T)=σ_a(T)且{λ∈iso σ(T)：n(T-λI)＜∞}⊆σ₀(T)。事实上, 任取λ₁∈σ₀(T), λ₂∉σ_a(T)。令f₀(T)=(T-λ₁I)(T-λ₂I), 则0∈σ_a(f₀(T))\σ_ab(f₀(T))。由f₀(T)满足($\mathcal{R}$)性质知f₀(T)为Browder算子, 故T-λ₂I为Browder算子。结合λ₂∉σ_a(T)可知T-λ₂I可逆, 故σ(T)=σ_a(T)。

再取λ₃∈{λ∈iso σ(T)：n(T-λI)＜∞}, 令σ₁={λ₁}, σ₂={λ₃}, σ₃=σ(T)\{λ₁, λ₃}，σ_i(1≤i≤3)均为σ(T)的闭开子集，故H(σ₁; T)⊕H(σ₂; T)⊕H(σ₃; T)=H。由文献[14]的定理2.10可知T可表示为

其中σ(T_i)=σ_i(i=1, 2, 3)。令f₁(z)=(z－λ₁)(z－λ₃)(z∈$\mathbb{C}$)，则

由谱映射定理可知σ(f₁(T₁))=σ(f₁(T₂))={0}且0∉σ(f₁(T₃)), 显然0∈iso σ(f₁(T))。又由n(f₁(T))=n((T)-λ₁I)+n(T-λ₃I)知0＜n(f₁(T))＜∞, 即0∈π₀₀(f₁(T))。由f₁(T)满足($\mathcal{R}$)性质知f₁(T)为Browder算子, 故T-λ₃I为Browder算子, 则{λ∈iso σ(T)：n(T-λI)＜∞}⊆σ₀(T)。由以上断言易证: σ₀(T)≠Ø时条件(2)成立。

充分性。若条件(1)成立, 由于[σ_a(T)\σ_ab(T)∪π₀₀(T)]∩{[σ₁(T)∩σ_c(T)]∪acc σ_a(T)∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}∪{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)=∞}}=Ø, 则有σ_a(T)=σ_ab(T)且π₀₀(T)=Ø。由于σ_a(·)与σ_ab(·)均满足谱映射定理, 则任意f∈H(T), 有σ_a(f(T))=f(σ_a(T))=f(σ_ab(T))=σ_ab(f(T))。而由π₀₀^a(f(T))⊆f(π₀₀^a(T))可知π₀₀^a(f(T))=Ø。故σ_a(f(T))\σ_ab(f(T))=π₀₀^a(f(T)), 即f(T)∈($\mathcal{R}$)。

若条件(2)成立, 则由[σ(T)\σ_a(T)∪{λ∈iso σ(T): n(T-λI)＜∞}]∩{acc σ_a(T)∪{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)=∞}}=Ø, 有σ_a(T)=σ(T), {λ∈iso σ(T): n(T-λI)＜∞}⊆σ₀(T)。同理易证T∈($\mathcal{R}$)。对于任意f∈H(T), 设μ₀∈σ_a(f(T))\σ_ab(f(T)), 令f(T)-μ₀I=(T-λ₁I)^n₁…(T-λ_tI)^n_tg(T), 其中λ_i≠λ_j, g(T)可逆, 则λ_i∈ρ_a(T)或λ_i∈σ_a(T)\σ_ab(T)(1≤i≤t)。由σ_a(T)=σ(T)且T∈($\mathcal{R}$)知λ_i∈ρ_b(T), 故f(T)-μ₀I为Browder算子, 则有μ₀∈π₀₀(f(T))。反之, 设μ₀∈π₀₀(f(T)), 令f(T)-μ₀I有如上分解形式，则λ_i∈ρ(T)或λ_i∈{λ∈iso σ(T)：n(T-λI)＜∞}, 从而有λ_i∈ρ_b(T)(1≤i≤t)。故f(T)-μ₀I也为Browder算子, 则μ₀⊆σ_a(f(T))\σ_ab(f(T))。

综上, 任给f∈H(T), 有σ_a(f(T))\σ_ab(f(T))=π₀₀(f(T)), 即f(T)∈($\mathcal{R}$)。证毕。

上面分别讨论了算子函数满足a-Weyl定理和($\mathcal{R}$)性质的判定。下面继续研究算子函数同时满足a-Weyl定理和($\mathcal{R}$)性质的充要条件, 并给出算子函数的这2种性质之间的关系。为此, 先给出3个注解。

注解1   设T∈B(H), 则T满足a-Weyl定理且T∈($\mathcal{R}$)$\nRightarrow$任给f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理且f(T)∈($\mathcal{R}$)。

例1   设A, B, C∈B(l²)定义为: A(x₁, x₂, x₃, …)=(0, x₁, x₂, …); B(x₁, x₂, x₃, …)=(x₂, x₃, x₄, …); C(x₁, x₂, x₃, …)=(x₁, 0, 0, …)。令T₁=$\left(\begin{array}{cc} A+I & 0 \\ 0 & B-I \end{array}\right)$, $\boldsymbol{T}_2=\left(\begin{array}{cc} A-3 \mathrm{i} I & 0 \\ 0 & 3 \mathrm{i} C \end{array}\right), \boldsymbol{T}=\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{T}_1 & 0 \\ 0 & \boldsymbol{T}_2 \end{array}\right)$。通过计算有σ_a(T)={λ∈$\mathbb{C}$: |λ+1|≤1}∪{λ∈$\mathbb{C}$: |λ-1|=1}∪{λ∈$\mathbb{C}$: |λ+3i|=1}∪{3i}, σ_ea(T)=σ_ab(T)={λ∈$\mathbb{C}$: |λ+1|≤1}∪{λ∈$\mathbb{C}$: |λ-1|=1}∪{λ∈$\mathbb{C}$: |λ+3i|=1}且π₀₀(T)=π₀₀^a(T)={3i}, 则σ_a(T)\σ_ea(T)=σ_a(T)\σ_ab(T)=π₀₀(T)=π₀₀^a(T)={3i}, 因此可知T满足a-Weyl定理且T∈($\mathcal{R}$)。令f₀(z)=z²(z∈$\mathbb{C}$), 由1∈σ_a(f₀(T))且1∉σ_ea(f₀(T)), 有1∈σ_a(f₀(T))\σ_ea(f₀(T)), 但1∉π₀₀^a(f₀(T)), 因此f₀(T)不满足a-Weyl定理。又由f₀(T)+9=(T+3iI)(T-3iI)知, -9∈σ_a(f₀(T))\σ_ab(f₀(T))。但由于T+3iI不为Browder算子, 故-9∉π₀₀^a(f₀(T)), 从而f₀(T)∉($\mathcal{R}$)。

注解2   (2)设T∈B(H), 则任给f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理$\nRightarrow$任给f∈H(T), f(T)∈($\mathcal{R}$)。

例2   设A, B∈B(l²)定义为: A(x₁, x₂, x₃, …)=(0, x₁, x₂, x₃, …), B(x₁, x₂, x₃, …)=(0, x₂, x₃, x₄, …), 令T∈B(l²⊕l²)为$\boldsymbol{T}=\left(\begin{array}{ll} A & 0 \\ 0 & B \end{array}\right)$。由定理3知对任意的f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理。但是由于σ_a(T)\σ_ab(T)={0}, π₀₀(T)=Ø, 知T∉($\mathcal{R}$)。

注解3   设T∈B(H), 则任给f∈H(T), f(T)∈($\mathcal{R}$)$\nRightarrow$任给f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理。

例3   设A, B∈B(l²)定义为: A(x₁, x₂, x₃, …)=(0, x₁, x₂, …), B(x₁, x₂, x₃, …)=(x₂, x₃, x₄, …)。令$\boldsymbol{T}=\left(\begin{array}{cc} A+I & 0 \\ 0 & B-I \end{array}\right)$, 由定理4知任给f∈H(T), 有f(T)∈($\mathcal{R}$)。令f₁(z)=(z+1)(z-1)(z∈ $\mathbb{C}$)，则f₁(T)=(T+I)(T-I)为Weyl算子, 但不为Browder算子, 故f₁(T)不满足a-Weyl定理。

由注解1至注解3可知, 算子函数满足($\mathcal{R}$)性质和满足a-Weyl定理之间没有必然的关系。下面给出算子函数同时满足a-Weyl定理和($\mathcal{R}$)性质的充要条件。

定理5   设T∈B(H), 则任给f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理且f(T)∈($\mathcal{R}$)当且仅当下列条件之一成立:

(1) σ(T)=[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}且任意λ, μ∈ρ_SF+(T), ind(T-λI)ind(T-μI)≥0;

(2) σ_b(T)=[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]。

证明   必要性。由定理3的证明过程知, 任意λ, μ∈ρ_SF+, 有ind(T-λI)ind(T-μI)≥0。下面根据σ₀(T)分2种情况讨论:

情况1:σ₀(T)=Ø。此时σ_b(T)=σ(T), T满足a-Weyl定理且T∈($\mathcal{R}$), 则由定理2知条件(1)成立。

情况2:σ₀(T)≠Ø。此时P_ab(T)≠Ø, 由定理3的证明可知σ_a(T)=σ(T), σ_ab(T)=σ_b(T)且{λ∈iso σ(T): n(T-λI)＜∞}⊆σ₀(T)。类似于定理3的证明易证条件(2)成立。

充分性。设条件(1)成立。由{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}={λ∈σ_a(T): n(T-λI)=0}∪[σ(T)∩ρ_a(T)], 知σ(T)=[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ_a(T): n(T-λI)=0}∪[σ(T)∩ρ_a(T)]。又由于σ(T)=σ_a(T)∪[σ(T)∩ρ_a(T)], 故σ_a(T)=[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ_a(T): n(T-λI)=0}。于是, 由定理3知任意f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理。下面只需证明任给f∈H(T), f(T)∈($\mathcal{R}$)。由ρ₁(T)的定义知{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)=∞}⊆σ₁(T)且σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: d(T-λI)≤n(T-λI)＜∞}⊆{λ∈$\mathbb{C}$: d(T-λI)＜n(T-λI)＜∞}]⊆acc σ_a(T), 故[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]⊆[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)=∞}]∪[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: d(T-λI)＜n(T-λI)＜∞)}]⊆acc σ_a(T)∪{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)=∞}。结合条件(1)知σ(T)⊆acc σ_a(T)∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}∪{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)=∞}, 由此可推出定理4中条件(1)成立。从而由定理4可得：任给f∈H(T), f(T)∈($\mathcal{R}$)。

设条件(2)成立。由条件(2)易得σ_ab(T)=σ_b(T), {λ∈iso σ_a(T): n(T-λI)＜∞}⊆σ₀(T)且任意λ∈ρ_SF+(T), ind(T-λI)≥0, 从而有σ_ab(T)=[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]。结合定理3知: 任给f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理。而由于{λ∈iso σ_a(T)：n(T-λI)＜∞}⊆σ₀(T), 则σ_b(T)=acc σ_a(T)∪{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)=∞}, 故定理4中条件(2)成立, 从而根据定理4任给f∈H(T), f(T)∈($\mathcal{R}$)。证毕。

事实上, 假设存在λ₁∈{λ∈ρ_SF+(T): n(T-λI)>d(T-λI)}, 则T-λ₁I为Fredholm算子。因为ind(T-λ₁I)=n(T-λ₁I)-d(T-λ₁I)>0, 则设ind(T-λ₁I)=n(n∈ $\mathbb{Z}_{+}$)为正整数。取λ₂∈ρ_SF+^-(T), 设ind(T-λ₁I)=-m, 其中m为正整数或者+∞。当m有限时，设f₀(T)=(T-λ₁I)^m(T-λ₂I)ⁿ。否则，设f₀(T)=(T-λ₁I)(T-λ₂I)。于是，0∈σ_a(f₀(T))\∈σ_ea(f₀(T)), 由f₀(T)满足a-Weyl定理且f₀(T)∈($\mathcal{R}$)知f₀(T)为Browder算子, 故T-λ₁I为Browder算子, 这与n(T-λ₁I)>d(T-λ₁I)矛盾, 断言得证。从而可得以下结论:

推论1   设T∈B(H), 则任给f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理且f(T)∈($\mathcal{R}$)当且仅当下列条件成立:

(1) T满足a-Weyl定理且T∈($\mathcal{R}$);

(2) 若ρ_SF+^-(T)≠Ø, 则σ₀(T)=Ø, 且不存在λ∈ρ_SF+(T), 使得0＜ind(T-λI)＜∞;

(3) 若σ_p(T)∩[ρ_SF+^-(T)∪ρ_w(T)]≠Ø, 则σ_b(T)=σ₁(T)。

证明   必要性。只需证明条件(3)成立。若σ_p(T)∩[ρ_SF+^-(T)∪ρ_w(T)]≠Ø, 取λ₀∈σ_p(T)∩[ρ_SF+^-(T)∪ρ_w(T)], 则有λ₀∈σ_a(T)\σ_ea(T)。结合条件(1)可知λ₀∈σ₀(T), 即σ₀(T)≠Ø。类似定理5的证明，有σ_b(T)=[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)], 从而{λ∈iso σ(T)：n(T-λI)＜∞}⊆σ₀(T)。下面证明σ_b(T)=σ₁(T)。σ_b(T)⊇σ₁(T)显然成立, 反之, 设λ₀∉σ₁(T), 由T满足a-Weyl定理知λ₀∈ρ(T)∪{λ∈iso σ(T)：n(T-λI)＜∞}。结合{λ∈iso σ(T): n(T-λI)＜∞}⊆σ₀(T)，有λ₀∉σ_b(T)。因此，σ_b(T)=σ₁(T)。

充分性。下面分2种情况讨论:

情况1:ρ_SF+^-(T)≠Ø。此时由条件(2)知σ₀(T)=Ø且任意λ∈ρ_SF+(T), ind(T-λI)≤0。由T满足a-Weyl定理且T∈($\mathcal{R}$), 结合定理2可得到σ(T)=σ_b(T)=[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)]∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}, 即定理5中条件(1)成立, 故任给f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理且f(T)∈($\mathcal{R}$)。

情况2:ρ_SF+^-(T)=Ø。此时任意λ∈ρ_SF+(T), 有ind(T-λI)≥0。从而σ_a(T)=σ(T), σ_w(T)=σ_ea(T)。若σ₀(T)=Ø, 类似情况1的证明可推出任给f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理且f(T)∈($\mathcal{R}$)。若σ₀(T)≠Ø, 则σ_p(T)∩[ρ_SF+^-(T)∪ρ_w(T)]≠Ø。于是，由条件(3)知σ_b(T)=σ₁(T), 故{λ∈iso σ(T)：n(T-λI)＜∞}⊆σ₀(T)。显然有σ_b(T)=σ₁(T)=[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)＜d(T-λI)}]。由于σ_w(T)=σ_ea(T), 则有σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)＜d(T-λI)}⊆acc σ_a(T)∩σ_c(T), 故σ_b(T)⊆[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)], 反包含显然成立。因此，σ_b(T)=[σ₁(T)∩{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)≥d(T-λI)}]∪[acc σ_a(T)∩σ_c(T)], 即定理5中条件(2)成立, 故任给f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理且f(T)∈($\mathcal{R}$)。证毕。

当ρ_SF+^-(T)≠Ø且任给f∈H(T), f(T)∈($\mathcal{R}$)和f(T)满足a-Weyl定理时, 类似定理5的证明，有σ₀(T)=Ø且任意λ∈ρ_SF+(T), ind(T-λI)≤0, 从而σ_SF+(T)=σ_ea(T)。于是可证明σ(T)=[σ₁(T)∩σ_SF+(T)]∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}。事实上, 只需证σ(T)⊆[σ₁(T)∩σ_SF+(T)]∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}。设λ₀∉[σ₁(T)∩σ_SF+(T)]∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}, 此时断言λ₀∉σ(T)。若不然，设λ₀∈σ(T), 则n(T-λ₀I)>0。若λ₀∉σ₁(T), 则由ρ₁(T)的定义, 有0＜n(T-λ₀I)＜∞。因为T满足a-Weyl定理且T∈($\mathcal{R}$), 所以ρ₁(T)⊆iso σ(T)∪ρ(T)。进而可得λ₀∈π₀₀(T), 则λ₀∈σ₀(T), 与σ₀(T)=Ø矛盾。若λ₀∉σ_SF+(T), 由于σ_SF+(T)=σ_ea(T), 则λ₀∈σ_a(T)\σ_ea(T), 从而有λ₀∈σ₀(T), 与σ₀(T)=Ø矛盾。

反过来, 当ρ_SF+^-(T)≠Ø且σ(T)=[σ₁(T)∩σ_SF+(T)]∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0}时, 类似推论1的证明可得到σ₀(T)=Ø且任意λ∈ρ_SF+(T), ind(T-λI)≤0。于是有下面结论:

推论2   设T∈B(H), 则任给f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理且f(T)∈($\mathcal{R}$)当且仅当下列条件成立:

(1) T满足a-Weyl定理且T∈($\mathcal{R}$);

(2) 若ρ_SF+^-(T)≠Ø, 则σ(T)=[σ₁(T)∩σ_SF+(T)]∪{λ∈σ(T): n(T-λI)=0};

(3) 若σ_p(T)∩[ρ_SF+^-(T)∪ρ_w(T)]≠Ø, 则σ_b(T)=σ₁(T)。

推论3   设T∈B(H)且任给f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理, 则任给f∈H(T), f(T)∈($\mathcal{R}$)当且仅当σ_p(T)∩[ρ_SF+^-(T)∪ρ_w(T)]≠Ø, 从而有σ_ea(T)=σ₁(T)。

证明   充分性。下面分2种情况讨论：

情况1:ρ_SF+^-(T)=Ø。显然有σ_ab(T)=σ_b(T), 进而σ_a(T)=σ(T)。又由于T满足a-Weyl定理, 可得π₀₀(T)=π₀₀^a(T)⊆σ_a(T)\σ_ab(T), 故T∈($\mathcal{R}$)且T满足a-Weyl定理。不妨设σ_p(T)∩[ρ_SF+^-(T)∪ρ_w(T)]≠Ø, 由推论2的条件(3)可知σ_ea(T)=σ₁(T), 再结合T∈($\mathcal{R}$)且T满足a-Weyl定理知σ_b(T)=σ₁(T)。由推论2, 任给f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理且f(T)∈($\mathcal{R}$)。

情况2:ρ_SF+^-(T)≠Ø。由定理3知: λ, μ∈ρ_SF+(T), ind(T-λI)ind(T-μI)≥0。结合ρ_SF+^-(T)≠Ø，可得任意λ∈ρ_SF+(T), ind(T-λI)≤0。断言σ₀(T)=Ø。事实上, 若σ₀(T)≠Ø, 则σ_p(T)∩[ρ_SF+^-(T)∪ρ_w(T)]≠Ø, 由条件知σ_ea(T)=σ₁(T), 从而由半Fredholm算子摄动定理^[15]知ρ_SF+^-(T)=ρ_w(T), 矛盾。由σ₀(T)=Ø且T满足a-Weyl定理知π₀₀(T)=Ø。断言σ_ab(T)=σ_a(T)。事实上, 若存在λ₀∈σ_a(T)\σ_ab(T), 由σ₀(T)=Ø知ind(T-λ₀I)＜0, 故λ₀∈σ_p(T)∩[ρ_SF+^-(T)∪ρ_w(T)], 即σ_p(T)∩[ρ_SF+^-(T)∪ρ_w(T)]≠Ø, 从而σ_ea(T)=σ₁(T)。于是，由半Fredholm算子摄动定理知T-λ₀I为Weyl算子, 这与ind(T-λ₀I)＜0矛盾。由上述证明可得到T∈($\mathcal{R}$)且T满足a-Weyl定理。此时类似情况1的证明, 任给f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理且f(T)∈($\mathcal{R}$)得证。

必要性。若σ_p(T)∩[ρ_SF+^-(T)∪ρ_w(T)]≠Ø, 则由推论2, 有σ_b(T)=σ₁(T), 故只需证明σ_ea(T)=σ_b(T)。又由T满足a-Weyl定理知σ_ea(T)=σ_ab(T), 故只需证明σ_ab(T)=σ_b(T)。取λ₁∉σ_ab(T), λ₂∈σ_p(T)∩[ρ_SF+^-(T)∪ρ_w(T)], 则λ₂∈σ₀(T)。设f₀(T)=(T-λ₁I)(T-λ₂I), 则0∈σ_a(f₀(T))\σ_ab(f₀(T)), 由f₀(T)∈($\mathcal{R}$)知f₀(T)为Browder算子, 故T-λ₁I为Browder算子。证毕。

推论4   设T∈B(H), 且任给f∈H(T), f(T)∈($\mathcal{R}$), 则任给f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理当且仅当下列条件成立:

(1) T满足a-Weyl定理;

(2) 任意λ, μ∈ρ_SF+(T), ind(T-λI)ind(T-μI)≥0。

证明   只需证明充分性, 下面分2种情况进行讨论。

情况1:ρ_SF+^-(T)=Ø。此时任意λ∈ρ_SF+(T), 有ind(T-λI)≥0。由推论2, 不妨设σ_p(T)∩[ρ_SF+^-(T)∪ρ_w(T)]≠Ø, 取λ₀∈σ_p(T)∩[ρ_SF+^-(T)∪ρ_w(T)], 则λ₀∈σ_p(T)∩ρ_w(T)。由T满足a-Weyl定理知此时λ₀∈σ₀(T), 即σ₀(T)≠Ø。由条件“任给f∈H(T), f(T)∈($\mathcal{R}$)”以及定理4知σ_b(T)=acc σ_a(T)∪{λ∈$\mathbb{C}$: n(T-λI)=∞}。由定理4的证明, 有{λ∈iso σ(T)：n(T-λI)＜∞}⊆σ₀(T)。结合T满足a-Weyl定理, 可得ρ₁(T)=ρ(T)∪{λ∈iso σ(T)：n(T-λI)＜∞}⊆ρ_b(T), 则有σ_b(T)⊆σ₁(T)。反包含关系σ_b(T)⊇σ₁(T)显然成立, 故σ_b(T)=σ₁(T)。由推论2, 任给f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理。

情况2:ρ_SF+^-(T)≠Ø。此时任意λ∈ρ_SF+(T), 有ind(T-λ₀I)≤0。断言σ₀(T)=Ø。若不然, 任取λ₁∈σ₀(T), λ₂∈ρ_SF+^-(T), 由T同时满足($\mathcal{R}$)性质和a-Weyl定理可知, 若λ∈ρ_SF+(T), 有λ∈σ₀(T)∪ρ_a(T), 则有λ₂∈ρ_SF+^-(T)=ρ_a(T)。令f₀(T)=(T-λ₁I)(T-λ₂I), 则0∈σ_a(f₀(T))\σ_ab(f₀(T))。由f₀(T)∈($\mathcal{R}$)知f₀(T)为Browder算子, 从而T-λ₂I为Browder算子, 这与λ₂∈ρ_SF+^-(T)矛盾, 断言得证。由σ₀(T)=Ø及ρ_SF+^-(T)=ρ_a(T)可得：σ_p(T)∩[ρ_SF+^-(T)∪ρ_w(T)]⊆σ_a(T)\σ_ea(T), 从而σ_p(T)∩[ρ_SF+^-(T)∪ρ_w(T)]⊆σ₀(T)结合σ₀(T)=Ø，可知σ_p(T)∩[ρ_SF+^-(T)∪ρ_w(T)]=Ø。由推论2, 任给f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理。证毕。